湖南省益阳市第一中学2026-2027学年高三上学期数学周测（2026.10.11）

益阳市第一中学2026年高三第一学期周测卷 检测时间：2026年10月11日命题：高三数学备课组 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.设x∈R,则“0<x<1"成立是“x<1"成立的（)条件 A·充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D·既不充分也不必要 2.已知复数z满足z(3+i)=-5+3i,则在复平面内，z对应的点位于（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量ā=(1，x2),万=(x,8)若ab,则实数x的值为 A.2 B.-2 C.+2 D.0 4·已知函数f(x)=sinx,若对任意xeR都有f(x)+f(x+m)=c（c为常数)，则常数m的一个取值（) A受 B.元 c.贤 D.2π 5.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S=Sg,a。=1,则S2=（) A.6 B. C.I5 D.8 6.已知0A1,OA分别是圆台O0的上、下底面圆半径，且OA=1,OA=2,00=3,若异面直线 OA,OA所成的角为号则A4的可能取值为() A.1 B.2N2 C.2N3 D.2 7.一个袋中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个红色球，3个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出 2个球，下列结论正确的是() A.第一次摸到绿球的概率是 5 B.第二次摸到绿球的概率是3 0 C,两次都摸到绿球的概率是3 0 D.两次都摸到红球的概率是 5 1 8.已知函数f(x)=e-1-e-x-2x,则不等式f(x)+f(2x-1)≤-4的解集为 A.(-0,1] B.[1,+o)C.[1,2]D.[-1,1] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知正实数m,n满足m+n=1,则下列说法正确的是（) A.1+1的最小值是4 m n B.m2+㎡的最大值是) C.√m+Vn的最大值是√2 D.vmm的最大值是) 10.设RE为双曲线C兰片=0>06>0的左、有焦点过左焦点5且料率为45的直线/5C在第- 7 象限相交于一点P,则下列说法正确的是() A,直线/倾斜角的余弦值为？ B.若EP=|FE引，则c的离心率e=2 C,若=5.则C的渐近线方程y=± 3 D.△PEF不可能是等边三角形 11.已知函数f(x)=xe,g(x)=xnx,则下列说法正确的是() A.函数f(x)与函数g(x)有相同的极小值 B.若方程f(x)=a有唯一实根，则a的取值范围为a≥0 C.若方程g(x)=a有两个不同的实根x,x2,则xx2>a2 D.当x>0时，若f(x)=g(x)=t,则xx=t成立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 2( 的展开式中的系数足 13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V3cosA+sinM=2,若a=2,则△ABC面积的最大 值为 14.如图所示，正方形ABCD是一块边长为5的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好， 曲线MN为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DM=DN=3·工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原 料BQPR,当其面积有最大值时，AQ的长为 N M 0 B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 b a-c sin A+sin C sin B'sin 4+sin C (1)求角A的大小. (2)若b=4,求c的取值范围. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA=AD=2,AB=4,AD⊥PB,PA⊥AB,E是 线段AB的中点. (1)证明：PA⊥平面ABCD (2)求平面APE与平面CPE夹角的余弦值· 17.(15分)2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行 了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机 抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为 1 6· 看现场直播 未看现场直播 (1)求x的值 男同学 1.5x x (2)是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播 与学生性别有关？ 女同学 150 250 (3)为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中 随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为5，求5的分布列以及E(5) 参考公式：x2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x2≥) 0.1 0.01 0.001 参考数据： 2.706 6.635 10.828 18.(17分)在圆0：x2+y2=5上任取一点P,过点P作y轴的垂线段PD,D为垂足，点Q满足 DQ=mDP,其中m>0且m≠1·当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹为曲线下. (1)求「的方程与离心率； (2)设不经过第二象限的直线1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与曲线T相交于M、N两点，若点A、B三 等分线段MN,求I的方程. 19.(17分)已知函数f(x)=e+acosx,记曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的切线倾斜角为0(x). (1)求0(0)： ②)当a>0时、若对任意xe[0,+o).都有0≤0()<求a的取值范围： (3)当a=1时： （i)证明：(x)在[0，+∞)上单调递增； (i)若名ea证明：eo(s》amo(s》22amo(生5》 4益阳市第一中学2026年高三第一学期周测参考答案 题号 2 3 4 6 7 9 10 答案 A B A B y C C A ACD ABD 题号 11 答案 ACD 1.A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由0<x<1成立可推出x<1成立，所以“0<x<1”成立是“x<1”成立充分条件 当x=0时，x<1,但x{x0<x<1,即由x<1成立不能推出0<x<1成立， 所以“0<x<1”成立不是“x<1”成立必要条件 所以0<x<1成立是x<1成立的充分不必要条件， 故选：A. 2.B 【难度】0.92 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数的坐标表示、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【详解】z6+）=-5+3i,2=3i5-3i-53-_9i-15-3+5i14i-12_7i-6_-6,2 3+i(3+i)(3-i) 9-2 105=5+5 复数z在复平面内对应的点为 67】 5'5 对应的象限为第二象限。 3.A 【难度】0.65 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【详解】因为ā‖b,所以x2x=1×8x=2,选A. 4.B 【难度】0.85 【知识点】已知三角函数值求角、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先对三角函数进行恒等变形，要使2sinx +）ms贺=c恒成立。，必有co号=0，再解三角函数方程求解即 、2 可 【详解】由题意，f(x)+f(x+m)=sinx+sin(x+m)=c, 即x+n+受+）c,化简得2mx+}me 因为对任意xeR都有f(x)+f(x+m)=c恒成立， 即对任意xeR都有2sinx+ m 2 cosm=c恒成立， cos- 所以cos究-0，所以究-+m(keZ),解得m=+2a(e2, 22 当k=0时，可得m=π. 5.A 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前项和的 基本量计算、等差中项的应用 【详解】由S5=Sg,可得Sg-S=a6+a,+ag=0,又a6+a=2a, 所以3a2=0,即a,=0, 所以a1+a2=a6+a,=1+0=1, 所以S=12(a+a)_12x1=6. 2 2 6.C 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、余弦定理解三角形、圆台的结构特征辨析、由异面直线所成的角求其他量、空 间向量数量积的应用 【分析】通过向量分解将空间线段长度转化为向量运算，利用异面直线OA,与OA所成角，分析AO与O4的夹角情 况，需分别计算向量数量积。再代入已知的各线段长度和向量数量积结果，计算AA的可能值。 【详解】因为从=40+00+04,00140,00104，异面直线04,04所成的角为 所以0.04-号支.所以4=u0+00+0A=0+00+0- 40+002+04+2(40.00+A0.04+00·04)=V4+9+1+2A0.04= 14+240 104I cosA0,04. 当40.0A-时，4=14+2x2x1x2=4, 2 当4004=否时.4-4-2x2x1×3=25. 综上，A4=2V3或4，由于选项中只有2√3，故选C. 7.C 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率 【分析】对选项A,直接求出第一次摸球且摸到绿球的概率；对选项B,第二次摸到绿球分两种情况，第一次摸到绿 球且第二也摸到绿球和第一次摸到红球且第二次摸到绿球：对选项C,直接求出第一次摸到绿球且第二也摸到绿球的 概率；对选项D,直接求出第一次摸到红球且第二也摸到红球的概率 【详解】对选项A,第一次摸到绿球的概率为： C_3 C5,故错误： 6 对选项B,第二次摸到绿球的概率为： CxcCC-10' 故错误： 对选项C,两次都摸到绿球的概率为： CC2-3 Cx10' 故正确； 对选项D,两次都摸到红球的概率为： CgC=10,故错误 故选：C 8.A 【分析】设g()=e-e'-2t,求导得出g(t)在R上单调递增.由奇偶性定义可知g(t)为R上的奇函数. 解法1：原不等式可化为g(x-1)≤g(2-2x),因此x-1≤2-2x求解即可. 解法2：函数f(x)的图象关于点(1，-2)对称，原不等式可化为f(2x-1)≤f(2-x),求解2x-1≤2-x即可： 【详解】设g()=e-e'-21,则g()=e+e-2≥2We'e-2=0, 当且仅当1=0时取等，因此g(t)在R上单调递增. g(-)=e'-e+21=-g()可知g()为R上的奇函数. 解法1：因为f(x)=g(x-1)-2,所以f(2x-1)=g(2x-2)-2. 原不等式可化为g(x-1)+g(2x-2)≤0，即g(x-1)≤g(2-2x). 由于g(t)在R上单调递增，因此x-1≤2-2x,解得x≤1， 故选：A. 解法2：又因为f(x)=g(x-1)2,所以函数f(x)的图象关于点(1，-2)对称， 且f(x)在R上单调递增，f(x)+f(2-x)=-4. 原不等式可化为f(2x-)≤f(2-x),2x-1≤2-x,解得x≤1， 【难度】0.42 【知识点】导数的运算法则、根据函数的最值求参数、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式能成立（有解）问 题 【分析】先求导得到了)，根据新定义列出=-)，利用+子的恒等式换元 【=x+'并确定1范围，将条件转化为方程在对应区间内有解，再结合判别式与函数单调性求m的最大值。 【详解】f'(x)=x2-mx+m2-3,因为f(x)的导函数f'(x)是定义在区间[2，+∞)上的“局部反比例对称函数”，所 以存在xe2,+w),使得f-f, mm-3=+mr-(m2-3).所以-m2m-8=0在xe2+o有解 即I +,设x>22,则)5)+名=G 因为x>x2≥2，所以h(x)-h(x)>0，,所以h(x)在[2，+o)上单调递增，所以当x∈[2，+∞)时，1 [ 设g0=f-M+2m2-8,所以当1e[3+切时，g0=-m+2m-8=0有解 当经多切加s5时，g0=-m+2m-8在[ +o上，所以目)--m+2m-80, 1 7 ms4 2 当经同m>5.g0=-m+2m-8[3 上单调递减， 上单调递增， 所（-+2m-80,45nia 又m>5,所以不存在符合条件的m. 综上， ≤m≤4 2 所以实数m的最大值与最小值之差为 【点睛】新定义转化为方程有解，换元后利用二次函数零点分布，按对称轴分类讨论求参数范围。 9.ACD 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求积的最大值 【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断： 【详解】因为正实数m,n满足m+n=1,对于选项A:因为上+-m+”+m+n=2++”≥2+22”=4，当且仅 m n m n m n m n 当=m m n 11 即m=n=时，等号成立，所以+的最小值是4，故A正确： 2 m n 对打选质卧因为+≥当且汉当m=n时，等号成立。 2 2 所以m+n2的最小值是)，故B错误： 对于选项C:因为Nm+m≤m+n=l,即m+n≤2， 当且仅当m=n= 2时，等号成立，所以Vm+的最大值是√2，故C正确： 对于选项D:因为Vmn≤2冫当且仅当m=n=时，等号成立， 2 所以vmm的最大值是)，故D正确， 故选：ACD. 10.ABD 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据，b,c齐次式关系 求渐近线方程 【分析】设直线的倾斜角为a,可得ama= ,从而可求出cosa,即可判断出选项A是否正确；由P在第一象限 内，且FP=F=2c,可得FP=2c-2a,根据余弦定理可得4，c的齐次方程，进而可求出双曲线的离心率，然后 再求出名，从而可判断出选项B、C是否正确：由PF>PF,可知△PF5,不可能是等边三角形，从而可判断出选项D 是否正确. 【详解】对于选项A,设直线的倾斜角为a,则tana= V15 7 ,tana>0,.u是锐角，则cosa>0, sin2a+cos2a=1 sina 15 ,解得cosa= 8,故A正确： cosa 7 对于选项B,由P在第一象限内，且FP=FF,则FP=FF=2c, ∴.EP=2c-2a,由余弦定理可得cos∠PFE=cosa= 4c2+4c2-(2c-2a_7 8c2 整理得3c2+4d2-8ac=0,则3e2-8e+4=0,解得e=2或e=号（会去），故B正确： 对于选项C,由选项B,可得e= b =2,解得2=5. a a 所以双曲线C的渐近线方程为y=±V3x,故C错误： 对于选项D,由PE>PF,可知△PFF不可能是等边三角形，故D正确. 故选：ABD. 11.ACD 【难度】0.4 【知识点】导数中的极值偏移问题、求己知函数的极值、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】对于A,根据题目直接对两个函数求导判断极值即可；对于B,根据函数单调性和最值判断函数变化趋势， 进而求出参数范围：对于C,利用对数均值不等式直接判断即可：对于D,利用同构方法进行转化即可 【详解】对于A,f(x)=xe定义域(-o,+o),f'(x)=(x+l)e, 当x<1时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x>-1时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以f()=f-)=-。,g()=xhx定义域0，+o),g'()=nx+l, 当0<x<时，g(x)<0,g(x)单调递减，当x>时，g(x)>0,g(x)单调递增， ,故A正确；对于B,若方程f(x)=沁=a有唯一实根， 由于当x→-0时，f(y)→0，且f()<0,结合已求的单调性和最值可知，≥0或a=,故B错误： e 对于C,因为方程g(x)=a有两个不同的实根x,x2,假设x>x2,则a<0, x Inx=a Inx a 则 即 , 两式相减得a-立=nx-nx, x,Inx2 =a a xx2 Inx2=- 2 1 即nx-nxa x,由对数均值不等式-。=一。 xx2>xx2, 则Vxx2>-a>0,即x2>a得证，故C正确； 对于D,当x>0时，若f(x)=g(x2)=t,则xe=lnx,e=t, 即f(x)=f(nx),显然x>0,lhx>0,则x=hx,则xx=h为=1成立，故D正确. 故选：ACD下面补证C选项对数均值不等式： -1 要治6>小.即证白 In V 设m= 及(m>),即证m-1>m,即证m-。-2nm>0, 2Inm m om=m2 nm(m1).(m)名m0 m 则p(m)在(1，+oo)单调递增，当m>1时，p(m)>p(1)=0得证. 【点睛】方法点睛：己知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围： (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形 结合的方法求解 12.126 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为-3，即得系数. 9 【详解】 的展开式中，通项公式为：T=C(←扩=(yC(, 令9-3r=-3, 解得r=4,所以的系数为：（-)C=126.故答案为：126. 13. 2+V3【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式求积的 最大值 【分析】利用两角和的正弦公式求出A,再由余弦定理及基本不等式求出bc的最大值，即可求出面积的最大值， 【详解】因为V3cosA+sinA=2,所以2 =2,即s4+到-1 义Ae(@刘.所以4+骨-子则4=名由余弦定理d2=分+d2-2 aeos,4=分+c2-c≥2c-5c, 所以bcs、4 25=42+间，当且仅当b=e时取等号，所以Sac=cm4≤42+*2+5。 故△ABC面积的最大值为2+V3.故答案为：2+√3 14.5+72+5【难度】04 333 10 【知识点】面积、体积最大问题、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，设AQ=x(0≤x≤3)，将BQPR的面积表示成关于x的函数，再利用 导数求解即可. 【详解】以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系： D 则M(0,2),N(3,5),则抛物线的对称轴为y轴，设抛物线方程为y=ax2+b, R 1 b=2 4= 代入M,N的坐标，得 (9a+b=5'解得 3,所以抛物线方程为y=)2+2, 3 b=2 M 设A0=0≤x≤3)，则Q=5-x,=x+2, B X 3 即P四2+2，所以矩形BQPR的面积 s0-0四-6-X+2-r+r-2x+10ss到，所以s国到f+ 3x-2, 令"=0，解得5-=5-7,5=5+万 3,3 3 新以四在o)上半调送流在7，马，上中调程，在5上*明莲藏 四为80-0.04=6-544-05,0 33 3 27 790+145>790+14×2_818>10 81 8181 所以当x=5+5时，S取最大值，即当40=5+时，矩形BOPR的面积取最大值 3 3 15.(1)匹（②(2,8） 3 【难度】O.85【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正 余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】(1)根据正弦定理边角互化即可得b2+c2-a2=b,结合余弦定理即可求解： (2)根据正弦定理结合两角和的正弦公式，即可由严<B<得0<【。<，即可求解 6 2 tan B 【详解】（1)由己知条件及正弦定理，得，个-“S+C,即=￡-9=e a+c b a+c 即a+c=6.整理得R+c2-a2=bc. 由余弦定理，得cosA=+d=c=)又因为Ac(0,,所以4=及 2bc2bc 2 3 (2)由正弦定理，得c= b sin C sin B 11 4=,b=4,所以c=4sinC_4sin4+】-4sn4cosB+4cos4sinB_=2+2 sin B sin B sin B tan B 0<B< 2 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得和<B<所以伽小 6 ,则0<1 tan B <5, 0<C=2π 3 2 所以2<c<8,即c的取值范围为(2,8) 16.(1)证明：四边形ABCD为矩形，.AD⊥AB,又·AD⊥PB,且AB∩PB=B,ABC平面PAB,PBC平面PAB, ·AD⊥平面PAB. PAc平面PAB,.∴PA⊥AD.又：PA⊥AB,且AB∩AD=A,ABC平面ABCD,ADc平面ABCD, .·PA⊥平面ABCD (②)y5【难度】0.85【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 3 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理找垂直关系即可得证. (2)建立空间直角坐标系，写出两个平面的法向量，根据两个平面夹角余弦值的公式求解即可. 【详解】(1)略 (2):PA⊥AD,PA⊥AB,AB⊥AD.所以以点A为坐标原点，AB,AD,AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标 系，如图 则A(0,0,0),P(0,0,2),E(2,0,0),C(4,2,0),D(0,2,0) :AD⊥平面PAB,即AD⊥平面APE ∴平面PAE的一个法向量AD=(0,2,0),AD=2. 设平面CPE的一个法向量为i=(x,y,z) PE=(2,0,-2),EC=(2,2,0), PE.n=0「2x-2z=0 EC.n=0 得2x+2y=0得 = x=-y 令x=1,则万=(1，-1，)，=3，nAD=-2 设平面APE与平面CPE夹角为O, 则cos0=cos(4D, AD成 3 所以平面APE与平面CPE夹角的余弦值为5 17.(1)200 (2)有 12 (3)5的分布列为： 5 0 1 2 8 P 2 5 15 15 2 3 【分析】(1)根据抽到看现场直播的女同学的概率为上这一条件即可求得x的值 6 (2)首先完善列联表，然后根据公式计算卡方值，并确定把握的百分比. (3)首先确定分层抽样的男同学、女同学人数，然后确定5的可能取值，并计算每个取值对应的概率，从而得到分布 列，最后根据期望公式求出E(5) 【详解】(1)由于从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为 1 150 1 所以150+250+1.5x+x6化简得2.5x+40=900,解得x=20, (2)由(1)知x=200,那么看现场直播的男同学有300人，未看现场直播的男同学有200人. 900(300×250-200×150)2 18225 X600+20)x50+250)×(30+150)x(200+250405 =45 因为45>10.828，所以有99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关. 300-2 (3)因为看现场直播的男同学有300人，女同学有150人，抽样比例为150 所以如果抽取6人，则男同学有4人，女同学有2人. 根据题意，5可能取的值是0,1,2. 则P(5=0)= m5-S-景m--86 C1 所以的分布列为： 5 0 1 2 2 8 1 P 15 15 所以E(5)=0x2+1 ,8 12 +2× 5 15 153 18.(1)「的方程为× 51, 13 当m>1时， 离心率为Vm2-1」 当0<m<1时，离心率为√-m2 多 (2）x-my-m=0 【难度】0.40 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据弦长求参数、轨迹 问题一一椭圆、求平面轨迹方程 【分析】(1)相关点法求动点轨迹方程，设出点Q坐标(x,y),根据向量共线的关系，用点Q坐标表示点P坐标，将 点P坐标代入圆的方程中即可求得轨迹方程.根据椭圆方程的性质及离心率公式即可求离心率 (2)先设出直线1的方程，求出交点坐标，根据三等分性质得到线段MN的中点与线段AB的中点重合，利用中点重 合列方程可求斜率k再利用弦长关系MW=3AB,用韦达定理列方程求解参数b 【详解】(1) 设点Q坐标为(x,y),设点P坐标为(x,yp), 由题意可知，yp=y,点D坐标为(0，y). 因为D0=mDP,所以有(k,0)=m-(x,0,解得，=x,所以点P坐标为 m 因为点P在圆0：+y2=5上，将点P坐标代入得： m+y2=5, 即r的方能为品号1 因为m>0且m≠1，所以下是椭圆！ 当m>1时，a2=5m2,b2=5,c2=a2-b2=5m2-5, 因此离心率=c-V5m2-5Vm一 a 5m2 m 当m<1时，a2=5,b2=5m2,c2=a2-b2=5-5m2, 因此离心率=9-5-5m-m。 a 5 (2) 14 因为直线1不过第二象限，且与x轴，y轴都有交点， 所以设直线1的方程为y=kx+b,其中斜率k>0,y轴截距b<0. 今y=04（会小 令x=0得B(0,b) 因为点A、B三等分线段MN, 所以线段MN的中点与线段AB的中点重合，线段AB中点坐标为 bb 2k'2 将y=红+b代入椭图方程石+片1中，整理得： 5m+5 （1+m2k2）x2+2m2kbx+m2(b2-5)=0, 设M(x,),N(x2,2), 2m2kb m2(62-5) 由韦达定理得，+名1十m㎡聚'=1+m及 所以线段MN中点横坐标为+戈=-m钻 2 1+m2k21 令两个中点横坐标相等：一，m私。-b 1+mk22k 化简得：m=1,结合m>0,k>0得k=】 m 山巨等分关系得弦长=3，即水平方向色标满足=3， 结合韦达定理，有9 2m2kb 12 4m2(b2-5) (32-x=(x+x)2-4xx2, k2= 1+m2k2 1+m2k21 代入k=和m2k2=1得：9m2b2=10m2-m2b2,得b=1, m 因为b<0,所以b=-1. 因此直线1的方程为y=一x-1,整理为x-my-m=0 m 9.a年@0<as5c 15 (3)(i)当a=1时，tane(x)=f(x)=e-sinx. 令g(x)=e-sinx,则g'(x)=e-cosx.当x>0时，e>1≥cosx,故g'(x)>0;且g(0)=1. 因此g(y在[0+)上严格递增，并且g(>0.又g()>0,故0<0()<受 正切函数在 0,2 上严格递增，而tan0(x)=g(x)在[0，+∞)上严格递增，所以e(x)在[0，+∞)上单调递增. (i)因为，5∈[0，川，所以0≤3≤元由基本不等式，e+e≥2N0c=2e费”. 2 又由和差化积公式，sinx+sinx,=2sin当+戈cos-乏 2 2 因为sin+5≥0，cos,龙≤l,所以sinx+simx,≤2sin+3。 2 2 2 因此am9(x)+ian0(3)=e+e-siny-sins又因为e+e≥2e7,且snx+sinx,≤2sin十5， 2 所以tan9(x)+tane(5)≥2c号-2sin当+五=2tan65+五 故结论成立 2 2 【分析】(1)利用切线斜率与倾斜角的关系tan0(x)=f'(x),代入x=0求解； (2)条件0≤0()<等价于f()20,当sine≤0时不等式自动成立：当simx>0时，转化为研究C的最小值： sinx (3)(i)先证明tan0(x)=e-sinr在[0，+o)上严格递增，再利用正切函数在0，元 上的单调性得到结论；（ⅱ） 分别利用基本不等式和两角和与差的三角函数公式，对指数部分与正弦部分进行比较 【详解】(1)由f'(x)=e-asinx,且曲线在点(x,f(x)处的切线斜率为tan0(x),所以tan0(0)=f'(0)=l. 又0≤0(0)<，放00)-年 (2》由题意，对任意xe0,o),都有0≤0()<2所以f()=e-之0 当sinr≤0时，由a>0可知e-asinx>0,条件恒成立. 当sinr>0时，需要asc先考察xe(0,x).令h)=。,则)=c(6 sinrco sinx sinx sin'x 当0<x<平时，)k0,当经<x<x时，(>0.因此()==5e, 4 其余满足si加r>0的区间均有x≥2x,从而。≥c之e产>2e,故所有满足sinx>0的x中，C的最小值为 sinx sinx V2ei. 结合a>0,得0<a≤V2.(3)略 16