精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷

东北师大附中初二年级上学期数学综合练习 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则分别计算即可判断． 【详解】解：A、不能合并，故错误，不合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不合题意； D、，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2. 如果，，则（ ） A. 13 B. 32 C. 108 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先逆用同底数幂的乘法，再逆用幂的乘方法则变形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查了幂的运算法则，熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则是解答本题的关键． 3. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，将一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，据此判断即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、是整式乘法运算且运算错误，不是因式分解，该选项不合题意； 、是因式分解，该选项符合题意； 、是整式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、是整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 4. 如果整式恰好是一个整式的平方，那么m的值是（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，熟练掌握两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可，注意正负两个． 【详解】∵是一个完全平方式， ∴， 解得：． 故选：C． 5. 如图，在中，，利用尺规在，上分别截取；分别以点、为圆心，以大于的长的一半为半径作圆弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，点为上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. 　 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线，垂线段最短，解题的关键是根据作图痕迹判断出平分．根据尺规作图可得平分， 根据垂线段最短，当时，的值最小， 再利用角平分线的性质定理可得出当时，， 即可得解． 【详解】解：由作图可知平分， 根据垂线段最短，当时，的值最小， ， ， ， 的最小值为． 故选：C． 6. 如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70，则∠DAO+∠DCO的大小是（ ） A. 70 B. 110 C. 140 D. 150 【答案】D 【解析】 【详解】如图，延长BO至点E， ∵OA=OB=OC， ∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC， ∴∠OAB+∠OCB=∠OBA+∠OBC=∠ABC=70°， ∵∠AOE=∠OAB+∠OBA，∠COE=∠OCB+∠OBC， ∴∠AOE+∠COE=70°+70°=140°=∠AOC， 又∵在四边形AOCD中，∠DAO+∠AOC+∠DCO+∠ADC=360°，∠ADC=70°， ∴∠DAO+∠DCO=360°-140°-70°=150°． 故选：D． 7. 如图，长方形的周长是，以、为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，结合图形面积公式与完全平方公式进行展开变形是解题的关键．设长方形的边，，从而可表示出长方形的周长，正方形的面积和，再运用完全平方公式的变形计算即可得解． 【详解】解：设长方形的边，， 长方形的周长是， ， ， ， 又正方形和正方形的面积之和为， ， ， ， 即长方形的面积是． 故选：B ． 8. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，定义新运算，解题的关键是：熟练掌握运算的性质和法则． 根据定义的新运算法则，将原式进行变形，再根据同底数幂的乘法运算法则计算求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法分解因式是解题的关键．提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘整理成以3为底数的幂，再根据指数的大小比较即可． 【详解】 故答案为∶． 【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，熟记性质并转换成以3为底数的幂是解题的关键． 11. 定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作k，等腰△ABC中，若，则它的特征值k＝_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况： 为顶角或 为底角，再根据三角形内角和定理可求得底角或顶角的度数，即可得到它的特征值k． 【详解】解：当为顶角时，则底角； 此时，特征值； 当为底角时，则顶角为； 此时，特征值； 故答案为或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论． 12. 如图，中，，点是上一点，的垂直平分线分别交、于点，则的度数为______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，，再利用三角形的内角和解答即可． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为； 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质与判定，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 13. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）． 【答案】ab 【解析】 【详解】设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得， 解得， ②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（）2-4×（）2=ab． 故答案为：ab. 14. 如图，点为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．给出下列四个结论：；；；．上述结论中，正确的结论的序号有______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可知，，，， 从而证得，证出，可推知，即可判断； 根据可推出， 结合对顶角相等， 利用三角形内角和定理可得，即可判断；根据， 得到，根据， 可求得的度数，从而得证，进而证得， 得到，证，从而得到，即可判断；根据，得到，从而证得是等边三角形，得到，根据内错角相等，两直线平行，即可判断． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， 故正确； ， ， ， ， 即，故正确； ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ，故错误； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，故正确； 综上，正确的结论有． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，三角形角和边的关系，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 三、解答题（共58分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，多项式除以单项式，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先计算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行乘法计算； （2）先计算乘方，再根据单项式乘单项式计算； （3）分别根据单项式乘多项式和平方差公式进行，再进行合并同类项进行加减计算； （4）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 16. 先化简,再求值: ,其中. 【答案】ab+1； -1. 【解析】 【分析】先根据整式的乘除运算法则进行化简，再代入a,b即可求解. 【详解】原式=（a²b²-2ab+ab-2-2a²b²+2）(-ab) =（-a²b²-ab）(-ab) =ab+1 当a=,b=,原式= 【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的乘除运算法则. 17. 用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路和相交于点O，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路、的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 【答案】 解：如图，作的垂直平分线，的平分线，它们的交点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图—作角平分线，作图—作垂直平分线，根据货站P到两条公路、的距离相等可得出点在的平分线上，再由到两工厂C、D的距离相等可得出点在的垂直平分线上，由此作图即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 18. 如图，锐角三角形中，直线l为的中垂线，直线m为的角平分线，l与m相交于P点，若，，求的度数 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得，根据中垂线的性质可得，然后根据的内角和定理进行求解． 【详解】解直线m为的角平分线， ∴ ∵直线l为的中垂线， ∴ ∴ ∴ 在锐角中， 又∵ ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键熟练掌握相关基本性质． 19. 【阅读理解】若满足，求的值． 解：设，，则，， ． 【迁移运用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形和正方形，则阴影部分的面积是______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，平方差公式，完全平方公式与图形的面积，熟练掌握完全平方公式以及平方差公式是解题的关键． （1）设，，则，，进而根据完全平方公式变形求值，即可求解； （2）根据题意可表示出和的长，进而可表示出阴影部分的面积，然后利用平方差公式和完全平方公式进行变形求解即可． 【小问1详解】 解：设，，则： ， ， ． 【小问2详解】 解：由题意可得，，， 则阴影部分的面积为， 长方形的面积是， ， 设，，则，， ． 即阴影部分的面积为． 故答案为：． 20. 如图①，在中，，，，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC匀速运动，点Q到达点C后，立即以每秒4个单位的速度沿CB返回，当点Q返回到点B时，P、Q两点都停止运动，设点Q运动时间为t秒． （1）当时，　，当时，　． （2）用含t的代数式表示BQ的长． （3）如图②，当点P运动到AB的中点时，PQ与AB的位置关系是 　　，请说明理由． （4）在点P、Q运动过程中，请直接写出是等边三角形时t的值． 【答案】（1）6，2 （2） （3），理由见解析 （4）或 【解析】 【分析】（1）当或时，由路程＝速度×时间，可求BQ的长； （2）分两种情况讨论，可求解； （3）在BQ上截取，可证是等边三角形，可得，，由等腰三角形的性质可得，可证，可得PQ⊥AB； （4）由等边三角形的性质可列等式，即可求t的值． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：6，2； 【小问2详解】 当，， 当，， ； 【小问3详解】 QP⊥AB， 理由如下：在BQ上截取， ∵点P运动到AB的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 ∵是等边三角形， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中初二年级上学期数学综合练习 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，，则（ ） A. 13 B. 32 C. 108 D. 5 3. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果整式恰好是一个整式的平方，那么m的值是（ ） A. B. C. D. 9 5. 如图，在中，，利用尺规在，上分别截取；分别以点、为圆心，以大于的长的一半为半径作圆弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，点为上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. 　 C. D. 6. 如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70，则∠DAO+∠DCO的大小是（ ） A. 70 B. 110 C. 140 D. 150 7. 如图，长方形的周长是，以、为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 10. 比较大小：______． 11. 定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作k，等腰△ABC中，若，则它的特征值k＝_____． 12. 如图，中，，点是上一点，的垂直平分线分别交、于点，则的度数为______________ 13. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）． 14. 如图，点为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．给出下列四个结论：；；；．上述结论中，正确的结论的序号有______． 三、解答题（共58分） 15. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 先化简,再求值: ,其中. 17. 用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路和相交于点O，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路、的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 18. 如图，锐角三角形中，直线l为的中垂线，直线m为的角平分线，l与m相交于P点，若，，求的度数 19. 【阅读理解】若满足，求的值． 解：设，，则，， ． 【迁移运用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形和正方形，则阴影部分的面积是______． 20. 如图①，在中，，，，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC匀速运动，点Q到达点C后，立即以每秒4个单位的速度沿CB返回，当点Q返回到点B时，P、Q两点都停止运动，设点Q运动时间为t秒． （1）当时，　，当时，　． （2）用含t的代数式表示BQ的长． （3）如图②，当点P运动到AB的中点时，PQ与AB的位置关系是 　　，请说明理由． （4）在点P、Q运动过程中，请直接写出是等边三角形时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $