精品解析：上海市七宝中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

2026学年（2026.10）七宝中学高三数学月考试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．考生应在答题纸相应位置直接填写结果） 1. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用余弦的二倍角公式计算即可. 【详解】由，则. 故答案为：. 2. 已知等差数列的前项和为，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式及等差中项公式计算可得. 【详解】由等差数列前项和，得， 又由等差中项可得，所以，解得. 因此 3. 已知向量，满足，，，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算法则以及可得. 【详解】由题意可得，， 得. 故答案为： 4. 已知，不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据零点分段法解绝对值不等式可得. 【详解】不等式等价于下列不等式组的并集： 或或， 解不等式组，得，不等式组无解； 解不等式组，得，解得； 解不等式组，得，不等式组无解. 综上，不等式的解集为. 5. △的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用余弦定理进行角化边得，整理化简结合余弦定理求解. 【详解】∵， 则，化简得， ∴， ，则． 故答案为：． 6. 的展开式中的系数为______．（结果用数值表示） 【答案】8 【解析】 【分析】求出展开式中含和项，利用多项式乘多项式得答案． 【详解】二项式的通项公式：其中， 当时，与中的相乘得到， 当时，与中的常数项相乘得到， 所以的展开式中的系数为. 7. 若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据模长，设出，利用模长公式及三角恒等变换得到，由求出的取值范围. 【详解】因为，所以设， 故 ，其中， 因为，所以. 故答案为：. 8. 已知，且，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由可知， 且：，因为对于任意，恒成立， 结合均值不等式的结论可得：. 当且仅当，即时等号成立. 综上可得的最小值为. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 9. 已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意分析可知：O为的中点，，，建系，根据向量的坐标运算可得，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，可知O为的中点， 又因为O为的外接圆圆心，则， 且，，则，则， 可知为等边三角形，即， 如图，建立平面直角坐标系， 则，设， 可得， 则， 可知当时，取到最小值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据中线性质分析可知O为的中点，结合圆的性质可知，. 10. 从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算“、、、、这个数中任取个不同的数”的取法，排除其中不符合题意的取法，再结合古典概型概率计算公式即可求解． 【详解】根据题意，从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，有种取法， 假设， 若不存在且、，使得， 则有， 在、、、、中任取个不同的数，依次表示、、、， 此时有种不符合题意的取法， 则有种符合题意的取法． 所以事件“存在，，使得”的概率为 故答案为： 11. 已知函数，，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先画出函数的图像，将问题转化为与图像在四个象限均有交点，分别求出临界斜率，结合图像分析，即可得到结果. 【详解】 分段函数：当时，，图像为顶点在， 开口向上的型折线，过点； 当时，，为单调递减函数，过点，时，， 时，， 一次函数为过定点的直线，斜率为， 函数的图象经过四个象限，等价于与图像在四个象限均有交点， 当直线与在的图像相切时， 设切点，，故斜率， 则切线方程为，将代入可得，即， 此时； 当过点时，代入可得，解得； 结合图像分析： 当时，直线与在段无交点，不满足要求； 当时，直线与在第二象限无交点，不满足要求， 故的取值范围是. 12. 清凉夏日，上海玛雅海滩水公园是很多小朋友的避暑天堂．水公园的圆锥形翻水桶（如下图），母线长为，开口直径为．水桶转动过程中，当水面与水桶内壁所形成的椭圆经过母线中点时（如下图），椭圆的离心率等于______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得. 【详解】母线长为，即，开口直径为，即， 如图，设是母线的中点，是中线，又也是中线，    设，则是重心，设的中点为，即椭圆的中心， 设，，，作平面平面，，，． 对椭圆如图建系，，故，， 根据平行四边形的性质，知，， 于是，，． 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质化简，即可根据集合间的关系判断. 【详解】由可得，由可得， 由于， 因此“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 14. 已知直线经过点，则原点到点的距离可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，点在圆上，利用圆的几何性质可求得的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】由题意可得，即，即点在圆上， ，所以，原点在圆内，如下图所示： 圆的圆心为，半径为， 由三角不等式可得，即， 所以，B选项合乎要求. 故选：B. 【点睛】结论点睛：若点在圆内，为圆上一点，则. 15. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（ ） A. 第一次朝上的数字是偶数 B. 第一次朝上的数字是1 C. 两次朝上的数字之和是8 D. 两次朝上的数字之和是7 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件的定义逐一判断即可. 【详解】解：抛掷骰子两次，共有个基本事件数, 则, 共18个基本事件，则, 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则, 且，则, ，所以C错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是7，则, 则,且，则 因为，所以事件与事件相互独立. 故选：D. 16. 数列中，，，记，，给出以下命题：命题；命题．下列选项中正确的是（ ） A. 真真 B. 真假 C. 假真 D. 假假 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到，利用裂项相消法得到，化简得到，利用累乘法得到,则，故为假命题；，由于数列为递增数列，利用放缩法即可证明，故为真命题. 【详解】由，可得， 两边取倒数得到， 整理得到， 则 ， 因为，所以， 由，可得， 则， 因为，所以, 则， 所以，故为假命题； ， 因为， 当时，，成立； 假设时，， 则， 由数学归纳法得到， 所以，所以数列为递增数列， 由递推关系得到，则， 当时，， 因为，所以， 所以，即，故为真命题. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17. 将边长为1的正方形绕边所在直线旋转，得到如图所示的几何体，它是圆柱的一部分． （1）求该几何体的表面积； （2）求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据几何体的表面积求法求解； (2)利用异面直线所成角和余弦定理求解. 【小问1详解】 几何体的表面积为; 【小问2详解】 因为，所以异面直线与所成的角即或其补角， 连接, ， 所以，又， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为. 18. “金秋时节蟹正肥，膏黄满溢惹人垂”，月又到吃螃蟹的季节，某蟹塘随机捞出只大闸蟹，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示．以各组数据的中间数代表这组数据的平均值． （1）求抽取的只蟹质量的平均数和中位数；（若有小数，保留一位） （2）若按分层随机抽样从质量为，的蟹中随机抽取只，再从这只中随机抽取只，求这只蟹都来自同一个质量区间的概率； （3）某经销商来收购大闸蟹，该蟹塘中大约还有只蟹待捕捞，用样本估计总体．经销商对未捕捞的蟹提出以下两种收购方案： 方案①：所有蟹以元/千克收购； 方案②：对质量低于克的蟹以元/只收购，对质量高于或等于克的蟹以元/只收购． 如果你是蟹塘老板，你会选择哪种方案，说明理由． 【答案】（1）平均数为，中位数为； （2） （3） 选择方案②获利更多． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图可求得抽取的只蟹质量的平均数和中位数； （2）利用分层抽样求得每组所抽取的个数，进而利用古典概型概率公式求解即可； （3）分别求得两种方案的获利情况可得结论. 【详解】（1）抽取的只蟹质量的平均数为 ； 因为质量小于的频率为， 所以中位数位于，设中位数为，则，中位数 （2）因为的频率为，的频率为，所以分层抽样比例为， 记“这两只蟹取自同一组”， 则这只蟹都来自同一个质量区间的概率为； （3）选择方案②，理由如下： 因为蟹质量的平均数为克， 所以按方案①获利为元； 按方案②：质量低于克的频率为， 质量大于等于克的频率为， 所以按方案②获利为元， 又因为，所以选择方案②获利更多. 19. 已知， （1）若，，求函数在上的值域； （2）若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将，代入，利用正弦函数的性质求解即可； （2）由最小正周期为，可得，求出的解，结合题意可得函数在内恰好有一个解，分、、及分别求解即可. 【小问1详解】 当，时， ，， 则， 由正弦函数单调性，，， 故． 所以函数的值域为； 【小问2详解】 由周期，得， 则， 方程的解为或，， 解得或，， 当时，， 区间长度含675个周期（），贡献1350个解， 要求在区间内恰好有一个解， 结合分析，在内的解为，． 若：仅落在区间，恰好1个解，符合； 若：，都落在区间，共2个解，不符合； 若：仅落在区间，恰好1个解，符合； 若：区间内无解，不符合． 综上所述，的取值范围为． 20. 已知双曲线，过点的直线l与交于不同两点A、B. （1）求双曲线的焦距和离心率； （2）若点A坐标为，点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线l的斜率； （3）若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得，求m的取值范围. 【答案】（1）焦距为4，离心率 （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可求得焦距和离心率； （2）根据中点公式用表示出点的坐标，根据点在双曲线右支上，列方程求出，再由斜率公式即可解出； （3）设，，联立直线和双曲线方程可得，再根据，代入并化简，可得到的关系，然后由，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由题可知，，，所以焦距. 离心率. 【小问2详解】 因为B是线段AM的中点，所以， 同时B又在双曲线右支上，所以有，且， 解得， 所以l斜率. 【小问3详解】 ，设，， 则， 双曲线和直线l联立得， 化简得到， 因此有， . 由得， 代入并化简得， 再代入并化简得， 方程有解，代入t的范围，得到且. 由于，所以的取值范围为且. 21. 对于定义域为的函数，若存在实数，使，其中为非零常数，则称为“的定积点”．已知，． （1）若任意实数均为“的2定积点”．求证：为周期函数； （2）若为“的定积点”，且只有两个不同的解，求实数的值； （3）设，若“的1定积点”恰有3个，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：对成立， 所以， 所以， 所以为函数的周期； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，从而可得，从而可得，即可得证； （2）由定义求得，设，将问题转化为与有两个交点，利用导数确定的单调区间及最值，并作出图象，结合图象求解即可； （3）由题意可得方程恰有3个不等实数根，分、和，结合指数函数性质、导数及二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由为“的定积点”， 得， 即， 整理得， 即，得， 设的定义域为， 求导得， 当时，，严格递增； 时，，严格递减； 时，，严格递增， 所以的单调递增区间为，，递减区间为， 所以的极大值为，极小值为， 当时，，当时，， 作出函数的大致图象如下， 只有两个不同的解转化为与有两个交点， 所以． 【小问3详解】 依题意， 由的1定积点恰有3个， 得方程恰有3个不等实数根， ①当时，，方程可化为，解得， 这与不符， 因此在内没有实数根； ②当时，， 方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，， 所以在内严格递增，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程在内没有实数根． ③当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年（2026.10）七宝中学高三数学月考试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．考生应在答题纸相应位置直接填写结果） 1. 已知，则__________. 2. 已知等差数列的前项和为，且，则______． 3. 已知向量，满足，，，则_____ 4. 已知，不等式的解集为______． 5. △的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_________． 6. 的展开式中的系数为______．（结果用数值表示） 7. 若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____． 8. 已知，且，则的最小值为_____________. 9. 已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是__________. 10. 从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为______． 11. 已知函数，，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是______． 12. 清凉夏日，上海玛雅海滩水公园是很多小朋友的避暑天堂．水公园的圆锥形翻水桶（如下图），母线长为，开口直径为．水桶转动过程中，当水面与水桶内壁所形成的椭圆经过母线中点时（如下图），椭圆的离心率等于______． 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知直线经过点，则原点到点的距离可以是（ ） A. B. C. D. 15. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（ ） A. 第一次朝上的数字是偶数 B. 第一次朝上的数字是1 C. 两次朝上的数字之和是8 D. 两次朝上的数字之和是7 16. 数列中，，，记，，给出以下命题：命题；命题．下列选项中正确的是（ ） A. 真真 B. 真假 C. 假真 D. 假假 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17. 将边长为1的正方形绕边所在直线旋转，得到如图所示的几何体，它是圆柱的一部分． （1）求该几何体的表面积； （2）求异面直线与所成角的大小． 18. “金秋时节蟹正肥，膏黄满溢惹人垂”，月又到吃螃蟹的季节，某蟹塘随机捞出只大闸蟹，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示．以各组数据的中间数代表这组数据的平均值． （1）求抽取的只蟹质量的平均数和中位数；（若有小数，保留一位） （2）若按分层随机抽样从质量为，的蟹中随机抽取只，再从这只中随机抽取只，求这只蟹都来自同一个质量区间的概率； （3）某经销商来收购大闸蟹，该蟹塘中大约还有只蟹待捕捞，用样本估计总体．经销商对未捕捞的蟹提出以下两种收购方案： 方案①：所有蟹以元/千克收购； 方案②：对质量低于克的蟹以元/只收购，对质量高于或等于克的蟹以元/只收购． 如果你是蟹塘老板，你会选择哪种方案，说明理由． 19. 已知， （1）若，，求函数在上的值域； （2）若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围． 20. 已知双曲线，过点的直线l与交于不同两点A、B. （1）求双曲线的焦距和离心率； （2）若点A坐标为，点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线l的斜率； （3）若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得，求m的取值范围. 21. 对于定义域为的函数，若存在实数，使，其中为非零常数，则称为“的定积点”．已知，． （1）若任意实数均为“的2定积点”．求证：为周期函数； （2）若为“的定积点”，且只有两个不同的解，求实数的值； （3）设，若“的1定积点”恰有3个，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $