黑龙江省龙东十校联盟2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

2026～2027学年度高三年级第一学期10月份月考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色、墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数及其性质、导数及其应用、三角函数、解三角形，平面向量与复数，数列． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知数列满足，，则 A．9 B．3 C． D． 3．已知单位向量，满足，则向量与的夹角的余弦值为 A． B． C． D． 4．已知复数，则 A． B． C．复数的虚部为1 D．复数在复平面内的对应点在第一象限 5．已知函数（），，若函数在上单调递增，且图象关于直线对称，则 A． B． C． D． 6．已知等比数列是递增数列，其前项积为，若，，成等差数列，，则当取最小值时， A．9 B．11 C．13 D．15 7．已知，，，则 A．的最小值为 B．的最小值为 C．的取值范围是 D．的最小值为4 8．若对成立，则实数的最大值为 A． B．1 C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A．若命题：，，则：， B．“”是“”的充分必要条件 C．若函数在上不单调，则实数的取值范围是 D．若函数是幂函数，且是奇函数，则 10．已知等差数列的前项和为，且，，则 A．存在正整数，，（），使，，成等差数列 B．数列的前100项和为100 C．数列的前100项和为4950 D．数列的前100项和为 11．若对成立，则实数的取值可以是 A． B． C． D．4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，，．若，则__________． 13．已知是第二象限角，且，则__________． 14．已知数列的前项和为，且．设，数列的前项和为，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数，，且． （1）求的值和函数的最小正周期； （2）当时，求的取值范围． 16．（本小题满分15分） 已知数列满足：，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17．（本小题满分15分） 已知中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）设的面积为，，是边的中点． （i）求的周长； （ii）求边上中线的长． 18．（本小题满分17分） 设数列的前项和为，，． （1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为． （i）求； （ii）若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数，设，，． （1）试确定的取值范围，使得函数在上单调； （2）试判断，的大小，并说明理由； （3）若存在，满足，求的取值范围并确定满足条件的的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $2026~2027学年度高三年级第一学期10月份月考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B2.A3.A4.C5.D6.B7.C8.D9.ACD10.AB11.BC 5V35 1、1 12.413.17 13. (n+1)2”(neN) 2sm=4cos=2 4sin sin 15.解：(1)因为 2分 1 cos = p= 所以 2,又因为0<p<π，所以93. …4分 f(x)=4sinxsin 2in+in.xcoco+sinx2sin) +1 因为 …6分 = 2π =π 所以f()的最小正周期 2 …7分 2km-匹≤2x-亚≤2km+ (2) 2 6 2,k∈Z得 6 3,k∈Z,所以函数f(x)的单调递 5π 增区间为 3, k∈Z.同样可得f(田的单调递减区间为 6 k∈Z …9分 π19π 0. 所以f()在”3)上单调递增，在3’48)上单调递减， 00.=3.2=fs)3 …11分 19π 0<x< 所以当 48时，0<f()≤3，即f()的取值范围是(0,3].…13分 +号+++是=3-3 a41 16.解：(1)因为332 n∈N, 当n=1时，4=3-3=0 …2分 当n之2时， 4+号+学++器=-3 是=33-6-3-23 …4分 所以0n=2×32m-2 …5分 0,n=1, a,= 所以 2×32m-2,n>1. …7分 (2)由题可知b。=a,+l0g3a1=an+2n+log,2 …8分 所以7，=(a+4+4++a,)+21+2+3++m）+nl0g,2 …9分 令S,=a+a+a++a,则S=4=0 …10分 Sn=0+2×32+2×34+…+2×32m-2=-2+ 。21-9）_9-9 n>1时， 1-9 4 9”-9 2=0=S,Sn= 9”-9 又n=1时，4 ,所以”4，neN, …13分 21+2+3+…+m)=2×n0+m=n2+n 因为 2 …l4分 799 所以7-4+n+0+1og,2)n …15分 17.解：(1)由条件得bsin B+csinC-asinA=-√2 bsinC, 由正弦定理得b2+c2-a2=-V2bc, … 2分 OS4=b'+c-a 由余弦定理得 2bc 2 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。 …4分 As3 因为0<A<兀，所以4.… …6分 (2)(i)由△ABC的面积为2 2besin A=2 4=3z 4得bc=4V2 …7分 又b2+c2-a2=-V2bc,a=25, 所以b+c=b2+c2+2bc=a2-V2bc+2bc=12+82=4(2+)2,…9分 所以b+c=2(V2+),所以△ABC的周长为a+b+c=2W5+2V2+2.…1分 (注：结果为25+12+82不扣分) )因为D是BC点。所-CB+ ,…12分 2)+2be-cos4)a-2/b)-1 所以 …14分 所以AD=1.即BC边上的中线AD的长为1. …15分 8》明：国为=02).你-+a+2 ,…1分 S+n+1_S+1=n+2+1=25,+m 所以n+1n+1 n n …2分 S+n+1 S,+1=2 n+1-=2 +n0 S+n 因为4=1，所以12，所以n ,且n 3分 SS+n 所以〔nJ是首项为2，公比为2的等比数列： …4分 S+”-2”S=n(2"-) 所以n …5分 当n>1时，a.=S。-=n(2”-1-(n-10(2--1)=(n+1)2-1 又n=1时，(n+12-1=1,所以{a,的通项公式是4，=(n+121-1.…6分 6=m+少-n+1 2)解：i)由(1)知”(a,+ 4-1 ,…7分 4q2+…4n+1 .34 Tn=2 所以 f4①， 1m2.3.4. 所以4=+年+… n+1 4”②， ①-②得： 4+tn41 -2好 11 44=1+4n+1-7-4×1-n+D 1-4334-4 一X 4 ,…9分 283n+7 = 所以 99×4 …10分 (i)由题意，对任意的n∈N,均有 恒成立， 3n+7)m≥2m-73n+72.2 所以 9×4-1 …12分 42n-7 1m≥ 即92”恒成立. …13分 4,2m7 2”, 1-d.=2n-52n-79-2n 所以 2*12” 2+1 当n≤4时，d-d.>0,即d1>d。…14分 当n≥5时，d-dn<0,即dl<dn, …15分 3 所以m的最大值为 …l6分 4.31 m≥ 一X 所以93224 1 故m的取值范围是24*切 …17分 19.解：1)f)=(t-5r+7列e+2x-5e=-l6x-2e.由f0>0,符x>2,或x<1, 由fw)<0,得1<x<2. 所以f)在（-0,1)，(2，+0)上单调递增，在(，2)上单调递减.…2分 因为函数f(x)在[-1，小上为单调函数， 所以-1<1≤1.故当t的取值范围是（-1,1时，使得函数f()在[-1，上单调.…4分 (2)m<n.. …5分 因为f(,)在(0,1)，(2，+∞)上单调递增，在1,2)上单调递减， f-l=13<e2 所以f(w在x=2处取得极小值为f(2)=®.又因为 e .…6分 所以fx)在[-l,+o)上的最小值为f(-).故当>-1时，f(-)<f(),即m<n.…8分 -6--习-0m-0-小- (3)因为e ,所以 …9分 令86w=6r-x-2)-3- 则问题转化为讨论8(x)在（一山）上有零点，求1的取值范围，并讨论零点的个数.…10分 -=60-r=3+0-,80=-e-2y30-y=+e-0 因为 且8(x)在（ 上单调递减，在2 上单调递增，g(4)=g(-).…12分 3 -1<t 所以①当 2时，g(-1)80<0时，8(x)在(-1，)上有一个零点，此时 2;13分 且当-1<1≤1时，g)≥0，g(9在(-1，)上没有零点；…14分 ②当2153 3 时，g(-)>0,8)<0,()在-1,0上有一个零点； …15分 ③当1≥3时，8(-)≤0,8)<0，g()在-1，)上没有零点. 16分 综上，t的取值范围是，3)，且有唯一的0适合题意. …17分