6.3.1 二项式定理（题型专练）数学人教A版选择性必修第三册

6.3.1 二项式定理 题型一：求二项式展开式 1．用二项式定理展开______． 【答案】 【分析】利用二项式定理展开即可. 【详解】． 故答案为： 2．展开=_____． 【答案】 【分析】直接根据二项式定理展开即可； 【详解】解： ． 故答案为： 3．用二项式定理展开(2x－1)4＝____________． 【答案】16x4－32x3＋24x2－8x＋1 【分析】利用二项展开式即可求解. 【详解】(2x－1)4＝(2x)4(－1)0＋ (2x)3(－1)1＋ (2x)2(－1)2 ＋ (2x)1(－1)3＋ (2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1． 故答案为：16x4－32x3＋24x2－8x＋1 4．展开：__________． 【答案】 【分析】根据二项式定理，求出二项展开式即可. 【详解】由二项展开式可得， . 故答案为： 5．求的展开式. 【答案】 【分析】可以利用二项式定理直接展开或者先通分化简，再进行展开. 【详解】方法1： 方法2： 题型二：二项式定理化简代数式 1．已知，则可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理的逆用直接化简即可. 【详解】 , 故选：A. 2．化简：. 【答案】 【分析】逆用二项式定理进行合并即可. 【详解】原式 . 3．化简． 【答案】 【分析】将看作一个整体，再利用二项展开的逆运算即可得解. 【详解】（1） . （2）原式 . 4．化简S＝1－(n∈N*)． 【答案】S＝ 【分析】逆用二项式定理解答即可. 【详解】解：S＝1－ ∴S＝(－1)n＝. 5．化简：． 【答案】 【分析】逆用二项式定理进行合并即可得解． 【详解】原式 ． 题型三：求常数项 1．的展开式中，常数项为 ． 【答案】3 【分析】先求出展开式中的通项公式，然后令的指数为0求解. 【详解】由展开式中的通项公式为：， 令，则， 故展开式中的常数项为：， 故答案为：3. 2．二项式的展开式中为常数项的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】根据给定二项式求出其展开式的通项，再求出通项中x的幂指数为0所对项数即可. 【详解】依题意，的展开式的通项为，， 令，得，即是二项式的展开式的常数项， 所以展开式中的常数项是第5项. 故选：C 3．已知二项式.求展开式中的常数项. 【答案】 【分析】令的指数为0，即可求得展开式中的常数项. 【详解】 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 4．在二项展开式中，常数项是 . 【答案】60 【分析】首先写出二项展开式的通项公式，并求指定项的值，代入求常数项. 【详解】展开式的通项公式是， 当时， . 故答案为60 【点睛】本题考查二项展开式的指定项，意在考查公式的熟练掌握，属于基础题型. 5．二项式，则该展开式中的常数项是 . 【答案】180 【解析】求得二项展开式的通项，令，即可求解展开式的常数项，得到答案. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为， 令，可得，即展开式的常数项是. 故答案为：. 题型四：求第k项（系数） 1．二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【答案】C 【分析】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数． 【详解】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 2．二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出通项，进而计算第四项即可； 【详解】二项式的通项为， 则． 故选：A. 3．的展开式的第4项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出通项公式，令，求出第4项即可. 【详解】因为，所以. 故选：B 4．二项式的展开式的第4项的系数是（ ） A．8 B．35 C．280 D．60 【答案】C 【分析】利用二项式定理的通项公式求解. 【详解】通项为，则， 则第4项的系数是. 故选：C. 5．的展开式中第四项是（   ） A．-20 B．20 C．-160 D．160 【答案】C 【分析】根据通项公式计算. 【详解】由题意得展开式的第四项为. 故选：C. 题型五：求指定项（系数） 1．在的展开式中，含项的系数是（   ） A．42 B． C．84 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求解. 【详解】在的展开式中，含的项为， 所以含项的系数是84. 故选：C 2．二项式的展开式中，含的项的系数是 . 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项公式即得. 【详解】展开式的通项公式为， 令，得， 所以含的项的系数为. 故答案为：. 3．的展开式中含项的系数为 ． 【答案】/ 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项为，， 令，则， 所以含项的系数为． 故答案为：. 4．的展开式中含项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式通项直接求解即可. 【详解】展开式通项为， 令，则， 即的展开式中含项的系数为. 故选：D. 5．展开式中含的项的系数是（    ） A． B． C．10 D．5 【答案】C 【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为，令，则含的项的系数是， 故选：C 6．二项式的展开式中有理项的项数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，求得二项式的展开式的通项为，结合通项，即可求解. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为： ，其中， 当时，展开式为有理项， 所以二项式的展开式中有理项的项数为6项. 故选：C. 7．已知二项式.求展开式中的有理项； 【答案】 【分析】令的指数为整数，即可求得展开式中的有理项； 【详解】 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . 题型一：求参最值 1．若的展开式中第4项为160，则 . 【答案】 【分析】根据二项式展开的通项公式，结合题意，列出等式，化简计算，即可得答案. 【详解】的展开式中第4项为， 所以，解得. 故答案为： 2．已知 的二项展开式中的第 4 项为常数项，则 . 【答案】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，结合展开式中的第 4 项为常数项，进而求得的值. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 可得展开式的第4项为， 因为二项展开式的第4项为常数项，所以，解得. 故答案为：. 3．若的展开式中的常数项为，则 . 【答案】1 【分析】法1：根据二项式定理的定义，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案；法2：根据多项式乘法，结合组合的计数原理，结合题意，可得答案. 【详解】法1：因为的展开式的通项， 令，解得，所以常数项为，解得. 法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取， 其余3个取，即常数项为，由，解得. 故答案为：. 4．已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， ． 【答案】10 【分析】借助二项式系数的性质与组合数的性质计算即可得. 【详解】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质可得． 故答案为：10. 5．的常数项为第3项，求 【答案】 【分析】展开式的第项是常数项，即得指数为，求出的值即可． 【详解】因为的常数项为第3项， 所以，， 所以，即. 故答案为：. 6．若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设二项式通项，待定系数计算即可. 【详解】设的通项为，若有常数项，则只需，而，显然的最小值为3，此时. 故选：A 题型二：多项式的展开式 1．求多项式的展开式． 【答案】 【分析】由，利用二项式定理即可求解； 【详解】 ， ． 2．的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】中将看成一项，两次展开，求出展开式的通项，令的指数为0，即可求解. 【详解】，展开式通项为 ， 令，当时， 为常数项即. 故选:A. 3．在的展开式中，含项的系数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把看成6个相乘，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，即可得到结果. 【详解】是6个相乘，需要依次从每个的三项（1，，）中选出一项后相乘，就可得到展开式中的一项. 得到项的方法有两类： 第一类是，6个的1个里选出，1个里选出，其余里选出，相乘得，这类方法，共可得到个，合并同类项后即得到； 第二类是，6个的3个里选出，其余里选出，相乘得，这类方法，共可得到个，合并同类项后即得到. 再将上述两项合并，得，因此项的系数为. 故选：B. 4．求多项式的展开式. 【答案】 【分析】利用完全平方公式将三项式转化为二项式，然后根据二项式定理即可得到展开式. 【详解】因为 ， 所以 . 所以多项式的展开式为. 5．在的展开式中，的系数为（    ） A． B．21 C． D．15 【答案】A 【分析】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，从而得到答案. 【详解】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，所以展开式含的项的系数为：. 故选：A. 6．在的展开式中常数项等于 . 【答案】16 【分析】根据二项式展开式结合其常数项组成形式即可得到答案. 【详解】因为展开式的通项为，， 的展开式中常数项由两项构成， 即与， 所以的展开式中常数项为. 故答案为：16. 7．在的展开式中，常数项为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为的通项公式为， 则的展开式中的项为或， 所以常数项为， 故答案为：. 1．的展开式中含的项的系数为（    ） A．20 B． C．40 D． 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式求指定项的系数. 【详解】的展开式的通项为， 由，解得，则含的项的系数为． 故选：B 2．化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用二项式定理化简. 【详解】 ． 故选：B 3．的展开式中所有有理项的二项式系数和为 . 【答案】85 【分析】写出的二项展开式的通项公式，再由为整数，求出有理项的二项式系数即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为，. 所以当为整数，即时，二项式展开式第项为有理项， 其对应的二项式系数分别为：，，， 故所有有理项的二项式系数和为. 故答案为：85. 4．已知的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出展开式的第九项，令的指数为0，可以求出n，再将代入即可求出系数和. 【详解】 ，所以，则, 令，可得，所以展开式中的各项系数之和为． 故选：A. 5．在的展开式中，的系数是 . 【答案】 【分析】写出二项式的展开式，从而求出的展开式中的系数. 【详解】因为二项式的展开式为： ， 又， 所以的展开式中的项是， 所以的展开式中的系数是. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $©6学科网·上好课 二项式定理 题型一：求二项式展开式 1.用二项式定理展开(x+2)4 2.展开(2x京)5： 3.用二项式定理展开(2x一1)4=_ 4.展开：（区-x)- www.zxxk.com 上好每一堂课 6.3.1二项式定理 题型一：求二项式展开式 题型二：二项式定理化简代数式 基础达标题 题型三：求常数项 题型四：求第k项（系数） 题型五：求指定项（系数） 题型一：求参最值 能力提升题 题型二：多项式的展开式 拓展培优题 A 基础达标题 1/7 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.求(2x-是)的展开式 题型二：二项式定理化简代数式 1.已知S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)+4x-3,则s可化简为() A.x4 B.x4+1 c.(x-2)4 D.x4+4 2.化简：(2x+1)5-52x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)+52x+1)-1. 3.化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1) 4.化简8=1-2Ch+4C品-8C品+.+(-2Chn∈W. 5.化简：Cx+1”-cx+1)1+cx+1)2-…+(-1)Cx+1)*+…+(-1)C 2/7 而学科网·上好课 www zxxk com 题型三：求常数项 1.（x2+贵)的展开式中，常数项为一· 2.二项式(x6-在)的展开式中为常数项的是() A.第3项 B.第4项 C.第5项 3.已知二项式(3区-最)°求展开式中的常数项 4.在(2x2+)二项展开式中，常数项是 5。二项式（反+最）”，则该展开式中的常数项是 题型四：求第k项（系数) 1.二项式（京-x2)2°的展开式中第5项的系数为(） A.252 B.-252 C.210 2.二项式(x一是)的展开式的第四项为() A.-20 B.-40 C.-20x 3.（急-x3)°的展开式的第4项为() A.20x3 B.-20x3 C.15x8 3/7 上好每一堂课 D.第6项 D.-210 D.40x D.-15x8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 4.二项式(1+2x)的展开式的第4项的系数是() A.8 B.35 C.280 5.(2-在)° 的展开式中第四项是() A.-20 B.20 C.-160 题型五：求指定项（系数) 1.在(1-2x)的展开式中，含x2项的系数是() A.42 B.-42 C.84 2.二项式(1一)的展开式中，含专的项的系数是 3.（3x-去)的展开式中含x2项的系数为】 4.(x+2y)5的展开式中含x2y3项的系数为() A.20 B.40 C.120 5.(2x-y)展开式中含xy4的项的系数是（) A.-10 B.-5 C.10 10 6,二项式(-店)“的展开式巾有型项的项数为〈) A.4 B.5 C.6 7.己知二项式(3区-最)°求展开式中的有理项 4/7 上好每一堂课 D.60 D.160 D.-84 D.80 D.5 D.7 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一：求参最值 1.若(ax-壹)“的展开式中第4项为160，则a= 2.已知(x+安)“的二项展开式中的第4项为常数项，则”=一 3.若(x3-景)(a∈R)的展开式中的常数项为-4，则a= 4.已知二项式（公-5x)“的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，n=一 5.(ax-是)”的常数项为第3项，求n= 6.若二项式（爱+及）(n∈N)展开式中含有常数项，则的最小值为() A.3 B.4 c.5 D.6 5/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 题型二：多项式的展开式 1.求多项式(x2+点-2)的展开式. 2.(x-是-1)4的展开式中，常数项为() A.-5 B.-6 C.-12 3.在(1+x-x2)的展开式中，含x3项的系数为() A.-30 B.-10 C.30 4.求多项式(x2+是-2)的展开式. 5.在(x-1x-2x-3x-4x-5x-6)的展开式中， A.-21 B.21 C.-15 6.在(1+)（及-1）°的展开式中常数项等于 7.在(2-是)(1-x)的展开式中，常数项为 6/7 上好每一堂课 D.19 D.50 x5的系数为() D.15 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 拓展培优题 1.(4x2-永)的展开式中含x的喷的系数为《） A.20 B.-20 C.40 D.-40 2.化简16-32x+24x2-8x3+x4=(） A.x4 B.(2-x)4 C.(2+x)4 D.(1-2x)4 3.（2x-衣) 的展开式中所有有理项的二项式系数和为 4.已知（号-左） 的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为() A品 B.-品 C.210 D.-210 5.在(x2+x-1)(1-2x)5的展开式中，x的系数是】 7/7