黑龙江省哈尔滨市第十三中学校2026-2027学年高三上学期8月19日数学作业

**基本信息** 聚焦导数与三角函数核心内容，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，适配一轮复习对知识整合与思维训练的需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|导数切线方程、函数极值、三角函数定义|基础概念辨析，如公共切线方程（题1）考查数学抽象| |多选题|3题|导数运算、函数零点与极值|多维度能力考查，如函数对称性（题10）体现推理意识| |填空题|3题|切线斜率、函数单调性|简洁情境下的运算能力，如单调递增求参数（题13）| |解答题|5题|解三角形、导数应用、三角函数图像|综合应用，如导数不等式恒成立（题16）培养模型观念|

2026年08月19日数学作业 一、单选题 1．已知点是曲线与曲线的公共切点，则两曲线在点处的公共切线方程是（  ） A． B． C．或 D．或 2．已知函数，设，，，则a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 3．函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 5．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为，其中，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C．-3 D．3 7．已知函数，是偶函数，则θ的值为（   ） A．0 B． C． D． 8．函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 二、多选题 9．（多选）下列求导运算正确的有（   ） A． B． C． D． 10．设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 11．已知函数的部分图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（   ） A． B．在上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 三、填空题 12．若曲线在点处的切线与平行，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________． 13．已知函数在R上单调递增，则m的最小值为___________. 14．设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为_______． 四、解答题 15．在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 16．已知函数 (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极小值； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围 17．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，若方程在区间上有解，求m的范围． 18．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图像．记，求在上的值域． 19．已知函数的最小正周期为，且当时，取最大值． （1）求，的值； （2）若， ，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年08月19日数学作业 一、单选题 1．已知点是曲线与曲线的公共切点，则两曲线在点处的公共切线方程是（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】设点的坐标为，因为为公共切点，所以曲线与曲线在处切线相同，根据条件列出方程组求解即可. 【详解】设点的坐标为 对曲线求导得， 对曲线求导得，得解得，得点坐标为，切线为． 故答案为B. 【点睛】本题考查利用导数求切线方程，考查学生的计算和转化能力，属于基础题. 2．已知函数，设，，，则a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a，b，c的大小即可. 【详解】解：因为，则，所以 又时，，所以恒成立 所以在上单调递增； 又，， 所以，则. 故选：A. 3．函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导得，由题意得在上只有一个变号零点，参变分离得，利用函数的单调性得的取值范围. 【详解】因为，所以， 函数在上有且仅有一个极值点， 在上只有一个变号零点.令，得. 设在单调递减，在上单调递增，， 又，得当，在上只有一个变号零点. 经检验，不合题意， 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知区间上有极值点，求参数的范围问题．可以从两个方面去思考： （1）根据区间上极值点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件； （2）也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，借助导数研究函数的单调性、极值等，层层推理得解． 4．已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据题意可得函数是偶函数，，且函数在上递增，不等式即为不等式，根据函数得单调性即可得出答案. 【详解】解：令， 因为是定义在R上的偶函数， 所以， 则， 所以函数也是偶函数， ， 因为当时，， 所以当时，， 所以函数在上递增， 不等式即为不等式， 由，得， 所以， 所以，解得或， 所以的解集是. 故选：B. 5．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数定义得tan再利用同角三角函数基本关系求解即可 【详解】因为，所以由三角函数定义可得tan， 即，故3cos 解得或，又， 所以. 故选：A 6．已知，则（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】A 【分析】将看成，利用两角和的正切公式可求的值. 【详解】 ， 故选：A. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角. 7．已知函数，是偶函数，则θ的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 由函数为偶函数，得，而， 则，所以的值为. 8．函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】先根据条件求出周期，即可得到，再利用平移的规则即可得到答案、. 【详解】函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为， 则， ， ， 只需将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象. 故选：C. 二、多选题 9．（多选）下列求导运算正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，，A正确； 对B，，B错误； 对C，，C错误； 对D，，D正确； 10．设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 11．已知函数的部分图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（   ） A． B．在上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【分析】根据题目条件求出函数，从而求出，则相关的性质就得出了. 【详解】对于A选项，由图象可知，所以； 又，所以，又，所以，所以 . 由五点作图法可知：，解得，所以， 则，故A错误； 对于B选项，根据A可知函数，故当时，，此时，单调递减，故B正确； 对于C选项，已知函数，因此，故C正确； 对于D选项，已知函数，因此，故D正确. 三、填空题 12．若曲线在点处的切线与平行，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________． 【答案】 【分析】设，.求出，，根据导数的几何意义即可求出的值，进而得出答案. 【详解】设，. 则，. 直线的斜率为，由导数的几何意义可得，，所以. 又，. 直线的斜率为，由导数的几何意义可得，，所以. 所以. 故答案为：. 13．已知函数在R上单调递增，则m的最小值为___________. 【答案】1 【分析】根据题意，由在R上恒成立求解. 【详解】因为函数在R上单调递增， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 所以. 故答案为：1 14．设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】将整理为，然后构造函数，根据的单调性得到，即，再构造函数，求导分析单调性得到，即可得到的范围. 【详解】由得， 即， 令，则． 因为， 所以在上单调递增， 因为，所以，即， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，即， 所以k的最小值为． 四、解答题 15．在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 16．已知函数 (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极小值； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求导，结合导数的几何意义即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性即可求解； （3）将恒成立问题转化为最值问题，结合单调性即可求解. 【详解】（1），， 所以函数的图象在点处的切线方程为：，即. （2）,令得或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故时取得极小值. （3）由题意得只要， 由（2）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，解得或. 综上,实数的取值范围是 17．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，若方程在区间上有解，求m的范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由函数的图象，得， 的最小正周期，由，， 得， 由，得，而，则， 所以函数的解析式为． （2）将函数的图象向左平移个单位长度， 得， 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得， 由已知方程在区间上有解， 故方程在区间上有解， 因为，所以， 所以m的范围为． 18．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图像．记，求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图像依次确定，，的值，从而得出函数解析式； （2）根据三角函数恒等变换，将函数化简，结合正弦函数的图像和性质，即可求出函数在上的值域. 【详解】（1）由图可得，，， ，，则， 又，则， 解得，， ，，； （2）由题意得， ． ，，则当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为，的取值范围为. 19．已知函数的最小正周期为，且当时，取最大值． （1）求，的值； （2）若， ，求的值． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）结合三角函数周期的公式，求得的值，再结合题设，得到，即可求解； （2）由，求得，结合同角三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数的最小正周期为，可得， 又当时，取最大值，可得，即， 即，所以， 因为，所以． （2）由（1）可得函数， 因为，即，所以， 又，可得， 又由，， 所以． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质，三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $