黑龙江省哈尔滨市第十三中学校2026-2027学年高三上学期数学十月月考复习卷（三）

十月月考复习卷3 一、单选题 1．已知复数，则z的虚部为（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 2．已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 3．已知平面向量满足，且，则（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 4．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，且满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在中，，则的面积是（    ） A． B． C． D．3 8．记为数列的前项积，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角小于，则 B．的最小值为 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．时，在上的投影向量为 10．已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递减数列 B． C． D．的最大值为 11．已知函数，则（　　） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 三、填空题 12．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则_________． 13．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和__________. 14．已知函数在区间上单调，且满足，若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为________. 四、解答题 15．记的内角的对边分别为，满足. (1)求角； (2)若，求的值. 16．已知向量，函数. (1)求函数的最小正周期及对称中心； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围 17．数列满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 18．已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和，并证明. 19．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，函数，对于，，使得，求实数a的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《十月月考复习卷3》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C C C A A BCD BC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】利用复数的乘除法的运算性质计算出结果，找到的虚部即可. 【详解】因为，所以的虚部为. 故选：A. 2．D 【分析】由指数函数的单调性即对数型复合函数的定义域确定集合，再结合交集、并集运算即可求解. 【详解】当时，， 所以， 由得， 所以， 所以，， 故选：D 3．D 【分析】根据平面向量垂直公式可求出，再将问题平方后开根号代入即可. 【详解】；. ；；. . 故选：D. 4．C 【分析】根据导数与函数单调性的关系：函数的单调递增区间对应导数大于的区间，单调递减区间对应导数小于的区间. 【详解】对于函数，求导得：， 区间内存在单调递增区间，也就是在内有解，整理得在内有解， 令，其对称轴为，在区间内， 计算端点值：， 所以在上的最大值为， 因为在内有解，所以，即实数的取值范围是. 故选：C. 5．C 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 6．C 【分析】先用定义法证明为奇函数，化简解析式可知为增函数，然后结合函数的奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】因为，所以为奇函数， 又因为， 所以为上的增函数. 因为，为奇函数， 所以， 又为上的增函数，所以， 即，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 7．A 【分析】根据数量积的定义及余弦定理求得，然后利用同角三角函数关系求得，进而代入三角形面积公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则，所以，所以，解得， 所以，所以， 所以的面积是. 故选：A 8．A 【分析】先利用累加法求得，再由求解即可. 【详解】由题意， 当时，所以，，， 累加得， 所以 又当时，也满足，所以. 故选：A 9．BCD 【分析】结合向量的夹角、模长、共线单位向量、投影向量等知识点，逐一分析每个选项. 【详解】选项A，若与的夹角小于， 则，即，因此A正确； 选项B，向量的模长， 因为，所以当时，取得最小值， 因此B错误； 选项C，与共线的单位向量包括同向和反向两种情况，因此C错误； 选项D，当时，，计算在上的投影向量为， 点积， ， 因此投影向量为，而非，因此D错误. 故选：BCD. 10．BC 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式及数列单调性逐项判断. 【详解】在等差数列中，，则，B正确； 等差数列的公差，数列为递增数列，A错误； ，C正确. 当时，，当时，，因此的最小值为，D错误. 11．ABD 【分析】利用指数函数的性质及函数的单调性、奇偶性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，由可知，所以，即其定义域为，A正确； 对于B项，，显然， 所以为奇函数，B正确； 对于C项，由A项结论可知显然错误； 对于D项，由指数函数的性质知：当时， ，所以， 则，故D正确； 故选：ABD 12． 【分析】根据，结合奇函数的性质即可求解. 【详解】由可得， 又为奇函数，故， 故答案为： 13． 【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的表达式，进而可得出的表达式，再利用等差数列的求和公式可求得. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 所以，，所以，， 所以，，故数列为等差数列， 所以，. 故答案为：. 14． 【分析】根据三角函数单调区间以及零点个数求出周期的范围，即可解得的取值范围. 【详解】不妨设函数的周期为， 因为在区间上单调，可得，解得； 又，可得且，解得； 又在区间上恰有5个零点，所以，解得 综上可得，所以， 解得，即的取值范围为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角和正弦的和角公式得到，即可求解； （2）根据条件，利用（1）结果和余弦定理，得到，利用正弦定理求出外接圆半径，再由正弦定理角转边，即可求解. 【详解】（1）由，得到, 整理得到，即， 又，则，得到， 又，解得. （2）由（1）知，由余弦定理得， 又，所以， 由正弦定理知（其中为外接圆的半径），得到， 所以. 16．(1)最小正周期为，对称中心为 (2) 【分析】（1）根据向量数量积运算以及三角恒等变换化简得的表达式，再利用三角函数的对称性可求得结果； （2）由结合（1）可求得，又为锐角三角形，可得，由此利用正弦定理，三角恒等变换可求得的范围，从而得解. 【详解】（1）因为， 则， 所以最小正周期为， 由，解得， 所以的对称中心为. （2）由（1）及，即， 又，所以，解得， 又为锐角三角形，即，即，解， ， 又，， ， 所以周长的取值范围为. 17．(1) 由题知，且， 故是以3为首项，3为公比的等比数列，即得证； (2) 【分析】（1）构造结合等比数列的定义判断即可； （2）根据（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式，根据裂项相消即可求得. 【详解】（1）略 （2）由（1），故，， 所以. 18．(1) (2). 证明： 因为，所以数列单调递增， 故. 【分析】（1）由已知可得，进而可得，分为奇数和为偶数两种情况讨论，可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法可求得，可得结论. 【详解】（1）由得，， 两式作差得，因数列为正项数列， 则，令，则，则， 则数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列， 故为奇数时，， 数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列， 故为偶数时，， 综上，数列的通项公式为； （2）由（1）可得，， 所以， 所以， 两式相减得， 所以，所以， 证明略. 19．(1)当时，的减区间为，无增区间；当时，的增区间为，减区间为． (2) 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论求解即可； （2）转化问题为，进而求解即可. 【详解】（1）由题设，， 当时，，在上递减； 当时，令， 当时，，在区间上递减； 当时，，在上递增． 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为． （2）由题设对于，，使得， 知，，成立． 由（1）知当时，，，在上递增， 则， 对于，函数单调递增，在上递增， 则， 所以只需，即． 综上：． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $