专题14 与等腰三角形相关的常用辅助线的作法（2大板块9种辅助线）（解析版+原卷版）2025-2026学年人教版八年级数学上册【提优专题+重点题型+单元试卷 】典例剖析及举一反三训练

专题14 与等腰三角形相关的常用辅助线的作法（2大板块9种辅助线） 板块一 利用等腰三角形的三线合一作辅助线 类型一 连接顶角顶点和底边中点作等腰三角形的中线 【典例1】（1）如图（1），在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且DE⊥DF，试说明DE＝DF． （2）如图（2），△ABC是边长为4的等边三角形，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且∠EDF＝120°，试说明DE＝DF． 【典例2】（2024秋•雨花区2024期末）在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点． （1）如图1，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE＝DF； （2）如图2，∠AED+∠AFD＝180°，请判断DE和DF有什么数量关系？并说明理由； （3）如图3，点F与点A重合，点P为CD上的一点，且∠APE＝∠C，BA＝BP，求的值． 【针对训练】 1．（2024秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠B，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE＝CF．求证：DE＝DF． 2．（2024•成武县2024三模）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF． 3．（2010秋•崇川区2024期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF． 类型二 作等腰三角形底边的高 【典例3】（2024秋•晋江市期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB． 【针对训练】 1．（2024秋•松北区期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：AB＝AC． （2）若∠BAC＝108°，2∠DAE+∠BAC＝180°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有等腰三角形． 11．小明遇到这样一个问题： 如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD． 小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面的方法：如图②，作BE⊥CD，垂足为点E．证明：∠ABC＝2∠ACD． 请从以上两种方法中任选一种，加以证明． 版块二 构造等腰三角形的常见辅助线 类型一 过等腰三角形腰上一点作腰的平行线构造等腰三角形 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． （1）如图（1），当点P为AB的中点时，试说明：PD＝QD； （2）如图（2），过点P作直线BC的垂线，垂足为E，点P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【针对训练】 1．（2024秋•甘井子区期中）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N． （1）请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明； （2）若点P为边AB延长线上一点，PM⊥BC，垂足为M，交DB延长线于点N，请在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明． 类型二 过等边三角形边上（或延长线上）一点作一边的平行线构造等边三角形 【典例2】如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E． （1）如图（1），若FE＝FD，试说明AD＝CE． （2）如图（2），若FE＝FD，AB＝2，过点D作DG⊥AC，垂足为点G，GF的长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 类型三 利用“角平分线平行线”构造等腰三角形 方法技巧：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形. 基本图形：如图，若，，则为等腰三角形. 【典例3】（2024秋•秦淮区2024期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE． 【针对训练】 1．（2024秋•灌南县2024期末）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝40°，则∠BFC的大小是（　　） A．105° B．100° C．110° D．115° 2．（2024春•淄川区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H． （1）求证：△APF是等腰三角形； （2）求证：AB＝PC． 类型四 通过倍长中线构造全等三角形，从而构造出等腰三角形 【例4】如图，△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE＝EF．求证：AB＝CF（3种方法）． 【针对训练】 1．（2024秋•江汉区期中）如图，AD为△ABC的角平分线，E是BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于点F，交AC于G． （1）求证：BF＝CG； （2）求证：AB+AC＝2CG． 类型五 利用“角平分线垂线”通过延长构造等腰三角形 【例5】（2025春•成都2024期末）（1）如图1，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，AE⊥CD于点E．求证：∠CAE＝∠DAE+∠B． （2）①如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点F在线段BC上，，BE⊥EF，垂足为E，EF与AB相交于点D．若△BDF的面积为64，求BE的长． 针对训练 （2024秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE．求证：BD＝2CE． 类型六 “角平分线+线段和差”通过截长补短构等腰 【例6】如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝AD+BC． 【针对训练】 1．（2022秋•西城区2024期中）已知：如图，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，BD平分∠ABC， DE⊥BC于点E，∠A+∠C＝180°． 求证：DA＝DC． 类型七 根据二倍角构等腰 【例7】如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD＝BC． 【针对训练】 1．如图，在△ABC中∠ABC＝2∠C，若AD⊥BC于D，BD＝4，CD＝16，求AB的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 与等腰三角形相关的常用辅助线的作法（2大板块9种辅助线） 板块一 利用等腰三角形的三线合一作辅助线 类型一 连接顶角顶点和底边中点作等腰三角形的中线 【典例1】（1）如图（1），在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且DE⊥DF，试说明DE＝DF． （2）如图（2），△ABC是边长为4的等边三角形，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且∠EDF＝120°，试说明DE＝DF． 【分析】（1）连接AD，根据等腰直角三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出∠B＝∠C＝∠BAD＝∠DAC＝45°，AD＝BD，求出∠BDE＝∠ADF，根据ASA证△BDE≌△ADF即可得出结论； （2）如图②，连接AD，过D作DM⊥AB交AB于M，再作DN⊥AC交AC于N．根据ASA证明△MDE≌△NDF，再根据全等三角形的性质可得DE＝DF． 【详解】（1）证明：如图1，连接AD． ∵等腰直角三角形ABC， ∴∠C＝∠B＝45°， ∵D为BC的中点， ∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAD＝45°＝∠B，∠ADC＝90°， ∵DE⊥DF， ∴∠EDF＝90°， ∴∠ADF+∠FDC＝90°，∠FDC+∠BDE＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE和△ADF中 ， ∴△BDE≌△ADF， ∴DE＝DF； （2）证明：如图2，连接AD，过D作DM⊥AB交AB于M，再作DN⊥AC交AC于N． ∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点， ∴AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝∠B＝∠C＝60° ∴DM＝DN，∠MDN＝120° 又∵∠EDF＝120°， ∴∠MDN＝∠EDF， ∴∠MDE＝∠NDF． ∴在△MDE与△NDF中， ， ∴△MDE≌△NDF（ASA） ∴DE＝DF． 【点睛】本题考查了三角形综合题．需要掌握等腰直角三角形性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识点的应用，关键是①小题构造三角形ADF，证△BDE和△ADF全等，目比较典型，但有点难度． 【典例2】（2024秋•雨花区2024期末）在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点． （1）如图1，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE＝DF； （2）如图2，∠AED+∠AFD＝180°，请判断DE和DF有什么数量关系？并说明理由； （3）如图3，点F与点A重合，点P为CD上的一点，且∠APE＝∠C，BA＝BP，求的值． 【分析】（1）连接AD，由AB＝AC，D为BC的中点，得AD平分∠BAC，再由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F得DE＝DF； （2）过D点作DG⊥AB，DH⊥AC，根据同角的补角相等得到∠BED＝∠AFD，由AB＝AC，D为BC的中点，得AD平分∠BAC，再由DE⊥AB，DF⊥AC得，DG＝DH，从而得到△DGE≌△DHF（AAS），即可得证； （3）连接AD，过P点作PM⊥AB，通过证明△ADP≌△PMA（AAS），得到AM＝DP，再通过边和角的转换即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接AD， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵D为BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF； （2）解：DE＝DF，理由如下： 如图，过D点作DG⊥AB，DH⊥AC， ∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AED+∠BED＝180°， ∴∠BED＝∠AFD，∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵D为BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴DG＝DH， 在△DGE和△DHF中， ， ∴△DGE≌△DHF（AAS）， ∴DE＝DF； （3）解：如图，连接AD，过P点作PM⊥AB， ∵BA＝BP， ∴∠BAP＝∠APD， ∵AD⊥BC，PM⊥AB， ∴∠ADP＝∠AMP， ∵AP＝AP， ∴△ADP≌△PMA（AAS）， ∴AM＝DP， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠APE＝∠C， ∴∠APE＝∠B， ∴∠AEP＝∠B+∠BPE＝∠APE+∠BPE＝∠APD， ∴∠AEP＝∠BAP， ∴PA＝PE， ∵PM⊥AE， ∴AE＝2AM＝2DP， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，作出恰当辅助线是解题的关键． 【针对训练】 1．（2024秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠B，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE＝CF．求证：DE＝DF． 【分析】证明△ADE≌△CFD（SAS），可得结论． 【详解】证明：连接DC． ∵BC＝AC，∠BCA＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵D为AB中点， ∴BD＝CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB． ∵∠A+∠ACD＝∠ACD+∠FCD＝90°， ∴∠A＝∠FCD， 在△ADE和△CFD中， ， ∴△ADE≌△CFD（SAS）， ∴DE＝DF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用等腰直角三角形的性质得出证明全等需要的条件． 2．（2024•成武县2024三模）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF． 【分析】首先连接AD，由AB＝AC，D是BC的中点，根据三线合一的性质，可得∠EAD＝∠FAD，又由SAS，可判定△AED≌△AFD，继而证得DE＝DF． 【详解】证明：连接AD， ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠EAD＝∠FAD， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（SAS）， ∴DE＝DF． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 3．（2010秋•崇川区2024期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF． 【分析】首先连 ED，DF，再证明△BDE≌△CFD，进而得到DE＝DF，然后根据等腰三角形的性质可得DG⊥EF． 【详解】证明：连 ED，DF， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BED和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CFD（SAS）， ∴DE＝DF， ∵G是EF的中点， ∴DG⊥EF． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理． 类型二 作等腰三角形底边的高 【典例3】（2024秋•晋江市期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB． 【分析】作EF⊥AC于F，再根据等腰三角形的性质可得AFAC，再证明△ABE≌△AFE可得∠ABE＝∠AFE＝90°． 【详解】证明：作EF⊥AC于F， ∵EA＝EC， ∴AF＝FCAC， ∵AC＝2AB， ∴AF＝AB， ∵AD平分∠BAC交BC于D， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAE和△FAE中， ∴△ABE≌△AFE（SAS）， ∴∠ABE＝∠AFE＝90°． ∴EB⊥AB． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．证明三角形全等是证明角相等和线段相等的重要手段． 【针对训练】 1．（2024秋•松北区期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：AB＝AC． （2）若∠BAC＝108°，2∠DAE+∠BAC＝180°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有等腰三角形． 【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC． （2）由条件求出∠DAE＝36°，根据等腰三角形的性质可求出∠ADE，∠AED，∠B，∠C的度数，根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F， ∵AD＝AE， ∴DF＝EF， ∵BD＝CE， ∴BF＝CF， ∴AB＝AC． （2）解：∵∠BAC＝108°，2∠DAE+∠BAC＝180°， ∴2∠DAE＝72°， ∴∠DAE＝36°， ∵AD＝AE， ∴， ∵AB＝AC， ∴， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC， ∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 11．小明遇到这样一个问题： 如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD． 小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面的方法：如图②，作BE⊥CD，垂足为点E．证明：∠ABC＝2∠ACD． 请从以上两种方法中任选一种，加以证明． 【分析】方法1，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠ABC＝2∠ACD． 方法2，作BE⊥CD，垂足为点E．利用等腰三角形的性质以及同角的余角相等，即可得出∠ABC＝2∠ACD． 【详解】解：方法1：如图①，∵∠ACB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ACD， 又∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∴△BCD中，∠ABC＝180°﹣2∠BCD＝180°﹣2（90°﹣∠ACD）＝2∠ACD； 方法2：如图②，作BE⊥CD，垂足为点E． ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝∠CBE+∠BCE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， 又∵BC＝BD，BE⊥CD， ∴∠ABC＝2∠CBE， ∴∠ABC＝2∠ACD． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的综合运用，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等． 版块二 构造等腰三角形的常见辅助线 类型一 过等腰三角形腰上一点作腰的平行线构造等腰三角形 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． （1）如图（1），当点P为AB的中点时，试说明：PD＝QD； （2）如图（2），过点P作直线BC的垂线，垂足为E，点P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【分析】（1）过点P作PF∥AC交BC于点F，先证PF＝CQ，再由AAS证得△PFD≌△QCD，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质判定DE的长度不变，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点P作PF∥AC交BC于点F， ∵点P和点Q同时出发，且速度相同， ∴BP＝CQ， ∵PF∥AC， ∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠DQC， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠PFB， ∴BP＝PF， ∴PF＝CQ， 在△PFD与△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴PD＝QD； （2）解：存在，ED是长度保持不变的线段，理由如下： 如图2，过点P作PF∥AC交BC于点F， 由（1）得：△PFD≌△QCD，BP＝PF， ∴DF＝CD， ∴FDFC， ∵PE⊥BC， ∴BE＝EF， ∴EFBF， ∴ED＝FD+EFFCBFBC， ∴ED为定值，ED是长度保持不变的线段． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【针对训练】 1．（2024秋•甘井子区期中）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N． （1）请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明； （2）若点P为边AB延长线上一点，PM⊥BC，垂足为M，交DB延长线于点N，请在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明． 【分析】（1）结论：PN＝2BM．如图1中，作PF∥AC交BC于F，交BD于E．只要证明△PEN≌△BEF（ASA）即可解决问题； （2）结论不变，证明方法类似（1）； 【详解】解：（1）结论：PN＝2BM． 理由：如图1中，作PF∥AC交BC于F，交BD于E． ∵BD⊥AC，PF∥AC， ∴PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝45°， ∴∠BEP＝90°， ∴∠BPE＝∠PBE＝45°， ∴BE＝PE， ∵PM⊥BC， ∴∠PMB＝∠PEN＝90°， ∵∠BNM＝∠PNE， ∴∠NPE＝∠EBF， ∵∠PEN＝∠BEF＝90°， ∴△PEN≌△BEF（ASA）， ∴PN＝BF， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠PFB＝∠C， ∴PB＝PF， ∵PM⊥BF， ∴BM＝MF， ∴PN＝2BM． （2）结论不变． 理由：如图2中，作PF∥AC交CB的延长线于E，交DB的延长线于F． ∵∠ABD＝∠PBF＝∠BPF＝45°， ∴BF＝PF， ∵∠EBF＝∠EPM，∠EFB＝∠EMP，BF＝PF， ∴△BFE≌△PFN（ASA）， ∴PN＝BE， ∵∠E＝∠C＝∠ABC＝∠PBE， ∴PE＝PB， ∵PM⊥EB， ∴EM＝BM， ∴PN＝2BM． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 类型二 过等边三角形边上（或延长线上）一点作一边的平行线构造等边三角形 【典例2】如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E． （1）如图（1），若FE＝FD，试说明AD＝CE． （2）如图（2），若FE＝FD，AB＝2，过点D作DG⊥AC，垂足为点G，GF的长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）先判断出△DHF≌△ECF得出DH＝CE，再判断出△ADH是等边三角形，即可得出结论； （2）先判断出FHCH，进而判断出FHBD，再根据等边三角形的性质判断出GHAH，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点D作DH∥BC交AC于H， ∴∠FDH＝∠E，∠DHF＝∠ECF， 在△DHF和△ECF中， ， ∴△DHF≌△ECF（AAS）， ∴DH＝CE， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠A＝60° ∵DH∥BC， ∴∠ADH＝∠ABC＝∠A＝60°， ∴△ADH是等边三角形， ∴AD＝DH， ∵DH＝CE， ∴AD＝CE； （2）解：GF的长是定值， 理由：如图2，过点D作DH∥BC交AC于H，过点D作DG⊥AC于G， 由（1）知，△DHF≌△ECF， ∴FH＝FCCH， ∵△ABC等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴CH＝BD， ∴FHBD， 由（1）知，△ADH是等边三角形， ∴AH＝AD，∠A＝60°， 在Rt△ADG中，AG＝HGAHAD， ∴FG＝HG+HFADBD（AD+BD）AB＝1． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形和相似三角形． 类型三 利用“角平分线平行线”构造等腰三角形 方法技巧：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形. 基本图形：如图，若，，则为等腰三角形. 【典例3】（2024秋•秦淮区2024期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE． 【分析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF＝2BE，即可证得AC＝2BE． 【详解】证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F， ∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C， ∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠C， ∴∠F＝∠FAD＝∠ABD，BD＝CD， ∴AD＝DF，AB＝AF， ∵AE⊥BD， ∴BE＝EFBF， ∵AC＝AD+CD＝DF+BD＝BF， ∴AC＝2BE． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用． 【针对训练】 1．（2024秋•灌南县2024期末）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝40°，则∠BFC的大小是（　　） A．105° B．100° C．110° D．115° 【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′+∠AHC′，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题． 【详解】解：延长C′D交AB′于H． ∵△AEB≌△AEB′， ∴∠ABE＝∠AB′E， ∵C′H∥EB′， ∴∠AHC′＝∠AB′E， ∴∠ABE＝∠AHC′， ∵△ADC≌△ADC′， ∴∠C′＝∠ACD， ∵∠BFC＝∠DBF+∠BDF，∠BDF＝∠CAD+∠ACD， ∴∠BFC＝∠AHC′+∠C′+∠DAC， ∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°， ∴∠C′AH＝120°， ∴∠C′+∠AHC′＝60°， ∴∠BFC＝60°+40°＝100°， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2．（2024春•淄川区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H． （1）求证：△APF是等腰三角形； （2）求证：AB＝PC． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠4，同位角相等可得∠2＝∠P，再根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后求出∠4＝∠P，根据等角对等边的性质即可得证； （2）根据两直线平行，内错角相等可得∠5＝∠B，再求出∠H＝∠1＝∠3，然后利用“AAS”证明△BEF和△CDH全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CH，再根据∠1＝∠2＝∠H，得出AC＝CH，再根据AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，整理即可得解． 【详解】证明：如图 ： （1）∵EF∥AD， ∴∠1＝∠4，∠2＝∠P， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∴∠4＝∠P， ∴AF＝AP， 即△APF是等腰三角形； （2）∵CH∥AB， ∴∠5＝∠B，∠H＝∠1， ∵EF∥AD， ∴∠1＝∠3， ∴∠H＝∠3， 在△BEF和△CDH中， ， ∴△BEF≌△CDH（AAS）， ∴BF＝CH， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠H， ∴AC＝CH， ∴AC＝BF， ∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，AF＝AP， ∴AB＝PC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质，题目较为复杂，熟记性质与判定是解题的关键． 类型四 通过倍长中线构造全等三角形，从而构造出等腰三角形 【例4】如图，△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE＝EF．求证：AB＝CF（3种方法）． 【分析】方法一：延长FD至H，使FD＝DH，连接BH，证明△BDH与△CDF全等，再运用全等三角形的性质可得∠H＝∠CFD，CF＝BH，然后运用等腰三角形的性质可得AB＝BH，进而求解即可； 方法二：过B点作BH∥CF，交AD的延长线于H，证明△BDH与△CDF全等，再运用全等三角形的性质可得CF＝BH，进而运用等腰三角形的性质可得AB＝BH，据此求解即可； 方法三：对于第三种方法可延长AD于点E′，使AD＝DE′，连接CE′，通过证明△ABD≌△E′CD来证明线段相等． 【详解】证明：方法一：延长FD至H，使FD＝DH，连接BH，如图1： ∵AD为中线， ∴BD＝CD． 在△BDH与△CDF中， ， ∴△BDH≌△CDF（SAS）， ∴∠H＝∠CFD，CF＝BH． ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠AFE． ∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠EAF＝∠H， ∴AB＝BH， ∴AB＝CF； 方法二，过B点作BH∥CF，交AD的延长线于H，如图2： ∵BH∥CF， ∴∠H＝∠DFC． ∵AD为中线， ∴BD＝CD． ∵∠BDH＝∠CDF， ∴△BDH≌△CDF（AAS）， ∴CF＝BH． ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠AFE． ∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠EAF＝∠H， ∴AB＝BH， ∴AB＝CF； 方法三，可延长AD于点E′，使AD＝DE′，连接CE′． ∵BD＝CD，∠BDA＝∠CDE′，AD＝DE′， ∴△ABD≌△E′CD， ∴AB＝CE′，∠BAD＝∠DE′C， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠E′FC，∠BAD＝∠DE′C， ∴E′FC＝∠DE′C， ∴CF＝E′C． ∴AB＝CF． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质． 【针对训练】 1．（2024秋•江汉区期中）如图，AD为△ABC的角平分线，E是BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于点F，交AC于G． （1）求证：BF＝CG； （2）求证：AB+AC＝2CG． 【分析】（1）延长FE至点H，使EH＝FE，连结CH，先证△CEH≌△BEF可得CH＝BF，∠H＝∠F，结合平行线的性质、角平分线的定义进而证得∠CGH＝∠H，再根据等腰三角形的判定及等量代换即可得证； （2）结合平行线的性质、角平分线的定义证得∠AGF＝∠F，则AG＝AF，最后根据线段的和差即可得证． 【详解】证明：（1）延长FE至点H，使EH＝FE，连结CH， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△CEH和△BEF中， ， ∴△CEH≌△BEF（SAS）， ∴CH＝BF，∠H＝∠F， ∵EF∥AD， ∴∠CGH＝∠CAD，∠BAD＝∠F， ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠CGH＝∠F， ∴∠CGH＝∠H， ∴CH＝CG， ∴BF＝CG； （2）∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵EF∥AD， ∴∠AGF＝∠CAD，∠BAD＝∠F， ∴∠AGF＝∠F， ∴AG＝AF， ∵AC＝CG+AG，AF+AB＝BF，BF＝CG， ∴AC＝CG+CG﹣AB， ∴AB+AC＝2CG． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理是解答本题的关键． 类型五 利用“角平分线垂线”通过延长构造等腰三角形 【例5】（2025春•成都2024期末）（1）如图1，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，AE⊥CD于点E．求证：∠CAE＝∠DAE+∠B． （2）①如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论． ②如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点F在线段BC上，，BE⊥EF，垂足为E，EF与AB相交于点D．若△BDF的面积为64，求BE的长． 【分析】（1）由ASA可证△ACE≌△HCE，可得∠CAE＝∠AHC，即可求解； （2）①延长BE、CA交于点F，利用ASA证△ABF≌△ACD，有BF＝CD，结合问题情境可知BE＝EFBF，即可得出结论； ②过点F作FG∥AC，交BE的延长线于点G，与AD相交于H，可得∠GFB＝∠C和∠BHF＝∠A，进一步得∠EFB＝∠EFG∠C，结合BE⊥EF有BE＝GE和∠BEF＝90°，利用ASA可证得△BGH≌△FDH，说明BG＝DF，即可证明DF＝2BE，根据三角形面积公式求出BE即可． 【详解】（1）证明：延长AE交BC于H， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵AE⊥CD， ∴∠AEC＝∠HEC， 又∵CE＝CE， ∴△ACE≌△HCE（ASA）， ∴∠CAE＝∠AHC， ∴∠CAE＝∠AHC＝∠DAE+∠B； （2）解：①BECD，理由如下： 延长BE、CA交于点F，如图2， 则∠BAF＝180°﹣∠BAC＝90°， ∵BE⊥CD， ∴90°＝∠BED＝∠BAC， ∵∠BDC＝∠ABF+∠BED＝∠ACD+∠BAC， ∴∠ACD＝∠ABF， 又∵AB＝AC， ∴△ABF≌△ACD（ASA）， ∴BF＝CD， 由问题情境可知，△BEC≌△FEC（ASA）， ∴BE＝EFBF， ∴BECD； ②过点F作FG∥AC，交BE的延长线于点G，与AD相交于H，如图3， ∵FG∥AC， ∴∠BHF＝∠A＝90°，∠GFB＝∠C， ∵∠EFB∠C， ∴∠EFB＝∠EFG∠C， ∵BE⊥FE， ∴∠BEF＝90°， ∴∠BHF＝∠BEF， ∵∠HDF＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠HFD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABC＝∠GFB＝45°， 则BH＝FH， 在△BGH和△FDH中， ， ∴△BGH≌△FDH（ASA）， ∴BG＝DF， 根据解析（1）可知：△BEF≌△GEF， ∴BE＝GE， ∴BG＝DF＝2BE， ∴S△BDFDF•BE2BE•BE＝64， ∴BE＝8，负值舍去． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 针对训练 （2024秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE．求证：BD＝2CE． 【分析】延长BA交CE的延长线于F，先证明△BCE≌△BFE，得CE＝EF，再证明△ACF≌△ABD得BD＝CF，从而有BD＝2CE． 【详解】证明：延长BA交CE的延长线于F， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠FBE， ∵CE⊥BE， ∴∠BEC＝∠BEF＝90°， ∵在△BCE和△BFE中， ， ∴△BCE≌△BFE（ASA）， ∴CE＝EF， 在△ABC中，∵∠BAC＝90°，CE⊥BE， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∠CDE+∠FCA＝90°， 又∵∠ADB＝∠CDE（对顶角相等）， ∴∠FCA＝∠ABD， ∵在△ACF和△ABD中， ， ∴△ACF≌△ABD（ASA）， ∴BD＝CF， ∴BD＝2CE． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，证明此题的关键是作好辅助线：延长BA交CE的延长线于F． 类型六 “角平分线+线段和差”通过截长补短构等腰 【例6】如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝AD+BC． 【分析】证明线段的和差倍分问题常用截长补短的方法．在线段AB上截取BE＝BC，连接DE．则只需证明AD＝AE即可．结合角度证明∠ADE＝∠AED． 【详解】证明：在线段BA上截取BE＝BC，连接DE． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD∠ABC． 在△CBD和△EBD中， ， ∴△CBD≌△EBD（SAS）， ∴∠BED＝∠ACB＝108°，∠CDB＝∠EDB． 又∵AB＝AC，∠ACB＝108°，∠CAB＝∠ABC（180°﹣108°）＝36°， ∴∠CBD＝∠EBD＝18°． ∴∠CDB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°． ∴∠ADE＝180°﹣∠CDB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°． ∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°． ∴∠ADE＝∠AED． ∴AD＝AE． ∴AB＝BE+EA＝CB+AD． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，综合性较强． 【针对训练】 1．（2022秋•西城区2024期中）已知：如图，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，BD平分∠ABC， DE⊥BC于点E，∠A+∠C＝180°． 求证：DA＝DC． 【分析】过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F，通过AAS证明△DFA≌△DEC即可得出结论． 【详解】证明：如图，过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F， ∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DE⊥BC， ∴DF＝DE， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠FAD＝180°， ∴∠FAD＝∠C， 又∵∠DEC＝∠DFA， ∴△DFA≌△DEC（AAS）， ∴DA＝DC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△DFA≌△DEC是解题的关键． 类型七 根据二倍角构等腰 【例7】如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD＝BC． 【分析】在BC上截取CE＝AC，连接DE，利用已知条件求证△ACD≌△ECD，然后可得AD＝DE，∠A＝∠CED，再利用三角形外角的性质求证DE＝EB，然后问题可解． 【详解】证明：在BC上截取AC＝CE，连接DE． ∵∠ACB的平分线CD交AB边于点D， ∴∠ACD＝∠DCE， 在△ACD与△ECD中， ， ∴△ACD≌△ECD（SAS）， ∴AD＝DE，∠A＝∠CED， ∵∠A＝2∠B，∠CED＝∠B+∠EDC， ∴∠CED＝2∠B， ∴∠B＝∠EDB， ∴DE＝BE， ∴AD＝EB， ∴AC+AD＝BC． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，证明此题的关键是在BC上截取AC＝CE，连接DE，利用已知条件求证△ACD≌△DCE，此题难易程度适中，适合学生的训练． 【针对训练】 1．如图，在△ABC中∠ABC＝2∠C，若AD⊥BC于D，BD＝4，CD＝16，求AB的长． 【分析】延长DB到F，使BF＝BA，连接AF，证得∠ABC＝2∠F，于是得到∠F＝∠C，由等腰三角形的判定得到AF＝AC，根据等腰三角形的性质得到FD＝CD＝16，可得BF＝FD﹣BD＝12，即可求解． 【详解】解：延长DB到F，使BF＝BA，连接AF， ∵BF＝BA， ∴∠F＝∠BAF， ∵∠ABC＝∠F+∠BAF， ∴∠ABC＝2∠F， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠F＝∠C， ∴AF＝AC， ∵AD⊥BC于点D， ∴FD＝CD＝16， ∴BF＝FD﹣BD＝16﹣4＝12， ∴AB＝12． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $