黑龙江哈尔滨市第三中学校2026-2027学年度上学期高三10月月考数学试题

哈三中2026—2027学年度上学期 高三学年10月月考数学试题 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设是平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，与所成的角相等，则 4. 已知函数，则“是函数为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进120m到达B处，在B处测得C对于山坡的斜度为30°，若，，山坡与地平面的夹角为θ，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，，，为与的交点，则的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 8. 已知函数当分别取时，方程对应的整数解分别为，，…，，则（ ） A. 10 B. 55 C. 80 D. 100 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过点 B. 若直线l与线段PQ有交点，则 C. 若直线l垂直于直线PQ，则 D. 点P到直线l的距离的最大值为3 10. 已知中，O是BC边上靠近B的三等分点，Q为AO的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设，，其中，.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若，，则面积的最大值为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，N，P分别是，的中点，Q是线段（不包含端点）上的动点，则（） A. 平面BNP截正方体形成的截面图形为等腰梯形 B. 四面体ABCP的外接球的表面积为 C. 过Q且与直线BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D. 点H是四边形内的动点，且直线PH与直线BC的夹角为，则点H的轨迹长度为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ______． 13. 如图，直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为________. 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则a的最小值为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四边形ABCD中，，，. （1）求； （2）若，四边形ABCD的周长为20，求四边形ABCD的面积. 16. 图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，平面与平面的交线为. （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设，，求的值. 18. 如图1，梯形中，AB和CD是梯形的高，，，，将和沿AB和CD折起，使和重合于点P，如图2. （1）求证：平面； （2）M是BC上的动点，连接AM，PM，作于H，连接CH. ①若M是BC中点，求平面AHC与平面PAD夹角的余弦值； ②当CH最短时，求BM的长. 19. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）设，讨论在上的零点个数； （3）设，若存在实数，使得，其中，求的取值范围. 哈三中2026—2027学年度上学期 高三学年10月月考数学试题 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）​ （2）​ 【16题答案】 【答案】（1）证明：因为底面为正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面与平面的交线为，平面， 所以； （2）证明：连接， 因为底面为正方形，所以； 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）由折叠性质可知,，且原梯形中，故折叠后； 是梯形的高，因此为矩形，得，且, 在中，，由勾股定理逆定理得, 又，且平面，根据线面垂直判定定理，可得平面; （2）①;②当最短时，. 【19题答案】 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为； （2）当时，函数没有零点， 当时，函数有一个零点， 当时，函数有两个零点； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $