《第十五章轴对称》质量检测卷（1）026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版初中数学八年级 (上) 第十五章 轴对称质量检测卷（1） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.现实世界中，对称现象无处不在，我国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（        ） A. B. C. D. 2.下列说法不正确的是（       ） A.两个关于某直线对称的图形一定全等 B.成轴对称的两个图形中，对称轴是对称点连线的垂直平分线 C.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线 D.平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称 3.已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（       ） A. B. C. D. 4.如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是（        ） A.12 B.13 C.15 D.18 5.某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（        ） A. B. C. D. 6.下列命题中，逆命题是真命题的是（       ） A.全等三角形的对应角相等 B.三角形的中位线平行于第三条边 C.直角三角形的两锐角互余 D.等边三角形是等腰三角形 7.如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（     ） A. B. C. D.不确定 8.如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（        ） A.10 B.11 C.15 D.16 9.如图，在中，，，以，为边向外分别作等边和等边，若，则的长为（        ） A. B. C. D. 10.如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（       ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是_______．这个逆命题是________命题．（填真或假） 12.若点与点关于y轴对称，则______． 13.线段和线段关于直线对称，若，则＝_________． 14.如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 15.如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则的长为________． 16.如图，在Rt ABC中，， ADC是以为底边的等腰三角形，平分，分别交于点E，F，若，点C到的距离为，P是直线上的一个动点，连接，则的最小值为________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 已知在中，． （1）的长可以是吗？并说明理由． （2）若是等腰三角形，求的周长． 18.(6分) 已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． （1）此命题是___________命题(填真或假)； （2）上述命题的逆命题为___________； （3）若与互为相反数，求的值． 19.(6分) 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为__________； （3）求的面积． 20.(6分) 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21.(6分) 如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 22.(10分) 如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． （1）若，的周长为19，则的长为______； （2）若，求的度数； （3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 23.(10分) 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 24.(10分) 如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． （1）求证：是的平分线； （2）若，求证：． 25.(12分) 综合与实践．情境：是等边三角形，点D是直线上一点（不与A，C重合），点E在射线上（不与B，C重合），且，连接． “兴趣小组”提出的问题是：探究与的数量关系． 特例探究： （1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点D在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系； 数学思考： （2）如图2，当点D是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立，可以通过作平行线构造全等来证明．请你证明： 类比延伸： （3）进一步猜想：当点D在或的延长线上时，仍存在使得线段与的数量关系与第（1）问结论相同的情况，请你任意选择一种在图3画出并证明． （4）如图，点M在等边的边上，，与等边三角形外角平分线所在的直线相交于点N，过N作于D，请写出，，的数量关系并证明． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版初中数学八年级 (上) 第十五章 轴对称质量检测卷（1） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.现实世界中，对称现象无处不在，我国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（        ） A. B. C. D. 2.下列说法不正确的是（       ） A.两个关于某直线对称的图形一定全等 B.成轴对称的两个图形中，对称轴是对称点连线的垂直平分线 C.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线 D.平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称 3.已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（       ） A. B. C. D. 4.如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是（        ） A.12 B.13 C.15 D.18 5.某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（        ） A. B. C. D. 6.下列命题中，逆命题是真命题的是（       ） A.全等三角形的对应角相等 B.三角形的中位线平行于第三条边 C.直角三角形的两锐角互余 D.等边三角形是等腰三角形 7.如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（     ） A. B. C. D.不确定 8.如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（        ） A.10 B.11 C.15 D.16 9.如图，在中，，，以，为边向外分别作等边和等边，若，则的长为（        ） A. B. C. D. 10.如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（       ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是________．这个逆命题是________命题．（填真或假） 12.若点与点关于y轴对称，则________． 13.线段和线段关于直线对称，若，则＝__________． 14.如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 15.如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则的长为________． 16.如图，在Rt ABC中，， ADC是以为底边的等腰三角形，平分，分别交于点E，F，若，点C到的距离为，P是直线上的一个动点，连接，则的最小值为________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 已知在中，． （1）的长可以是吗？并说明理由． （2）若是等腰三角形，求的周长． 18.(6分) 已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． （1）此命题是___________命题(填真或假)； （2）上述命题的逆命题为___________； （3）若与互为相反数，求的值． 19.(6分) 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为__________； （3）求的面积． 20.(6分) 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21.(6分) 如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 22.(10分) 如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． （1）若，的周长为19，则的长为______； （2）若，求的度数； （3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 23.(10分) 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 24.(10分) 如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． （1）求证：是的平分线； （2）若，求证：． 25.(12分) 综合与实践．情境：是等边三角形，点D是直线上一点（不与A，C重合），点E在射线上（不与B，C重合），且，连接． “兴趣小组”提出的问题是：探究与的数量关系． 特例探究： （1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点D在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系； 数学思考： （2）如图2，当点D是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立，可以通过作平行线构造全等来证明．请你证明： 类比延伸： （3）进一步猜想：当点D在或的延长线上时，仍存在使得线段与的数量关系与第（1）问结论相同的情况，请你任意选择一种在图3画出并证明． （4）如图，点M在等边的边上，，与等边三角形外角平分线所在的直线相交于点N，过N作于D，请写出，，的数量关系并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版初中数学八年级 (上) 第十五章 轴对称质量检测卷（1） 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.现实世界中，对称现象无处不在，我国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】 解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D符合题意． 故选：. 2.下列说法不正确的是（       ） A.两个关于某直线对称的图形一定全等 B.成轴对称的两个图形中，对称轴是对称点连线的垂直平分线 C.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线 D.平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称 【答案】 C 【解析】 此题考查了轴对称的性质、成轴对称的性质、等腰三角形的性质、全等和轴对称的关系等知识，根据相关知识进行判断即可． 【解答】 解： 两个关于某直线对称的图形一定全等，说法正确，不合题意； 成轴对称的两个图形中，对称轴是对称点连线的垂直平分线，说法正确，不合题意； 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的角平分线所在直线，选项说法不正确，符合题意； 平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称，说法正确，不合题意； 故选：. 3.已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解. 【解答】 解： 与 关于直线MN对称， ，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B. 故选：B. 4.如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是（        ） A.12 B.13 C.15 D.18 【答案】 A 【解析】 根据轴对称的性质可得 ，再由三角形的周长公式可得答案. 【解答】 解：由轴对称的性质可得 ， 的周长 故选：. 5.某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据对称的性质，结合两点之间，线段最短，即可求解． 【解答】 解：作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ， 根据两点之间，线段最短，可知选项 B中的汽车充电站 P到A、B两个小区之间的距离之和最短． 故选：. 6.下列命题中，逆命题是真命题的是（       ） A.全等三角形的对应角相等 B.三角形的中位线平行于第三条边 C.直角三角形的两锐角互余 D.等边三角形是等腰三角形 【答案】 C 【解析】 先将各选项原命题的条件和结论互换得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假即可得到答案. 【解答】 A、原命题：全等三角形的对应角相等， 逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形. ∵ 对应角相等的三角形不一定全等（可能只是相似），∴ 逆命题是假命题，不符合题意. B、原命题：三角形的中位线平行于第三条边， 逆命题是平行于三角形第三条边的线段是三角形的中位线. ∵ 该线段需要同时满足端点平分三角形另两条边才是中位线，∴ 逆命题是假命题，不符合题意. C、原命题：直角三角形的两锐角互余， 逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形. ∵ 三角形内角和为180°，两锐角互余即两锐角和为90°，则第三个角为180°−90°=90°， ∴ 该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合题意. D、原命题：等边三角形是等腰三角形， 逆命题是等腰三角形是等边三角形. ∵ 等腰三角形只有两条边相等，不一定是等边三角形，∴ 逆命题是假命题，不符合题意. 选C. 7.如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（     ） A. B. C. D.不确定 【答案】 B 【解析】 本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由 ， ，得到 ，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到结论． 【解答】 解： ， 而 ， ， 点 在 的垂直平分线上． 故选：B． 8.如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（        ） A.10 B.11 C.15 D.16 【答案】 B 【解析】 先根据三角形的外角的性质得 ，再根据等腰三角形的判定可得 ，然后根据 的周长 得出答案． 【解答】 解： 是 的外角， 即 的周长为 故选：. 9.如图，在中，，，以，为边向外分别作等边和等边，若，则的长为（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 连接CD，利用SAS证明 ，得出BE=CD，再在Rt 中利用勾股定理求解； 【详解】 解：连接CD， 和 都是等边三角形， 即 在 和 中， （SAS） 在Rt 中， 是等边三角形， 在Rt 中， 10.如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（       ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 【解析】 本题考查等腰三角形的判定及性质，熟练应用等腰三角形的判定和性质是解题的关键，过点F作 ，则 ，从而易证 ，因此EG=FG，故（1）正确；在AD上截取AK=AB，则 ，且易证 为等腰三角形，从而 AB=AK，BC=CK=DK，因此AB+BC=AK+DK=AD，故（2）正确；连接AG，利用等面积法，易证（4）正确. 【解答】 解：如图，过点F作 故（1）正确； 在AD上截取 故（2）正确； 连接AG，过点G作 ，GJ ，CI ，垂足分别为H，G，I， 点G到AB，AC的距离之和为定值， 故（4）正确； 故选：C 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是___三个角都相等的三角形是等边三角形_____．这个逆命题是____真____命题．（填真或假） 【答案】 三个角都相等的三角形是等边三角形,真 【解析】 由逆命题的定义解答. 【解答】 解：“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是三个角都相等的三角形是等边三角形．这个逆命题是真命题． 故答案为：三个角都相等的三角形是等边三角形；真. 12.若点与点关于y轴对称，则___5_____． 【答案】 5 【解析】 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求出a的值. 【解答】 解： 点A( -2, a)与点B( 2, 5)关于y轴对称， 两点纵坐标相等，可得a=5. 13.线段和线段关于直线对称，若，则＝___16_______． 【答案】 【解析】 根据轴对称图形的性质进行解答即可． 【解答】 解：因为线段和线段关于直线对称， 所以， 故答案为 14.如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为___3_____． 【答案】 3 【解析】 本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得 ，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【解答】 解：由折叠的性质得： 又 故答案为：3. 15.如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则的长为___6_____． 【答案】 6 【解析】 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题。延长FE交AD的延长线于H.等角对等边可证明 ，进而证明 即可得到AB=CH=8，设CF=x，进而列出方程，即可解决问题. 【解答】 解：如图，延长FE交AD的延长线于H， 平分 ，设CF=x，则EF=EA=EH=x+1， 故答案为：6. 16.如图，在Rt ABC中，， ADC是以为底边的等腰三角形，平分，分别交于点E，F，若，点C到的距离为，P是直线上的一个动点，连接，则的最小值为___13_____． 【答案】 13 【解析】 题目主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及三角形等面积法，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键连接PA，根据题意得出DE AC，AF=CF，确定PA=PC.当点P与点E重合时，PB+PC=PB+PA=AB，此时PB+PC的值最小，然后利用等面积法求解即可. 【解答】 解：如图，连接PA. 是以AC为底边的等腰三角形，DE平分 垂直平分AC. 是直线DE上的一个动点， 当点P与点E重合时， ，此时 的值最小. 的最小值为13. 故答案为13. 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 已知在中，． （1）的长可以是吗？并说明理由． （2）若是等腰三角形，求的周长． 【答案】 不可以，见解析 【解析】 （1）根据三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，计算出另外两边的和以及差即可判断． （2）由第一问的结论可知，的长的取值范围，再根据等腰三角形的腰长相等确定满足三角形的三边关系，进而可求解三角形的周长． 【解答】 （1）解：不可以． 理由：因为， 则， 即可得， 所以的长不可能是 （2）解：由知，满足三角形三边的条件，需， 因为是等腰三角形，， 所以， 所以的周长． 18.(6分) 已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． （1）此命题是____真_______命题(填真或假)； （2）上述命题的逆命题为____如果 a与b互为相反数，那么 与 互为相反数_______； （3）若与互为相反数，求的值． 【答案】 真 如果 a与b互为相反数，那么 与 互为相反数 -3 【解析】 （1）根据命题的判断，结合所学知识解答即可； （2）根据逆命题的意义解答即可； （3）根据 与 互为相反数，得 ，得到 6-3x+4x-2=0，解方程求得x，后代入 解答即可.本题考查实数的性质，解一元一次方程，熟练掌握相反数的定义，立方根的定义，是解题的关键. 【解答】 （1）解：如果 与 互为相反数， 则 故a与b互为相反数， 故命题是真命题， 故答案为：真. （2）解：根据题意，得如果a与b互为相反数，那么 与 互为相反数. （3）解：根据 与 互为相反数，由（1）得 6-3x与4x-2互为相反数， 解得 x=-4 19.(6分) 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为__________； （3）求的面积． 【答案】 见详解； y轴，（-2,3）; 【解析】 （1）找到点 、 、 关于 轴对称的点 、 、 ，顺次连接即可； （2）根据题意得到 与点B关于一条直线成轴对称，则此直线是y轴，即可得到答案； （3）利用长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可. 【解答】 （1）解：如图， 即为所求， （2）解：若 与点B关于一条直线成轴对称，则此直线是y轴. C(2,3)关于直线y轴的对称点 的坐标为（-2,3）， 故答案为：y轴，（-2,3）； （3）解： 的面积为 20.(6分) 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 见解答 BD的长为4. 【解析】 （1）连接BE、DE，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出 ，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明 是等边三角形，再根据 求解即可. 【解答】 （1）证明：连接BE、DE ，E是AC的中点， 是BD的中点， （2）解：由（1）可知， 又 是等边三角形， 21.(6分) 如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】 见解答 见解答 【解析】 （1）根据等边三角形的性质得到 进而得到 根据SAS即可证明 （2）根据等边三角形的性质得到 进而根据三线合一得到 根据全等三角形的性质得到 进而得到 即可证明 【解答】 （1）证明： 与 都是等边三角形， 即 在 与 中， （2）证明： 是等边三角形， 即 22.(10分) 如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． （1）若，的周长为19，则的长为___10___； （2）若，求的度数； （3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】 10 见解答 【解析】 （1）由题意易得 ，然后根据三角形的周长可进行求解； （2）由题意易得 ，则有 ，然后问题可求解； （3）连接 ，由题意易得 ，进而问题可求解. 【解答】 （1）解： 直线/垂直平分边BC， 的周长为19， （2）解： 直线/垂直平分边BC， （3）解：是， 理由如下：连接AP，BP，如图所示： 直线l垂直平分边BC，点P在边AC的垂直平分线上， 点P在边AB的垂直平分线上. 23.(10分) 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】 证明：如图所示，连接 EF是AB的垂直平分线， ，D是CE的中点， 是CE的垂直平分线 84° 【解析】 （1）连接 ，利用垂直平分线的性质得到 ，再结合 、D是CE中点，得到 ，进而证明 ； （2）证明 ，得到 ，根据三角形外角性质得到 的度数，同理求出 的度数，最后根据三角形内角和定理可得答案. 【解答】 （1）略 （2）解： 的垂直平分线EF交BC于点E， 又 同理可得 24.(10分) 如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． （1）求证：是的平分线； （2）若，求证：． 【答案】 见解答 见解答 【解析】 （1）过点C作CF AD交AD的延长线于点F，利用三角形面积公式求得CF=CE=4，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在AB上截取AH=AD=7，连接CH，首先证明EH=BE=3，易得CE是线段BH的垂直平分线，进而可得HC=BC，再证明 ，进而利用“SAS”证明 ，由全等三角形的性质可得HC=CD，即可证明结论. 【解答】 （1） 证明：如图1，过点C作 交AD的延长线于点F， 图1 的面积为14，AD=7， 又 点C在 的内部， 点C在 的平分线上， 是 的平分线； （2） 证明：如图2，在AB上截取 ，连接CH， 图2 垂足为E， 是线段BH的垂直平分线， 由（1）可知：AC是 的平分线， 在 和 中， 25.(12分) 综合与实践．情境：是等边三角形，点D是直线上一点（不与A，C重合），点E在射线上（不与B，C重合），且，连接． “兴趣小组”提出的问题是：探究与的数量关系． 特例探究： （1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点D在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系； 数学思考： （2）如图2，当点D是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立，可以通过作平行线构造全等来证明．请你证明： 类比延伸： （3）进一步猜想：当点D在或的延长线上时，仍存在使得线段与的数量关系与第（1）问结论相同的情况，请你任意选择一种在图3画出并证明． （4）如图，点M在等边的边上，，与等边三角形外角平分线所在的直线相交于点N，过N作于D，请写出，，的数量关系并证明． 【答案】 见解答 见解答 见解答 【解析】 （1）根据等边三角形的性质结合等角对等边即可得到BD与DE的数量关系； （2）添加辅助线，结合等边三角形的性质证明 和 全等，由此可证明DB=DE； （3）分当点D在CA的延长线上与当点D在AC的延长线上这两种情况，添加辅助线得到等边 ，结合全等三角形的判定与性质即可得到BD与DE的数量关系； （4）添加辅助线，证明 与 全等，由此可得 ，再由边的关系证明即可. 【解答】 （1）解： ， 是等边三角形，点D在边AC的中点， ， ，且BD平分 ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点D作DF//BC，交AB于点F， 是等边三角形， 又 在 和 中， （3）证明： ①当点D在CA的延长线上时 如图3，过点D作BC的平行线，交BA的延长线于点F， 由（2）得 是等边三角形， 在 和 中， ②当点D在AC的延长线上时， 如图4，过点D作BC的平行线，交AB的延长线于点F， 由（2）得 是等边三角形， 在 和 中， （4）证明：如图，过M作MF//AC交AB于F， 由（2）得 是等边三角形， 又 在 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $