第三章 排列组合与二项式定理（单元分层自测·培优冲刺卷）数学人教B版高二选择性必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第三章 排列组合与二项式定理·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·天津西青·期中）2026年作为“十五五”开局起步之年，天津文旅春季以花为媒开展了“春风十里•天津等你”的春日经济文旅活动，其中红桥区桃花节，和平区海棠花节，蓟州区梨花节，南开区牡丹节等赏花景点各具特色，吸引了众多游客游玩打卡．某天甲、乙、丙三位同学计划分别从这4个赏花节中任选一个地点前往游玩，则不同游玩方案共有的种数为（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 3．（2026·湖南湘潭·一模）已知展开式中项的系数为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（26-27高二下·重庆·期中）在的展开式中，含的项的系数是（   ） A．35 B．15 C．-35 D．-15 5．（26-27高二下·重庆·期中）将4本不同的书发给3位同学，每人至少一本的不同发放种数为（   ） A．36 B．44 C．65 D．72 6．（24-25高三上·河南周口·期末）“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（   ） A．2124种 B．2148种 C．2352种 D．2420种 7．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 8．（2026·山东潍坊·三模）将5个相同的笔记本和5个相同的书签全部放入3个不同的文具袋，要求每个文具袋既有笔记本又有书签，则不同的放法种数为（     ） A．18 B．24 C．32 D．36 二、多选题 9．（25-26高二下·陕西西安·期末）下列选项正确的是（     ） A． B． C．二项式的展开式中各项系数之和为 D．四名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式共有种 10．（2026·山西吕梁·三模）已知，则（   ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B．展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项 C． D． 11．（25-26高二下·贵州遵义·期中）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 三、填空题 12．（2027高三·全国·专题练习）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是______． 13．（26-27高三上·四川成都·开学考试）的展开式中二项式系数之和比各项系数和大63，则在的展开式中，常数项为________． 14．（25-26高二下·陕西榆林·期中）甲、乙两人计划从5个景点中选择2个进行游览，则他们选的景点恰有1个相同的选法有__________种. 四、解答题 15．（26-27高二上·全国·课堂例题）(1)求的展开式中的常数项． (2)求的展开式中的系数． 16．（25-26高二下·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 17．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）现有甲、乙志愿服务队，其中甲队有5名男生，3名女生；乙队有6名男生，2名女生． (1)若从甲队和乙队中各选2人，求这4人中恰有1名女生的不同选法共有多少种； (2)若只从甲队中选出男、女生各2人担任宣讲员，要求这4名宣讲员在广场上站成一排，其中2名女生不能相邻，求不同的选排方法共有多少种． 18．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）为了喜迎端午佳节，高坪中学某班举行了一场文化知识竞答比赛．经过比拼，最终评出获奖学生共6人：一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名． (1)6人排成一排上台领奖，同一奖项的获奖同学必须站在一起，求不同的站法数； (2)将这6名获奖者分配到包粽子、挂艾草等4个手工活动中，每个手工活动至少去1人，求不同的分配方法数； (3)班主任为获奖的6名同学准备了12个完全一样的粽子，若一等奖至少分得3个粽子，二等奖至少分得2个粽子，三等奖至少分得1个粽子，求不同分发方法数． 19．（25-26高二下·全国·课后作业）6本不同的书按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)甲2本、乙2本、丙2本； (2)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； (3)分为3份，一份4本，一份1本，一份1本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人4本，一人1本，一人1本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第三章 排列组合与二项式定理·培优冲刺卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B C A C D D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 ACD AB AD 三、 3、 填空题（共3小题，共15分） 12． 13． 14． 4、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分） 【详解】（1）：由二项式定理，得 ①，（2分） 其中第项为 ②，（4分） 在的展开式中，设第k+1项为常数项，记为， 则 ③，（6分） 由③，令，则，所以为偶数， 再根据①、②知，所求常数项为.（8分） （2）由的展开式中含项：， 所以展开式中的系数为（13分） 16．（15分） （1）由组合数的定义知，解得，（2分） 当时，；（5分） 当时，．（7分） （2）原式 ．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）选出的4人中恰有1名女生，包括两种情况： 第一种情况，女生来自甲队，即甲队选1名女生、1名男生，乙队选2名男生，选法有种； 第二种情况，女生来自乙队，即乙队选1名女生、1名男生，甲队选2名男生，选法有种； 根据分类加法计数原理，共有种选法．（7分） （2）因为完成这件事情分成两步： 第一步从甲队中选出2名男生和2名女生，有种选法 第二步将选出的同学站成一排且女生不相邻， 使用插空法，往男生间隔中插入女生，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种选排方法．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）利用捆绑法求解：第一步，将同一奖项的学生分别捆绑为1个整体，共得到3个整体，对3个整体全排列，排列数为； 第二步，计算各整体内部的排列数：一等奖共1人，内部排列数为； 二等奖共2人，内部排列数为； 三等奖共3人，内部排列数为； 根据分步乘法计数原理，总站法数为.（5分） （2）6人分配到4个不同活动，每个活动至少1人，人数分堆分为两类： 第一类：分堆为3,1,1,1：从6人中选3人作为1组，剩余3人各为1组，分堆数为， 将4组分配到4个不同活动，排列数为，该类分配方法数为； 第二类：分堆为2,2,1,1： 从6人中选2人、再从剩余4人中选2人，剩余2人各为1组， 由于两个2人组、两个1人组为平均分组，需除以重复的排列数去重，分堆数为， 将4组分配到4个不同活动，排列数为，该类分配方法数为； 根据分类加法计数原理，总分配方法数为.（10分） （3）粽子完全相同，采用隔板法求解：6名同学中，1名一等奖同学至少分3个，2名二等奖同学每人至少分2个，3名三等奖同学每人至少分1个. 先给每人分配最低要求减1的粽子：一等奖先分2个，每名二等奖先分1个，每名三等奖先分0个，共分配个，剩余粽子数为个； 问题转化为将8个相同粽子分给6名同学，每人至少1个，根据隔板法公式，方法数为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）第1步，从6本不同的书中选2本书分配给甲，有种方法； 第2步，从剩下的4本不同的书中选2本分配给乙，有种方法； 第3步，剩下的2本不同的书全给丙，有种方法． 根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的分法．（3分） （2）先分组，再分配，与顺序有关，需排序．6本书分成三组有种分法， 再分配给3个人，有种分法，则共有（种）不同的分法．（6分） （3）将6本不同的书分成无序的3组，书的本数分别为4，1，1，为部分平均分组问题，不同的分法种数为．（9分） （4）先分组，再分配．先分成三份，为部分平均分组问题，共有种分法， 再分配给3个人，有种分法，则共有（种）不同的分法．（13分） （5）可以分成三类：①将6分为“2，2，2”，即（1）中的分配情况，有（种）不同的分法； ②将6分为“1，2，3”，即（2）中的分配情况，有（种）不同的分法； ③将6分为“1，1，4”，即（4）中的分配情况，有（种）不同的分法． 根据分类加法计数原理，共有（种）不同的分法．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第三章 排列组合与二项式定理·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·天津西青·期中）2026年作为“十五五”开局起步之年，天津文旅春季以花为媒开展了“春风十里•天津等你”的春日经济文旅活动，其中红桥区桃花节，和平区海棠花节，蓟州区梨花节，南开区牡丹节等赏花景点各具特色，吸引了众多游客游玩打卡．某天甲、乙、丙三位同学计划分别从这4个赏花节中任选一个地点前往游玩，则不同游玩方案共有的种数为（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理计算求解. 【详解】每位同学都可以独立从4个赏花节中任选一个， 甲有4种选择，乙有4种选择，丙也有4种选择 根据分步乘法计数原理， 总方案数为 种. 2．（2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. 3．（2026·湖南湘潭·一模）已知展开式中项的系数为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由题设，， 令，得，故项的系数为， 所以. 4．（26-27高二下·重庆·期中）在的展开式中，含的项的系数是（   ） A．35 B．15 C．-35 D．-15 【答案】C 【详解】在的展开式中， 含的项为， 所以所求系数为. 5．（26-27高二下·重庆·期中）将4本不同的书发给3位同学，每人至少一本的不同发放种数为（   ） A．36 B．44 C．65 D．72 【答案】A 【分析】先将书分为3组，再将这三份书全排列分给3位同学. 【详解】由题可知，有1位同学分得两本书，其他2位同学各得一本， 可以先从4本书中挑出2本，将书分为3份，再将这三份书全排列分给3位同学，故不同分法的种数是． 6．（24-25高三上·河南周口·期末）“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（   ） A．2124种 B．2148种 C．2352种 D．2420种 【答案】C 【分析】由间接法，求得恰有3对和4对的情况，即可求解； 【详解】恰有3对相同的字母相邻的排法有：, 有4对相同的字母相邻的排法有：, 8个字母的全排列为：, 所以至多有2对相同的字母相邻的不同的排法有：， 故选：C 7．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 【答案】D 【分析】分①②③④四边同色、①②③④只有三边同色另一边不同色和①②③④每两个同色三种情况分别求解即可. 【详解】如图所示：    当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色； 当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色； 同理其他区域也一样， 所以：①②③④四边同色，此时共有种； 当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时， 此时共有种； 当①②③④每两个同色时，此时共有种； 综上，共有种. 8．（2026·山东潍坊·三模）将5个相同的笔记本和5个相同的书签全部放入3个不同的文具袋，要求每个文具袋既有笔记本又有书签，则不同的放法种数为（     ） A．18 B．24 C．32 D．36 【答案】D 【分析】相同元素问题利用隔板法计算即可得. 【详解】采用隔板法，在5个相同的笔记本之间可放入2个隔板，可将笔记本分3份， 从而放入3个不同的文具袋，共有种放法； 同理，书签的不同放法种数也为种； 此时每个文具袋既有笔记本又有书签， 故共有种不同的放法. 二、多选题 9．（25-26高二下·陕西西安·期末）下列选项正确的是（     ） A． B． C．二项式的展开式中各项系数之和为 D．四名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式共有种 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由组合数的性质可得，A对； 对于B选项，由二项式系数的性质可知， 所以，B错； 对于C选项，二项式的展开式中各项系数之和为，C对； 对于D选项，四名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻， 将甲乙捆绑，形成一个“大元素”，与其他两个人进行排序， 所以不同的站队方式种数为种，D对. 10．（2026·山西吕梁·三模）已知，则（   ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B．展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项 C． D． 【答案】AB 【分析】结合二项式系数和的性质判断A，结合二项式系数的增减性和最值判断B，利用二项式展开式的通项公式求含的项，判断C，利用赋值法求和所有系数的和，由此可得结论. 【详解】对于A，的展开式中所有项的二项式系数和为，故A正确； 对于B，的展开式中第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式为， ， 令可得，，即展开式中含的项为， 所以，故C错误； 对于D，由取可得 ， 取可得 ， ∴ ，故D错误. 11．（25-26高二下·贵州遵义·期中）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【答案】AD 【详解】若每人都安排一项工作，即每人均有四项工作可以安排，故不同的方法数为，A正确； 若每项工作至少有1人参加，则有一项工作有2人，其余工作各1人，先将这5人分成4组，有种方法，再将这4组分配到4项工作，有种方法，故共240种方法，B错误； 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则人数分配可能为或， 先分组，共种方法，再分配，共种方法，故共150种方法，C错误； 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，若司机工作安排1人，有种，剩余4人分配到剩余3项工作，人数分配为，有种，故安排方案的种数共有种； 若司机工作安排2人，有种，剩余3人分配到剩余3项工作，有种，故安排方案的种数共有种； 综上，不同安排方案的种数共有种，D正确. 三、填空题 12．（2027高三·全国·专题练习）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是______． 【答案】 【详解】基本事件的总数为（个）， 甲、乙二人均抽到判断题的基本事件的个数是， 故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是． 13．（26-27高三上·四川成都·开学考试）的展开式中二项式系数之和比各项系数和大63，则在的展开式中，常数项为________． 【答案】 【分析】由题意求出，从而得到展开式的通项公式，令，带入即可求出答案. 令，得，则常数项为. 【详解】由题意得，，得， 则的展开式通项为， 令，得，则常数项为. 14．（25-26高二下·陕西榆林·期中）甲、乙两人计划从5个景点中选择2个进行游览，则他们选的景点恰有1个相同的选法有__________种. 【答案】 【详解】甲乙两人从5个景点中选择2个进行游览， 则恰有1个景点相同的选法有种. 四、解答题 15．（26-27高二上·全国·课堂例题）(1)求的展开式中的常数项． (2)求的展开式中的系数． 【答案】（1）393；（2） 【分析】（1）解法1：根据7个因式，结合计数原理求多项式展开式的常数项即可；解法2：把三项式中两项变成一项，两次利用通项求解即可.（2）利用分类求出展开式中含项，即可求出展开式中含项的系数. 【详解】（1）解法1：根据多项式展开式确定常数项，再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果． 表示7个因式的乘积， 在这7个因式中，7个因式都选1，相乘可得常数项； 有1个因式选，有1个因式都选，其余的5个因式都选1，相乘可得常数项； 有2个因式选，有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得常数项； 有3个因式选，有3个因式都选，其余的1个因式都选1，相乘可得常数项， 由多项式定理，得的展开式中的常数项为： ． 解法2：由二项式定理，得 ①， 其中第项为 ②， 在的展开式中，设第k+1项为常数项，记为， 则 ③， 由③，令，则，所以为偶数， 再根据①、②知，所求常数项为. （2）由的展开式中含项：， 所以展开式中的系数为 16．（25-26高二下·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)5或 (2) 【分析】（1）利用组合数定义求出的范围，进而得出，分别代入求解； （2）提取公因子把排列数转为组合数，用组合数公式配凑恒等式，进而计算求解． 【详解】（1）由组合数的定义知，解得， 当时，； 当时，． （2）原式 ． 17．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）现有甲、乙志愿服务队，其中甲队有5名男生，3名女生；乙队有6名男生，2名女生． (1)若从甲队和乙队中各选2人，求这4人中恰有1名女生的不同选法共有多少种； (2)若只从甲队中选出男、女生各2人担任宣讲员，要求这4名宣讲员在广场上站成一排，其中2名女生不能相邻，求不同的选排方法共有多少种． 【答案】(1)345种 (2)360种 【详解】（1）选出的4人中恰有1名女生，包括两种情况： 第一种情况，女生来自甲队，即甲队选1名女生、1名男生，乙队选2名男生，选法有种； 第二种情况，女生来自乙队，即乙队选1名女生、1名男生，甲队选2名男生，选法有种； 根据分类加法计数原理，共有种选法． （2）因为完成这件事情分成两步： 第一步从甲队中选出2名男生和2名女生，有种选法 第二步将选出的同学站成一排且女生不相邻， 使用插空法，往男生间隔中插入女生，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种选排方法． 18．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）为了喜迎端午佳节，高坪中学某班举行了一场文化知识竞答比赛．经过比拼，最终评出获奖学生共6人：一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名． (1)6人排成一排上台领奖，同一奖项的获奖同学必须站在一起，求不同的站法数； (2)将这6名获奖者分配到包粽子、挂艾草等4个手工活动中，每个手工活动至少去1人，求不同的分配方法数； (3)班主任为获奖的6名同学准备了12个完全一样的粽子，若一等奖至少分得3个粽子，二等奖至少分得2个粽子，三等奖至少分得1个粽子，求不同分发方法数． 【答案】(1) 72 (2) 1560 (3) 21 【分析】 （1）相邻排列问题采用捆绑法，先对同奖项捆绑后的整体全排列，再计算各整体内部排列数，相乘得结果； （2）先将6人按人数分为3,1,1,1和2,2,1,1两类分堆，平均分组需去重，再将分好的组分配到4个不同活动，分类求和得结果； （3）相同元素分配问题采用隔板法，先给每人分配满足最低要求的部分粽子，再对剩余粽子用隔板法分配得结果. 【详解】（1）利用捆绑法求解：第一步，将同一奖项的学生分别捆绑为1个整体，共得到3个整体，对3个整体全排列，排列数为； 第二步，计算各整体内部的排列数：一等奖共1人，内部排列数为； 二等奖共2人，内部排列数为； 三等奖共3人，内部排列数为； 根据分步乘法计数原理，总站法数为. （2）6人分配到4个不同活动，每个活动至少1人，人数分堆分为两类： 第一类：分堆为3,1,1,1：从6人中选3人作为1组，剩余3人各为1组，分堆数为， 将4组分配到4个不同活动，排列数为，该类分配方法数为； 第二类：分堆为2,2,1,1： 从6人中选2人、再从剩余4人中选2人，剩余2人各为1组， 由于两个2人组、两个1人组为平均分组，需除以重复的排列数去重，分堆数为， 将4组分配到4个不同活动，排列数为，该类分配方法数为； 根据分类加法计数原理，总分配方法数为. （3）粽子完全相同，采用隔板法求解：6名同学中，1名一等奖同学至少分3个，2名二等奖同学每人至少分2个，3名三等奖同学每人至少分1个. 先给每人分配最低要求减1的粽子：一等奖先分2个，每名二等奖先分1个，每名三等奖先分0个，共分配个，剩余粽子数为个； 问题转化为将8个相同粽子分给6名同学，每人至少1个，根据隔板法公式，方法数为. 19．（25-26高二下·全国·课后作业）6本不同的书按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)甲2本、乙2本、丙2本； (2)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； (3)分为3份，一份4本，一份1本，一份1本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人4本，一人1本，一人1本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少1本． 【答案】(1)90 (2)360 (3)15 (4)90 (5)540 【分析】（1）先从6本书中选2本给甲，再从剩余4本书中选2本给乙，最后从余下的2本书中选2本给丙，根据分步计数原理得到答案. （2）这是“不均匀分组”问题，根据组合公式计算得到答案. （3）这是“部分平均分组问题”，利用公式计算. （4）在（3）的基础上进行全排列，计算得到答案. （5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”②“1、2、3型”③“1、1、4型”，分别计算相加得到答案. 【详解】（1）第1步，从6本不同的书中选2本书分配给甲，有种方法； 第2步，从剩下的4本不同的书中选2本分配给乙，有种方法； 第3步，剩下的2本不同的书全给丙，有种方法． 根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的分法． （2）先分组，再分配，与顺序有关，需排序．6本书分成三组有种分法， 再分配给3个人，有种分法，则共有（种）不同的分法． （3）将6本不同的书分成无序的3组，书的本数分别为4，1，1，为部分平均分组问题，不同的分法种数为． （4）先分组，再分配．先分成三份，为部分平均分组问题，共有种分法， 再分配给3个人，有种分法，则共有（种）不同的分法． （5）可以分成三类：①将6分为“2，2，2”，即（1）中的分配情况，有（种）不同的分法； ②将6分为“1，2，3”，即（2）中的分配情况，有（种）不同的分法； ③将6分为“1，1，4”，即（4）中的分配情况，有（种）不同的分法． 根据分类加法计数原理，共有（种）不同的分法 11 / 11 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第三章 排列组合与二项式定理·培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·天津西青·期中）2026年作为“十五五”开局起步之年，天津文旅春季以花为媒开展了“春风十里•天津等你”的春日经济文旅活动，其中红桥区桃花节，和平区海棠花节，蓟州区梨花节，南开区牡丹节等赏花景点各具特色，吸引了众多游客游玩打卡．某天甲、乙、丙三位同学计划分别从这4个赏花节中任选一个地点前往游玩，则不同游玩方案共有的种数为（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 3．（2026·湖南湘潭·一模）已知展开式中项的系数为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（26-27高二下·重庆·期中）在的展开式中，含的项的系数是（   ） A．35 B．15 C．-35 D．-15 5．（26-27高二下·重庆·期中）将4本不同的书发给3位同学，每人至少一本的不同发放种数为（   ） A．36 B．44 C．65 D．72 6．（24-25高三上·河南周口·期末）“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（   ） A．2124种 B．2148种 C．2352种 D．2420种 7．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 8．（2026·山东潍坊·三模）将5个相同的笔记本和5个相同的书签全部放入3个不同的文具袋，要求每个文具袋既有笔记本又有书签，则不同的放法种数为（     ） A．18 B．24 C．32 D．36 二、多选题 9．（25-26高二下·陕西西安·期末）下列选项正确的是（     ） A． B． C．二项式的展开式中各项系数之和为 D．四名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式共有种 10．（2026·山西吕梁·三模）已知，则（   ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B．展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项 C． D． 11．（25-26高二下·贵州遵义·期中）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 三、填空题 12．（2027高三·全国·专题练习）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是______． 13．（26-27高三上·四川成都·开学考试）的展开式中二项式系数之和比各项系数和大63，则在的展开式中，常数项为________． 14．（25-26高二下·陕西榆林·期中）甲、乙两人计划从5个景点中选择2个进行游览，则他们选的景点恰有1个相同的选法有__________种. 四、解答题 15．（26-27高二上·全国·课堂例题）(1)求的展开式中的常数项． (2)求的展开式中的系数． 16．（25-26高二下·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 17．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）现有甲、乙志愿服务队，其中甲队有5名男生，3名女生；乙队有6名男生，2名女生． (1)若从甲队和乙队中各选2人，求这4人中恰有1名女生的不同选法共有多少种； (2)若只从甲队中选出男、女生各2人担任宣讲员，要求这4名宣讲员在广场上站成一排，其中2名女生不能相邻，求不同的选排方法共有多少种． 18．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）为了喜迎端午佳节，高坪中学某班举行了一场文化知识竞答比赛．经过比拼，最终评出获奖学生共6人：一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名． (1)6人排成一排上台领奖，同一奖项的获奖同学必须站在一起，求不同的站法数； (2)将这6名获奖者分配到包粽子、挂艾草等4个手工活动中，每个手工活动至少去1人，求不同的分配方法数； (3)班主任为获奖的6名同学准备了12个完全一样的粽子，若一等奖至少分得3个粽子，二等奖至少分得2个粽子，三等奖至少分得1个粽子，求不同分发方法数． 19．（25-26高二下·全国·课后作业）6本不同的书按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)甲2本、乙2本、丙2本； (2)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； (3)分为3份，一份4本，一份1本，一份1本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人4本，一人1本，一人1本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $