第二十七章 反比例函数 章末复习训练2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 这份同步练习通过基础概念辨析、中档综合应用、提升拓展探究的三层设计，实现反比例函数从定义到实际情境的知识巩固，适配单元复习需求，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|反比例函数定义、基本性质|单选定义判断（如第1题）、直接代入求值（如第10题）| |中档综合|图像性质、简单实际应用|填空图像交点分析（如第8题）、表格数据应用（如第17题）| |提升拓展|复杂几何综合、动态问题|解答动态面积最值（如第13题）、等腰三角形存在性（如第19题）|

第二十七章 反比例函数 一、单选题（共28分） 1．（本题4分）下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题4分）在一个密闭的容器内装有一定质量的某种气体，当它的容积V改变时，气体的密度也随之改变，与V在一定范围内满足关系（m是常数，且）它的图象如图所示，当为时，V的值为（   ）． A．2 B．3 C．3.6 D．7.2 3．（本题4分）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．（本题4分）如图，菱形的顶点，分别在轴，轴上，轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，若菱形的面积为，则该反比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 5．（本题4分）气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随体积V（单位：立方米）的变化情况如下表所示．那么在这个温度下，当时，V的取值范围是（   ） V … 64 48 38.4 32 24 … p … 1.5 2 2.5 3 4 … A． B． C． D．且 6．（本题4分）如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为1，2，的面积与面积和为，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 7．（本题4分）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 8．（本题4分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 9．（本题4分）如图，点，在反比例函数的图象上，轴交轴于点，轴分别交和轴于，两点，若，，则的值为______． 10．（本题4分）已知反比例函数，当时，________． 11．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，点P在x轴上，若，则k的值为______． 12．（本题4分）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______． 13．（本题4分）如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是________．    三、解答题（共48分） 14．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围； (3)直线上有一点，其横坐标为，在轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小，求出点的坐标及的最小值为 （填空）． 15．（本题8分）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 16．（本题8分）正方形在平面直角坐标系中如图所示，已知，反比例函数的图象经过中点E，交于点F． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，求的周长． 17．（本题8分）用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 19．（本题8分）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)反比例函数的解析式为______； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？直接写出点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断选项即可，反比例函数的定义为：形如，其中为常数且的函数是反比例函数． 【详解】解：选项A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故A错误； 选项B、符合反比例函数定义，常数，故B正确； 选项C、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故C错误； 选项D、未说明，当时不是反比例函数，故D错误． 2．B 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出，再求出当时，V的值即可得到答案． 【详解】解：把代入中得， ∴， 在中，当时，，解得， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键；利用表格中x的增加值和y的减小值的特点，即可判断选项． 【详解】解：根据表格可知，x的值每增加1，y的值就减少2，则可判断是一次函数，且y随x的增大而减小， 故选：． 4．B 【分析】由菱形的性质得，即得，求出的值再根据反比例函数的图象即可求解. 【详解】解：∵菱形的面积为8， ∴， ∵轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心， ∴， ∴， ∵反比例函数图象分布在二、四象限， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为． 5．C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析式，由表中数据判断出与的函数关系是解题的关键．根据所给出的数据可得是的反比例函数，根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴在第一象限内，随着p的增大而减小， 而时，， ∴时，， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解决本题的关键是求出，的长．先求出点，的坐标，再根据轴，确定点，点的坐标，求出，，最后根据的面积与面积和为，即可解答． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上，点，的横坐标分别为1，2， 点的坐标为，点的坐标为， ∵轴， 点，的横坐标分别为1，2， 点，在反比例函数的图象上， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ∵的面积与面积和为， ， 解得：． 故选：A． 7．D 【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值， 由压强公式可得，原压强为， 受力面积增加， 变化后的受力面积为，变化后的压强为， 由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ， 可得方程． 8．或 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴结合函数图象得关于x的不等式的解集是或． 9． 【分析】根据轴，，得出四边形是矩形，根据矩形的性质及，设，则，，根据点在反比例函数的图象上得出，，根据列方程求出的值即可． 【详解】解：∵轴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：． 10．2 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． 直接把代入反比例函数求出相应x的值即可． 【详解】解：当时，， ∴． 故答案为：2． 11．4 【详解】解：设点的坐标为，其中， 轴于点 ， 点的坐标为 ， ， 的底边为，高为点到直线的距离， 点到直线的距离为， 高， 由题意， ， . 12． 【分析】根据反比例函数的性质可得，反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，据此表示出与，即可计算的值． 【详解】解： 函数的图象经过点和， ， 整理得，， ． 13．3 【分析】设，则，将三角形面积用代数式的形式表示出来，然后根据二次函数的最值，即可求解． 【详解】解：依题意，设，则， 则 ∴ ∵，二次函数图象开口向下，有最大值， ∴当时面积的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例数与一次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 14．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或 (3) ，的最小值为 【分析】（1）用待定系数法求函数表达式，先把已知点代入反比例函数求值，再求出点坐标，最后把点和点坐标代入，求一次函数表达式； （2）函数值比较大小，当一次函数和反比例函数的自变量相同时，要求函数值，利用图像法观察可进行判断； （3）最短路径问题，作关于轴的对称点，把转化为，当，，三点共线时，最小 . 【详解】（1）解：∵ 反比例函数的图象过点， ∴，解得    ， ∴反比例函数解析式为； 将代入，则， ∴； 把，代入， ∴，解得， ∴一次函数解析式为； （2）∵点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 又∵， ∴， 即一次函数图象应在反比例函数图象上方， 用图像法观察可得，当时，的取值范围为：或； （3）∵点在直线上, 且横坐标为， ∴，即， ∵直线与轴交于点， ∴； ∵要在轴上作一点，使的值最小, ∴作关于轴的对称点， ∵轴是的垂直平分线，所以对于轴上任意一点，都有：， ∴， ∴当，，三点共线时，最小， 设直线，把和代入得： ，解得， ∴直线表达式为：， 令则，即； ∴， ∴点Q的坐标为；的最小值为． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和点B的坐标求出点C的坐标，进而根据中点坐标公式求出点E的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点F的坐标，再利用两点间的距离公式求出的三边长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴点E的坐标为，即， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴点F的横坐标为4， 在中，当时，， ∴， ∴， 由（1）得点E的坐标为， ∴，， ∴， ∴的周长为． 17．(1) 补充表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 (2) 解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. (3) 页 【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数. 【详解】（1）解：总页数为：（页）； 当页数为页时，本数为：（本）； 当页数为页时，本数为：（本）； （2）略 （3）解：（页）． 故每本练习本有页． 18．(1) (2)12 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点A的坐标代入，求出n的值，再将所得点A坐标代入，求出的值即可解决问题； （2）首先求出，，得到，再根据的面积求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ∴ 点A的坐标为， 又点A在反比例函数上， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：将代入得， 解得 ∴ ∵一次函数 ∴当时， 解得 ∴，即 ∴的面积． 19．(1) (2) (3)点Р的坐标为或或或 【分析】（1）把点坐标代入求得值即可； （2）根据（1）中反比例函数的解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式，设一次函数与轴交于点，求得，最后利用即可得到答案； （3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时，利用两点坐标求两点距离的公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． （2）解：点在反比例函数的图象上， ， ， 点，在一次函数的图象上， ， 解得，， 一次函数的解析式为； 设一次函数与轴交于点，如图， 对于，当时，， ， ， ，， 的面积为． （3）解：点在轴上， ①当时，如图所示， ， ， ， 点的坐标为或； ②当时，如图所示， 设点， ，由①可知， ， 解得或（不合题意，舍去） 点的坐标为； ③当时，如图所示， 设点， ， ，， ， 解得， 点的坐标为； 综上所述，点Р的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，已知两点坐标求两点距离，用分类讨论和方程思想解决问题是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $