第十五章 轴对称--等边三角形 重点题型归纳 专项练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章 轴对称--等边三角形 重点题型归纳 专项练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、等边三角形性质基础计算与证明 1．如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，若，则________ °． 3．如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E． (1)是判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 4．如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若C是的中点，，求的长． 二、等边三角形判定定理应用 5．已知的三边a、b、c满足，则是（   ） A．等腰但非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 6．如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 7．如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 8．如图，在中，，是的中点，过点分别作，垂足分别为，连接，若，求证：是等边三角形． 下面是小贺同学的部分证明过程，请你将过程补充完整． 证明：， ． 又， ， … 三、含30�角直角三角形长度计算 9．在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 10．如图，点D、E、F是等边三角形边上的点，满足．连接，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：________． 11．在直角三角形中，，三等分，，求证：． 12．如图，已知中，，，交于点C．若，求的长． 四、等边三角形与全等综合证明 13．如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 14．如图，等边中，，点M是边上的高所在直线上的点，以为边作等边，连接，则的最小值为_________ ． 15．如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 16．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 五、等腰三角形结合30�性质综合计算 17．如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 18．如图，的平分线上有一点C，过点C作交于点D，点E在射线上，若，，则的最小值为_____ ． 19．如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 20．如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 21．如图，在等边中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，若，已知，求等边的边长； 六、等腰三角形与等边三角形综合 22．下列命题是真命题的是（　　） A．等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一 B．有两个角相等的等腰三角形是等边三角形 C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．顶角与底角相等的等腰三角形是等边三角形 23．如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，，，使，且平分．若，，则_______． 24．【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． (1)如图①，若，可作的平分线交于点，则 是等腰三角形； (2)如图②，若，可延长至点D，使，连接，则 是等腰三角形； (3)如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作，交的延长线于点D，则是等腰三角形，请说明理由； (4)【解决问题】 如图④，在中，，求证：． 25．【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点D，则是等腰三角形，请给出证明； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则______是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作______，交的延长线于点D，则是等腰三角形； 【解决问题】 （4）如图④，在中，，，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 5 9 13 17 22 答案 A D A A D D 1．A 解：如图， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．130 本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：130． 3．(1) 为等边三角形．理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形； (2)27 本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线性质及三角形周长等知识，熟记等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等边三角形的判定与性质，再结合平行线的性质即可得到答案； （2）由角平分线定义、平行线性质得到，由等腰三角形性质可得，同理，再由的周长，数形结合即可得到答案． （1）略 （2）解：∵，为等边三角形， ∴的周长为， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵为等边三角形， ∴的周长为． 4．(1) (2)2 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）先根据直角三角形的性质求出，根据C为的中点，即可求解． （1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵C为的中点， ∴． 5．D 本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的定义，掌握绝对值的非负性是解题关键．利用绝对值的非负性，和为零则每个绝对值为零，推导出三边相等，即可得解． 解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：D． 6． 本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，则有，再证明是等边三角形，即可求解． 解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 7． 是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 同理， ∴是等边三角形． 本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用是等边三角形并结合已知条件可得到，利用相同的方法可证，从而证得是等边三角形． 略 8． 补充过程如下： ∵D是的中点， ． 在和中， ， ∵ 是等边三角形． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，先结合，得出，又因为D是的中点，则，然后证明又因为，故是等边三角形，即可作答． 略 9．A 过点作于点，求出，的长即可． 解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的中线，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴的面积为． 10．，，是等边三角形（答案不唯一） 根据等边三角形得到，，结合已知条件可得，即可证明，那么，那么可得到是等边三角形． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 11．证明：，，三等分， ， ， ， ． 通过已知条件可以求得，则由直角三角形的两个锐角互余的性质得到，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可解答． 略 12． 本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，证明，，再进一步求解即可． 解：，交于点C， ， ，， ， ， ， 的长为． 13．A 先根据等边三角形性质和角平分线定义证明，从而得出，，再利用周角定义求出，最后在等腰中利用内角和定理求解即可． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14． 连接，由“”可证，可得，点N在与成30度的射线上运动，当时，有最小值，再由直角三角形的性质可求解． 解：如图，连接， ∵和是等边三角形， ∴． ∴，即． ∵， ，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴点N在与成30度的射线上运动， ∴当时，有最小值， ∵，， ∴． 15．证明：∵是中线， ∴，即， ∵， ∴， 如图，在的延长线上截取，连接， ∴，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 根据已知条件得到，在的延长线上截取，连接，得到，得到，由等腰三角形的判定得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 略 16．(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． (1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． （1）略 （2）略 17．D 根据直角三角形的两个锐角互余，可知，由尺规作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，根据等边对等角可知，根据角之间的关系可以求出，根据含角的直角三角形的性质可知． 解：中，，， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 18． 3 根据垂线段最短可知当时最小，利用角平分线的性质将的最小值转化为点到的距离，结合平行线的性质和等腰三角形的判定求出的长，最后在含角的直角三角形中求解即可． 解：如图，过点作于点 ，当时，的长最小， 平分，，， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ，即的最小值为3． 19．(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． （1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． （1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）略 20．(1)证明：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)4 （1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得出结果． （1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴． 21．(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)7 (3)6 （1）利用等边三角形的性质，结合已知条件得出，从而利用“”证得； （2）由（1）的结论，得出，再利用解含30度角的直角三角形的性质即可求得，最后利用线段和差关系求得； （3）根据已知条件，利用解含30度角的直角三角形的性质求出，再根据已知条件结合线段和差关系即可求得等边的边长． （1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴等边的边长为6． 22．D 根据等腰三角形的性质、等边三角形的判定进行判断即可． 解：A．等腰三角形底边的高与底边的中线及顶角的角平分线三线合一，故原命题是假命题； B．有两个角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故原命题是假命题； C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故原命题是假命题； D．顶角与底角相等的等腰三角形是等边三角形，故原命题是真命题； 故选：D． 【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理． 23．13 延长交于，延长交于，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等腰三角形的性质得，，由直角三角形的特征得，即可求解． 解：延长交于，延长交于， ， ， 是等边三角形， ， ， ，平分 ，， ， ， ， ． 24．(1) (2) (3) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (4) 证明：如图④，延长至点H，使，取的中点E，连接，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． （1）根据角平分线的定义得到，结合题意，等腰三角形的判定方法即可求解； （2）根据等边对等角得到，再根据三角形的外角，结合题意，等腰三角形的判定方法即可求解； （3）由角的和差关系得到，结合等腰三角形的判定即可求解； （4）延长至点H，使，取的中点E，连接，则，，证明，得到为等边三角形，，结合角的和差关系即可求解． （1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：； （3）略 （4）略 【点睛】本题主要考查了等腰（边）三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 25． （1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） （3） （4）证明：延长至点，使，取的中点，连接， 则：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 本题考查三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等角对等边证明三角形为等边三角形，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，推出，即可得证； （2）利用等边对等角，三角形的外角，推出，即可得出结论； （3）根据等角对等边，证明是等腰三角形即可； （4）延长至点，使，取的中点，连接，证明，进而证明，推出为等边三角形，求出，利用三角形的内角和定理求出即可． 解：（1）略 （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：； （3）作，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）略 学科网（北京）股份有限公司 $