3.1.1 函数的概念 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念 第三章 3.1　3.1.1　函数的概念 索引 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 3.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域. 学习目标 2025年10月31日,神舟二十一号载人飞船成功飞天,在发射过程中,飞船离发射点的距离随时间的变化而变化;装满水的蓄水池在使用过程中,水面高度随着时间的变化而不断降低;我国高速铁路运营里程逐年增加,已突破4.8万公里…… 这些问题中的变量关系是如何进行定量的描述和研究的呢? 引入 课时精练 一、函数的概念 二、函数的三要素 三、构建函数关系的问题情境 课堂达标 内容索引 函数的概念 一 探究1 一枚炮弹发射后,经过26 s落在地面击中目标,炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度为h(单位:m),随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2. (1)炮弹飞行时间t的变化范围的集合A是什么? 提示　A={t|0≤t≤26}. (2)炮弹在飞行过程中距离地面高度h的变化范围的集合B是什么? 提示　B={h|0≤h≤845}. (3)对任一时刻t,高度h是否唯一确定?集合A,B有什么特点? 提示　唯一确定,集合A,B均为非空的实数集. 6 探究2 已知集合A={2 024,2 025,2 026},B={0.07,0.08,0.06},x与y的对应关系如下表: (1)该例中,集合A,B有什么特点? 提示　A,B为非空实数集. (2)按照给出的x与y的对应关系,对于A中的任意一个实数,在B中是否都有与之对应的实数?与之对应的实数是否唯一? 提示　B中都有实数与之对应,且对应实数唯一. x 2 024 2 025 2 026 y 0.07 0.08 0.06 7 函数的概念 知识梳理 概念 一般地,设A,B是_________实数集,如果对于集合A中的____________数x,按照某种______的对应关系f,在集合B中都有____________的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x),x∈A 定义域 ___的取值范围A 值域 与x的值相对应的___值的集合{f(x)|x∈A} 非空的 任意一个 确定 唯一确定 x y 8 (1)集合A,B是非空实数集,值域C⊆B. (2)函数的定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性. (3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)不一定是解析式,还可以是图象或表格,或其他的对应关系. 温馨提示 9 (1)下列图形中不能表示y是x的函数的是 例1 √ 选项A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故选项A中的图形不是函数图象,其余B,C,D均符合函数定义. 10 (2)(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是 A.A=R,B={x|x≥0},f:x→y=|x| B.A=Z,B=Z,f:x→y=x2 C.A={0,1},B={-1,0,1},f:x→y2=x D.A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0 √ √ √ 选项A,B,D中对集合A中任意实数x,按给定的对应关系f,在集合B中都有唯一实数y与之对应,因此选项A,B,D符合函数的定义.选项C中,对于A中元素1,按对应法则f,在B中有元素-1和1与之对应,不符合函数的定义. 11 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法: (1)任取一条垂直于x轴的直线l; (2)在定义域内平行移动直线l; (3)若l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数. 2.判断一个对应关系是否为函数的方法 思维升华 12 (1)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系,其中能构成从M到N的函数的是 A.y=x2 B.y=x+1 C.y=x-1 D.y=|x| 训练1 √ 只有y=|x|是符合题意的对应关系. 13 √ (2)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是 选项A中的定义域不是{x|-2≤x≤2},选项C中图形不满足唯一性,选项D中的值域不是{y|0≤y≤2},只有选项B满足题意. 14 函数的三要素 二 15 探究3 在初中,我们学习过二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)、反比例函数f(x)=(k≠0),你能说出两个函数的定义域、值域与对应关系吗? 提示　f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R.当a>0时,值域是; 当a<0时,值域是,对应关系是f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 反比例函数的定义域是{x|x≠0},值域是{y|y≠0},对应关系是f(x)=(k≠0). 16 (1)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的定义域为_____________,值域为_____________.  例2 {x|-2≤x≤4} {y|-2≤y≤3} 根据函数y=f(x)的图象知, 定义域为{x|-2≤x≤4},值域为{y|-2≤y≤3}. 17 √ (2)已知函数f(x)由下表给出,则f的值为 因为∈{x|x≤1},所以f=1, 则10f=10,所以f=f(10). 又因为10∈{x|x≥2},所以f(10)=3. 因此f=3. A.0 B.1 C.2 D.3 x x≤1 1<x<2 x≥2 f(x) 1 2 3 18 思维升华 1.把握对应关系的关键是理解“任意一个x∈A,都对应唯一的y∈B”. 2.对于含有多层对应关系的问题,可以尝试从里向外逐层代入或者从外向里逐层求值的方法解决. 关键点:(1)求f(a)时,a必须是f(x)定义域内的x取值,否则无意义;(2)函数的值域并不是函数定义中的集合B. 19 (1)已知f(x)=(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R),则f(g(3))=____________.  训练2 ∵g(3)=32+2=11, ∴f(g(3))=f(11)==. 20 (2)若函数f(x)=x2,x∈{-1,0,1},则函数f(x)的值域是____________.  {0,1} 由x∈{-1,0,1},且f(x)=x2, ∴f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1. 因此函数f(x)的值域是{0,1}. 21 构建函数关系的问题情境 三 22 (链接教材P64练习T4)试创建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=4来描述. 例3 y=4是含有根式的函数,它的定义域是{x|x≥0},值域是B={y|y≥0},对应关系f把{x|x≥0}中的任意一个数x,对应到B中唯一确定的数4, 如果对x的取值范围做出限制,如{x|x>0},那么可以构建如下情境: 正方形的面积为x,周长为y,则y=4, 其中x的取值范围是A={x|x>0},y的取值范围是B={y|y>0},对应关系f把每一个正方形的面积x,对应到唯一确定的周长4. 思维升华 构造函数问题情境 (1)分析条件中的函数解析式,确定其函数类型、定义域、值域和对应关系. (2)从现实生活中寻找和构建合适的问题情境,赋予每个变量具体的实际意义.必要时,可适当限制x的取值范围. (3)既要描述情境,又要描述情境中的定义域、值域和对应关系. 试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=来描述. 训练3 把y=看作反比例函数,那么它的定义域为A={x|x≠0},值域是B={y|y≠0},对应关系f把定义域中任意一个数x,对应到B中唯一确定的数. 如果对x的取值范围作出限制, 例如x∈{x|x>0},那么可以构建如下情境: 某工厂现有原材料300 t,平均每天用去x t,这批原材料能用y天,则y=,其中,x的取值范围是A={x|0<x≤300},y的取值范围是B={y|y≥1},对应关系f把每天的使用量x,对应到唯一确定的使用天数. 25 【课堂达标】 1.下列从集合A到集合B的对应中不是函数的是 √ 选项D中,对于集合A中的元素1,在集合B中有两个元素4和5与之对应,不符合函数的定义. 2 3 4 1 2.已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|0≤x≤2},下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是 √ 2 3 4 1 选项A,当0<x≤4时,每个x对应2个y,错误; 选项B,不满足定义域为A={x|0≤x≤4},错误; 选项C,不满足值域为B={x|0≤x≤2},错误; 选项D,每个x都满足从集合A到集合B的函数关系,正确; 故选D. 2 3 4 1 3.若函数y=x2-3x的定义域为{-1,0,2,3},则其值域为____________.  {-2,0,4} 2 3 4 1 4.若函数f(x)=ax2-1,a为一个正常数,且f(f(-1))=-1,那么a的值是____________.  ∵f(-1)=a·(-1)2-1=a-1, ∴f(f(-1))=a·(a-1)2-1=-1. ∴a·(a-1)2=0,则a=0或a=1. 又a>0,因此a=1. 1 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.已知函数y=f(x),则该函数的图象与直线x=a的交点 A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.至多有一个 根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x,都有唯一的函数值与之对应. 若a不在y=f(x)的定义域中,则没有交点,故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.设f:x→x2是集合A到集合B的函数,如果集合B={1},那么集合A不可能是 A.{1} B.{-1} C.{-1,1} D.{-1,0} 若集合A={-1,0},则0∈A,但02∉B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.(多选)对于函数y=f(x),以下说法正确的是 A.若函数的定义域与对应关系确定,则值域确定 B.对于不同的x,y的值也不同 C.f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量 D.f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 √ A,C正确,B错误,如f(x)=x2,当x=±1时,y=1;D错误,f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 4.(多选)下列四个图形中,是函数图象的是 √ √ √ 由每一个自变量x对应唯一一个y可知B不是函数图象,A,C,D都是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.托马斯说:“函数概念是近代数学思想之花.”请根据函数的概念判断:下列对应是集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是 A.x→2x B.x→x+2 C.x→x2 D.x→2x 按照函数的定义,M到N的对应,应该满足M中的每个元素,在N中都有唯一确定的值. 按照对应x→2x,M中的元素4在N中没有值,故排除A; 按照对应x→x+2,M中的元素4在N中没有值,故排除B; 按照对应x→x2,M中的每个元素,在N中都有唯一确定的值,故C满足条件; 按照对应x→2x,M中的元素-1在N中没有值,故排除D.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.已知函数f(x)=+3,若f(a)=1,则f(-a)= A.-4 B.4 C.-5 D.5 √ 由题意得f(a)=+3=1, 即=-2, 所以f(-a)=+3=-+3=2+3=5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.(多选)下列四个函数中,定义域与值域相同的是 A.y=|x| B.y=x-1 C.y=x2-1 D.y= √ y=|x|的定义域为R,值域为{y|y≥0},不相同. y=x-1的定义域和值域均为R,符合题意. 根据二次函数的性质可知,y=x2-1的定义域为R,值域为{y|y≥-1},不符合题意. y=的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}.定义域与值域相同. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的定义域为___________________.  {x|0<x<1,或1<x≤2} 观察函数的图象,图象上所有点的横坐标构成的集合为{x|0<x<1,或1<x≤2},即为定义域. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.如图,函数f(x)的图象是曲线ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(0,2),(1,0),(3,1),则f(f(1))的值为____________.  2 根据图象知,f(1)=0. ∴f(f(1))=f(0)=2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.已知函数f(x),g(x)分别由表给出: {1,3} 根据题意,若方程g(f(x))=3, 必有f(x)=1,则有x=1或3, 即方程g(f(x))=3的解集为{1,3}. x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则方程g(f(x))=3的解集为____________.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.已知函数f(x)=,若f(m)=8,求实数m的值. 因为f(m)=8,所以=8. 化简得m2-62m+385=0, 即(m-7)(m-55)=0, 所以m=7或m=55,经检验,符合题意. 故实数m的值为7或55. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.(多选)如果记圆周率π(3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…)的小数点后第n位数字为f(n),则下列说法正确的是 A.y=f(n),n∈N*是一个函数 B.当n=6时,f(n)=3.141 59 C.f(4)=f(8) D.f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} √ √ √ 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 对任意的n∈N*,都有唯一确定的f(n)与之对应,故y=f(n),n∈N*是一个函数, 因此A正确; 由题可知f(6)=2,因此B错误; 由题可知f(4)=f(8)=5,因此C正确; 根据f(n)的定义,可知f(n)的值必定是从0到9的十个自然数中的一个,因此f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},因此D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.已知等腰三角形ABC的周长为10,底边长y关于腰长x的函数关系式为y=10-2x,则此函数的定义域为________________.  　 ∵△ABC的底边长大于0, ∴y=10-2x>0,∴x<5. 又两边之和大于第三边, ∴2x>10-2x,∴x>, ∴此函数的定义域为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.构建一个问题情境,使其中的变量关系用解析式y=πx2来描述,其中x>0. 构建情境如下:圆的半径为x,半圆的面积为y,那么y=πx2. 其中x的取值范围是{x|x>0},y的取值范围是{y|y>0},对应关系f把每一个圆的半径x,对应到唯一确定的半圆面积πx2(答案不唯一). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.(开放题)写出一个定义域为{x|0<x<3},值域为{y|0≤y<4}的函数解析式:____________________________.  y=(x-1)2(答案不唯一) 由题意得,当0<x<3时,0≤y<4, 函数y=(x-1)2在对称轴x=1处取最小值0,且y<(3-1)2=4. 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.已知函数f(x)=. (1)求f(2)与f,f(3)与f的值. 因为f(x)=, 所以f(2)=,f=; f(3)=,f=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f有什么关系?并证明你的发现. 由(1)中求得的结果, 可猜测f(x)+f=1. 证明如下: f(x)+f=+=+=+=1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 026)+f+f+…+f的值. 由(2)知f(x)+f=1. 所以f(2)+f=1,f(3)+f=1,…,f(2 026)+f=1. 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 026)+f+f+…+f=++ +…+=+2 025×1=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $