精品解析：湖南永州市李达中学2026-2027学年八年级上学期第一次检测数学试卷

八年级数学 满分：120分 考试时量：120分钟 一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为0.00000304kg．将数据0.00000304用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列分式中，最简分式是　　 A. B. C. D. 4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的倍 6. 如图，长方形的长、宽分别为、，且比大，面积为，则的值为（ ） A. 10 B. 21 C. 9 D. 49 7. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数满足，则的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 10. 若常数，满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 12. 分式，，的最简公分母是________． 13. 若，则______． 14. 分解因式：______． 15. 计算：______． 16. 已知，，，…，，若的值为13，则的值为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. 将下列各式因式分解： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 若分式的值为，分式无意义，求的值． 20. 先化简：，再从1，，2，四个数中选取一个合适的数代入求值． 21. 已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚． （1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解； （2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数． 22. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 23. 对于正数，规定：． 例如：，，． （1）求值： ； ； ． （2）猜想： ，并证明你的结论； （3）求：的值． 24. 阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______； 【知识运用】： （3）已知，则______，______； （4）求多项式：的最小值． 25. 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． （1）分式，，判断与是否互为“和常分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”的值； （2）分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． 求代数式（用含的式子表示）； 若分式的值为正整数，求的值； （3）分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 满分：120分 考试时量：120分钟 一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；的分母中含有字母，是分式． 故选：D． 2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为0.00000304kg．将数据0.00000304用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为  的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成  时，小数点移动了多少位，小数点向左移动为正，小数点向右移动为负）．根据题意利用科学记数法定义即可得到本题答案． 【详解】解：， 故选D． 3. 下列分式中，最简分式是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了最简分式的定义及求法一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题在解题中一定要引起注意． 4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解，据此逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A：，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B：，等式右边是乘积形式，且展开后和左边相等，故是因式分解，符合题意； C：，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D：，等式右边是乘积形式，但展开后和左边不相等，故不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 5. 如果把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，将原分式中的 和 都扩大到原来的倍，得到新分式，通过化简并与原分式比较，即可得出值的变化情况，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵和都扩大到原来的倍， ∴新分式为， ∵原分式为， ∴分式的值缩小到原来的， 故选：． 6. 如图，长方形的长、宽分别为、，且比大，面积为，则的值为（ ） A. 10 B. 21 C. 9 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，直接利用提取公因式法分解因式，进而得出把已知代入即可． 【详解】解：由题意可得：，， 则． 故选B． 7. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂运算．关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小． 利用零指数，负整数指数幂，有理数乘方运算法则分别计算，然后比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：B． 8. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键． 利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行分式的除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， 被污染的代数式为， 故选：C． 9. 已知实数满足，则的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】无需直接求解的值，通过变形已知方程，结合完全平方公式整体代换计算． 【详解】解：， 若，则等式左边为，故， ∴ 方程两边同时除以，得， 即， 将等式两边平方，得， 展开得， ∴ ． 10. 若常数，满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】对等式右侧分式通分，对比分子一次项系数可直接求得的值． 【详解】解：， ∴ 对等式右侧通分，得， ∵ 等式两边分式分母相同且等式成立， ∴ 分子对应相等，即， 由多项式相等对应项系数相等，得． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此列出不等式即可求解x的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义，分母不能为， 得 ，解得 ． 12. 分式，，的最简公分母是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．先取2、1和6的最小公倍数6，再取a和b的最高次幂，则它们的积为所求． 【详解】解：分式，，的最简公分母为． 故答案为：． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将代入原式中进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：5． 14. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】对多项式分组后，先提每组的公因式，再提取整体公因式完成分解． 【详解】解： ． 15. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的混合运算，注意负整数指数幂的运算法则，注意符号． 【详解】解：． 故答案为：． 16. 已知，，，…，，若的值为13，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】先计算前几项找出数列的循环周期，再根据周期得到与的关系，列方程求解即可． 【详解】解：依次计算数列的前几项： ， ， ， ， ∴数列每项为一个循环， ∵， ∴ 解得． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. 将下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式． ． 19. 若分式的值为，分式无意义，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为可得，根据分式无意义，可得，把字母的值代入代数式计算求值即可． 【详解】解：分式的值为， 且， 可得：， 分式无意义， ， 整理可得：， 解得：， ． 20. 先化简：，再从1，，2，四个数中选取一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题是分式化简求值题．先对括号内分式通分，把因式分解为，将异分母分式相减；分式除法变乘法（乘以除数的倒数），然后约分，完成化简；根据分式有意义的条件，排除会让分母、除式等于 0 的值，从给定 4 个数里选出合适的；最后把代入化简后的式子算出结果． 【详解】解：原式， ， 因为，，故只能取， 当时，原式． 答：原式化简得，当时，原式的值为1． 21. 已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚． （1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解； （2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把▲代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设▲为m，利用分式方程无解得到增根，解答即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：， 所以是原分式方程的解； 【小问2详解】 设▲，， 方程两边同乘，得：， 把代入，得： ， 解得：． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 22. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 【答案】购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决实际问题；设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要万元，利用“用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍”作为等量关系建立方程求解即可. 【详解】解：设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要万元 去分母得： 解得： 经检验是原方程的解 ∴ 答：购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元. 23. 对于正数，规定：． 例如：，，． （1）求值： ； ； ． （2）猜想： ，并证明你的结论； （3）求：的值． 【答案】（1），， （2） ， 证明：∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ． 24. 阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______； 【知识运用】： （3）已知，则______，______； （4）求多项式：的最小值． 【答案】（1）；（2）9；（3），2；（4）的最小值为5 【解析】 【分析】（1）根据完全平方式的形式求解即可； （2）利用配方法的步骤求解即可； （3）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解m、n值即可； （4）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可． 【详解】解：（1）∵多项式是一个完全平方式， ， ， 故答案为：； （2）， 故答案为：9； （3）∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：，2； （4）， ， ， ，， 的最小值为5． 【点睛】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解答的关键． 25. 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． （1）分式，，判断与是否互为“和常分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”的值； （2）分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． 求代数式（用含的式子表示）； 若分式的值为正整数，求的值； （3）分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”的值． 【答案】（1）与互为“和常分式”，且“和常值” （2）；或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）先根据分式的加法计算法则表示出，再根据“和常分式”的定义且“和常值”，列式计算即可；先表示出，再根据分式的值为正整数求解即可； （3）根据分式的加法计算法则表示出，根据与互为“和常分式”，列式后化简整理，然后对比系数列方程求解即可． 【小问1详解】 解：与互为“和常分式”．理由如下： ， 与互为“和常分式”，且“和常值”． 【小问2详解】 解： ， 与互为“和常分式”，且“和常值”， ， ，即， ． 由可知，． 分式的值为正整数， 或， 或． 【小问3详解】 解： ． 与互为“和常分式”， ． ， ， ，解得， 由得， ，均为整数，满足题意， “和常值”的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $