3.3 第2课时相似三角形判定定理的证明-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

:CEAD2-肥即AB:AC=BD:C E B D (第6题) 设CF=x,则AE=BC=x+3.,'EF∥AC, 该方程的解.∴.C℉= AE=3+号-5：AC/DB, 9 :△BED△ABC.·AC-AE BD BE 5 2 2 8.(IDDG/BE,D是BC的中点CD=BD.:.GD BD 远1.六CG=EG.:F是AD的中点，DG∥BE. CG AFDP,能51.AE=BG.AECG G.2能zc4c (2)如图，过点D作DH∥ BE交AC于点H.:BD:DC=1:4,DH∥BE, 5肥子CH=E.:AF:FD=3:2. DHBE能-品=是AE=号H:AE: EC=(2HE):(HE+4HE)=3:10,.AE:EC的值 D (第8题) 方法归纳 添加平行线构造比例线段 题目中已知的是线段的比，要求的也是线段的 比，但没有出现平行线，根据平行线分线段成比例 的推论可作出适当的平行线，再根据对应线段成比 例的关系，建立已知比例式和要求的比例式之间的 关系，使问题顺利解决 微专题·三角形内接四边形问题 1.DDE/BC,.△DOEn△COF.C0FC DO DE 故选项D错误。 2.如图①，设DE=x,则EB=x,AE=6一x.,四边 形DEBF是正方形，∴.ED∥BF.∴.△AED△ABC. “怎瓷即。=专解得=华如图②，当四 边形EFGH是内接正方形时，作BM⊥AC于点M,交 GH于点N.:AB=6,BC=8,∴.易得AC=10,BM= 2生.设正方形的边长为x,则易得MN=FG=GH= :cMAc△KRA4 CB.言 24 ..x= 120 24 371 综上所述，△ABC的内接正方形的 5 ,24120 边长为7或37 D ① ② (第2题) 第2课时相似三角形判定定理的证明 1.A由题图①，可得两个三角形的三个内角分别是35°， 7石，7心故两个三角形相似：由题图@“品品手 ∠AOC=∠DOB,∴.△AOC△DOB. 23连接C“脂是-反心紧-把：四边 AB AE 形ABCD是矩形，.∠B=90°.，∠AEF=90°，.∠B= ∠AEF.∴.△ABC∽△AEF.. ACAB ,∠BAC= ∠EE.:AS-E∠EAF-∠CaE=∠BAC ∠CAE.∴.∠CAF=∠BAE.∴.△ACF∽△ABE. :BC=√2AB,∴.AC=√AB2+BC=WAB2+(W2AB)2= 5AB.C-3. a④“8ES△M△DE∠C= ∠DAE.∴.∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF,即 6 ∠BAD=∠CAE.(2)由(1)，得△ABC∽△ADE. .∠ABC=∠ADE.:∠ABC=∠ABE+∠EBC, ∠ADE=∠ABE+∠BAD,∴.∠EBC=∠BAD=21°. 3)由.得∠D=∠CE.“8-G e△ABD△ACE, 4.C∠CPD=∠B,∠C=∠C,.△PCF△BCP ,∠A=∠GPD,∠D=∠D,.△APD∽△PGD. :∠CPD=∠B,∠APG=∠B+∠C,∠BFP=∠CPD+ ∠C,.∠APG=∠BFP.:∠A=∠B,∴.△APG∽ △BFP.综上所述，题图中相似三角形有3对. 5A过点G作GT1AD于点T.设AD=“E 号4设BF=2k(质>0).则cG=3张.：E为AD的中 点AE=DE=专由折叠，得AE=AE=号 FB'=BF=2k,∠AEF=∠GEF.:'四边形ABCD为矩 形，.AD∥BC,BC=AD=y,AB=CD..∠AEF= ∠EFG..∠GEF=∠EFG..EG=FG=y-5k. GA'=2y-(0-5k)=5k-.由题意，得C.A,B 三点在同一条直线上，GA'∥FB',∴易得△CGA'∽ △CFB.CG=A,即3k=2y y-2k=2k.·y2-12y十 32k2=0,解得y=8k或y=4k(不合题意，舍去..AE= DE=4k.:易得四边形CDTG是矩形，∴.DT=CG=3k, CD=GT..'ET=DE-DT=k..'EG=8k-5k=3k, AB=CD-GT-3)-22k.-2 22. 6.①②③④延长AD和BE交于点H,由矩形性质可知 ∠BCD=∠HDE=90°，BC=DA,:'E是矩形ABCD的 边CD的中点，.DE=CE.:∠CEB=∠DEH, .△BEC≌△HED.∴.BC=DH,∠EBC=∠EHD. .D为AH的中点.AF⊥BE,.DF=DH. ∴.∠DFE=∠DHE.:'∠ADF=∠DFE+∠DHF= 2∠DFE,∴.∠FDE+2∠DFE=∠FDE+∠ADF=90° 1 2∠FDE+∠DFE=45,故①正确.：AF⊥BE, ,.∠GAB+∠AGB=∠FBG+∠AGB=90°.，.∠GAB= ∠FBG.∠ADF=2∠DHE=2∠EBC,∴.∠ADF 2∠BAG,故②正确.，∠FAB=∠CBE,∠AFB=∠C= 90C△BAP△BC路既由条件可知AB ,2W17 2 2+8=27.CE=2AB.·2+EE1×2 2 解得EF=15,故③正确.，∠GAB=∠CBE,∠ABG= ∠C=9m△cAB△RBC,能-铝 AB 瓷即瓷-：C=DH=DF2CE=c· DF,故④正确.：∠GAB=∠EBC,∠AFB=∠BFG= ∠ABC=∠C=90°，.∴.△AFBC∽△BFGC∽△ABG∽ △BCE.∴.图中相似三角形有6对，故⑤不正确. 7.(1)·△ABC是边长为6cm的等边三角形，∴.∠A= ∠C=60°，AC=6cm.:CE=2AE,∴.CE=4cm,AE= 2cm.:'点P在AB边上以2cm/s的速度由点A向点B 运动，同时点Q在BC边上以4cm/s的速度由点C向点B 运动运动时间为1sAP-2m,CQcm能 C=.△AEP∽△CEQ.(2)当△EPQ是以EQ为 C 斜边的直角三角形时，由(1)知△AEPC∽△CEQ, ∠AEP=∠CE0.E-是-女∠EPQ=90r ∴.∠PQE=30°.∴.∠PEQ=60°.∴.∠AEP=∠CEQ= 2×(180°-60)=60，：∠A=60°，.△APE为等边三 角形..AE=AP..2=2t.∴.t=1. 8.(1)①.四边形ABCD是矩形，∴.∠BAD=∠ABC= 90°，AD=BC.·AF平分∠BAD,.∠BAF=∠DAF= 45.∴∠AFB=∠BAF=45°..AB=BF.BE=CF, ∴.AE=AB+BE=BF+CF=BC=AD.·AG=AG, ∴.△EAG≌△DAG..EG=DG.②如图①，连接CG, 过点G作G⊥CD于点J,则易得AD//GJ//FC.,G是 AF的中点，∴AG=GF..易得DJ=JC.,G⊥CD, ∴.GD=GC..∠GDC=∠GCD..四边形ABCD是矩 形，∴.∠ADC=∠BCD=90°.∴.∠ADG=∠OCG.由①， 得△EAG≌△DAG,∴.∠AEG=∠ADG.∴.∠OEB= ∠0G.:∠0E-∠cc.△0BE△0c 号BO·GC=G0·BE.GC=GD,BE=CR, ∴.BO·GD=GO·CF.(2)如图②，过点D作DT⊥ BC于点T,连接GT,过点G作GJ⊥DT于点J,则易得 ADGJ∥FC.,·四边形ABCD是平行四边形，'.AD= BC,AD∥BC.∴.∠DAG=∠AFB.:AF平分∠BAD, ∴∠BAF=∠DAG.∴.∠BAF=∠AFB..AB=BF BE=CF,.AE=AB+BE=BF+CF=BC=AD. :AG=AG,∴.△EAG≌△DAG.∴.∠AEG=∠ADG ,G是AF的中点，∴.AG=GF..DJ=JT.G⊥DT, .GD=GT..∠GDT=∠GTD.:易得∠ADT ∠BTD=90°，∴.∠ADG=∠OTG..∠OEB=∠OTG. :∠BOE=∠COT,△OBEO△OCL.B-8 .BO·GT=GO·BE.,GT=GD,BE=CF,∴.BO· GD=GO·CF. ① ② (第8题) 4相似三角形的性质 第1课时相似三角形中对应线段的性质 1.B由题意知，这个三角形的一条边由原图中的2cm变 成了8cm,∴.该三角形的角平分线是原图中的三角形角平 分线的4倍： 2.设MN=a.,AD为△ABC的高，.∠ADB=90. ,'MN∥BC,∴.∠APM=∠ADB=90°，∠AMN=∠B. ∠ANM∠C,△AMN∽△ABC..C=AD7 ÷总0-292a=24正方体纸盒的棱长为2头 3.B设像CD的长度变为原来的1.5倍时，小f孔O到人 AB的距离为x米.，·AB∥CD,.△OABC∽△ODC :音品品B解得一4即人向路室前注2米 43:Bc=ACc.瓷-又：∠C=∠C. .△ABC∽△BDC.:E,F分别为AC,BC的中点， :BE,DF分别是△AC,△BDC的中线器-瓷。 即E-BE=8 5.分两种情况讨论：①当△ADE∽△ABC时，由对应角 平分线的比等于相似比可得相似比为子：品二 }即0S-AD=2,AE=1i@当△ABD☑ △AC时，易得把-福=子，即-怎= 6 84 ∴.AD=1.5,AE=2.综上所述，AD的长为2，AE的长为 1.5或AD的长为1.5，AE的长为2. 第2课时相似三角形中周长比、面积比的性质 1.D,D,E分别为边AB,AC的中点，.DE是 △ABC的中位线...DE∥BC,BC=2DE.故A、C选项不 符合题意.：DE∥BC,∴.△ADE∽△ABC.故B选项不 符合题意.：△ADE∽△ABC,∴. SAADE SAABC ()= 则SAE=}SA故D选项符合题意 2.15,△ABC是等边三角形，且边长为15，∴.∠A= ∠C=60°，△ABC的周长为45.AB∥EF,BC∥DF, ∴.∠DEF=∠EDF=∠A=∠C=6O°.∴.△ABCD △EFD.:D,E是边AC的三等分点，∴.△ABC与 △EFD的相似比为3，∴.△EFD的周长为15. 3.1：3由题意，得∠DAB=∠ABC=90°，∠D=45°， ∠C=30°，.∠ABD=∠D=45°，AC=2AB..AB=AD. ∴.CB=V√AC2-AB2=√(2AB)-AB=√3AB= 3AD..3=后A0=3.∠DAB+∠ABC=180, ·.AD/CB.易得△AOD△OB..D=(AD) SAc0B CB (停）=子△A0D与△B0C的面积之比为1：3. 4.(1):四边形BFED是平行四边形，.DE∥BF. ∴.∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴.△ADE∽△ABC. AD-DE1AB=8.AD=2 ()ADE ABBC=4· △ABC..SaE SAABC ()°=（合》'=6：△MDE的 面积为1，.△ABC的面积为16.：四边形BFED是平 有四边形F-D瓷既-子即瓷-是同 理，可得△EFC的面积为9.∴.□BFED的面积为16一 9-1=6.第三章图形的相似 第2课时相似三角形判定定理的证明 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图 形上.如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是 () A.都相似 B.只有图①相似 C.只有图②相似 D.都不相似 (第1题) (第2题) 2如图，在缸形ACD中，E是边C上动点%-是-区，∠AEF=0,若BE=1,则CF的 长为 3如图，点B,D,E在同一条直线上，BE与AC相交于点F、A5能一AC一 (1)求证：∠BAD=∠CAE. (2)若∠BAD=21°，求∠EBC的度数， (3)连接EC,求证：△ABD∽△ACE. (第3题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.如图，P为线段AB上的一点，AD与BC交于点E,∠CPD=∠A=∠B,BC与PD交于点F, AD与PC交于点G,则图中相似三角形有 （) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 A D D G A A P (第4题) (第5题) 5.箭考回探究题如图所示为一张矩形纸片ABCD,E为AD的中点，点F在BC上，把该纸片沿 EF折叠，点A,B的对应点分别为A,B,AE与BC相交于点G,BA的延长线过点C若C☐ 61 拔尖特训· 数学（北师版）九年级上 导则哈品的省为 A.22 B40 5 C. D 6.如图，E是矩形ABCD的边CD的中点，AF⊥BE于点F,AF的延长线交BC 于点G,连接DF,有下列结论：①∠FDE+∠DFE=45,②∠ADF= 2∠BAG;③若BF=2,AF=8,则EF=15;④2CE2=BG·DF;⑤图中相似BG 三角形只有5对.其中，正确的是 .(填序号)》 (第6题) 7.舒考回探究题[2025泰兴期末]如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，E为边AC上一点， 且CE=2AE,点P在AB边上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以 4cm/s的速度由点C向点B运动，当其中一点到达点B时，P,Q两点同时停止运动，设运动时 间为ts. (1)求证：△AEP∽△CEQ. (2)当△EPQ是以EQ为斜边的直角三角形时，求t的值. A龙 (备用图) (第7题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 8.在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于点F,延长AB到点E使BE=CF,G是AF 的中点，GE交BC于点O,连接GD (1)如图①，当四边形ABCD是矩形时，求证：①EG=DG.②BO·GD=GO·CF. (2)如图②，当四边形ABCD是平行四边形时，(1)中的结论都成立.请给出结论②的证明. ① ② (第8题) 62 “答案与解析”见P36