3.2 第1课时利用角的关系判定三角形相似-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

71:6+d=0d=-6.:分=台心8-看 a c 分+分-专=0.a+e=0.2)当a十6+c≠0时. b b+c=a十c=a+b_2(a+b+c)=2..1=2.2-t- a b c a+b+c 2=22-2-2=0.当a十b十c=0时，b+c=-a,a十c= -ba+6=-6.+=at=atb=-1,.1=-1 b ∴.t2-t-2=(-1)2-(-1)-2=0. 方法归纳 利用比例的性质求代数式值的技巧 解多个比例式连在一起的求值型问题的方法：一是 利用引入参数法求解，即先把所有的量都统一用含同一 个参数的式子表示，再求代数式的值；二是利用等比性 质求代数式的值.注意使用该性质的前提是分母之和不 为0，若分母之和为0，则需单独讨论. 2探索三角形相似的条件 第1课时利用角的关系判定三角形相似 1.C,△ABC和△ADE是两个全等的等腰直角三角形， ∠BAC=∠ADE=90°，∴.∠B=∠C=∠DAE=∠E=45°. :'∠MAN=∠B,∠MNA=∠ANB,.△MANn △ABN..'∠MAN=∠C,∠NMA=∠AMC, .△MAN∽△MCA.,.△ABN△MCA.,.图中相似 而不全等的三角形共有3对. 2.C:四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠D=∠C= 90°.∴.∠DNM+∠DMN=90°.由折叠的性质可得 ∠BMN=∠A=90°，，·∠NMD+∠BMN+∠BMC= 180°，'.∠NMD+∠BMC=90°..∴.∠DNM=∠BMC ..△CMB∽△DNM. 3.12DEBC,∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB. ÷△ADE∽△A沿-：AD:AB=1:3 DE=4,.∴.BC=12. 4.,CD⊥AB,.∠CDA=∠BDC=90°.∴.∠A+ ∠ACD=90°.：∠ACB=90°，.∠BCD+∠ACD=90°. :∠A=∠D.:△ACDn△CBD,S品-S .CD=AD·DB..D是点C的“关联点” 5.B.AB=AC=5,BC=6,D为BC的中点，∴.AD⊥ BC,CD=BD=2BC=3.:CE LAB,·∠AEC= ∠ADC=90°.∴.∠DC+∠OCD=90°，∠EAD+∠AOE= 90°.∠AOE=∠DOC,∴.∠EAD=∠OCD.∴.△ADB∽ △c0.÷8088-号 6.D,AE∥BC,∴.∠AEM=∠CND,∠MAE=∠B. 当添加∠B+∠4=180°时，∠DCN+∠4=180°， ∴.∠DCN=∠B.∴.∠DCN=∠MAE..△MAEo △DCN.∴.A选项不符合题意.当添加CD∥AB时， ∴.∠DCN=∠B.∴.∠DCN=∠MAE.∴.△MAEo △DCN.∴.B选项不符合题意.当添加∠1=∠4时， :∠MAE+∠1=180°，∠DCN+∠4=180°，∴.∠DCN= ∠MAE..△MAE△DCN.∴.C选项不符合题意.当添 加∠2=∠3时，，∠AEM+∠2=180°，∠CDN+∠3= 180°，.∠AEM=∠CDN=∠CND..不能判定△MAE∽ △DCN..D选项符合题意. 7.1g解法-：四边形AD是正方形AD=AB 12,∠B=∠BAD=90°..AM=WAB+BMP=13. ∠BMA=∠EAM=90°-∠BAM.,ME⊥AM, ∠AME=90=∠B.·△ABM∽△EMA.A于 -只：AE=号AM=g:DE=AE-AD= 109 5· 解法二：如图，过点E作EF⊥BC,交BC的延长线 于点F,∴.∠F=90°.：四边形ABCD是正方形，.∠B= 90°，∠DCF=∠CDE=90°，AB=BC=12.,.MC=BC BM=7,∠AMB十∠BAM=90°，四边形CFED为矩形. ∴.DE=CF,FE=CD=AB=12.又，∠EMF+∠AMB= 90°，∴.∠BAM=∠FME.又.∠B=∠F,∴.△ABM △MFE0-觉即=解得CF=四 5 .DE=CF= 109 5 B M (第7题) 8.:四边形ABCD是平行四边形AB/CD,AB CD.铝=号设AE=2aa>0.则BE=a .AB=CD=5a.:ABCD,∴.易得△AEF∽△CDF. 怨器号- ,S△ADE=5 9.(1):AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠CAB.:∠ADC= ∠ACB=90°，.△ADC∽△ACB.∴.AD:AC=AC: AB..AC2=AB·AD.(2):E为边AB的中点， AB=6:CE=号AB=号X6=&:CE∥AD. .∠ADF=∠CEF,∠DAF=∠ECF.∴.△ADF∽ △r是怎：AD=4器-合船-子 10.(1):∠DPC=∠A=∠B=90°，∴.∠ADP+ ∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°...∠ADP ∠BPC△ADPABPC.0AD·BC AP·BP.(2)结论AD·BC=AP·BP仍然成立.理 由：.∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP, .∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.I'∠DPC=∠A= ∠B=O,.∠BPC=∠ADP..△ADP∽△BPC. 品品AD·C=AP·B即，(3)C 4BC,AD=BD=5,∴.DC=4,BC=1,∠A=∠B.由题 意，得AP=t.,AB=6,∴，BP=6一t.由(1)(2)的经验 可知AD·BC=AP·BP,∴.5×1=t(6一t),解得t1=1, t2=5.∴.t的值为1或5. 第2课时利用边角关系判定三角形相似 1.D:∠1=∠2，∴.∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,即 ∠BAC=∠DAE.∴.当添加∠B=∠ADE时，△ABCC∽ △ADE.当添加∠C=∠E时，△ABCp△ADE.当添加 侣-S时，△AC△ADE,当茶加C-伦时，不能 判定△ABCD△ADE. 2@00A·0B=0c·00.82-80 :∠AOD=∠COB,∴.△AOD△COB,即②与④相似. a号X=5A出=DB密常-5：∠B ∠B△MBCO△DaA.折-所=.DA AC=3 3 4.,△CDP是等边三角形，.PC=PD=CD=3, ∠PCD=∠PDC=60°.∴.∠ACP=180°-∠PCD=120°， ∠PDB=180°-∠PDC=120°.∴.∠ACP=∠PDB. 篇号品是号品品△wma 5.A如题图①，：∠C=∠C,∠DEC=∠B=60°， ∴.△DEC∽△ABC.如题图②，，∠C=∠C,∠CDE= ∠B,∴.△CDE△CBA.如题图③，由图形可知，BE= AB-AE=6-2=4,BD=BC-CD=8-5=3,:8= 意0-名日既-0又”∠B=∠B, 4_1BD_3_1 ,∴.△BDE△BAC.如题图④，由已知条件无法证明 △ADE与△ABC相似， 6.D:正方形ABCD的边长为6，.∠BCE=90°， AC⊥BD,OB=OC,BC=CD=6.∴.易得OB=32. ,DE=2CE,易知DE=4,CE=2..在Rt△BCE中， BE=JBC2+CE2=2√JI0..∠BCE=90°，CF⊥BE ∴.∠ECF+∠BCF=90°，∠ECF+∠CEF=90°，∠BFC= ∠BCE=90°.∴.∠BCF=∠CEF,即∠BCF=∠BEC. &△BCFO△BEC.E=C.六BC=BF·BE. AC⊥BD,.∠BOC=90°..∠BOC=∠BCD.又 :∠OBC=∠CBD,·.△BOCn△BCD.BC=BD BO BC BC=BO·BD.BO·BD=BF·BE.BE BO BF.:∠OBF=∠EBD,∴.△OBFO△EBD. OB BD' EB ，点℉0-5 OF 5 由题意，易得AB=CD=3cm,DE=1cm, BC=AD=5cm,AE=4cm,AD∥BC.∴.∠AEB= ∠PBQ..'BP=CQ=tcm,.BQ=(5-t)cm.在 Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=√3+4=5(cm). ①当Q和BE是对应边，即器-职时，△BPQ口 △EAB.5号-子解得1=公②当BQ和AE是对应 5 边，即瓷第时，△BPQO△EBA.号-台解得第三章图形的相似 2探索三角形相似的条件 第1课时利用角的关系判定三角形相似 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，△ABC和△ADE是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠ADE=90°，则图中相似而 不全等的三角形的对数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 D (第1题) (第2题) (第3题) 2.舒回探究题有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为 BN,点A对应的点记为M.若点M恰好落在边DC上，则一定有 () A.△ABN∽△DNMB.△MBNP△DNMC.△CMB∽△DNMD.△ABNp△CMB 3.[2025盐城中考]如图，在△ABC中，DEBC.若AD:AB=1:3,DE=4,则BC= 4.新考同新定义题在△ABC中，点D在边AB上，若CD=AD·DB,则称D是点C的“关联 点”.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CDLAB于点D.求证：D是点C的“关联点”. (第4题)》 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.[2025攀枝花中考]如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,D为BC的中点，CE⊥AB于点E, AD与CE相交于点O,则OP c的值为 () 3 B. 4 C.5 4 D.25 (第5题) (第6题) 6.[2025河北中考]如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M, N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是 () A.∠B+∠4=180°B.CD∥AB C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 49 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 7.一题多解如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM,ME交AD的延长线于点E.若 AB=12,BM=5,则DE的长为 B MC (第7题) (第8题) 日如图，在ABCD中E亮骏段B上一点，准接AC,DE交于点F.者能，的值为 9.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°，E为边AB的中点. (1)求证：AC2=AB·AD. (2)连接CE,DE,且DE与AC交于点F,若CEAD,AD=4,AB=6,求C的值。 (第9题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.(1)如图①，在四边形ABCD中，P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD· BC=AP·BP (2)如图②，在四边形ABCD中，P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=0时，(1)中的结论 是否仍然成立？请说明理由， (3)请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图③，在△ABD中，AB=6,AD=BD=5,点P以 每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠CPD=∠A,设点P 的运动时间为t秒，当DC=4BC时，求t的值. ② 3 (第10题) 50 >“答案与解析”见P29