江苏扬州市部分学校2026-2027学年第一学期9月学情调研高二数学试题

扬州市2026~2027学年度第一学期9月学情调研 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为 A．0 B．1 C．90 D．不存在 2．已知复数，则对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若点在圆的外部，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4．已知直线：与圆：相交于A，B两点，则 A． B． C． D． 5．已知点，，直线l：与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 A．或 B． C． D． 6．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为 A． B． C． D． 7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点是圆O：上任一点，点，，则的最小值为 A．1 B． C． D． 8．已知圆M：，直线为，已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9．设复数满足（其中是虚数单位），则下列说法正确的是 A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D． 10．下列结论正确的是 A．直线恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1 D．与圆相切，且在轴、轴上的截距相等的直线有两条 11．则下列结论正确的是 A．直线与直线关于点对称，则实数的值为2 B．直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是 C．已知实数、满足方程，当时，则的取值范围是 D．由动点向圆：引两条切线，，切点分别为A，B，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若、、三点共线，则__________． 13．圆经过点，且经过两圆：和圆：的交点，则圆的方程为_____________． 14．直线：是圆C：的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分） 已知中，，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程． （2）求的面积． 16．（15分） 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足 （1）求的值． （2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知圆：，直线l：． （1）当为何值时，直线与圆相切． （2）当直线与圆相交于A，B两点，且时，求直线的方程． 18．（17分） 设直线的方程为 （1）求证：直线经过定点，并求此定点坐标． （2）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程． 19．（17分） 已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程． （2）已知动点在直线l：上，过作曲线的两条切线，分别切于，两点，直线：与，分别交于，，连接，交于． （ⅰ）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． （ⅱ）求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市2026~2027学年度第一学期9月学情调研 高二数学参考答案与评分建议 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的． 1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9．BD 10．BC 11．ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解】（1）为边上的中线，， 为边的中点，坐标为，又 所在直线方程为，即 边上的中线所在直线的一般式方程为 6分 （2），， 7分 边所在直线方程为：，一般式为 10分 点到直线的距离为 13分 16．（15分） 【解】（1）令且，，则 所以，则，可得 4分 所以 则 7分 （2）由 则对应点在第三象限 所以 13分 所以，即 15分 17．（15分） 【解】（1）根据题意，圆Ｃ：． 则圆的标准方程，圆心为，半径 2分 若直线与圆相切，则有 5分 解得 即当时，直线与圆相切 7分 （2）设圆心到直线的距离为 依题意，有，即，解得 10分 又由，解得或 13分 直线的方程为或 15分 18．（17分） 【解】（1）因为直线l：，即 令，解得 所以直线过定点 4分 （2）因为直线l： 当直线过原点时满足条件，则，解得 5分 可得直线的方程为： 当直线不过原点时，则直线斜率为-1 则，解得 7分 可得直线的方程为： 综上所述，直线的方程为或 9分 （3）令，解得，解得 令，解得，解得或 综上所述： 11分 则 15分 当且仅当，即时取等号． 所以面积的最小值是6，此时直线方程为 17分 19．（17分） 【解】（1）由题意得，则，设，则 化简得： 3分 （2）（ⅰ）设，则以为直径的圆为： 与方程作差可得直线为：． 即，则，解得． 则过定点 7分 （ⅱ）首先证明一个结论：标准圆其圆上任意一点，在该点处的切线方程为，证明如下： 当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，， 则切线方程为，即 当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合 当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，满足 综上，圆上任意一点，在该点处的切线方程为 10分 设，，则化简直线为： 过定点，所以有（*） 直线为：，令，则，则 12分 同理，直线为：，则同理得 则直线为 即 14分 同理，直线为 由，交于可知 两式作差可得 对比（*）式可得 即，即也在直线上 则 17分 学科网（北京）股份有限公司 $