湖南省宁远县第一中学2027届高三上学期8月周考试数学试题

宁远一中2027届高三年级周考试卷 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知全集U={l,0,l2,3,A={0l,2,集合B={x∈Nx2<4,则(C4UB= A.{- B.{0,} C.{-1,2,3 D.{-1,0,1,3} 2.(1+5i)i的虚部为 A.-1 B.0 C.1 D.6 3.多项式(x2+x)'的展开式中含x的项的系数为 A.1 B.5 C.10 D.20 4.事件A和事件B相互独立，“A和B至少一个发生”的对立事件是 A.A∩B B.nB C.AUB D.AUB 5.已知Sn是数列{an}的前n项的和，且Sm-Sn=n,a=6,则a,+a= A.68 B.56 C.-3 D.-4 6.把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙 同组，丙、丁不同组，则分组方案共有 A.10种 B.12种 C.16种 D.24种 7已知双曲线若片=1(0>0，b>0)的左焦点为F,4是右顶点，P是双尚线上一点 满足FA=|FP,∠FAP=30°，则双曲线离心率为 A.4 B. 3 c. n 8.已知{an},{b}均为无穷数列，则“存在常数M,使得an≤M≤bn(n=1,2,…)”是 “an≤bn(n=l1,2,…）”的 A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知⊙0：x2+y2=1,⊙A:x2+y2-6x-8y+k=0,则 A.点A的坐标为(-3，-4) B.当k=9时，⊙A与x轴相切 C.当k=-11时，⊙0与⊙A相切 D.当⊙0与⊙A相交时，两个交点所在直线的方程为6x+8y-k-1=0 10.f(x)=sin(x+p)（0<p<2π)，将f(x)向x轴正方向平移3p个单位，得到的函数图像 与f(x)图像关于x轴对称，则P的可能取值为 5π C.π D. 3 11.对于函数y=f(x),x∈D,设A,={(x,y)川y≥f(x),x∈D}.对于点集M,若存在 (xo,y)eM,使得任取(x,y)eM,总有y≥%，则称(，y)为“最低点”.对于函数y=f(x) 和y=g(x),以下说法中正确的是 A.若f(x)=lnx,则Ar没有最低点 B.若y=f(x)和y=g(x)都有最小值，则Ay∩A有最低点 C.若A∩A有最低点，则y=f(x)和y=g(x)都有最小值 D.若AUA有最低点，则y=f(x)或y=g(x)有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.不等式(x-2(x-1)≥0的解集为 13.在△ABC中，AB=3,AC=5,BC=√14，已知点A,B,C分别为椭圆的上、下、 右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率 14.在△ABC中，D、E在边BC上，且BD=DE=EC,AD=1,AD与AE所成的夹角为 则BAC的最大值为 个 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15(体小圈13)分在aMBC中，已知eosB-},cos2(4+C)+n=l (I)证明：△ABC为钝角三角形： 包者61C份面积为？，求aBC的周长 16.(本小题15分)设整数N≥2.某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N次， 当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习，设该同学每次投中的概率为p(0<p<), 各次投中与否相互独立.记X为停止练习时该同学的投篮次数. ①当N=4,P=3时，求X的分布列： (2)设k,m均为自然数. i)当k≤N-1时，求P(X>k): (i)当k+m≤N-1时，证明：P(X=k+mX>k)=P(X=m). 17(本小题15分)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形，PH⊥底面ABCD, 垂足H在AD边上，且AH=1,HD=4,AB=2. (I)求证：HC⊥PB: 锥P-ABCD的体积为O5,求平面CPB与平面HPB所成夹角的金 18(体小题17分已如椭圆C号+云=>6>0)的离心率为号.焦距为25。 ()求椭圆的标准方程， (2)过坐标原点O的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴于点E,连结QE并 延长，交C于点G. i)证明：△PQG是直角三角形. (ii)求△PQG面积的最大值 19.(体小题17分列若函数y=)满足：对任意，eR,名+5≠0，都有)+0， x1+x2 则称函数y=(x)具有性质P. ()设f(x)=。,g(x)=x分别判断y=(x)与y=g(x)是否具有性质P?并说明理由： (2)已知定义在R上的奇函数y=f(x)具有性质P,求关于a的不等式f(2a+I)+f(a)>0的 解： (3)已知函数y=∫(x)具有性质P,且图像是一条连续曲线，若y=∫(x)在R上是严格增函数， 求证：y=f(x)是奇函数， 宁远一中高三年级周考试卷参考答案 一、单选题 1-4:DCCB 5-8:CCDA 二、多选题 9.BCD 10.ACD 11.AD 三、填空题 12.{-2≤x≤1或x22}. 5. 4. 39 8.【详解】由题意，{a},{b}是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数M,使an≤M≤bn(n=l,2,3,…)时， an≤M(n=1,2,3,…）,M≤bn(n=l,2,3,…, an≤bn(n=1,2,3,…)显然成立， 验证必要性： 当an=n,bn=n2时，此时满足an≤bn, 假设存在常数M,使an≤M≤bn(n=1,2,3,…)成立， 当n→+0时，an=n→+o,bn=n2→+0， 此时，M需同时“不小于无限增大的n”和“不大于无限增大的n2”, 但不存在这样的固定常数M, .当an≤bn时，无法必然推出“存在常数M”,即必要性不成立， .“存在常数M,使an≤M≤bn(n=l,2,3,)”是“an≤b(n=1,2,3,…)”的充分不必要条 件 11.【详解】A选项，因为f(x)=nx,定义域D=(0,+o),所以A={(x,y)川y之lnx}, 当x→0，lnx→-0， 所以点集中纵坐标可以任意小，没有下界，因此不存在最低点，故A正确. B选项，取f(x)=0,定义域为{O:取g(x)=0,定义域为{} 两函数都有最小值0，但4，={0，y)川y≥0}，A={L,y)川y≥0，交集为空，空集没有最低 点，故B错 C选项，取f)=-1x>0)(无最小值)，g()=0≥0)（有最小值0 则4=x川x>0,y2-是，A.=川x20,y20,交集4n4=c川x>0,y≥0， 存在最低点但f(x)无最小值，故C错误. D选项，设AUA的最低点为(x,),则(x,y)∈A或(xo,o)∈A, 若(x,%)∈A,则f(x)=且对任意x∈D,有f(x)≥%，即f(x)有最小值， 同理若(xo,%)∈A,则g(x)有最小值，故f(x)或g(x)有最小值，故D正确. 13.【详解】因为AB<BC<AC, 根据对称性可知：点A,B,C其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上 顶点 图1 图2 ①当点A,B,C中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 √2+C2=3 Vb2+c2=3 a=3 则a2+b=V4或{Va+=5,解得{b=5或无解： a+c=5 a+c=14 1c=2 ②当点A,B,C中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， a=3 a=V14 则Na+b=5或√层+b=5,方程组均无解： a-c=14 a-c=3 综上所述：a=3,b=5,c=2,所以离心率e=S=召 a 3 14.【详解】AB=AD+DB=AD+ED=AD+EA+AD=2AD-AE AC=AD+DC=AD+2DE=AD+2(DA+AE)=-AD+24E B.AC=(24D-AE)(-AD+24E)=-2ADP+54D.AE-24EP D=1,D与E所成的夹角为贺 六MC=-2+-2Gr 当-时，BAC的最大值为 39 39 故答案为： 32 四、解答题 15.(I)证明：由A+B+C=元，则cos(A+C)=-cosB=-3 又cos2(A+C)+sin AsinC=l,得， 6+sin AsinC=1,sin AsinC= 9 16 16 由两角和的余弦公式，cos(A+O=cosAcosC--sin Asin C=-3 4 7 5 结合sin AsinC=16可知cos4cosC=- 16 <0, 则cosA,cosC异号，必然一个为负，一个为正， 又A,Ce(0,),即A,C中必有一个是钝角： (2)cos2(4+C)+sin/sinC=1,cos2 B+sin AsinC=1, sin Asin C=1-cos2 B=sin2 B, 由正弦定理可得，ac=b2, 由三角形面积公式，S三)acsin B=acx2Y 44 得到ac=2,则b=V2,由余弦定理b2=d2+c2-2 accos B,即a+c2_3 ac=2, 2 又c如B=9e=,则c=2.得f+e5 4 所以(a+c)2=a2+2ac+c2=9,解得a+c=3, 故aABC周长为(a+c)+b=3+√2. 16.(1)由题意知，整数N≥2，某同学进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅当投中1次 时或N次均未投中时，停止练习， .X的可能取值为1,2,3,4. 当X=1时，表示第一次就投进球，P(X=)=写 当X=2时，表示第2次投进球，第1次没有投进， x=2-（-}g号 当X=3时，表示第3次投适球前两改没有提递，心=)-个-写)*写身 当X=4时，此事件等价于前3次投篮均未投中，P(X=4)=>列---号 作出X的分布列，如下图所示： 2 4 2 4 8 3 9 27 27 (2)(1)由题意及(1)得，整数N≥2，某同学进行投篮练习，至多投篮N次， 当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习， 当k≤N-1时，X>k表示前k次均未投中， ·P(x>k)=(I-P) (iⅱ)由题意及(2)(i)证明如下： P(x-k+mkx>k)-P(X-ktmox>k)_P(x-k+m)_(1-p)p P(X>k) P(X>k) (1-p) =(1-p)p=P(X=m) P(X=k+mX>k)=P(X=m). 17.(1)根据己知四棱锥的性质，结合己知条件，以A为坐标原点，建立下图所示空间直角 坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),H(0,1,0),C(2,5,0),设点P(0l,) 则CH=(-2,-4,0),PB=(2,-1,-1), ∴.C7.PB=-2×2-4×(-)+0×(-）=-4+4+0=0, .HC⊥PB. 2)四楼准体积P-sm-写Sx2小水Pm-105,解等Pm=5。 P(0,l5),则CP=(-24,5),CB=(0,-5,0,m=(0,05),Hi=(2-1,0), HP.m=5z=0 设平面HPB的法向量为m=(x,y,z),则 HB.m=2x-y=0 令x=1,则m=(1,2,0), 设平面CPB的法向量为i=(,,), @i=-2-4y+5a=0,令5=5，则i=(5.0,2列 则 CB.ni=-5y=0 所以leos(m.同同5x53 1 故平面CPB与平面P8所成夹角的余弦值为 18,()由题意得：焦距2c=2W2得c=2,离心率e=S-2得a=2, a 2 所以=-c2=2-(2=2得6=反，六椭圆方程为：子+号=1： 42 (2)(i)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=x(k>0), [y=k, 2 由x2,y2,得x= =1 42 V1+2k2 +2则P,),Q(-4-),Eu,0), 2 记4= 于是直线0G的斜率为今，方程为y=(x-). (y=(x-u). 由 得(2+k2）x2-2k2x+k2u2-8=0.① 42 设G(o6.则w和无%是方程0的解，放=tM+2,由此得% 2+2+M= uk 2+k2 2+k2 uk3 2+K2-冰 1 从而直线PG的斜率为 “3k2+2=- k,k0ke=-1 2+k2 -1/ ∴.PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形. (i)由(i)得1Pg=2i+ke,PG-2Ee 2+k2 8k+k2） △noG的面积5-P0G-0+2+1w2内] 设1=+则5=白>0，得12，当且仪当长=1时取等号。 S=8-162 (+22 0,5，在+树)上单调递被， 当1-2，即=1时，S取得最大值，最大值为 因此△POG面积的最大值为 16 19.(1)f(x)=e不具有性质P, 理：取，名=之，-（e+)0,所以=心不只行佳质户 e'+e2 g(x)=x3具有性质P, 理由：对任意x,x2∈R,x+2≠0， 当+x2>0时，x>-x2,因为g(x)为R上的增函数， 所以>(5》=G,即+>0，所以8)+8.+三>0， x+x2 x+x 当x+x2<0时，x<-x,所以x<(-x)'=-,即x+x<0, 所以8()+8.+>0， x1+x2 +x2 综上，对任意，5eR,+5+0,有8)+g西)_+三>0， 为+3 所以g(x)=x具有性质P. (2)因为y=f(x)是奇函数，所以f(2a+1)+f(a)>0可化为f(2a+1)>f(-a), 因为y=/()具有性质P,所以对任意，5∈R,名-5+0，都有)+/儿0， 因为y=f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x), 所以)>0，即y=(冈是R上的增函数， 一大2 故2a+1>口，解得a>了所以不等式的解集为 (3)由y=f(x)具有性质P知：当x>0时f(x)+f(0)>0,当x<0时f(x)+f(O)<0, 因为函数y=f(x)的图象是一条连续曲线，所以f(0)+f(O)=0,即f(0)=0. 下面用反证法证明y=∫(x)是奇函数， 假设存在x使得f(x)+f(-)≠0，不妨设x>0,则由y=f(x)在R上是严格增函数有 f(x)>f(0)>f(-x), 若)+()>0，则构造函数F()=f)-)fx, F0=f0-）,f).o,fo+)<0. 2 F)=f6)f)f.)+0, 2 由零点存在定理知，存在1e(0,）,使得F0)=0,即f0=},f+): 因为y=∫(x)在R上是严格增函数，所以 )-1fs+,0 f0-f. 1-Xo 1-o 2 I-xo 从t0国.o,so 1+(-xo) 1-X0 2 与y=f(x)具有性质P矛盾. 若f()+(-)<0,构造函数G()=)-】/）,同理也可推出与y=)具 2 有性质P矛盾， 综合上述，存在x使得f(x)+f(-x)≠0的假设不能成立，即对任意x∈R都有 f(x)+f(-x)=0,故y=f(x)是奇函数.