精品解析：湖南衡阳县滨江中学2026-2027学年八年级上学期数学9月阶段学情自测

八年级数学月考 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，这样做的数学原理是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形三内角和为 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【详解】解：太阳能热水器的支架形状通常为三角形，这样做的数学原理是“三角形具有稳定性”， 选项A、选项C和选项D都与题干不符. 2. 图中共有（ ）个三角形． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 3. 在中，，则是（ ）． A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：，且三角形内角和为， ，即和均为锐角，但为钝角， 是钝角三角形． 4. 用尺规过的边上一点C（图①）作（图②）．作图步骤如下： ①作射线； ②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点N，M； ③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q； ④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P．下列排序正确的是（　　） A. ④③②① B. ④③①② C. ②③④① D. ②④③① 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是简单的尺规作图，直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序．本题的解题关键是掌握“尺规作图：画一个角等于已知角” 【详解】解：正确的排序为：②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点N，M； ④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P； ③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q． ①作射线； 故选：D． 5. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 6. 下列长度的3条线段，能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，4，8 D. 5，6，12 【答案】B 【解析】 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 A、1+2=3，不能组成三角形，不符合题意； B、2+3＞4，能够组成三角形，符合题意； C、4+4=8，不能够组成三角形，不符合题意； D、5+6＜12，不能够组成三角形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 7. 如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过的面积和已知的高，利用面积公式求出的长度，再根据中线性质得到，进而计算出的长． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，解得． 又∵是的中线， ∴． 8. 如图，中，、是的两条角平分线，与相交于，，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB+∠BAC=150°，再由角平分线的定义求出，从而得到∠AFC=180°-∠CAF-∠ACF=105°，由此求解即可． 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∠B=30°， ∴∠ACB+∠BAC=150°， ∵CD、AE是△ABC的两条角平分线， ∴ ，， ∴， ∴∠AFC=180°-∠CAF-∠ACF=105°， ∴∠AFD=180°-∠AFC=75°， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9. 如图，在中，，，点在内，且，若要求的面积，则只需知道（ ） A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 【答案】D 【解析】 【分析】在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ∴只需知道的长度即可求得的面积． 10. 如图，是的平分线，，，垂足分别是E，F．，且，，则的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，准确找出图中的全等三角形并证明是解题的关键．先证明，得到，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中横线上） 11. 已知的三边a，b，c满足，则是___________三角形．（填“等边”“等腰”或“不等边”） 【答案】等边 【解析】 【分析】根据非负数的性质可得的关系，从而判断三角形形状． 【详解】解：由题意，得， 所以， 所以是等边三角形． 12. 如图，，、、三点共线，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质；先根据证明，然后根据全等三角形的性质可得∠，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 13. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若点到直线的距离为，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图痕迹判断是的平分线，利用角平分线的性质得出的长，结合线段的和差关系即可求解． 【详解】解：由作图可知，射线是的平分线， ∵， ∴， ∵点到直线的距离为，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴等于点到直线的距离，即， ∵，， ∴，的长为． 14. 如图，在中，已知D为上一点，E，F分别为，的中点，若，则的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】由点为的中点得出，再由点为的中点，得出，，结合图形计算即可得出结果． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴． 15. 如图，在中，，的平分线与的外角（）的平分线交于点；的平分线与的外角的平分线交于点，以此类推，则___________．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形外角性质与角平分线定义推导角度关系．根据三角形外角定理：；平分，平分外角，可得，；在中，外角，即；同理递推：，，，归纳得；将代入规律式子，求出． 【详解】解析：，的平分线与的外角（）的平分线交于点， 同理可得，，， ． ， ． 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16. 如图，在 中，，点 在上，且 ，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 根据已知条件证明，进而可证结论成立； 【详解】略 17. 如图，在与中，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先证明，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 18. 已知一个三角形两条边的长分别为5，2，设第三条边的长为． （1）的取值范围是___________． （2）若第三条边的长是奇数，求这个三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形三边的关系，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解即可． （1）直接根据三角形三边的关系求解即可； （2）根据的取值范围，确定奇数的值，再求三角形的周长即可． 【小问1详解】 ∵一个三角形两条边的长分别为5，2，设第三条边的长为， ∴， 即， 故答案为：． 【小问2详解】 第三边的长为奇数，且， 第三边的长为5， 三角形的周长． 19. 如图，点是的中点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：点是的中点， ． ， ． 又， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由点是的中点，可知，因为，根据平行线性质可得，结合条件，利用“边角边”证明全等即可； （2）由全等三角形对应角相等，再由平行线的性质即可求解题目． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：， ． ， ． 20. 如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． （1）若，，求与的周长之差； （2）当，时，求的度数． 【答案】（1）2cm （2）． 【解析】 【分析】（1）结合是的中线，得到，根据三角形的周长公式求解即可； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21. 如图，于E，于F，若． （1）求证：平分； （2）已知 ，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， 平分． （2）6 【解析】 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可． （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 22. 如图，在中，，点是边上一点，，点在边上． （1）若，求证：≌； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴ （2）； 【解析】 【分析】（1）根据及三角形内外角关系得到即可得到证明； （2）根据，，得到即可得到，结合三角形内角和定理即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系及三角形内角和定理，解题的关键是根据内外角关系得到全等的条件． 23. 已知：在中，点D在边上，． （1）如图1，的平分线与，分别交于点E，F．求证：． （2）如图2，为的一个外角，的平分线与直线交于点H．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：平分， ． ，分别是，的外角， ，． ， ． （2）解：，理由如下： ，分别是，的外角， ，． ， ． 平分， ． ，． ． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义以及角度的关系即可证明． （2）根据三角形外角的定义可得，．再结合角平分线的定义即可得到与的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学月考 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，这样做的数学原理是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形三内角和为 D. 垂线段最短 2. 图中共有（ ）个三角形． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 在中，，则是（ ）． A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 以上都有可能 4. 用尺规过的边上一点C（图①）作（图②）．作图步骤如下： ①作射线； ②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点N，M； ③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q； ④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P．下列排序正确的是（　　） A. ④③②① B. ④③①② C. ②③④① D. ②④③① 5. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 6. 下列长度的3条线段，能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，4，8 D. 5，6，12 7. 如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，、是的两条角平分线，与相交于，，（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点在内，且，若要求的面积，则只需知道（ ） A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 10. 如图，是的平分线，，，垂足分别是E，F．，且，，则的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中横线上） 11. 已知的三边a，b，c满足，则是___________三角形．（填“等边”“等腰”或“不等边”） 12. 如图，，、、三点共线，若，则__________． 13. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若点到直线的距离为，，则的长为________． 14. 如图，在中，已知D为上一点，E，F分别为，的中点，若，则的面积为______． 15. 如图，在中，，的平分线与的外角（）的平分线交于点；的平分线与的外角的平分线交于点，以此类推，则___________．（用含的式子表示） 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16. 如图，在 中，，点 在上，且 ，求证：． 17. 如图，在与中，，，，求证：． 18. 已知一个三角形两条边的长分别为5，2，设第三条边的长为． （1）的取值范围是___________． （2）若第三条边的长是奇数，求这个三角形的周长． 19. 如图，点是的中点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． （1）若，，求与的周长之差； （2）当，时，求的度数． 21. 如图，于E，于F，若． （1）求证：平分； （2）已知 ，，求的长． 22. 如图，在中，，点是边上一点，，点在边上． （1）若，求证：≌； （2）若，，求的度数． 23. 已知：在中，点D在边上，． （1）如图1，的平分线与，分别交于点E，F．求证：． （2）如图2，为的一个外角，的平分线与直线交于点H．判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $