【金考密卷】2026-2027学年北师大版九年级数学上册 期中模拟卷 （广东深圳专用）

【金考密卷】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 （广东深圳专用）2027中考新题型结构 （时间：90分钟 满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级第1章~第3章 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列结论错误的是（     ） A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 2．用配方法解方程，配方后所得的方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．方程的根的情况是（     ） A． B． C．， D．无实数根 4．如图，在中，点，分别是，上的点，且，若，，，则的值是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 5．如图，已知，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．1 7．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是（     ） A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 8．如图，在矩形中，E，F分别是上的点，且，若，则四边形的周长为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，则的长为___________． 10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为___． 11．新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么的长度为______． 12．已知关于x的一元二次方程，如果方程的两个实数根与满足，则m的值是______． 13．如图，矩形中，，，M、N分别是、边上的点，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A的对应点为，且，则的长为_______． 三、解答题：本题共7小题，共61分。 14．解下列方程： (1)； (2)． 15．如图，，求证：． 16．如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 17．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无实数根，舍去；当时，，解得；原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)用换元法解方程时，新字母设为，则________，原方程化为________，解得________． (2)求方程的解． (3)若三边是，，．若两直角边，满足，斜边，求的周长． 18．如图，在中，，是边上一点，连接，，分别为，的中点，连接，，．已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 19．某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． (1)据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件． 若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 20．如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． (1)如图②，当直线经过点时，若，求证：是等边三角形． (2)如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【金考密卷】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 （广东深圳专用）2027中考新题型结构 （时间：90分钟 满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级第1章~第3章 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列结论错误的是（     ） A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】C 【分析】正方形需同时满足矩形与菱形的特征，以此为依据判断各选项． 【详解】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是正方形，判断错误，符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不符合题意． 2．用配方法解方程，配方后所得的方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：移项得，两边加4得． 3．方程的根的情况是（     ） A． B． C．， D．无实数根 【答案】C 【分析】先移项，把常数项移到右边，再直接开平方，求出两个根． 【详解】解：移项得， 开平方得， 即，． 4．如图，在中，点，分别是，上的点，且，若，，，则的值是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】由可得，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ． ∵， ，， ， ． ， ， ． 5．如图，已知，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件得出对应边成比例，结合公共角证明三角形相似，利用相似三角形的性质逐一判断选项． 【详解】解：，， ， ， ， ，故A正确； ，故B正确； ， ，故D正确； 由可知，仅当时，，题目未给出与的数量关系，故C错误． 6．如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．1 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 7．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是（     ） A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 【答案】C 【分析】通过逐步验证配方法解方程的每一步变形，确定出错环节． 【详解】小明：方程两边同时除以2， 得，正确； 小丽：移项变形得，正确； 小红：左边配方应为，小红写为，错误． 8．如图，在矩形中，E，F分别是上的点，且，若，则四边形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得到，由四边形是矩形得到，求出，证明，得到，，，勾股定理得到 ，利用周长的定义即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 即四边形的周长为． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，则的长为___________． 【答案】4 【分析】利用菱形的性质及中位线定理即可求解． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 又点为的中点，即， 为的中位线， ． 10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为___． 【答案】 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，据此列方程求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得. 11．新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么的长度为______． 【答案】 【分析】作的中线，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到可求解． 【详解】解：如图，作的中线， ∵是“精准三角形”， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， 令，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．已知关于x的一元二次方程，如果方程的两个实数根与满足，则m的值是______． 【答案】 【分析】先利用根与系数的关系得到两根和与两根积的表达式，再将已知等式变形，得到关于的方程，求解后验证即可得到的值． 【详解】解： ∵原方程为关于的一元二次方程，且有两个实数根， ∴计算判别式得 ， ， ∴对任意实数，方程都有两个实数根， ∵，是原方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵， ∴通分变形得， 代入和的表达式得， 两边同乘，且， 得， 整理得， 解得， 经检验，得，符合条件． 13．如图，矩形中，，，M、N分别是、边上的点，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A的对应点为，且，则的长为_______． 【答案】 【分析】设，则，进而得出，根据题意和勾股定理得出方程即可得解． 【详解】解：设，则， 四边形为长方形， 由折叠性质可得， ， ， ， ， 在中， ， 又在中， ， ， 即， 解得，， 即． 三、解答题：本题共7小题，共61分。 14．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：移项，得， 两边同时开方，得， ∴，； （2）解：移项，得， ∴， ∴， ∴，． 15．如图，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即 ∵ ∴ ∴． 【分析】根据两角对应相等证明即可． 【详解】略 16．如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 17．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无实数根，舍去；当时，，解得；原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)用换元法解方程时，新字母设为，则________，原方程化为________，解得________． (2)求方程的解． (3)若三边是，，．若两直角边，满足，斜边，求的周长． 【答案】(1)，，6或 (2)， (3)9 【分析】（1）观察方程可得，则，利用因式分解法解方程即可； （2）结合（1）的结论，可得两个关于的一元二次方程，解方程即可； （3）先利用换元法求出的值，再结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解：新字母设为，则， 原方程化为， ∴， 解得或． （2）解：新字母设为，则， 原方程化为， ∴， 解得或， 当时，则，解得，； 当时，则，即， 这个方程根的判别式，没有实数根； 综上，原方程的解为，． （3）解：令，则， 整理得：， 解得或， ∵的斜边， ∴当时，，不满足三角形的三边关系，舍去； 当时，，满足三角形的三边关系，则此时的周长为； 综上，的周长为9． 18．如图，在中，，是边上一点，连接，，分别为，的中点，连接，，．已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，分别是，的中点， 是的中位线， ，即， ， ， 四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）先用三角形中位线定理得到，再由推出，两组对边分别平行，证出四边形是平行四边形； （2）先结合中位线以及平行四边形的性质算出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出，最后在中用勾股定理求出的长． 【详解】（1）略 （2）是的中位线， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ，为的中点， ， ． 19．某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． (1)据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件． 若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 【答案】(1) 月平均增长率为． (2) 每件商品的售价应降低元． 【分析】（1）本题为增长率问题，由初始量最终量（为增长月数），列方程即可求出增长率； （2）由利润公式：单件商品利润销售量总利润，列方程解决问题，注意题目要求尽量减少库存，优先选择降价多的方案． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为； （2）设每件商品的售价应该降低元，则每件商品的利润为元，每天的销量为件， 依题意可得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：每件商品的售价应该降低元． 20．如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． (1)如图②，当直线经过点时，若，求证：是等边三角形． (2)如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 【答案】(1) 证明：由折叠的性质可知：， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形； (2) 四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得 ∴，，． ∵ ∴ ∴，即 ∵在和中，, 又∵ ∴ ∵（对顶角相等） ∴ 即 又∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是菱形． (3)或 【分析】(1) 由折叠可知，，又因为，所以有，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可证得是等边三角形； （2）由折叠可得，由全等三角形对应角相等，对应边相等，可得，，，又因为，得；在和中，锐角互余，对顶角相等即可得，所以；由 且得四边形是平行四边形；又因为，邻边相等的平行四边形为菱形即可证得四边形是菱形． （3）在（2）的条件下，延长交矩形的边于点，且，应分两种情况讨论，当交于点时，在中由勾股定理可求出，再由求出的值，即可得的长；当 交于点时，在中由勾股定理可求出，再由求出的值，即可得的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）在（2）的条件下，延长交矩形的边于点， 情况一：交于点，且． 设，，则，， 在中，有 ∴ 解得 ∴，，； ∵ ∴ 解得 即； 情况二：交于点，且． 设，，过点作于点， 则，， 在中，有 ∴ 解得 ∴，，； ∵ ∴ 即 解得 即； 学科网（北京）股份有限公司 $