河北省承德市部分校2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

高三数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={y|y=cosx},B =0<x<}则AnB= A.(0,1) B.(0,1] c[1别 D.[-1,1] 2.命题“Hx∈(1，十∞)，都有x2>1”的否定为 A.3x∈(1，+∞)，使得x2>1 B.Hx∈(1，+∞)，都有x2≤1 C.3x∈(1，+∞)，使得x2≤1 D.]x∈(1，+∞)，使得x2<1 3.若y>0,则“y≠2x”是’+4>4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知定文在R上的奇函数fx)满足f[-小-f)f1=2.则f13)-了6) A.0 B.4 C.-4 D.2 5.已知cos- 6J+sin a= 43 ，则sina+ 的值为 B-g 3 C D. 3 6.已知函数f(x)=inc-5cosr+5 +1,则下列说法正确的是 Ax)在区间0，上单调递增 B.f(x)的最大值是1 Cx)的图象关于点，]中心对称 D红)的图象可由函数y=sn2z的图象向左平移晋个单位长度得到 第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap印 7.已匆两数了()=rsnx+cosx,若Vx∈[0，]都有fx)1成立，则实数！的取值 范围为 (匠 D(+∞ 8.已知函数∫(x)=cosx十ax2+b,a,b∈R,则下列说法错误的是 A.对任意a,b∈R,函数f(x)是偶函数 B若a=- 1 ,则函数f(x)在(0，)上存在极值点 C若a=之则两数了)在R上的极小值为6+1 1 D,若a=2且方程f(x)=0有两个实数解，则实数b的取值范围为(-∞，一1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的有 A者圆心角为管的扇形的弧长为x,则该扇形的面积为受 B.命题p:3x∈[1，+∞)，x2-x十2≥0的否定是Hx∈[1，+∞)，x2-x+2<0 C.若命题“Hx∈R,x2+2x十m≥0”是真命题，则实数m的取值范围是（一∞，1） D.若平面向量m=(x,2)与n=(3,4一x)的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（一8，十∞） 10.已知函数f(x)=x3(1nx一1)，则下列说法正确的是 A.函数f(x)有且只有2个零点 B.函数f(x)有且只有1个极值点 C.不等式f(x)≥-1恒成立 D.函数f(x)在(0,1)上单调递减 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的有 A.若tanA十tanB+tanC>0,则△ABC是锐角三角形 B若A=君b=4,△ABC只有一解，则a的取值范围是[4，+∞) (,)1是函若[ C若△ABC的面积S=a2+6-)则C=日 D.若b·cosB=c·cosC,则△ABC是等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)= 3logx-1z≥2则ff(-1)= x2-2x,x<2, 13.已知函数f(x)=1nx十a,若过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线的斜率为，则 a= 14.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=写，a=6-2c,AD与CE是 △ABC的两条角平分线，则当AE十CD取得最小值时，c= 第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且√3 asin B=2bcos2 A 2 (1)求角A的值； (2)若sinB=√2cosA,△ABC的面积为3+√3，求b的值. 16.(15分)把余弦曲线向左平移5个单位长度，再把所得曲线上各点的横坐标缩短到原来 的最后把所得曲线上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数了(x)的图象 (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)图象的对称中心，函数∫(x)的最大值以及区间[0,3π]内最值点的 个数： (3)若f(a)=- <受求血2a的值 17.(15分)若函数M(x)的定义域为R,则其图象关于直线x=b对称的充要条件是M(b十 x)=M(b-x)对任意x恒成立.已知函数f(x)=2+a·2 (1)若函数f(x)的图象关于直线x=0对称，求实数a的值； (2)证明：对任意b∈R,存在实数a,使得函数f(x)的图象关于直线x=b对称； (3)若a=4,且函数g(x)=f(x)一m有两个零点，求实数m的取值范围。 第3页（共4页） CS扫描全能王 同壁3亿人都在用的扫描App 18.(17分)已知函数f(x)=x2-2(a+1)x+2alnx,其中a≥2. (①)判断函数f(x)的单调性； (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2),记A(x1,∫(x1),B(x2,f(x2),求直 线AB的斜率的最大值， 19.17分)已知函数fx)=--ae-十(2a-4 Inz.aER. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在区间(0,1)，(1，+∞)内各恰有一个零点，求实数a的取值范围. 篇4百（什A五） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 高三数学参考答案及评分意见 1.B【解析】因为余弦函数的值域是[-1,1]，所以A=〈y1y=cosx)=[-1,1]. 因为B={0<x<}-(0,)所以AnB=(01门.放选B 2.C【解析】根据全称量词命题的否定规则，知命题“Vx∈(1.+∞)，都有x2>1"”的否定为“3x∈(1，十∞)，使得 x≤1”故选C 3.C【解析】由xy>0,得兰>0,4>0. 则兰+号≥22·罗-4当且仅当之-号即)=4时取等号，由>0得y=2x y 因为y≠2x,所以等号取不到，故之+>4，充分性成立. y 因为兰+>4，’+>≥4等号成立的条件为y=2x,所以y≠2x,必要性成立. y y 综上，“y≠2x”是'+>4“的究要条件.故选C 4B【解桥因为f(侵-=x),所以（径+=f(-x.因为丽数了x)是奇函数，所以f(+ -x)所以了3+x)=-f(+x=x)所以3是函数x)的-个周期所以了13)=了1+3×40= ∫(1)，f(5)=∫(-1+3×2)=∫(-1).因为f(1)=2.f(.x)是奇函数，所以f(-1)=-∫(1)=-2.所以f(13)- ∫(5)=∫(1)-f(-1)=2-(-2)=4.故选B. 5.A【解折】因为cosa一若)=石+asin音-。 6-2cosa+2sin a. 所以eal-)+如6-号ose+号如a+如a-gm+经n。 由题意，得n+)一5解得na+)一台赦选A 6C【折1/e)=nos-8oex+9+1-方n2r-gcos2z+1=nx-看}+1 解-受+2kx≤2x-音≤登+2张x,k∈z.得-一最+kx≤x≤径+长，k∈Z.所以了x)的单调递增区同为 (+k登+k小4∈Z令友=0.则了x)在区间(-是)上单调道增，所以了✉)在区间6.司上单调递 增：在区间（登·）上单调递减，故A结误。 因为sin2x-)e[-1,1门，所以sm2x-+1[02],所以函数了x)的最大值为2，故B错误. 数学容案第1页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 令2x-晋=∈Z解得x=音十经人∈Z.所以丽数了)图架的对称中心为点（后+经）k∈乙令女=1， 得∫(x)图象的一个对称中心为点 管小故c正确， 将函数y=sin2x的图象向左平移晋个单位长度，得到函数y=sin2(c+）=sin2x+=sin2x一的 图象，故D错误故选C 7D【解折]因为Vxe[0]都有f)成立，所以当x∈[，]时>fx) 对∫(x)求导，得∫'(x)=sinx十xcos.x-sinx=.rcos. 当x∈[0到]时，令了)=0：解得x=0攻x= 或x= 3π 2 2 当x变化时，∫'(.x),f(x)的变化情况如下表。 (o.) 受 (臣 0 2 f'(.x) 0 0 0 f(x) 1 2 当x=时了(x)取得极大值，也是最大值，为 所以实数1的取值范围是（合十∞，放选D 8B【解析】对于A,因为函数∫(x)的定义域为R,所以定义域关于原点对称. f(-x)=cos(-x)+a(-x)2+6=cos x+ax2+6=f(x). 所以对任意a,b∈R,函数∫(.x)为偶函数，故A正确. 对于B.当a=-之时x)=cosE-r+b,求导得了(x)=-snx-r, 当.x∈(0，π)时，一six<0,一x<0,则f'(.x)<0,f(.x)单调递减，无极值点，故B错误. 对于C.当a=时，x)=cosx+分2+6，求导得了'(x)=-sinx+x 令g(x)=∫'(x),则g'(x)=一cosx十1≥0，所以g(.x)即∫'(.x)在R上单调递增. 又因为∫'(0)=0，所以当x<0时，f'(x)<0,∫(x)单调递减：当x>0时，∫'(.x)>0,f(x)单调递增. 所以x=0是函数(x)在R上唯一的极小值点，所以函数∫(x)的极小值为∫(0)=1十b,故C正确. 对于D,当a=时，由C得，函数了心x)在x=0处取得极小值也是最小值，最小值为6十1， 且当x-一∞时，∫(.x)-十∞；当x-十∞时，∫(.x)-+十∞.因为方程∫(.x)=0有两个实数解， 所以函数∫(.x)的最小值b+1<0,解得b<一1，即实数b的取值范围为（一∞，一1），故D正确.故选B. 9.ABD【解折】设扇形的半径为r.圆心角为a(0<a<2m).弧长为1面积为S.则1=，a=子由1=ar,得x= 数学答案第2页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 子r解得r=3代人扇形面积公式S=r得S=×xX8经故A正确， 由存在量词命题的否定是全称量词命题，得命题p:3x∈[1，十∞)，x2一x+十2≥0的否定是Vx∈[1，十∞)， x2-x十2<0，故B正确. 因为命题“V.x∈R,.x2十2.x十m≥0”是真命题，所以一元二次方程x2十2x十m=0无实数根或有两个相等的实 数根，所以△=22一4m≤0，解得m≥1.即实数m的取值范围是[1，十c∞)，故C错误。 因为平面向量m=(.x,2)与n=(3,4-x)的夹角为锐角，所以m·n=3.x+2(4-x)=x十8>0，解得.x>一8. 若m与n同向共线，则存在正实数入，使得m=n,即.x=3入2=λ(4一.x)同时成立.将x=3入代人2=入(4一x), 化简得3λ？一4λ十2=0.因为(-4)一4×3×2=-8<0，所以3λ2一4入十2=0无实数解，所以m与n不共线，所 以实数x的取值范围是（一8，十∞），故D正确故选ABD. 10.BD【解析】函数∫(.x)=x(lnx-1)的定义域为(0，+∞). 由∫(x)=0,得x(Inx一1)=0，解得x=c,所以∫(.x)有且只有1个零点，故A错误. 求导得f'(.x)=3.x2(1nx-1)+x2=x2(3ln.x-2).令'(.x)=0.解得.x=c. 当0<x<c时.∫'(.x)<0,∫(x)单调递减：当.x>c时，∫'(.x)>0,∫(.x)单调递增 所以函数∫(.x)在x=c处取得极小值，故函数∫(.x)有且只有1个极值点，故B正确， 因为∫(1)=一1.且1<c.∫(.x)在(0，e)上单调递减、 所以当1<x<c时∫(.x)<∫(1)=-1，故不等式∫(x)≥-1不恒成立，故C错误. 由函数∫(x)在(0，c)上单调递减，得函数∫(.x)在(0,1)上单调递减.故D正确.故选BD. 11.AC【解析】在△ABC中.A+B+C=π，所以A十B=π-C 由两角和的正切公式.得an(A十B)三mAn=an(x一C)=一tanC,门 整理，得tanA十tanB+tanC=tan Atan Btan C. 因为tanA+tanB+tanC>0,所以tan Atan Btan C>0. 又因为△ABC的内角中最多有1个钝角，若存在钝角.则tan Atan Btan C<0,与tan Atan Btan C>0矛盾. 所以△ABC的三个内角均为锐角，故△ABC是锐角三角形，故A正确. 因为A=若b=4,所以当a=sinA=4X号=2时，△ABC为直角三角形.只有一解： 当a≥b=4时.△ABC也只有一解.所以a的取值范围是(2)U[4.十co),故B错误. 因为S=a+6-c)=2 bC.所以ar+6:-c=2 absin C.所以+c-sinC 2ab 由余弦定理，得cosC=sinC.因为0<C<,所以C=不，故C正确。 由b·cosB=c·cosC结合正弦定理，得sin Bcos B=sin Ccos C,所以sin2B=sin2C, 所以2B=2C.则B=C.△ABC是等腰三角形：或2B+2C=x,则B+C=,△ABC是直角三角形. 故△ABC可能是直角三角形.不一定是等腰三角形，故D错误.故选AC. 12.2【解析】由题意，得∫(-1)=(-1)2-2×(-1)=3，所以∫（∫(-1）)=∫(3)=31og:3-1=2. 数学答案第3页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 13.1【解析】因为了x)=1nx+ax>0,所以了'()=上.设切点的横坐标为则'(c)=上=二，解得。= to e c,所以f(c)=lnc十a=a十1，即切点坐标为(c,a+1). 因为点0.1)在切线上，所以+11==1，所以a=1. e-0 ee 1.9 【解析1因为a=6-2x>0,所以c∈(03).因为B=于，所以由余弦定理6=a+e-2ac0sB,得 b2=a2+c2-ac=(6-2c)2+c2-(6-2c)c=7c2-30c+36. 设BC边上的高为h.因为AD为∠BAC的平分线， 所以Sw=ADem月AC=8BDASa-安AD6:∠BC-CD 2 所以后80则BD=后·CD因为BD+CD=BC=,所以后·CD+CD=4,解得cD-染 同理，由CE为∠BCA的平分线，得AE=c tb' 所以AE十CD= bc ab_bc(b+c)tab(atb)b.betcitaitab a+bb+c (b+c)(a+b) ab+ac+b:+bc 因为b3=a2+c2-ac,所以a2+c2=b2+ac, 所以AE十CD=b· 十e++b=b.c+6++映=b, ab+ac+b*+bc ab+ac+b:+bc 因为6=76-30c+36c∈0.8》.所以6=7〔-月}+号ce08. 所以当c=5∈(03)时.6取得最小值号即AE十CD取得最小值y 15 7 15 所以当AE+CD取得最小值时，c=气， 15.解：(1)因为3 asin B=2bcos2 A 所以由正弦定理，得V3 sin Asin B=2 sin Bcos2 A 2 …1分 因为B∈(0，元)，所以sinB≠0，所以3sinA=2cos A …2分 又因为mA=2an分会c,所以s分>0所以血会分 A A A …4分 所以m号-所以号-所以A= A_3 π 6分 (2)由(1)得A=了，所以cosA=分 1 因为血B=asA,所以如B=号 因为B∈6，所以B=子所以C=一A-B= 5x ，…8分 数学答案第4页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap印 方法一：如图，在△ABC中，过点C作CH⊥AB于点H. 在R△ACH中，因为A=号所以AH-=AC=台CH-受AC- 2 在Rt△BCH中，因为B=T ,所以BH=CH=B 21 11分 所以△ABC的面积S△e= (AH+BH)XCH- 5b_3+5. 2 8 由题意得3+ 8 2b2=3十√5，解得b=2√2（负值舍）.…13分 方法=：因为血m登-n(后+)名×号+×竖6+巨 5π K2+21 2 ………………10分 4 bsin A 2 66 由正弦定理，得a= …………………………11分 sin B 2 2 所以△ABC的面积SAMx= 2absin C=1> 66 =2×2 x45-3 4 由题意得3+3 62=3+3.解得6=22（负值舍）.…13分 16,解：1)把余弦曲线即函数y=c0sx的图象向左平移石个单位长度，得到函数y=©ox+石的图象， 再把所得曲线上各点的横坐标缩短到原来的2·得到函数y=c0s2x十君)的图象。 最后把所得曲线上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数了x)=3os2x+)的图象。 所以函数f(x)的解析式为了(x)=3cos2.x+ π (2)由1)得fx)=3os2x+合）】 令2x+后=6x+受∈Z解得x-经+行∈Z 所以函数fx)图象的对称中心是点（经+吾0小k∈乙 …6分 因为八x)=3co2x+若)所以函数f心x)的最大值是3.…7分 令2x+石-k元，k∈Z,解得x=7-k∈乙. kππ 数学答案第5页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 所以了化r)的数值点为天-受-豆k∈工. …9分 解0≤管-登≤8，得日≤k<因为太∈Z.所以k=1.23456 所以在区间[0.3π]内∫(x)有6个最值点.… 11分 (8油/e)=cor2a+）-号得ca+）- 因为a<受所以号<+< 因为m-<-号所以<2十< 6 所以m2a+】--aosa+哥-1累-号 ……13分 所以sn2a=n[（a+）一若】=sn2a+)ms吾-cos2a+}n后 -号×-（）x号- 15分 17.(1)解：由∫(.x)=2+a·2,得函数∫(.x)的定义域为R. 若函数∫(x)的图象关于直线x=0对称，则∫(.x)为偶函数. 所以∫（一x)=∫(.x)对任意.x∈R恒成立，… …2分 即2s+a·2'=2+a·2, 化简得(a一1)(2-2)=0对任意x∈R恒成立. 因为2一2∈R,所以a一1=0，解得a=1.…5分 (2)证明：对任意b∈R, ∫(b+x)-∫(b-x)=2++a·2-6--2-4-a·2-6+ =(2-a·2-6)24+(a·2-6-2)2-r =(2%-·2-6)(2-2).… …8分 因为2-2∈R,所以当2-a·2b=0,即a=2时， 恒有∫(b十x)一∫(b一x)=0,与x的取值无关.… …9分 故对任意b∈R.存在实数a=20.使得函数∫(.x)的图象关于直线.x=b对称.…10分 (3)解：当a=4时，g(x)=2+4·2--m, 由题意，得函数∫(.x)的图象与直线y=m有两个不同的交点.…11分 因为2r>0所以2+4…2=2r+2>22…=4 4 当且仅当2=)，即x=1时，等号成立…13分 即∫(.x)≥4，且f(.x)在(-∞，1)上单调递减.在(1，十∞)上单调递增. 所以当m>4时.函数∫(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点. 数学答案第6页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 所以实数m的取值范围为(4，十∞).… …………15分 18.解：(1)因为∫(.x)=.x2-2(a+1)x+2alnx,x>0, 所i以了'《x)=2x-2a+1)+2=2.-(a+1)x+a=2.x-a(x-D. a≥2.…2分 令∫'(.x)=0,解得x=Q或x=l.…3分 所以当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当.x∈(1，a)时，'(x)<0,∫(x)单调递减： 当.x∈(a,十c∞)时，∫'(x)>0,f(x)单调递增.… ……………………6分 (2)由(1)知，x=1是函数f(x)的极大值点，x=a(a≥2)是函数∫(x)的极小值点.…7分 因为f(x)存在两个极值点x1x:(x1<x:),所以x1=1,x2=a, 所以∫(.x:)=∫(1)=1-2(a+1)+0=-2a-1. f(x:)=f(a)=a2-2(a+1)a+2aln a=-a:-2a+2alna, 所以直线AB的斜率km=/,）二/_/a）二①=二a+2ana+1=-(a十1D+2an4.…10分 a-1 a-1 a-11 设两数ga)-2aha-(a+1）.a≥2.则g'a)=二21n82g+a-3.a≥2.…12分 a-1 (a-1)2 设函数h(a)=-a2十4a-3-2lna,a≥2， 则A'a)=-2a+4-名=-2a-2+君)<0恒成立. a 所以h(a)在[2，十c∞)上单调递减，所以h(a)≤h(2)=1-2ln2<0. 14分 所以g'a)=-2na二a+4a-3<0在[2.+oo)上恒成立，所以ga)在[2.十o)上单调递破. (a-1) 所以g(a)≤g(2)=4ln2-3,即g(a)的最大值为4ln2-3, 所以直线AB的斜率的最大值为4n2一3.… …17分 19.解：1)因为两数了x)=r-是-a-)+(2a-41nx>0, 所以了x)=2x+是-+)+2a4-2-2+_a62+ 2 2a-=[e+）+4-] ………3分 x 因为x>0,所以c一1D≥0，当且仅当x=1时，等号成立。 设g(x)=2(c+)十4-a,则由对勾函数的单调性可知，g《x)在0.D上单调递减，在1，十∞)上单调递增， 且最小值为g()=8一a,………5分 当g(1)≥0，即a≤8时，Hx∈(0.+c∞)，g(x)≥0，所以f'(x)≥0， 则∫(x)在定义域(0，十c∞)上单调递增.……6分 当g1)<0.即a>8时，因为a =ga)=名+a十>0，所以gx)有两个零点a一4士公—8面 4 数学答案第7页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap印 记为x1x不妨设x<x则<1<1<：<a,且，=0-4-8而，=a-4十- 4 4 所以当x∈(0，x1)或(.x2,十o)时，g(.x)>0,所以∫'(x)>0,则∫(.x)在(0，x1)和(x2,十∞)上单调递增： 当x∈(x1x)时g(.x)<0,所以f'(.x)≤0，则∫(.x)在(.x1x:)上单调递减.…9分 综上，当a≤8时，函数∫(x)的单调递增区间是(0，十∞)，不存在单调递减区间：当a>8时，函数∫(x)的单调递增区 ,单调递减区间是 a-4-√a-8aa-4+√a-8a 4 4 4 ……………………11分 (2)由(1)可知，当a≤8时，∫(x)在(0，十c∞)上单调递增， 所以∫(.x)在(0，十c∞)上至多有一个零点，不符合题意.… …12分 当a>8时，∫(.x)在(0，x1)上单调递增，在(x1c:)上单调递减，在(x2,十co)上单调递增 又因为x1<1<x2,且∫(1)=0，所以∫(x1)>0,∫(x2)<0.…14分 又因为<日)--1-(2a-4na<0.a>a)-侣>0 所以了)在（日小a内各恰有-个零点。 …16分 所以f(.x)在区间(0,1)，(1.十c∞)内各恰有一个零点 所以实数a的取值范围是(8，十c∞).… …17分 数学容案第8页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp