精品解析：黑龙江牡丹江市第三高级中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试卷

2026—2027学年度月考 高三 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，， 故. 2. 已知，，则的值是（     ） A. 1 B. C. 0.5 D. 【答案】C 【解析】 【详解】，  ，所以， 则 3. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】①当时，点在第四象限，， 由三角函数定义：，． ②当时，点在第二象限，， 由三角函数定义：，． 综上，． 4. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数性质判断各函数的单调性，结合奇偶性定义判断奇偶性. 【详解】A：由知，在上递增，不符； B：由二次函数性质知，是偶函数，又在上单调递减，符合； C：由在上递增，在定义域上递增，故在上递增， 不符合； D：的定义域为，且，得函数是奇函数，不符. 5. 若，则为（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 【答案】B 【解析】 【详解】由题知，， 若是第一象限角，则，，故，不满足题意； 若是第二象限角，则，，故，满足题意； 若是第三象限角，则，，故，满足题意； 若是第四象限角，则，，故，不满足题意. 综上，为第二或第三象限角. 故选:B. 6. 已知，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是增函数，是增函数，在区间上单调递增， 所以，，， 则. 7. 若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数进行求导，可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得，令，可得或，可得的图像，由函数在区间上有最小值，数形结合可得关于的不等式，计算可得答案. 【详解】解：由，可得， 当，，当或时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得，令，可得或，则的图像如图所示， 因为函数在区间上有最小值，故， 解得：， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题，体现了数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题. 8. 已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，最后利用这些性质即可求解. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又因为是奇函数，且图象连续不断，所以是偶函数， 由于，所以， 因为等价于，得，解得或， 因此不等式的解集为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，则下列不等式能使成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为为增函数，且，所以，故A正确； 因为为上的减函数， 所以由，得，故B正确； 因为为上的增函数，由，可得，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 1弧度的角与1°的角一样大 B. 锐角一定是第一象限角 C. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D. 终边落在直线上的角的集合是 【答案】BC 【解析】 【分析】依据 1 弧度约为 判断 A 错,由锐角与第一象限角的范围差异判定 B 正确,代入扇形面积公式求出半径后用弧长公式算得弧长验证 C 正确,分析直线 终边对应的角集,对比 D 选项集合的含义,得出 D 错误. 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角（），B选项正确； 扇形面积公式：（为圆心角弧度数，r为半径）， 代入，，则，解得， 扇形弧长公式：，代入，，则，选项C正确； 直线即，过第二、四象限， 在内，终边在上的角为：，， 因此终边落在上的角的集合为：， 也可写成：， 而可以拆成：终边在直线上， 和：终边在直线上， 即该集合表示终边在或上的所有角， 与真正只落在上的集合S不相等，选项D错误； 11. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程仅有6个不同实数解 【答案】BC 【解析】 【分析】根据和可得的图象关于对称，且周期为8，并得到在一个周期所有解析式，作出图象逐一判断即可. 【详解】由可得：的图象关于对称，所以， 又因为，所以， 故，所以的周期为8， 令，则，所以， 令，则，所以 令，则，所以 所以得到在一个周期内所有解析式， 作出在图象并根据周期补充在的图象如下所示： 对于A，，故A不正确； 对于B，当 时，由图可知，故B正确； 对于C，的图象可以由的图像向左平移三个单位， 从而得到图象关于原点对称，故为奇函数，即C正确； 对于D，在同一坐标系作出的图象如下图： 当时，，当时，，由图可知有5个交点， 所以D不正确. 故选：BC 三、填空题 （本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知事件，互斥，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为互斥，所以. 13. __________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用周期性和诱导公式计算. 【详解】 14. 函数在上的零点个数是______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用导数判断在内的单调性，在各单调区间计算端点函数值，使用零点存在定理判定零点，统计零点总数. 【详解】，， 由于，故符号由决定， ：，单调递减， ：，单调递增， ：，单调递减， ：，单调递增， ，，在单调递减，，无零点； ，，在单调递增，由零点存在定理，1个零点； ，，在单调递减，由零点存在定理，1个零点； ，，在单调递增，由零点存在定理，1个零点； 合计 个零点. 四、解答题 （本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知，求的值； （2）计算 【答案】（1）；（2）10 【解析】 【详解】当时，， . 16. 已知函数． （1）证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性（不需证明）； （2）若，求取值范围． 【答案】（1）由，得，所以定义域为，对，且，所以是奇函数. 在定义域内单调递增，理由如下： 因为在单调递增，是增函数， 所以在单调递增； 因为在单调递减，是减函数， 所以在单调递增； 所以在单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义证明函数是奇函数；根据复合函数单调性判断是增函数； （2）根据函数的奇偶性变形后利用单调性和定义域列不等式组求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是奇函数，所以由得， 又是定义在的增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 18. 甲和乙两个箱子各装有大小相同的若干小球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有个红球和2个白球，若从乙箱中随机摸出1个小球，摸到红球的概率为． （1）若从乙箱中随机摸出2个小球，求恰有1个红球和1个白球的概率； （2）现从两个箱子中随机选一个箱子（每个箱子被选到的可能性相等），再从选中的箱子中不放回地随机摸出2个小球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这2个小球的得分之和，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： X 2 3 4 P ． 【解析】 【分析】（1）先利用概率求得乙箱中球数，再利用组合数计算取球的种数，即可求概率. （2）利用条件得到各种取球的概率，再利用全概率公式计算出得分的对应的概率，即可求的分布列及数学期望． 【小问1详解】 从乙箱中任取一球，取出的是红球的概率为，得，所以. 从乙箱中任取2个球，设取到1个红球和1个白球为事件， 则. 所以取到1个红球和1个白球的概率为． 【小问2详解】 设事件表示“取到甲箱”，表示“取到乙箱”，事件表示“取出的两球都是红球”，事件表示“取出的是1个红球和1个白球”，事件表示“取出的两球都是白球”. 故，，，， ，，，. 由题知的可能取值为2，3，4， 则； ； . 所以的分布列为： X 2 3 4 P ． 19. 定义在上的关于的函数． （1）若，讨论的单调性； （2）在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）在上，单调递减；在上，单调递增；（2）． 【解析】 【分析】（1）直接解和即可得到的单调性； （2）分类讨论：先判断，不合题意﹔当时，利用导数讨论单调性，求出的取值范围；当，利用导数讨论单调性，求出的取值范围； 【详解】（1）， 时，， 在上，，单调递减﹔ 在上，，单调递增． （2）由（1）， 若，在上，，单调递增，，不合题意﹔ 若， 在上，，； 在上，，， 由题意，， 若， 在上，，单调递减， 则在上，符合题意， 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度月考 高三 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则的值是（     ） A. 1 B. C. 0.5 D. 3. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则为（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 6. 已知，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，则下列不等式能使成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 1弧度的角与1°的角一样大 B. 锐角一定是第一象限角 C. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D. 终边落在直线上的角的集合是 11. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程仅有6个不同实数解 三、填空题 （本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知事件，互斥，，，则__________． 13. __________． 14. 函数在上的零点个数是______. 四、解答题 （本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知，求的值； （2）计算 16. 已知函数． （1）证明函数的奇偶性，并指出函数的单调性（不需证明）； （2）若，求取值范围． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 18. 甲和乙两个箱子各装有大小相同的若干小球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有个红球和2个白球，若从乙箱中随机摸出1个小球，摸到红球的概率为． （1）若从乙箱中随机摸出2个小球，求恰有1个红球和1个白球的概率； （2）现从两个箱子中随机选一个箱子（每个箱子被选到的可能性相等），再从选中的箱子中不放回地随机摸出2个小球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这2个小球的得分之和，求的分布列及数学期望． 19. 定义在上的关于的函数． （1）若，讨论的单调性； （2）在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $