精品解析：吉林长春力旺实验初级中学2026-2027学年上学期八年级数学第一次学情自测

数学限时练 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数和无理数统称为实数 B. 实数是由正实数和负实数组成 C. 无限小数是无理数 D. 有理数和数轴上的点一一对应 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 如果，那么 C. 钝角三角形中有两个锐角 D. 如果两个角是直角，那么它们相等 5. 代数式可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中， 点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则的度数为( ) A. 125° B. 135° C. 55° D. 35° 7. 如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（） A. 9 B. 10 C. 7 D. 8 8. 已知实数a满足 ，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 10. 若，则 ______． 11. 无理数的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b＝_____． 12. 已知，则________． 13. 计算：________． 14. 如图，在中，、的角平分线、交于点，延长、，，，给出下面四个结论：①；②；③；④（其中表示的周长）．上述结论中，正确结论的序号是________． 三．解答题：本题共8小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 已知正数的两个平方根分别是和． （1）求和的值； （2）的立方根是________． 17. 规定． （1）填空：________． （2）若，求的值． 18. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：． 19. 如图，在中，、分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，求的度数． （2）在（1）的条件下，若的面积为，，则的长为________． 20. 阅读下列材料： 若，，其中、为正数，则________（填．“”或“”）． 解：因为， ，且， 所以． 因为、为正数， 所以． 小结：当指数相同时，通过比较两个幂的大小，来确定底数的大小． 依据以上材料，解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________（填写正确的选项）． A．同底数幂的乘法　B．幂的乘方　C．积的乘方 （2）若，，试比较与的大小； （3）比较__________的大小（填“”或者“”）． 21. 【结论初探】小都利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， 可以设为以下两种形式： ①； ②． 小都展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ， 较小，可忽略不计． ，． ． 【方法运用】 （1）请写出在哪两个连续整数之间：_______________； （2）类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值（小数点后保留一位小数）． 22. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结．点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）在点P从A运动到C的过程中，线段的长为__________；（用含t的代数式表示） （2）当点P与点C重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求t的值； （4）分别过点P、Q作于点D，于点E．当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学限时练 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A. =2，不是最简二次根式， B. =2，不是最简二次根式， C. ，是最简二次根式， D. =，不是最简二次根式， 故选C． 【点睛】本题主要考查最简二次根式的概念，注意最简二次根式的根号内不含分母以及开的尽方的因式或因数． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数和无理数统称为实数 B. 实数是由正实数和负实数组成 C. 无限小数是无理数 D. 有理数和数轴上的点一一对应 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的有关概念判断即可． 【详解】解：A、有理数和无理数统称为实数，根据实数的概念知A正确，符合题意； B、实数分为正实数，零，负实数，故B错误，不符合题意； C、无限循环小数是有理数，故C错误，不符合题意； D、任意一个实数可以用数轴上的一个点表示，数轴上的任意一个点都表示一个实数， 而有理数不能与数轴上的点一一对应，故D错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查实数的分类及实数的性质，解题的关键是正确认识实数的有关概念． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的定义及有理数的乘方运算，需根据相关定义和法则逐一判断选项计算的正确性． 【详解】解：∵算术平方根的定义为非负数的正的平方根，即的结果为非负， ∴对于选项A，是16的算术平方根，结果为4，而非，A错误，不符合题意； ∵，∴B错误，不符合题意； ∵表示的相反数，，∴，C错误， 不符合题意； ∵，∴D正确，符合题意． 故选：D． 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 如果，那么 C. 钝角三角形中有两个锐角 D. 如果两个角是直角，那么它们相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键． 先写出逆命题，后逐一判断正误即可． 【详解】解：A．选项逆命题为：若，则，则该逆命题是真命题，故A符合题意； B．选项逆命题为：如果，那么，根据和可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故B不符合题意； C．选项逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该逆命题是假命题，故C不符合题意； D．选项逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，两相等的角可以是非直角，可得该逆命题是假命题，故D不符合题意． 故选：A． 5. 代数式可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项，无法合并，故该选项不符合题意； B．，故该选项符合题意； C．，故该选项不符合题意； D．，故该选项不符合题意． 6. 如图，在中， 点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则的度数为( ) A. 125° B. 135° C. 55° D. 35° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的性质得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵∠A=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°−70°=110°， ∵点O到△ABC三边的距离相等， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB= ×(∠ABC+∠ACB)=55°， ∴∠BOC=180°−55°=125°， 故选A． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形内角和定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 7. 如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（） A. 9 B. 10 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 8. 已知实数a满足 ，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用二次根式的性质，将原式转化为绝对值的和，分不同范围去绝对值化简，判断等式成立的条件，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴原等式可化为 ， 分三种情况讨论： ①当时， ∵，， ∴原式， 令， 解得，与矛盾，此范围不成立； ②当时， ∵，， ∴原式，等式恒成立； ③当时， ∵，， ∴原式， 令， 解得，与矛盾，此范围不成立； 综上，的取值范围是． 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解． 【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 10. 若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质，根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都非负，它们的和为零时，每个表达式必须为零，进一步求解即可． 【详解】解：∵，且，， ∴且， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 11. 无理数的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b＝_____． 【答案】6﹣ 【解析】 【分析】估算得到的整数部分与小数部分，确定出a-b的值即可． 【详解】∵9<13<16， ∴3<<4， ∴a=3,b=−3， 则a−b=6−， 故答案为6﹣. 【点睛】考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键. 12. 已知，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法法则变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】将拆分为，逆用积的乘方法则简化计算． 【详解】解： ． 14. 如图，在中，、的角平分线、交于点，延长、，，，给出下面四个结论：①；②；③；④（其中表示的周长）．上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】如图：过点作于，利用角平分线的性质定理，结合全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，对四个结论逐一推导验证即可． 【详解】解：如图：过点作于， 平分，， ， 同理：， ，故①正确； ∵， ∴， ∴，， 同理可得：，， ，故②正确； ∵，， ∴， ∴， 平分， ， ，故③错误； ∵ ， 又，， ，故④正确． 综上，正确结论的序号是①②④． 三．解答题：本题共8小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先利用算术平方根、绝对值、立方根化简，然后再计算即可； （2）先利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可； （3）先算乘方，然后再利用同底数幂乘法法则计算即可； （4）先利用幂的乘方、积的乘方化简，然后再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 16. 已知正数的两个平方根分别是和． （1）求和的值； （2）的立方根是________． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反，列关于的方程，解出即可，然后利用求出的值． （2）将和的值代入，开立方即可． 【小问1详解】 解：正数的两个平方根分别是和， ， ． ， ． 【小问2详解】 解：，， ． 17. 规定． （1）填空：________． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接运用新定义运算变形所求代数式，然后运用同底数幂乘法运算法则计算即可； （2）先利用新定义化简等式，再运用同底数幂的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ， ∴，即，  ∴， 解得． 18. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知：，可得，，，再化简即可． 【详解】解：由图可知：， ，， ． 19. 如图，在中，、分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，求的度数． （2）在（1）的条件下，若的面积为，，则的长为________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数； （2）先根据题意得到，,然后利用三角形面积公式求的长． 【小问1详解】 解：， ， 平分， ， 是高， ， ； 【小问2详解】 解：是的中线，， ， ， ， ． 20. 阅读下列材料： 若，，其中、为正数，则________（填．“”或“”）． 解：因为， ，且， 所以． 因为、为正数， 所以． 小结：当指数相同时，通过比较两个幂的大小，来确定底数的大小． 依据以上材料，解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质________（填写正确的选项）． A．同底数幂的乘法　B．幂的乘方　C．积的乘方 （2）若，，试比较与的大小； （3）比较__________的大小（填“”或者“”）． 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据逆用的幂的运算形式判断对应性质即可； （2）将、的幂化为相同指数，通过比较幂的大小即可判断； （3）利用积的乘方逆运算将两式化为同指数的幂，比较底数的大小即可判断． 【小问1详解】 解：上述求解过程中，逆用了幂的乘方运算性质； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴、均为正数， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， 即． 21. 【结论初探】小都利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， 可以设为以下两种形式： ①； ②． 小都展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ， 较小，可忽略不计． ，． ． 【方法运用】 （1）请写出在哪两个连续整数之间：_______________； （2）类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值（小数点后保留一位小数）． 【答案】（1）； （2）方法一：∵； ∴设， 如图， ， 整理得， ， 较小，可忽略不计． ，． ． 方法二：∵； ∴设， 如图， ， 整理得， ， 较小，可忽略不计． ，． ． 【解析】 【分析】（1）根据，即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结．点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）在点P从A运动到C的过程中，线段的长为__________；（用含t的代数式表示） （2）当点P与点C重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求t的值； （4）分别过点P、Q作于点D，于点E．当时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）2或4 （4）或5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）由动点P从点A出发，沿A—C—A以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，即可求解； （2）当点P与点C重合时求得，由即可求解； （3）分类讨论：①当时，由为轴对称图形得，即可求解；②当时，同理可求； （4）①当时，由全等三角形的性质得，即可求解；②当时，同理可求． 【小问1详解】 解：由的运动得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点P与点C重合时， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； ②当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； 故当为轴对称图形时，为t的值或； 【小问4详解】 解：①当时， ，， ， ， 解得； ②当时， ，， ， ， 解得； 故t的值为或5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $