精品解析：2026年广东省深圳市高级中学自主招生数学试卷（回忆版）

2026年广东省深圳市高级中学自主招生数学试卷（回忆版） 一、填空题 1. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ． 2. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， 且 ，，， ，，， ． 3. 点与点关于轴对称，则点关于原点对称点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据关于轴对称的点的坐标特点求得，的值，再根据关于原点对称的点的坐标特点即可得出答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 点关于原点对称点的坐标是． 4. 因式分解：_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 5. 如图，已知，一含的直角三角板如图放置，两个顶点恰好在这组平行线边上．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】依据直角以及角的和差可得出的度数，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ∵， ． 6. 如图，平面直角坐标系中，已知，，，，．过点且平分四边形面积的直线解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先说明四边形是平行四边形，进一步得出经过其中心的直线平分该四边形的面积，据此进行计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴经过平行四边形中心的直线平分该四边形的面积． ∵，， ∴平行四边形中心的坐标为． 设过点且平分四边形面积的直线解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为． 7. 已知，则____________________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程组得到，通过计算分别求得的值，再代入求值即可． 【详解】解：由知，． 由方程组得到， 由，得，则． 由，得，则． 所以． 8. 盒子中有个小球分别记为，，，，除上面的数字外完全相同，摸一个后放回，若先后两次摸到的数为和，且点在反比例函数的图象上，记为事件．当事件概率最大时，值可以是_______________． 【答案】2或 【解析】 【分析】由点在反比例函数的图象上得到，画树状图得到所有等可能的结果数，及k的值的所有可能及其结果数，根据概率公式计算后求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 画树状图为： 由图可得共有16种等可能结果， 其中共有2种结果，则； 共有2种结果，则； 共有4种结果，则； 共有4种结果，则； 共有2种结果，则； 共有2种结果，则； 当事件概率最大时，值可以是2或． 9. 已知，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】设，再整理，分和两种情况进行作答． 【详解】解：设， 则①， ②， ③， 得，， 当时，原式， 当时，，则， 原式． 故答案为：或． 10. 在中，已知，，，则_________________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过边长验证角为直角，再利用正弦定理对进行边角转化计算． 【详解】解：∵，，， ∴， 是直角三角形，其中是斜边， ∴ ． 11. 如图，在第一象限与反比例函数交于，两点，若垂直平分，则____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设出点坐标，进一步表示出点和点坐标，再结合线段垂直平分线的性质及正弦的定义进行计算即可． 【详解】解：令反比例函数的解析式为，设点坐标为， 因为垂直平分， 所以点坐标为． 因为是直角三角形，所以点的横坐标为，则点坐标可表示为． 连接， 因为垂直平分， 所以，即， 所以，整理得，． 在中，， 所以． 12. 在正方形中，以为直径作半圆，圆心为，交于，延长交于，则____________________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，设，因为四边形是正方形，以为直径作半圆，圆心为，所以，为的中点，，因为交于，延长交于，所以，由，得，求得，则，所以，可证明，得，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，设， 四边形是正方形，以为直径作半圆，圆心为， ，为的中点，， 交于，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 13. 已知一个三位数，且，若能被3整除，且能被整除，则的最大值与最小值的差是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得能被3整除，能被7整除，再验证满足条件的、的值，从而求解即可． 【详解】解：能被3整除，， 的值是整数， 能被7整除， 的值是整数， ∴能被3整除，能被7整除， ∴当，时，，此时三位数为， 当，时，，此时三位数为， 当，时，，此时三位数为， 最大值与最小值的差为． 14. 一个区域有若干特务，每个特务至多认识其他3个特务（认识是相互的），且直接认识的特务之间可以直接特务传递情报或者通过双方都认识的第三方特务传递情报，已知该地区情报互通．则该地区特务最多有_________人． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，把特务看作图的顶点，互相认识建立连线．题干条件转化为：每个顶点最多连条线，任意两点要么直接相连，要么通过一个中间点连通，整个图形连通．任选一个顶点，它最多直接连接个点，这个点各自还能再外接个新点，算出人数上界为，故最大值可取到． 【详解】解：由题意，把特务看作图的顶点，任取其中一个顶点． 与直接相连的顶点最多有个，记这组顶点集合为． 任取集合中的一个顶点， 已经和相连， 最多还能再连接另外个顶点． 图中任意两点距离不大于， 不与直接相连的顶点，必须至少与中某一个顶点相连； 所有剩余顶点，都只能由内各顶点向外连接得到． 含有至多个顶点，每个顶点最多向外新增个顶点， 除去、之外，最多存在个顶点． 综上所有顶点总数． 又因为每个顶点度数为、任意两点距离、一共个顶点，满足全部限制条件，说明数值可以实现．因此该地区特务最多有人． 二、解答题 15. 定义：若一元一次方程的解可化为，则称该方程为“紫堡方程”． （1）以下方程中是“紫堡方程”的是_____； ①； ②． （2）若方程化简后是“紫堡方程”，求的值． 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】（1）解两个方程求得对应的解，然后判断是否符合“紫堡方程”的定义即可； （2）解方程后根据“紫堡方程”的定义列得关于的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：①，解得：， ， 它不是“紫堡方程”， ②，解得：， ， 它是“紫堡方程”； 【小问2详解】 解：原方程去分母得：， 整理得：，则， 该方程是“紫堡方程”， ， 解得：． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原分式方程无解 （2） 【解析】 【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答； （2）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：原方程可变形为 原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原分式方程无解； 【小问2详解】 解：原方程可变形为 原方程去分母得， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故是原方程的解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东省深圳市高级中学自主招生数学试卷（回忆版） 一、填空题 1. 已知，则_______． 2. 已知，则________． 3. 点与点关于轴对称，则点关于原点对称点的坐标是_________． 4. 因式分解：_____________________． 5. 如图，已知，一含的直角三角板如图放置，两个顶点恰好在这组平行线边上．若，则__________． 6. 如图，平面直角坐标系中，已知，，，，．过点且平分四边形面积的直线解析式为___________． 7. 已知，则____________________． 8. 盒子中有个小球分别记为，，，，除上面的数字外完全相同，摸一个后放回，若先后两次摸到的数为和，且点在反比例函数的图象上，记为事件．当事件概率最大时，值可以是_______________． 9. 已知，则_________． 10. 在中，已知，，，则_________________． 11. 如图，在第一象限与反比例函数交于，两点，若垂直平分，则____________________． 12. 在正方形中，以为直径作半圆，圆心为，交于，延长交于，则____________________． 13. 已知一个三位数，且，若能被3整除，且能被整除，则的最大值与最小值的差是__________． 14. 一个区域有若干特务，每个特务至多认识其他3个特务（认识是相互的），且直接认识的特务之间可以直接特务传递情报或者通过双方都认识的第三方特务传递情报，已知该地区情报互通．则该地区特务最多有_________人． 二、解答题 15. 定义：若一元一次方程的解可化为，则称该方程为“紫堡方程”． （1）以下方程中是“紫堡方程”的是_____； ①； ②． （2）若方程化简后是“紫堡方程”，求的值． 16. 解方程： （1）； （2）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $