学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（深圳专用，范围：新教材北师大版九上第1～4章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若再添加1个相同的小正方体后，所得新几何体的俯视图和左视图与原几何体相同，则不同的添加方法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（本题3分）已知m方程的一个根，则代数式的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．（本题3分）如图，，与相交于点G，且，则为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，BC'交AD于点E，则线段AE的长为（　　） A． B．3 C． D． 5．（本题3分）如图所示，某同学用灯光照射一个三角尺形成中心投影，测得三角尺一边长为，其投影的对应边长为，则三角尺的面积与投影的面积比为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）在毕业季，3班同学互赠毕业礼物，每两位同学之间互赠一件礼物，据统计，全班共赠送了2070件礼物，则这个班有同学（    ） A．42位 B．43位 C．45位 D．46位 7．（本题3分）下列四组图形中，一定相似的图形是(　　) A．各有一个角是30°的两个等腰三角形 B．有两边之比都等于2∶3的两个三角形 C．各有一个角是120°的两个等腰三角形 D．各有一个角是直角的两个三角形 8．（本题3分）勾股定理在我国古代被称为“商高定理”，最早记载于《周髀算经》中，古人常通过直角三角形三边上的正方形面积关系来验证勾股定理．如图，所有四边形都是正方形，三角形为直角三角形，若正方形的面积为9．正方形的面积为25，则正方形的面积为（     ） A．4 B．8 C．16 D．34 第II卷 非选择题 二、填空题（共15分） 9．（本题3分）如图，在和中，，请添加一个条件：______，使． 10．（本题3分）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 11．（本题3分）如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为________． 12．（本题3分）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长_______________________． 13．（本题3分）从这七个数中，随机取出一个数，记为，那么使关于的函数与轴有交点，且使关于的不等式组 有且只有3个整数解的概率为___________ . 三、解答题（共61分） 14．（本题7分）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 15．（本题8分）爸爸、妈妈、小明三人玩“石头、剪刀、布”的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”． (1)小明出“剪刀”手势的概率为_____； (2)爸爸、妈妈、小明三人玩此游戏，爸爸决定出“石头”，若三人中，有且只有两人手势相同时，小明获胜，请用画树状图或列表的方法：求小明获胜的概率．（其中石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表示）． 16．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中， (1)描出下列各点：； (2)在（1）的条件下，依次连接，求这个四边形的面积． 17．（本题8分）某公园中有一块长为32米，宽为20米的矩形花坛，现在要在花坛中间修建一条如图所示的文化长廊，已知长廊的宽度均相等，且横纵相交成直角，若要使花坛的种植面积为540平方米，问长廊的宽度应为多少米？    18．（本题9分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90° （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长 19．（本题9分）某公司推出了如图1所示的护眼台灯，其侧面示意图如图2所示（台灯底座高度忽略不计），其中灯柱，灯臂，灯罩可以分别绕点旋转调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳． (1)台灯光线最佳时，的度数为________． (2)求台灯光线最佳时，点到桌面的距离．（参考数据：， 20．（本题12分）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了___________； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，，若，，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，求出线段的最大值和最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、单项选择题：本题共8小题， 每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B[C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 10. 13. 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(8分) 16.(8分) K65432 -L 6-5-4-321 01.23456x 234 5 60 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(9分) D G 19.(9分) B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(12分) A B 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若再添加1个相同的小正方体后，所得新几何体的俯视图和左视图与原几何体相同，则不同的添加方法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（本题3分）已知m方程的一个根，则代数式的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．（本题3分）如图，，与相交于点G，且，则为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，BC'交AD于点E，则线段AE的长为（　　） A． B．3 C． D． 5．（本题3分）如图所示，某同学用灯光照射一个三角尺形成中心投影，测得三角尺一边长为，其投影的对应边长为，则三角尺的面积与投影的面积比为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）在毕业季，3班同学互赠毕业礼物，每两位同学之间互赠一件礼物，据统计，全班共赠送了2070件礼物，则这个班有同学（    ） A．42位 B．43位 C．45位 D．46位 7．（本题3分）下列四组图形中，一定相似的图形是(　　) A．各有一个角是30°的两个等腰三角形 B．有两边之比都等于2∶3的两个三角形 C．各有一个角是120°的两个等腰三角形 D．各有一个角是直角的两个三角形 8．（本题3分）勾股定理在我国古代被称为“商高定理”，最早记载于《周髀算经》中，古人常通过直角三角形三边上的正方形面积关系来验证勾股定理．如图，所有四边形都是正方形，三角形为直角三角形，若正方形的面积为9．正方形的面积为25，则正方形的面积为（     ） A．4 B．8 C．16 D．34 第II卷 非选择题 二、填空题（共15分） 9．（本题3分）如图，在和中，，请添加一个条件：______，使． 10．（本题3分）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 11．（本题3分）如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为________． 12．（本题3分）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长_______________________． 13．（本题3分）从这七个数中，随机取出一个数，记为，那么使关于的函数与轴有交点，且使关于的不等式组 有且只有3个整数解的概率为___________ . 三、解答题（共61分） 14．（本题7分）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 15．（本题8分）爸爸、妈妈、小明三人玩“石头、剪刀、布”的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”． (1)小明出“剪刀”手势的概率为_____； (2)爸爸、妈妈、小明三人玩此游戏，爸爸决定出“石头”，若三人中，有且只有两人手势相同时，小明获胜，请用画树状图或列表的方法：求小明获胜的概率．（其中石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表示）． 16．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中， (1)描出下列各点：； (2)在（1）的条件下，依次连接，求这个四边形的面积． 17．（本题8分）某公园中有一块长为32米，宽为20米的矩形花坛，现在要在花坛中间修建一条如图所示的文化长廊，已知长廊的宽度均相等，且横纵相交成直角，若要使花坛的种植面积为540平方米，问长廊的宽度应为多少米？    18．（本题9分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90° （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长 19．（本题9分）某公司推出了如图1所示的护眼台灯，其侧面示意图如图2所示（台灯底座高度忽略不计），其中灯柱，灯臂，灯罩可以分别绕点旋转调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳． (1)台灯光线最佳时，的度数为________． (2)求台灯光线最佳时，点到桌面的距离．（参考数据：， 20．（本题12分）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了___________； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，，若，，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，求出线段的最大值和最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9._______________ 13. ________________ 10. ___________ 11. _________________ 12. __________________ 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14.（7分） . 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（8分） 16．（8分） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（9分） 19．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若再添加1个相同的小正方体后，所得新几何体的俯视图和左视图与原几何体相同，则不同的添加方法共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】本题考查简单组合体的三视图．根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形，在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可． 【详解】解：如图所示：    要新几何体的俯视图和左视图与原几何体相同，则不同的添加方法共有2种方法， 故选：B． 2．（本题3分）已知m方程的一个根，则代数式的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】将m代入方程，再移项可解． 【详解】解：∵m方程的一个根， ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程的根，将m代入方程是解题的关键． 3．（本题3分）如图，，与相交于点G，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键； 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】， ， ， ， 故选：A． 4．（本题3分）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，BC'交AD于点E，则线段AE的长为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程求出ED，即可得出AE的长． 【详解】设ED=x，则AE=6-x， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AD=BC=6，AB=CD=3， ∴∠EDB=∠DBC； 由题意得：∠EBD=∠DBC， ∴∠EDB=∠EBD， ∴EB=ED=x； 由勾股定理得： BE2=AB2+AE2， 即x2=9+（6-x）2， 解得：x=， ∴ED=． ∴AE=AD-ED=6-= 故选A． 【点睛】此题考查几何变换中的翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题关键． 5．（本题3分）如图所示，某同学用灯光照射一个三角尺形成中心投影，测得三角尺一边长为，其投影的对应边长为，则三角尺的面积与投影的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：三角尺与其投影相似，且相似比为：， 三角尺的面积与投影的面积比为：， 故选B． 6．（本题3分）在毕业季，3班同学互赠毕业礼物，每两位同学之间互赠一件礼物，据统计，全班共赠送了2070件礼物，则这个班有同学（    ） A．42位 B．43位 C．45位 D．46位 【答案】D 【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：人参加聚会，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了件礼物解决问题即可． 【详解】解：设这个班有同学位，每两人都互赠了一件礼物，则每人有件礼物， 依题意，得； 解得：（不符合题意，舍去）； 答：这个班有同学46位． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都互赠了一件礼物”的条件，类似于球类比赛的双循环赛制． 7．（本题3分）下列四组图形中，一定相似的图形是(　　) A．各有一个角是30°的两个等腰三角形 B．有两边之比都等于2∶3的两个三角形 C．各有一个角是120°的两个等腰三角形 D．各有一个角是直角的两个三角形 【答案】C 【详解】根据相似图形概念进行判定,因为有一个角是30°的等腰三角形可能是钝角等腰三角形也可能是锐角等腰三角形,因此A选项不一定是相似图形; 根据三角的判定条件可知,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,因此B选项不一定是相似图形; 一个角是120°的等腰三角形只能是钝角等腰,因此C选项各有一个角是120°的两个等腰三角形一定是相似图形; 因为有一个角是直角的三角形形状可能有很多种,因此D选项不一定是相似图形, 故选C. 8．（本题3分）勾股定理在我国古代被称为“商高定理”，最早记载于《周髀算经》中，古人常通过直角三角形三边上的正方形面积关系来验证勾股定理．如图，所有四边形都是正方形，三角形为直角三角形，若正方形的面积为9．正方形的面积为25，则正方形的面积为（     ） A．4 B．8 C．16 D．34 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得正方形的面积加正方形的面积等于正方形的面积，即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为b，正方形的边长为c，正方形的边长为a， 三角形为直角三角形， ，即， ，即正方形的面积为16． 第II卷 非选择题 二、填空题（共15分） 9．（本题3分）如图，在和中，，请添加一个条件：______，使． 【答案】（或或） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据已知可得，根据相似三角形的判定定理，添加条件，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加条件，则； 添加条件，则； 添加条件，则； 故答案为：（或或）． 10．（本题3分）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系可得，，求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， 则，解得， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系． 11．（本题3分）如果一个矩形的宽与长之比等于黄金数，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，矩形的周长为，则矩形的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了黄金数，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．设矩形长为x，根据黄金矩形定义得到宽为，再根据矩形的周长为，得到方程，即可求解． 【详解】解：由题意，设矩形长为x，则宽为， ∵矩形的周长为 ∴， 解得：， 故答案为：8． 12．（本题3分）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长_______________________． 【答案】/ 【分析】先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ，解得， 在中，，即， 解得或（不符题意，舍去）， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键． 13．（本题3分）从这七个数中，随机取出一个数，记为，那么使关于的函数与轴有交点，且使关于的不等式组 有且只有3个整数解的概率为___________ . 【答案】 【详解】已知关于x的函数y=kx2-6x+3与x轴有交点，可得△=62-4×k×3=36-12k≥0，解得k≤3，关于x的不等式组有整数解，即可得2＜x＜ k+6，因其有且只有3个整数解，则必为3、4、5，即5＜ k+6≤6，解得-2＜k≤0，在这七个数中，满足-2＜k≤0，的有，0四个数，所以取出满足题中条件数的概率P= ． 点睛：本题考查了解一元一次不等式组的整数解、根的判别式以及概率公式，解题的关键是根据题意求得k的取值范围. 三、解答题（共61分） 14．（本题7分）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴，，，， 则， 所以，，． （2）解： 方程右边分解因式，得． 移项，得． 方程左边分解因式，得． 所以，得或． 所以，，． 15．（本题8分）爸爸、妈妈、小明三人玩“石头、剪刀、布”的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”． (1)小明出“剪刀”手势的概率为_____； (2)爸爸、妈妈、小明三人玩此游戏，爸爸决定出“石头”，若三人中，有且只有两人手势相同时，小明获胜，请用画树状图或列表的方法：求小明获胜的概率．（其中石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）一共有“石头”、“剪刀”、“布”三种手势，根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵小明每次做手势有“石头”、“剪刀”、“布”三种结果， ∴小明出“剪刀”手势的概率为， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有9种可能出现的结果，其中小明胜出的有2种结果和 ， ∴小明获胜的概率为． 16．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中， (1)描出下列各点：； (2)在（1）的条件下，依次连接，求这个四边形的面积． 【答案】(1) 解：如图，描点如下： (2)13 【分析】本题考查坐标系描点和坐标系中图形的面积，掌握坐标系中点的坐标的含义和求面积的方法是解题关键． （1）根据坐标描点即可； （2）将四边形放在大四边形中，用大四边形的面积减去周边的规则图形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，四边形的面积为． 17．（本题8分）某公园中有一块长为32米，宽为20米的矩形花坛，现在要在花坛中间修建一条如图所示的文化长廊，已知长廊的宽度均相等，且横纵相交成直角，若要使花坛的种植面积为540平方米，问长廊的宽度应为多少米？    【答案】2米 【分析】设长廊的宽度应为x米．根据花坛的种植面积为540平方米，列出方程，解之即可． 【详解】解：设长廊的宽度应为x米． 解得，（舍去） 答：长廊的宽应为2米． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．（本题9分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90° （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC， ∵∠BEF＝90°， ∵∠AEB+∠EBA＝∠DEF+∠EBA＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∴△ABE∽△DEF； （2）10 【分析】（1）由正方形的性质得出∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，证出∠ABE＝∠DEF，即可得出△ABE∽△DEF； （2）求出DF＝1，CF＝3，由相似三角形的性质得出，解得DE＝2，证明△EDF∽△GCF，得出 ，求出CG＝6，即可得出答案． 【详解】（1）略． （2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD， ∴DF＝1，CF＝3， ∵△ABE∽△DEF， ∴，即 ， 解得：DE＝2， ∵AD∥BC， ∴△EDF∽△GCF， ∴，即， ∴CG＝6， ∴BG＝BC+CG＝4+6＝10． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 19．（本题9分）某公司推出了如图1所示的护眼台灯，其侧面示意图如图2所示（台灯底座高度忽略不计），其中灯柱，灯臂，灯罩可以分别绕点旋转调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳． (1)台灯光线最佳时，的度数为________． (2)求台灯光线最佳时，点到桌面的距离．（参考数据：， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数学知识解决实际问题，涉及平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识．读懂题意，准确作出辅助线，数形结合是解决问题的关键． （1）过点作，如图所示，由平行线的判定得到，再由，进而由平行线的性质即可得到答案； （2）过点作，过点作于点，交于点，如图所示，由矩形的判定得到四边形为矩形，结合矩形性质，在中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作于点，交于点，如图所示： ， ， 则， ， ， 四边形为矩形． ． 在中，， 则． ． 答：台灯光线最佳时，点到桌面的距离约为． 20．（本题12分）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了___________； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，，若，，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，求出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2) (3)的最大值为，的最小值为 【分析】（1）根据，进行计算即可； （2）根据旋转的性质和平行线的性质，得出，再根据平角的定义，得出，即，进行解答即可； （3）根据旋转的性质和勾股定理，得出，进一步得出，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，进行解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，绕点顺时针旋转了． （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ，即， 解得， ∴． （3）解：由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，． ∵， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A A B D C C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．（或或） 10． 11．8 12．/ 13． 三、解答题：本题共7小题，共61分。其中：14题7分，15-17题每题8分，18-19题每题9分，20题12分。 14．【解析】（1）解： ∴，，，， 则， 所以，，．（............3分） （2）解： 方程右边分解因式，得． 移项，得． 方程左边分解因式，得． 所以，得或． 所以，，．（............7分） 15．【解析】（1）解：∵小明每次做手势有“石头”、“剪刀”、“布”三种结果， ∴小明出“剪刀”手势的概率为， 故答案为：．（............3分） （2）解：画树状图如下： 共有9种可能出现的结果，其中小明胜出的有2种结果和 ， ∴小明获胜的概率为．（............5分） 16.【解析】（1） 解：如图，描点如下： （............4分） （2）解：如图，四边形的面积为．（............8分） 17.【解析】解：设长廊的宽度应为x米． （............4分） 解得，（舍去） 答：长廊的宽应为2米．（............8分） 18.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC， ∵∠BEF＝90°， ∵∠AEB+∠EBA＝∠DEF+∠EBA＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∴△ABE∽△DEF；（............4分） （2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD， ∴DF＝1，CF＝3， ∵△ABE∽△DEF， ∴，即 ， 解得：DE＝2， ∵AD∥BC， ∴△EDF∽△GCF， ∴，即， ∴CG＝6， ∴BG＝BC+CG＝4+6＝10．（............9分） 19.【解析】（1）解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；（............4分） （2）解：过点作，过点作于点，交于点，如图所示： ， ， 则， ， ， 四边形为矩形． ． 在中，， 则． ． 答：台灯光线最佳时，点到桌面的距离约为．（............9分） 20.【解析】（1）．（............1分） （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ，即， 解得， ∴．（............6分） （3）解：由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，． ∵， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为．（............12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $