3.1.3 组合与组合数（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第二册

分层作业 3.1.3　组合与组合数 目 录 A组 巩固过关 题型01 组合与组合数 题型02 有限制条件的组合问题 题型03 分组、分配问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高   组合与组合数题型01 1．（25-26高二下·河北保定·期末）若正整数满足，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 2．（25-26高二下·广东阳江·期末）（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广西百色·期末）已知，则x的值为（    ） A．0 B．15 C．0或15 D．1或15 有限制条件的组合问题题型02 4．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）现从集合中随机选取3个不同的数，已知所选的3个数中恰有1个偶数，则这3个数的和大于12的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东潍坊·模拟预测）两位小朋友在玩识数游戏时，将各自手中标有1，2，3，4的卡片（两人手中相同数字的卡片完全相同）排成一排，则这8个数字恰有3对相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2027高三·全国·专题练习）某食品厂制作了种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”，每袋食品中随机装入一张卡片．若只有集齐种卡片才可获奖，则购买该食品袋，获奖的概率为（   ） A． B． C． D． 分组、分配问题题型03 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）为了减轻新冠后遗症对老年人的伤害，某医院举办了一次下乡义诊活动．现将甲、乙、丙、丁、戊、己六名医务人员分配到五所乡村进行义诊服务，要求每人只能去一所村庄，且每个村庄至少安排一人．若甲必须去村，则不同的分配方法有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙不在一组的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·湖南·阶段检测）Santa将15个相同的松果分给5个同学，每人至少获得一个松果，若他们获得的松果数量各不相同，则Santa的分配方法有（    ） A．24种 B．60种 C．120种 D．240种 1．（2026·广东深圳·模拟预测）2026年世界杯小组赛，某组有4支球队，每两队之间赛一场，则该组小组赛阶段共进行比赛场数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（2026·广东广州·模拟预测）在道试题中有道代数题和道几何题，任意抽取道题，取出的题不再放回，则在取到至少有一题是几何题的条件下，另一题也是几何题的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·陕西西安·期末）某中学从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）甲袋中有1个白球和1个红球，乙袋中也有1个白球和1个红球.先从甲袋中任取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.则从乙袋中取出的是2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南郑州·期末）某郑州研学团计划参观少林寺、郑州文庙、只有河南·戏剧幻城、黄河文化公园、建业电影小镇5个景点，要求：少林寺必须排在第一个或最后一个参观；郑州文庙与黄河文化公园必须相邻，则不同的参观顺序有（    ）种 A．12 B．24 C．36 D．48 6．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在的三条边上均有3个四等分点，以这9个等分点中的3个等分点为顶点的三角形的个数为（    ） A．75 B．78 C．81 D．84 7．（26-27高三上·云南·开学考试）将含甲、乙在内的5名工程师分配至两间不同的工作站工作．若工程师甲、乙必须安排在同一工作站，且每间工作站至少分配2人，则不同的分配方案共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 8．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）现有5张除所写数字外完全相同的卡片，其中2张写有数字7，另外3张分别写有数字2、3、5， 将卡片放入袋中搅匀，从中随机取出4张，用取出的卡片上的数字组成四位数，共可组成不同四位数的个数为（    ） A．60 B．72 C．84 D．120 9．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）如图，给编号为1，2，3，4的4块矩形区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜色不能相同，若有4种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（   ）种. A．24 B．48 C．60 D．84 10．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）排序题是考研英语中难度较高的题型之一，也是考生普遍认为挑战较大的题型.现有A，B，C，D，E，F6段话，需要将它们按正确的顺序排列，已知正确答案为，某考生将段落B排在第1段后，因时间来不及，只能将后5段进行随机排序，则该名考生恰好对一个的情况有（    ） A．22种 B．24种 C．36种 D．44种 11．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）有8张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8的卡片，现从这8张卡片中随机抽出3张，则事件“抽出的3张卡片上的数字之和不小于其余5张卡片上的数字之和”的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知总体分为A，B两层，且A层与B层的个体数之比为3∶1，用比例分配的分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为8的样本．若B层中的个体甲、乙均被抽到的概率为，则总体的个体数为（    ）． A．7 B．20 C．28 D．32 13．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围，某地图书馆计划开展3场主题讲座，现有4名同学报名参加，每个讲座至少有一名同学参加，每人只能参加一个讲座，则不同的安排方案种数为（     ） A．12 B．24 C．36 D．60 14．（2026高二·全国·专题练习）北京市某高中高二年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（   ） A．60 B．90 C．150 D．240 15．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）鲁菜是中国八大菜系中历史最悠久、技法最丰富、最见功力的菜系，是黄河流域烹饪文化的代表，当走进山东，人们感受到的不仅是一道道的美食，更是一份传承了千年之久的深厚文化底蕴以及热情好客之道．小明和名同学决定探访山东美食文化，计划打卡济南、青岛、潍坊等五个城市．若人各自独立且等可能地从个城市中任选一个，则小明去济南，且恰有一个城市有人，其余人分别选择另外两个不同城市的概率为（    ） A． B． C． D． 16．（26-27高三上·山东济南·开学考试）把包括甲、乙、丙、丁等在内的8位员工分成1组、2组两个技术攻关组（每组4人），其中甲、乙不同组，丙、丁同组，则分组方案共有（     ） A．24种 B．16种 C．12种 D．10种 17．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）甲、乙等6人一起报名校运动会的跑步项目，跑步项目共有m短跑、m短跑和 m跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目有两人报名，则不同的报名方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 18．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）某校派出 6 名志愿者派往 4 个社区参与志愿服务，每个社区至少去 1 名志愿者，其中甲志愿者去 A 社区. 则不同的分配方法种数为（    ） A．360 B．390 C．750 D．1170 19．（26-27高三上·安徽·阶段检测）在一节研究性学习的课程上，为了体现数学与生活的联系，唐老师准备了一个抽奖箱，里面有8张卡片，其中三张卡片上用绿色签字笔标有数字2、4、6，五张卡片上用黑色签字笔标有数字2、4、6、8、10，现邀请一名同学参与抽卡游戏，要求该同学从箱中任取三张卡片，则该生抽到的卡片都是绿色数字或都是黑色数字或卡片上的数字之和是6的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）在元旦小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法种数有（     ） A．60种 B．70种 C．80种 D．90种 21．（25-26高二下·河北沧州·期末）将各位数字之和等于10的四位数称为“好数”，比如2026，则四位数中共有“好数”（    ）个 A． B． C． D． 22．（26-27高三上·浙江·开学考试）现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为（    ） A． B． C． D． 23．（2026·湖南邵阳·模拟预测）近期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“，”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论．某数学兴趣小组从中提取四个首字母B，W，M，F，各取两次（即共8个字母：B，B，W，W，M，M，F，F）并排成一排．若至多有两对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为（    ） A．2376 B．2352 C．2208 D．2068 24．（25-26高二下·四川遂宁·期中）遂宁东辰新闻节目组依次录制遂宁市7个旅游景点：灵泉寺、广德寺、龙凤古镇、大英死海、沱牌产业园、蓬溪红海、观音湖的宣传视频，要求灵泉寺和广德寺不相邻，灵泉寺和观音湖相邻，且龙凤古镇不排在首和尾，不同排列种数为（      ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1.3　组合与组合数   组合与组合数题型01 1 2 3 B B C 有限制条件的组合问题题型02 1 2 3 D D B 分组、分配问题题型03 1 2 3 C C C 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B B B C A A 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 D D C C C C A B B B 题号 19 20 21 22 23 24 答案 B C B D B C 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1.3　组合与组合数 目 录 A组 巩固过关 题型01 组合与组合数 题型02 有限制条件的组合问题 题型03 分组、分配问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高   组合与组合数题型01 1．（25-26高二下·河北保定·期末）若正整数满足，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】由组合数性质进行求解． 【详解】因为，由， 得，得，得，得． 2．（25-26高二下·广东阳江·期末）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故B正确. 3．（25-26高二下·广西百色·期末）已知，则x的值为（    ） A．0 B．15 C．0或15 D．1或15 【答案】C 【详解】由于，故或15 有限制条件的组合问题题型02 4．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）现从集合中随机选取3个不同的数，已知所选的3个数中恰有1个偶数，则这3个数的和大于12的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分奇数和偶数，列举解得即可。 【详解】集合中奇数为，偶数为，总样本数为种. 当和大于12时，有共7种情况， 则概率为. 5．（2026·山东潍坊·模拟预测）两位小朋友在玩识数游戏时，将各自手中标有1，2，3，4的卡片（两人手中相同数字的卡片完全相同）排成一排，则这8个数字恰有3对相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先算出8张卡片排成一排的总方案数，再结合捆绑法、插空法算出恰有3对相邻的方案数，根据古典概型即可求解. 【详解】由题意，两位小朋友共有8张卡片， 由于相同数字的卡片不可区分，所以总的排列方案有种， 从4个数字中选出3个数字，每个数字的两张卡片捆绑在一起，形成相邻对，有种， 再将其进行排列，有种， 3个捆绑单元排好后产生4个空隙，将剩下的2张相同卡片插入不同的空隙中，有种， 综上，这8个数字恰有3对相邻的方案共有种， 所以这8个数字恰有3对相邻的概率为. 6．（2027高三·全国·专题练习）某食品厂制作了种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”，每袋食品中随机装入一张卡片．若只有集齐种卡片才可获奖，则购买该食品袋，获奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理得出不同的放法种数，再求出个食品袋中种不同的卡片都有的放法种数，结合古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】将种不同的精美卡片随机放进个食品袋中，根据分步乘法计数原理可知共有种不同放法， 个食品袋中种不同的卡片都有的放法共有种， 根据古典概型概率公式知能获奖的概率为. 分组、分配问题题型03 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）为了减轻新冠后遗症对老年人的伤害，某医院举办了一次下乡义诊活动．现将甲、乙、丙、丁、戊、己六名医务人员分配到五所乡村进行义诊服务，要求每人只能去一所村庄，且每个村庄至少安排一人．若甲必须去村，则不同的分配方法有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】分别讨论甲一人被安排到村和包括甲在内，共有两人被安排到村的情况，根据分组分配问题的求法和分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若只有甲一人被安排到村，则原问题等价于将乙、丙、丁、戊、己五名医务人员分配到四所乡村进行义诊，每人只能去一所村庄，且每个村庄至少安排一人，则分配方法共有种； 若包括甲在内，共有两人被安排到村，则原问题等价于将乙、丙、丁、戊、己五名医务人员分配到五所乡村进行义诊，每人只能去一所村庄，每个村庄至少安排一人，则分配方法共有种； 由分类加法计数原理可知：不同的分配方法有种. 8．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙不在一组的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】人分组，每组至少人，只能是，一共种分法；甲乙在一组只有种分法，利用对立事件概率公式求解即可． 【详解】人分组，每组至少人，分组模式只能是（一组2个人，另外两组各1个人）， 总组数为， 甲乙绑定成2人组，剩下丙、丁各自一组，只有1种分法， 所以甲乙不在一组的概率为． 9．（24-25高三上·湖南·阶段检测）Santa将15个相同的松果分给5个同学，每人至少获得一个松果，若他们获得的松果数量各不相同，则Santa的分配方法有（    ） A．24种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【详解】和为15的5个互不相等的正整数仅有{1,2,3,4,5}这一组， 该组数量分配给5个不同同学，只需全排列即可，分配方法有种. 1．（2026·广东深圳·模拟预测）2026年世界杯小组赛，某组有4支球队，每两队之间赛一场，则该组小组赛阶段共进行比赛场数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【详解】. 2．（2026·广东广州·模拟预测）在道试题中有道代数题和道几何题，任意抽取道题，取出的题不再放回，则在取到至少有一题是几何题的条件下，另一题也是几何题的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从5题中不放回地抽取2题，总抽取方法数为：， “至少有一题是几何题”的对立事件为“两题都是代数题”，抽取方法数为：， 所以“至少有一题是几何题”包含的基本事件个数为， “两题都是几何题”，抽取方法数为：， 所以在取到至少有一题是几何题的条件下，另一题也是几何题的概率是. 3．（25-26高二下·陕西西安·期末）某中学从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用组合数的公式分别求得所有不同的选法，以及所求事件的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，共有种不同的选法， 若选出的3人中既有男生又有女生， ①当选出的3人中1男2女，有种不同的选法； ②当选出的3人中2男1女，有种不同的选法， 所以选出的3人中既有男生又有女生，共有种不同的选法， 则选出的3人中既有男生又有女生的概率为. 4．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）甲袋中有1个白球和1个红球，乙袋中也有1个白球和1个红球.先从甲袋中任取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.则从乙袋中取出的是2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从甲袋中取出球放入乙袋中的情况数为，之后从乙袋中取出两个球的情况数为， 只有从甲袋中取出一个红球放入乙袋中，才可以从乙袋中取出两个红球， 因此从乙袋中取出两个球均为红球的情况数为1， 故根据古典概型的计算公式. 5．（25-26高二下·河南郑州·期末）某郑州研学团计划参观少林寺、郑州文庙、只有河南·戏剧幻城、黄河文化公园、建业电影小镇5个景点，要求：少林寺必须排在第一个或最后一个参观；郑州文庙与黄河文化公园必须相邻，则不同的参观顺序有（    ）种 A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】先排少林寺，则有种不同排法； 再将郑州文庙与黄河文化公园捆绑成一个整体，则有种不同排法； 与剩余2个景点一起全排列，则有种不同排法； 所以不同的参观顺序有种. 6．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在的三条边上均有3个四等分点，以这9个等分点中的3个等分点为顶点的三角形的个数为（    ） A．75 B．78 C．81 D．84 【答案】C 【详解】从9个点中任取3个点共有种方法， 当取得的三点在一条直线上时，构不成三角形， 故这样的三角形的个数是. 7．（26-27高三上·云南·开学考试）将含甲、乙在内的5名工程师分配至两间不同的工作站工作．若工程师甲、乙必须安排在同一工作站，且每间工作站至少分配2人，则不同的分配方案共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】A 【详解】先确定甲、乙所在的工作站，共有2种，确定甲、乙所在的工作站后，该工作站已经有2人， 另一个工作站至少有2人，需要从另外3人中选出至少2人到另一个工作站，不同的分配方案数为种， （注意：若另一个工作站只有2人，余下的1人就跟甲乙一组，若另一个工作站只有3人，则甲乙一组）， 所以不同的分配方案共有种. 8．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）现有5张除所写数字外完全相同的卡片，其中2张写有数字7，另外3张分别写有数字2、3、5， 将卡片放入袋中搅匀，从中随机取出4张，用取出的卡片上的数字组成四位数，共可组成不同四位数的个数为（    ） A．60 B．72 C．84 D．120 【答案】A 【分析】按取出的4张卡片中写有数字7的张数分为两类，分别计算每类可组成的不同四位数个数，再根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】当取出的卡片写有数字7的张数为1时，能组成个不同的四位数； 当取出的卡片写有数字7的张数为2时，能组成个不同的四位数； 则从中随机取出4张卡片，共可组成个不同的四位数. 9．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）如图，给编号为1，2，3，4的4块矩形区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜色不能相同，若有4种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（   ）种. A．24 B．48 C．60 D．84 【答案】D 【分析】从使用的颜色种数出发，分析颜色与位置的关系.至少使用2种颜色，至多使用4种颜色. 【详解】（1）若用2种颜料，对角位置颜色相同，则涂色方案有种； （2）若用3种颜料，一组对角位置颜色相同，一组对角位置颜色不同，则涂色方案有种； （3）若用4种颜料，则涂色方案有种；所以共有种，故选D. 10．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）排序题是考研英语中难度较高的题型之一，也是考生普遍认为挑战较大的题型.现有A，B，C，D，E，F6段话，需要将它们按正确的顺序排列，已知正确答案为，某考生将段落B排在第1段后，因时间来不及，只能将后5段进行随机排序，则该名考生恰好对一个的情况有（    ） A．22种 B．24种 C．36种 D．44种 【答案】D 【分析】分 四类讨论，先算出答对时的排法共 11 种，同理得到答对也各 11种，得到总的可能情况种数. 【详解】由已知，排在第一段，该名考生恰好对一个，则可能对的一个是四种可能， 若对的一个是，则可分为两类：一是排在第2段，二是排在第段中的一个位置. 若排在第2段，则只能排在第段中一个位置，剩余的只有一种排法，共有种不同的排法； 若C排在第段中的一个位置，不妨设排在第6段，则可排在第段中的任何一个位置， 此时剩余只有一种排法，共有种不同的排法； 综上，此时不同的排法共有种， 同理可得当对的是中某一个时，不同的排法也各有11种， 所以该名考生恰好对一个的情况共有种. 11．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）有8张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8的卡片，现从这8张卡片中随机抽出3张，则事件“抽出的3张卡片上的数字之和不小于其余5张卡片上的数字之和”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数字1，2，3，4，5，6，7，8总和： ， 设抽出3张和为，剩余5张和为， 题目条件：， 从8张抽3张，有， 找出3个数之和不小于18的组合， ，，，， ，，，一共7组， 所以所求的概率为. 12．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知总体分为A，B两层，且A层与B层的个体数之比为3∶1，用比例分配的分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为8的样本．若B层中的个体甲、乙均被抽到的概率为，则总体的个体数为（    ）． A．7 B．20 C．28 D．32 【答案】C 【分析】根据分层随机抽样，按比例计算从B层抽取的样本量，利用古典概型的组合数公式列出该概率的表达式，进而求解总体个体数. 【详解】设B层中含有的个体数为n，则总体中的个体数为， 则从总体中抽取一个容量为8的样本，应从B层中抽取2个． 由题意知B层中的甲、乙均被抽到的概率为，解得， 所以总体的个体数为28． 13．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围，某地图书馆计划开展3场主题讲座，现有4名同学报名参加，每个讲座至少有一名同学参加，每人只能参加一个讲座，则不同的安排方案种数为（     ） A．12 B．24 C．36 D．60 【答案】C 【分析】根据分步计数原理，结合排列组合知识求解即可. 【详解】先将4名同学分为3组：种， 再将3组分到3场主题讲座：种， 故不同的安排方案种数为种. 14．（2026高二·全国·专题练习）北京市某高中高二年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（   ） A．60 B．90 C．150 D．240 【答案】C 【详解】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学，先分组再排列， 5人分为：1，1，3，则有种； 5人分为：1，2，2，则有种， 所以一共有种方法 15．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）鲁菜是中国八大菜系中历史最悠久、技法最丰富、最见功力的菜系，是黄河流域烹饪文化的代表，当走进山东，人们感受到的不仅是一道道的美食，更是一份传承了千年之久的深厚文化底蕴以及热情好客之道．小明和名同学决定探访山东美食文化，计划打卡济南、青岛、潍坊等五个城市．若人各自独立且等可能地从个城市中任选一个，则小明去济南，且恰有一个城市有人，其余人分别选择另外两个不同城市的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先算总选法数，再分两类符合条件的选法：（1）济南是人数为的城市的选法数为；（2）济南不是人数为的城市的选法数为，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】先计算总基本事件数个人各自独立且等可能地从个城市中任选个， 由分步乘法计数原理得总选法为：. 因为要求同时满足两个条件：①小明去济南；②恰有一个城市有人，其余人分别选另外两个不同城市， 因为小明已经选了济南，分两类讨论： （1）济南是人数为的城市：需要从剩下名同学中选人也去济南， 剩余名同学要从剩下个城市里选个不同城市、每人各去个， 选法为：. （2）济南不是人数为的城市：剩下名同学中，需要人同去除济南之外的某一个城市， 最后人去剩下城市里不同于上述两个城市的第三个城市，选法为：. 符合条件的总事件数. 由古典概型的概率公式，因此符合条件事件的概率. 16．（26-27高三上·山东济南·开学考试）把包括甲、乙、丙、丁等在内的8位员工分成1组、2组两个技术攻关组（每组4人），其中甲、乙不同组，丙、丁同组，则分组方案共有（     ） A．24种 B．16种 C．12种 D．10种 【答案】B 【详解】∵ 两个技术攻关组分别为1组、2组，属于有序分组，要求丙、丁同组，甲、乙不同组. ∴ 按分步计数原理求解： 第一步，确定丙、丁所在的组，可选择1组或2组，共2种情况. 第二步，分配甲、乙：甲、乙需分属不同组，故恰好有1人与丙、丁同组，另1人在另一组，共2种分配方式. 第三步，丙、丁所在组共需4人，已有丙、丁及甲、乙中的1人共3人，剩余1个名额从除甲、乙、丙、丁外的4名员工中选取，共有种选法， 剩余未选中的3人与甲、乙中的另一人恰好组成4人，自动归为另一组. 根据分步乘法计数原理，总方案数为种. 17．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）甲、乙等6人一起报名校运动会的跑步项目，跑步项目共有m短跑、m短跑和 m跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目有两人报名，则不同的报名方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题为分组分配问题，先把甲、乙等6人分成三组，每组2人，再分配3项跑步项目. 【详解】先把甲、乙等6人分成三组，每组2人,则有种分法 再分配3项跑步项目，那么报名方法有. 18．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）某校派出 6 名志愿者派往 4 个社区参与志愿服务，每个社区至少去 1 名志愿者，其中甲志愿者去 A 社区. 则不同的分配方法种数为（    ） A．360 B．390 C．750 D．1170 【答案】B 【分析】根据分组分配问题的求解方法，结合分类计数原理求解 【详解】只有甲前往A社区的总方法数：； 甲与另外1个人前往A社区的总方法数：； 甲与另外2个人前往A社区的总方法数：； 综上，总分配方法数为. 19．（26-27高三上·安徽·阶段检测）在一节研究性学习的课程上，为了体现数学与生活的联系，唐老师准备了一个抽奖箱，里面有8张卡片，其中三张卡片上用绿色签字笔标有数字2、4、6，五张卡片上用黑色签字笔标有数字2、4、6、8、10，现邀请一名同学参与抽卡游戏，要求该同学从箱中任取三张卡片，则该生抽到的卡片都是绿色数字或都是黑色数字或卡片上的数字之和是6的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合数算出从8张卡片中抽出3张卡片的情况，再分别算出全是绿色数字或者全是黑色数字或者三数之和为6的倍数的情况，去掉重复的情况后相加，即可算出概率. 【详解】从8张卡片中任取3张，总可能数为. 绿色数字卡片有3张，分别是2、4、6，则抽出的全是绿色数字的可能数为. 黑色数字卡片有5张，分别是2、4、6、8、10，则抽出的全是黑色数字的可能数为. 抽出的三张数字之和为6的倍数有以下这些情况： ；； ：因为2，4，6都有黑色和绿色，所以共有种情况； ：因为2，6都有黑色和绿色，所以共有种情况； ：因为4，6都有黑色和绿色，所以共有种情况； ：因为6有黑色和绿色，所以有2种情况， 则共有可能数为种. 抽出的全是绿色数字为，是三张卡片数字之和为6的倍数的可能， 抽出的全是黑色数字中，，，，三数之和均为6的倍数， 去掉重复情况，所以共有种可能， 则. 20．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）在元旦小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法种数有（     ） A．60种 B．70种 C．80种 D．90种 【答案】C 【分析】根据“不出现同一人连续值班2天”的约束，将问题分为值班人数为2人和3人两类，分别计算两类安排数后求和即可． 【详解】由题意可知，满足约束的值班人数仅能为2或3，分情况计算： ①当值班人数为3时，3天各安排1名不同的人，不存在连续重复值班的情况，从5人中任选3人全排列，安排方法数为； ②当值班人数为2时，为避免同一人连续值班，需1人值第1、3天，另1人值第2天，先从5人中选2人，再指定1人值首尾两天， 安排方法数为； 根据分类加法计数原理，总安排方法数为种． 21．（25-26高二下·河北沧州·期末）将各位数字之和等于10的四位数称为“好数”，比如2026，则四位数中共有“好数”（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用隔板法可求“好数”的个数. 【详解】设该四位数为， 其中， 由题设有，将该方程转化为， 设，则. 先考虑方程正整数解的组数， 由隔板法可得该方程不同正整数解的组数为. 当时，，此时对应的正整数为五位数，舍； 当时，每一组均可得唯一的四位数， 故四位数中共有“好数”为. 22．（26-27高三上·浙江·开学考试）现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据排列组合方法计算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，结合古典概型的概率公式可求相应的概率. 【详解】先涂底面，有种涂法，再涂4个侧面， 如果4个侧面用2种颜色，则不同的涂法有种； 如果4个侧面用种颜色，则不同的涂法有； 故相邻（有一条公共边）的两面不同色，共有种不同的涂法. 若相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色， 则这两个面只能是平面、平面或平面、平面. 则此时不同的涂法有种， 设为随机事件“恰有两个面涂了红色”， 则. 23．（2026·湖南邵阳·模拟预测）近期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“，”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论．某数学兴趣小组从中提取四个首字母B，W，M，F，各取两次（即共8个字母：B，B，W，W，M，M，F，F）并排成一排．若至多有两对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为（    ） A．2376 B．2352 C．2208 D．2068 【答案】B 【分析】利用间接法，先求总排列数，再减去恰好 3 对、恰好 4 对字母相邻的情况，得到至多两对相同字母相邻的排列种数. 【详解】8 个字母包含4对重复字母（BB、WW、MM、FF），， ① 恰好4对全部相邻：把4对重复字母各自捆绑为1个整体，共4个独立模块，全排列数是， ② 恰好3对相邻：先从4对字母中选3对，将其对应相同字母捆绑，选法为种，将3对捆绑的整体排列，排列数是种，3个整体排列后形成4个空隙，将剩余2个相同的字母插入空隙，因为两个字母相同，所以插空方法共有种， 所以该类排列数为种， 利用间接法，至多两对相邻排列数 = 总排列数 − 恰好3对相邻 − 恰好4对相邻， 所以不同排列种数为. 24．（25-26高二下·四川遂宁·期中）遂宁东辰新闻节目组依次录制遂宁市7个旅游景点：灵泉寺、广德寺、龙凤古镇、大英死海、沱牌产业园、蓬溪红海、观音湖的宣传视频，要求灵泉寺和广德寺不相邻，灵泉寺和观音湖相邻，且龙凤古镇不排在首和尾，不同排列种数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据相邻和不相邻利用捆绑法和插空法求出不考虑龙凤古镇位置的排列种数，再求出龙凤古镇在特殊位置的排列种数，从而可以求解. 【详解】不考虑龙凤古镇的位置，有种； 当龙凤古镇排在首位时，有种， 同理，当龙凤古镇排在尾位时，有种； 所以满足要求的排列种数为种. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $