第十五章 轴对称 章末素养试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称 章末素养试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．下列图案中是轴对称图形的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2024 3．如图，，，且，，则的周长为（    ） A． B．        C．       D． 4．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 5．如图是屋架设计图的一部分，已知，点D在上．下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D． 6．某考古队在一片古代遗址中发现了三处疑似重要文物埋藏点，，，为了更高效地开展勘探工作，考古队计划设置一个中央勘探站，要求该勘探站到这三个埋藏点的距离都相等，则勘探站应建在（    ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 7．如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图，双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A． B． C． D． 8．如图：的周长为，把的边对折，使顶点和点重合，折痕交边于点，交边与点，连接，若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 9．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（        ） A． B． C． D． 10．下面三个定理中，存在逆定理的有（   ） ①等边对等角；②同位角相等，两直线平行；③同角的补角相等． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 11．如图，中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，连接，，根据以上过程及所作图形，下列结论：①垂直平分；②；③，其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．如图，点P，Q分别是边长为的等边边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第2秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 二、填空题 13．如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 14．如图，在中，，，垂足为，与关于直线对称，若，则的度数为______． 15．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为，，则的长为______． 16．中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 17．如图，在中，，，．延长到点，使得．过点在直线上方作射线，射线．点在射线上，连接，，． 现给出以下结论： ①当点与点重合时，是等腰三角形； ②当时，； ③当时，； ④当周长最小时，的面积是． 其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 18．在中，已知．求和的度数． 19．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题： (1)如果，那么； (2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角． 20．如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 21．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的图形，并直接写出点的坐标； (2)作出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标． 22．如图，在中，于点，是上一点，连接，已知．求证：． 23．如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． (1)求证： (2)求的长． 24．解答以下问题 (1)尺规作图，在中，，作点C关于斜边的对称点D，连接，，．(保留作图痕迹，不写作法) (2)若，，求四边形的面积． 25．【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，，过点C的直线．动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ______________， ______________．当t为多少时，的面积为？ 【深入探究】 (2)①如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ ②请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 26．【问题探究】 (1)如图1，点P为线段垂直平分线l上的一点，连接、．若，则的度数是________． (2)如图2，在和中，点C在线段上，，，．那么与相等，为什么？ 【问题解决】 (3)如图3，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田（周围空地可利用），其中，、是其内部的两条灌溉水渠，点D、E分别是线段、上的定点．现计划对该花田进行改造，在上取点F，满足，以F为顶点，在下方作，且、连接，分别交线段、于点M、N，计划在和区域分别种植郁金香和紫罗兰．连接线段、修建栅栏，根据设计要求：．为合理预算，需确定线段、之间的数量关系．请你帮助管理人员确定、之间的数量关系，并说明理由．（水渠的宽度、栅栏的厚度均忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C C D D B D B 题号 11 12 答案 D D 1．C 本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 解：根据轴对称的定义， 可得：第一个图形不是轴对称图形， 第二个图形不是轴对称图形， 第三个图形是轴对称图形， 第四个图形不是轴对称图形， 第五个图形是轴对称图形， 第六个图形不是轴对称图形， 第七个图形是轴对称图形， 故共有3个轴对称图形． 故选：C． 2．C 本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征．根据关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，求出、的值，再代入计算的值． 解：∵点与点关于轴对称， ∴，． ∴． ∴． 故选：C． 3．B 本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长的求法，解题的关键是线段的转化． 由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到，由此可求三角形的周长. 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．C 分外角为顶角的外角、底角的外角两种情况讨论，结合三角形内角和舍去不成立的情况，求解顶角度数． 解：若是等腰三角形顶角的外角，则顶角的度数为． 若是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为，两底角和为，不符合三角形内角和，舍去． 综上，顶角的度数为． 5．C 本题主要考查了三线合一定理，垂线的定义，由三线合一定理可判断A、B；由垂线的定义可判断D；由和现有条件无法证明，则可判断C． 解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴平分， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、由和现有条件无法证明，故此选项符合题意； D、∵，， ∴， ∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．D 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质即可解答． 解：由题意可知：当该勘探站到这三个埋藏点A，B，C的距离都相等时，则该勘探站应建在的三条边的垂直平分线的交点处． 故选D． 7．D 本题考查了直角三角形的性质，过作于，过作于，可得，，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，过作于，过作于， 在中，， ∴， 同理可得，， ∵点与之间的距离为， ∴通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：． 8．B 本题考查了折叠的性质；由折叠知，，；由的周长为得；而，即可求得的周长． 解：由折叠知，，， ∴； ∵的周长为， 即， ∴； ∵， 的周长为． 故选：B． 9．D 本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，先根据线段垂直平分线的性质得出是的垂直平分线，可判断A，B；再根据“边边边”证明C；能否确定三者之间的关系判断D． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 所以A，B正确； ∵， ∴， 所以C正确； 不能确定之间的关系，所以D不正确． 故选：D． 10．B 此题考查了逆定理，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，同角的补角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 判断每个定理的逆命题是否为真命题，逆定理存在当且仅当逆命题为真． ∵ ①等边对等角的逆命题是等角对等边，为真命题，故存在逆定理； ∵ ②同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，为真命题，故存在逆定理； ∵ ③同角的补角相等的逆命题是相等的角是同角的补角，不一定成立，故不存在逆定理； ∴存在逆定理的有2个． 故选：B． 11．D 本题考查尺规作图，线段垂直平分线的判定，等腰三角形性质和判定，掌握尺规作图，线段垂直平分线，等腰三角形性质是解题关键． 由中，，由作法知，可得是的垂直平分线，为等腰三角形，平分，得出，即可求解． 解：∵中，，由作法知， ∴是的垂直平分线，为等腰三角形， ∴平分，， ， ∴，故①②③正确． 故选：D． 12．D 根据等边三角形的性质和点P、Q的运动情况，利用全等三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，来验证题目中的各个结论是否正确． 解：设点P、Q运动时间为t秒，根据题意得：， ∵为等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 在中，， ∴，故②正确； 若，由，得到， ∴，即， 解得：； 若，由，得到， ∴，即， 解得：， 综上，当第秒或第秒时，为直角三角形，故③错误； 当时，则，， ∵， ∴P、Q是边的中点，即是的中线， ∵为等边三角形， ∴，， ∴．故④正确， ∴正确的有①②④． 13．/22厘米 本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系．熟练掌握三角形的三边关系确定第三边的长是解题的关键． 分两种情况讨论：当腰长为或当腰长为，根据三角形三边关系进行判断能否组成三角形，再求解三角形周长． 解：当腰长为，则三边为， 此时，不能组成三角形，舍去； 当腰长为，则三边为， 此时，能组成三角形，符合题意， ∴它的周长是， 故答案为：． 14．/52度 本题考查了轴对称的性质，由已知可得，再根据轴对称可得，进而根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 解：，， ， 与关于直线对称， ， ， ， ， 故答案为：． 15． 由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，而，即可求出本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 解：垂直平分， ， 的周长， ， ． 故答案为：． 16．2或3 此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 解：分以下两种情况： 当时，， ∵点D为的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴（厘米）， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1秒， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米/秒）； 当时，， ∵（厘米），， ∴（厘米）， ∵（厘米）， ∴（厘米）， ∴运动时间为（秒）， ∴（厘米/秒）， 故答案为：2或3． 17．①②④ 本题考查全等三角形判定和性质、等腰三角形判定、轴对称最短路径． ①通过计算与重合时点B与点D关于直线对称，判断等腰三角形； ②利用判定得到两三角形全等； ③连接，证明，根据对应边相等解答即可； ④用轴对称找周长最小时的位置，根据等腰三角形的判定和性质求出长解答即可． 解： 当与重合时： ，， ∴点B与点D关于直线对称， ， 是等腰三角形，①正确． 当时： ，， 在和中： ，②正确． 连接， ，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ，③错误． 作关于直线 的对称点，连接交 于H，当点E与H重合时，的周长最小，连接交于点F． 则，， ∴， ∴， ∴， ∴, 面积，④正确． 故答案为：①②④ 18． ， 根据等腰三角形等边对等角的性质求，再利用三角形内角和求． 解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ 三角形三个内角的和为， ∴． 19．(1) 逆命题：如果，那么．是假命题 (2) 逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的第三个角是钝角．是假命题 将原命题的题设与结论互换得到逆命题，通过举反例判断逆命题的真假． （1）解： 原命题的题设为，结论为， 将题设与结论互换，得逆命题：如果，那么， 取，，满足，但， 故该逆命题是假命题． （2）解：原命题的题设为一个三角形有一个角是钝角，结论为它的另外两个角是锐角， 将题设与结论互换，得逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的第三个角是钝角， 若三角形的两个锐角分别为和，则第三个角为，是锐角， 故该逆命题是假命题． 20． 点即为所求． 利用轴对称求最短路线的方法得出点关于直线的对称点，对于直线上任一点，有，则，当、、共线时取最小值，则连接交CD于点即可得出答案． 解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接交于点； 21．(1) 如图所示，点的坐标为； (2) 如图所示，点的坐标为． （1）首先，找到各顶点的坐标，再根据轴对称的性质，关于x轴对称的图形的点的坐标特征“横坐标不变，纵坐标互为相反数”，可找到的各顶点坐标，最后，作图，进而写出点的坐标； （2）首先，找到各顶点的坐标，再根据轴对称的性质，关于y轴对称的图形的点的坐标特征“横坐标互为相反数，纵坐标不变”，可找到的各顶点坐标，最后，作图，进而写出点的坐标． （1）解：略． （2）解：略． 22． 证明：∵，， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴． 本题考查等腰三角形的性质及平行线的判定定理．关键是利用等腰三角形的性质找到相等的内错角，进而证明两直线平行．先根据等腰三角形“三线合一”的性质，由且推出；再由，利用“等边对等角”得到；通过等量代换得到，最后依据“内错角相等，两直线平行”证明． 略 23．(1)证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ； (2)9 （1）先根据等边三角形的性质和证明，可得，再利用三角形的外角性质即得结论； （2）先利用角的直角三角形的性质求出的长，进而可得的长，再利用（1）的结论即可得出答案． （1）略 （2）解：在中，， ， ， ， ， ， 由（1）得， ． 24．(1)如图所示：点D是点C关于斜边的对称点，，，为所求作线段， (2) （1）利用作关于直线的对称三角形，得到点D的位置，再连线即可； （2）利用四边形的面积等于的面积的2倍求面积． （1）证明：由作图可知：，， 故点和点都在的垂直平分线上，即垂直平分， ∴点D是点C关于斜边的对称点； （2）解：由作图可知：，， 又∵， ∴， ∴四边形的面积等于的面积的2倍， ∴四边形的面积为：． 25．(1)；；或 (2)①，， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； ②，理由如下， 如图，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ． （1）根据运动速度和已知条件表示出和，分两种情况：当点D在线段上时，当点D在CB延长线上时，根据三角形面积公式列出关于t的方程，解方程即可； （2）①根据“”证明三角形全等即可；根据全等三角形的性质得出，再根据线段间的数量关系进行求解即可； ②证明，得出，根据线段间数量关系，即可得出答案． （1）解：由题意得，，， 当点D在线段上时，， ， ， ， 解得：； 当点D在延长线上时，， ， ∴， 解得：； 综上，当t为或时，的面积为； （2）解：①略 ②略 26．(1) (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （1）根据垂直平分线得到，根据等边对等角得到，再根据三角形内角和求即可； （2）证明，即可得到； （3）先证明，得到，再证明，得到． （1）解：∵点P为线段垂直平分线l上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $