湖南长沙市珺琟高级中学2027届高三上学期周考数学试卷（一）

**基本信息** 2027届高三数学周考试卷，通过单选、多选、填空及综合性解答题（如数列与集合子集结合、立体几何线面角），覆盖函数、不等式、数列等核心知识，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|命题否定、集合运算、函数单调性|基础巩固，梯度合理| |多选题|3题|圆的性质、不等式应用、等比数列|能力区分，选项设计严谨| |填空题|3题|不等式解集、函数零点、购物策略|实际应用，抽象建模| |解答题|5题/77分|二次函数、三角形证明、立体几何、数列子集|综合创新，考查推理与空间观念|

2027届周考高三数学试卷（一） 班级 姓名 得分 一、单选题 1．命题“，”的否定为（    ） A．， B． C．， D．， 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在区间上单调递减的是（  ） A．B． C． D． 4．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 7．已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 8．已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则 A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 10．已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为1 11．设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题 12．关于的不等式的解集为____________. 13．若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 14．两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．购物方式比较经济的是第_________种，针对上述现象，对于任意两个正实数，，可得到不等关系是_________． 四、解答题 15．（本题13分）已知二次函数． (1)若的解集为，分别求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 16．（本题15分）已知，且 (1)求最大值 (2)求最小值 (3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 17．（本题15分）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 18．（本题17分）如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 19. （本题17分）在数列中，. （1）求的通项公式. （2）已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前100项和； （ii）记中最小的元素为，求. 2027届周考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B A C B C D BC ACD ABD 7．【详解】由，得： 因为是第二象限角，所以，，化简得：，即 由于，解得：，因为，所以， 所以 8．，则，，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得，又根据知，而， 则，于是，即，解得 10.对于A，由正数满足，可得，解得， 则，当且仅当，即时等号成立，即的最大值为1，故A正确； 对于B，由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B错误； 对于C，因，则， 当且仅当时等号成立，即的最大值为，故C正确； 对于D，由可得，则， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 11．由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，；当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 13．令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么，所以，的取值范围是. 14. （1）二 （2） 15.（1）由的解集为，则1，b是方程的根，且， 由，解得；由，解得，所以. （2）由二次函数，知， 不等式整理得，即， 当时，不等式等价于， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 当，即时，解集为或； 16.（1）已知，且，，， 当且仅当即，，取“=”. 所以最大值为. （2） ， 当且仅当，即，时取“=”， 所以最小值为. （3）， 当且仅当，即，时取“=”， ，解得， 所以实数m的取值范围为. 17．(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知，则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2)方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ，（是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则，由余弦定理，即， 又，则，于是，即， ，解得，故周长为. 方法二：由，则， 即，由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，，得到，则，其余同上. 18．(1)证明：因为且，，且， 所以平面.因为平面，所以. 又，，平面，平面，平面， 所以平面，故. (2)如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，.， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为，由得： ，即，解得：.所以. 19（1）在数列中，由，得， 因此数列是常数列，则，， 所以的通项公式为. （2）（i）集合的每个元素在非空子集中出现的次数均为， 因此， ， 所以 . （ii）依题意，的非空子集有个， 其中最小元素为1的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有个， 含3个元素的子集有个，，含个元素的子集有个， 因此最小元素为1的子集有个. 同理得最小元素为3的子集有个， 最小元素为的子集有个， 则， 1 学科网（北京）股份有限公司 $