黑龙江省哈尔滨市第十三中学校2026-2027学年高三上学期数学十月复习卷（一）

十月复习卷1 一、单选题 1．在中，设点满足：在的延长线上，.记，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，的夹角为，且，在上的投影向量的模为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，均为单位向量，若，则（     ） A． B． C． D． 4．若等边的边长为，为边的中点，是边上的动点，则的最大值为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 5．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．2729 B．2730 C．2731 D．2732 6．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有个球， ， 设各层球数构成一个数列：，，，，，则的值为（   ）    A． B．2 C． D． 7．已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递减数列 B． C． D．的最大值为 10．已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为，当且仅当取等号 11．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．图象的一条对称轴为直线 B．若，则的最小值是 C．在区间上单调递增 D．的图象可由函数的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到 三、填空题 12．锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，，则面积的取值范围为________． 13．已知是奇函数，且在区间上单调递增，则__________． 14．若函数在上无最小值，则的取值范围为__________． 四、解答题 15．已知函数， (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)在中，，，，若的平分线交于，求的长. 16．已知函数（，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及的单调递增区间； (2)若，且，求的值． 17．已知函数． (1)若，求在上的最大值； (2)已知，，求证：函数在上单调递增. 18．设（为正整数） (1)若为等差数列，且公差，是与的等比中项，若，求数列的通项公式. (2)若，求数列的前n项和. 19．已知数列的前n项和满足. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前n项和，并证明：. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《十月复习卷1》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C B C A D BC BC 题号 11 答案 AC 1．B 【详解】如图所示：因为，所以， 则. 2．B 【分析】利用向量投影公式求出，再对平方展开求解. 【详解】由题意得在上的投影向量的模为，即，得． 由，得，即，解得． 3．A 【分析】根据向量的数量积运算及单位向量的定义，结合公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即，可得， . 4．C 【分析】建立平面直角坐标系，将向量数量积转化为关于动点坐标的二次函数，即可求解最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立直角坐标系， 由等边边长为，可得各点坐标：，，， 因为为中点，故的坐标为， 设，其中， 则，， 由向量数量积的坐标运算得： ， 该式为开口向上的二次函数，对称轴为， 在区间上最大值在离对称轴更远的端点处取得： 当时，，故最大值为. 5．B 【详解】由等差数列的性质：仍成等差数列； 计算得：， 由等差中项性质：， 代入数值：，即， 解得：. 6．C 【详解】观察数列，，，，可知第层的球数是前个正整数之和， 则， ， ． 7．A 【详解】因为，不妨设，，其中， 所以 8．D 【分析】使用余弦定理解出角，使用三角形的面积公式求解. 【详解】因为a，b，c成公差为2的等差数列，所以， ，即，解得， 由余弦定理可得，因为，所以， 所以的面积为：. 9．BC 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式及数列单调性逐项判断. 【详解】在等差数列中，，则，B正确； 等差数列的公差，数列为递增数列，A错误； ，C正确. 当时，，当时，，因此的最小值为，D错误. 10．BC 【详解】，故A错误； ，故B正确； 因为，且三点共线， 所以，即，故C正确； ， 等号成立时，故D错误. 11．AC 【分析】利用整体代入法求解对称轴判断A，利用换元法求解最小值判断B，利用整体代入法求解单调区间判断C，利用函数平移的性质判断D即可. 【详解】对于A，令，解得， 当时，，因此直线是的一条对称轴，故A正确； 对于B，当时，，则， 令，则求在上的最小值即可， 由正弦函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，当时，， 则的最小值为，故B错误， 对于C，令，解得， 当时，单调递增区间为，则在上单调递增，故C正确， 对于D，将的图像向下平移个单位，得到， 再向左平移个单位，得到，而，故D错误. 12． 【分析】利用余弦的二倍角公式以及正弦定理，解三角形，进而根据锐角三角形确定夹角范围，然后利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得，，即， 解得，所以， 由正弦定理得，，即， 所以， 因为三角形是锐角三角形， 所以，即得， 所以，，， 所以，即， 所以面积为. 13． 【分析】根据奇偶性，结合余弦的和差角公式可得或，代入或，结合函数的单调性可确定，即可代入求值. 【详解】由得，故，即， 故，因此， 结合可得或． 若，则，此时均在单调递减，且恒为正，故在上单调递减，不合题意． 若，则，符合条件．所以． 14． 【分析】根据可得出关于的取值范围，结合题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 当时，第二次使得， 因为函数在上无最小值， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 15．(1)最小正周期为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）先利用二倍角公式、辅助角公式将化简为正弦型函数，再结合三角函数性质求解周期和单调递增区间； （2）先由求出角，再利用三角形面积的拆分关系建立方程求解的长度. 【详解】（1）函数， 最小正周期， 由 ，解得 ， 即的单调递增区间为. （2）由得，即， 因为为的内角，故，则，因此， 解得， 因为是的角平分线，所以， 由面积关系，则有 ， 得 ，解得. 16．(1)，， (2) 【分析】（1）根据图像求出即可，再令，，解出即可； （2）由得，进而得，再利用三角恒等变换即可求解. 【详解】（1）由题图得，即，则，，    将点的坐标代入，得． ，，，， ，， ，    令，，解得，， 的单调递增区间为，； （2）由题意，得，则，     ，， ，     则 ． 17．(1) (2)时，， 则，令， 则，令， 则，因为，所以， 即函数在上单调递增，所以， 即函数在上单调递增，所以， 所以函数在上单调递增. 【分析】（1）求导化简得，判定单调递增，端点取最大值；（2）化简后多次求导逐层回推，依次证明，证得单调递增. 【详解】（1）时，， 则，因为， 所以，即函数在上单调递增， 所以当时，， 所以，即在上的最大值为. （2）略 18．(1) (2) 【分析】(1)根据等比数列的等比中项性质罗列出，再利用前项和公式罗列出，两个式子联立求解出数列的首项和公差，根据等差数列公式求解出数列的通项公式. (2)先利用递推退项作差法求解，再根据的通项公式求解前n项和. 【详解】（1）若是与的等比中项，则满足， 根据等差数列通项公式，得到式子，化简得到， ,， 两个式子联立代入得到，， 数列的通项公式为. （2）原式：   两边同时除以：    (1) 当时，把替换成：       （2） （1）-（2）： ，由此可得. 当时，，,满足通项公式. 所以对于,. ，数列是以首项为2，公差为1的等差数列. . 19．(1)因为，①所以当时，，即， 所以，当时，，② 所以①－②得：，即，所以， 所以，又，所以， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列.； (2)， 因为， 所以，所以是递增数列，所以， 因为，所以，所以， 综上，. 【分析】（1）由得出，然后按照定义法证明等比数列即可； （2）由题意可知，故求可用错位相减法，再根据单调性即可证明. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，所以， 所以，① ，② ①－②得：， 所以.     答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $