精品解析：广东湛江市 廉江市实验学校（重点班）2025-2026学年度第一学期期中考试九年级数学试卷

廉江实验学校2025-2026学年度第一学期期中考试 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 双曲线经过点．则下列各点在双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 将点代入，得，于是可得，进而可得比例函数解析式为，将各选项中点的坐标代入，即可判断出各点是否在双曲线上． 【详解】解：双曲线经过点， ， ， 反比例函数解析式为， A. ，由于，因此不在双曲线上，故选项不符合题意； B. ，由于，因此在双曲线上，故选项符合题意； C. ，由于，因此不在双曲线上，故选项不符合题意； D. ，由于，因此不在双曲线上，故选项不符合题意； 故选：． 3. 若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；因此此题根据“两个三角形相似，那么这两个三角形的面积比等于相似比的平方”进行求解即可． 【详解】解：若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为； 故选C． 4. 下列事件不是随机事件的是（ ） A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 B. 通常加热到时，水沸腾 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，准确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键：必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件，即不确定事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小进行判断即可． 【详解】解：A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故选项不符合题意； B. 通常加热到时，水沸腾，是必然事件，不是随机事件，故选项符合题意； C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故选项不符合题意； D. 掷一次骰子，向上一面的点数是，是随机事件，故选项不符合题意； 故选：． 5. 如图，正五边形内接于，为弧上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理；连接，先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴, ∴， 故选：A． 6. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是即． 故选：D． 7. 如图，点D是的边上一点，连接．下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴A、由不能判定，故符合题意； B、由能判定，故不符合题意； C、由能判定，故不符合题意； D、由能判定，故不符合题意； 故选A． 8. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竹竿的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先根据题意得到门框的宽、高和对角线的长度，再利用勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设竹竿的长为尺， ∵ 横放竹竿时比门框宽多尺， ∴ 门框的宽为尺， ∵ 竖放竹竿时比门框高多尺， ∴ 门框的高为尺， ∵ 斜放竹竿刚好顶住门框两个对角， ∴ 门框对角线长等于竹竿长尺， ∵ 门框是矩形，四个角为直角，根据勾股定理可得  ． 9. 如图，斜边长为的等腰直角的两直边都在坐标轴上，将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，斜边中线等于斜边一半；设与轴相交于点，由旋转可得是斜边长为等腰直角三角形，，即得，，进而根据等腰直角三角形的性质可得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设与轴相交于点， ∵是斜边长为等腰直角三角形，将绕原点顺时针旋转得到， ∴是斜边长为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 10. 如图（单位：），等腰直角三角形以的速度沿直线向矩形移动，直到与重合，设时，与矩形重叠部分的面积为，则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，分别求出时，与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可． 【详解】解：如图，当时，重叠部分为三角形，面积，抛物线开口向上， 如图，当时，重叠部分为三角形，面积， 如图，当时，重叠部分为梯形，面积，抛物线开口向下， ， 只有A选项符合． 故选A．　 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】把x=0代入已知方程，列出关于a的新方程，再根据一元二次方程的定义可知a+2≠0，由此求解即可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0， ∴a2﹣4=0且a+2≠0， 解得 a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意：一元二次方程的二次项系数不等于零． 12. 如图，已知点是反比例函数的图象上一点，轴于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解答本题的关键． 根据反比例函数系数的几何意义得到，解得，然后根据反比例函数的性质得到满足条件的的值． 【详解】解：轴于点，且， ， ， 反比例函数在第二象限， ， 故答案为：． 13. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可得，，，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 14. 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是___． 【答案】7m 【解析】 【分析】当y＝0时代入解析式，求出x的值就可以求出结论． 【详解】解：由题意，得 当y＝0时，， 化简，得：， 解得：（舍去）， 故答案为：7m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的解法，解题关键是结合题意，取函数或者自变量的特殊值列方程求解． 15. 如图，在平行四边形中，连接，点E是上一点，交于点F．若，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长、交于点G，由可得，由两直线平行同位角相等可得，由平行四边形的性质可得，，即，由两直线平行内错角相等可得，，再结合，可证得四边形是平行四边形，于是可得，，由平行线分线段成比例定理可得，设，则，，，，在中，根据勾股定理可得，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的值，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，延长、交于点G， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，即， ，， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 设，则，，，， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两根，满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）将方程化为，根据即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，又由得到，从而有，求解得到，，结合（1）的结论即可解答． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程可转化为， ∵该方程有实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两根，， ∴，， ∵，即 ∴， 整理，得， 解得，， ∵， ∴． 17. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率． （1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ； （2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可； （2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种， ∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 【小问2详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁 丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁 丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙 所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种， 所以一定有乙的概率为： 【点睛】本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，将绕着原点顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别是点，，． （1）画出，写出点的坐标为______； （2）直接写出的面积为______． 【答案】（1） 如图， 解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握旋转变换的定义和性质是解题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别作出点A，B，C的对应点分别是点，，，再顺次连接即可； （2）利用网格和勾股定理可得，，判定为直角三角形，结合面积公式求得，利用旋转变换的性质即可得到的面积． 【小问1详解】 解：∵绕着原点顺时针旋转得到点， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 则， ∵绕着原点顺时针旋转得到， ∴， 故答案为：． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的对称性进行求解； （2）利用二次函数的顶点坐标及，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过点，， 对称轴为直线， ； 【小问2详解】 解：二次函数的最大值为， ，， 又， ， ，整理得， 即， 解得，， ， ，则， ． 20. 如图，内接于，点是直径延长线上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ，， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）图中阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】（1） 连接，结合推得，再结合，，即可证； （2）结合圆周角定理得，再结合外角性质推得，， 由等角对等边得，利用解直角三角形的计算求出，最后由即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ，即， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 21. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 ∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），； （2），理由： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）略 （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 23. 如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，反比例函数（）在第一象限内的图象经过点、． （1）点为对角线上一点且在反比例函数图象上，满足，点在边上，且，求反比例函数解析式； （2）在（）的条件下，反比例函数上是否存在点，满足，若存在，求点的横坐标； （3）我们把有一个内角为的三角形称为“美好三角形”，这个的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图，若点的坐标为，则当为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中的值． 【答案】（1） （2）存在，点的横坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（）过作轴于，由矩形的性质得，根据相似三角形的判定和性质得，根据三角函数的定义得到，求得，代入即可； （）分情况当在下方时，当在上方时讨论即可得解； （）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可； 【小问1详解】 解：如图，过作轴于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：存在，理由： 当在下方时，取的中点，过点作交反比例函数图象于点，连接，，， ∵，， ∴点到的距离等于点到的距离，， ∴， ∴， 由（）得：， ∴直线解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（不合，舍去）， ∴点的横坐标为； 当在上方时，取的中点，过点作交反比例函数图象于点，同理①知， 同理（）得：直线的解析式为，且，， ∴， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（不合，舍去）， ∴点的横坐标为； 综上可得，点的横坐标为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 如图，当时，作，交延长线于点，作，交延长线于 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴； 当，作，交延长线于点，过点作轴于点，    同理可证：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得（不合，舍去）或； 综上，符合条件的的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 廉江实验学校2025-2026学年度第一学期期中考试 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线经过点．则下列各点在双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 3. 若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 下列事件不是随机事件的是（ ） A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 B. 通常加热到时，水沸腾 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 5. 如图，正五边形内接于，为弧上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 7. 如图，点D是的边上一点，连接．下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竹竿的长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，斜边长为的等腰直角的两直边都在坐标轴上，将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图（单位：），等腰直角三角形以的速度沿直线向矩形移动，直到与重合，设时，与矩形重叠部分的面积为，则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a为_____． 12. 如图，已知点是反比例函数的图象上一点，轴于点，若，则______． 13. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 14. 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是___． 15. 如图，在平行四边形中，连接，点E是上一点，交于点F．若，，，，则的长为______． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两根，满足，求k的值． 17. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率． （1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ； （2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，将绕着原点顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别是点，，． （1）画出，写出点的坐标为______； （2）直接写出的面积为______． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 20. 如图，内接于，点是直径延长线上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 21. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 23. 如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，反比例函数（）在第一象限内的图象经过点、． （1）点为对角线上一点且在反比例函数图象上，满足，点在边上，且，求反比例函数解析式； （2）在（）的条件下，反比例函数上是否存在点，满足，若存在，求点的横坐标； （3）我们把有一个内角为的三角形称为“美好三角形”，这个的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图，若点的坐标为，则当为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $