第3章 一元一次不等式（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材浙教版八年级上册

第3章 一元一次不等式·培优卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）若，则下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质逐项进行判断． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴ A正确，B、C、D错误． 2．（25-26七年级下·上海·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A．含有两个未知数，不符合一元一次不等式的定义，故A不符合题意； 选项B．是等式，不是不等式，故B不符合题意； 选项C．含有一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故C符合题意； 选项D．中不是整式，不符合定义，故D不符合题意． 3．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图表示一个不等式的解集，则该不等式是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴可得解集为，逐项解不等式对照即可解答． 【详解】解：数轴表示的解集为， A、解不等式得，不符合题意； B、解不等式得，不符合题意； C、解不等式得，不符合题意； D、解不等式得，符合题意． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式组的整数解有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的公共解集，再找出解集范围内的整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：解得； 解得； ∴原不等式组的解集为， 该解集范围内的整数为，共个． 5．（2026·河南三门峡·一模）请从下列选项中选择一个不等式，使其与不等式组成的不等式组无解，则应该选择（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出已知不等式的解集，再根据一元一次不等式组无解的条件，即两个不等式的解集没有公共部分，判断选项即可． 【详解】解：∵， 移项得：， ∴， ∵不等式组无解，即：另一个不等式的解集需要和没有公共部分， A、 与没有公共部分，不等式组无解，符合题意； B、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意； C、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意； D、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接用方程组中的减去得到，再结合，得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的中x，y满足， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了方程组和不等式结合的问题，正确利用方程组得到是解题的关键． 7．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）一元一次不等式组有且仅有两个整数解则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组的整数解个数，确定解集左端点的取值范围是解题关键. 【详解】解：解不等式，得. 解不等式，得； ∴ 不等式组的解集为； ∵ 不等式组有且仅有两个整数解，且， ∴ 两个整数解为和； ∵ 不是该不等式组的整数解， ∴ ； ∵ 是该不等式组的整数解， ∴ ， ∴ ； 解得； 8．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【答案】B 【分析】先根据已知等式将b，c用含a的代数式表示，再代入不等式求出a的取值范围，最后将所求整理为关于a的一次式，结合a的范围计算最大值即可． 【详解】解：，， ，， ， ∴，解得， ， ， ， 即的最大值为41． 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组的最大整数解和最小整数解互为相反数，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据最大整数解与最小整数解互为相反数确定关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②：两边同乘得， 化简得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的最大整数解和最小整数解互为相反数， ∴不等式组的最小整数解为，最大整数解为， 可得， 解得． 10．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）不等式的最小整数解为________． 【答案】 【分析】先求解不等式得到解集，再在解集范围内找出最小的整数即可． 【详解】解：原不等式为， 解得， 即， ∴ 大于的整数中，最小的整数是， 即不等式的最小整数解为． 12．（25-26七年级下·河南南阳·期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组解集的确定规则“大大小小则无解”，即可确定的取值范围． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴． 13．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知方程组的解x、y都是负数，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】将不等式组中的x，y用含有a的式子表示出来，根据题意解得的x、y都是负数，可知，解出参数即可． 【详解】解：解方程组得； ∵方程组的解x、y都是负数， 即， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法和求一元一次不等式组的解集，解题的关键是根据运算可将x、y化为关于a的式子，然后计算出a的取值． 14．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）一辆汽车在高速公路上匀速行驶，车速为，时汽车距前方的地．请添加一个条件：________，使所列不等式为． 【答案】汽车要在之前到达地 【分析】不等式中，是汽车小时行驶的路程，不等式表示汽车小时行驶路程超过，即汽车应在之前到达地． 【详解】解：已知车速为，不等式中是汽车行驶小时的路程； 从经过小时，对应时间为； 所列不等式为，即小时行驶路程超过初始距地的距离， 汽车要在之前到达地． 15．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于的不等式组的解集是，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵该不等式组的解集为， ， 解得， ∴． 16．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）下图是小靖写的一个程序，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于15”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于15，则用得到的这个数进行下一次操作．若程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据程序操作进行了两次才停止，可知第一次运算结果小于或等于15，第二次运算结果大于15，据此列出一元一次不等式组求解． 【详解】解：根据题意，第一次运算结果为，第二次运算结果为， 程序操作进行了两次才停止， 第一次运算结果，且第二次运算结果， ， 解①得， 解②得， 不等式组的解集为， 输入的的取值范围是． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）解下列不等式（组）： (1)； (2)，并在数轴上画出它的解集． 【答案】(1) (2) 不等式组的解集在数轴上表示为： 【详解】（1）解：去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示见答案． 18．（6分）（25-26八年级下·广东佛山·期末）已知不等式组①，解决下列问题： (1)求不等式组①的解集； (2)若不等式组的解集与①的解集相同，求a、b的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可； （2）先求出不等式组的解集，然后根据不等式组的解集与①的解集相同得出关于a、b的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由不等式得：， 由不等式得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 由不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集与①的解集相同， ∴， 解得：． 19．（6分）（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于的二元一次方程组的解满足且是非负数． (1)求的取值范围； (2)当为整数时，不等式的解集为，求满足所有条件 的的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）首先利用加减消元法解方程组，即用a分别表示x和y，接着根据，得到不等式组，然后解不等式组得出a的范围； （2）先利用解集为，通过解不等式得到，接着求出a的取值范围，然后写出此范围内的整数即可． 【详解】（1）解：①＋②，得 ②－①，得 且， 解得． （2）解：， ． ， ． ． 由（1）可知， 且为整数． ． 20．（8分）（25-26七年级下·吉林长春·期末）为了解决小区停车难的问题，某小区准备新建50个停车位．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.1万元． 请解答下列问题： (1)该小区新建1个地上停车位需________万元，1个地下停车位需________万元． (2)若该小区预计投资金额不超过11万元，且地上停车位预计不超过31个，则共有几种建造方案？（写出方案的具体求解过程） 【答案】(1)0.1，0.4 (2)共有2种建造方案 【分析】（1）设新建一个地上停车位需万元，新建一个地下停车位需万元，根据题干中的数量关系列方程组求解即可； （2）设地上停车位有个，则地下停车位有个，根据“该小区预计投资金额不超过11万元，且地上停车位预计不超过31个”列不等式组，取整数解即可． 【详解】（1）解：设新建一个地上停车位需万元，新建一个地下停车位需万元， 由题意得，， 解得， 即新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.4万元； （2）解：设地上停车位有个，则地下停车位有个， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴或31， 当，． 当，． 所以有以下两种方案： 方案1：建造地上停车位有30个，地下停车位有20个； 方案2：建造地上停车位有31个，地下停车位有19个． 21．（8分）（25-26七年级下·河南周口·期末）已知、是整数，关于的不等式的最小整数解是8，关于的不等式的最大整数解为8． （1）求、的值； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据已知条件得到a-2b、2a+3b-19也是整数，解方程组即可得到结论； （2）根据题意得不等式组，代入、的值解不等式组可得到结论． 【详解】解:（1）∵为a、b是整数， ∴a-2b、2a+3b-19也是整数， 由x+2b＞a解得：x＞a-2b， 由x-3b+19＜2a解得：x＜2a+3b-19， 于是，由题意可得：   解得：.   （2）由题意得：     即： 解得 ∴  的取值范围是： 【点睛】考查了对解一元一次不等式（组），一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组的应用，关键是根据题意得出关于a、 b的方程组． 22．（9分）（25-26八年级下·山西运城·期末）项目化学习 【项目内容】 某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为． 【观察思考】 如图②，当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块；如图③当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块；…；以此类推． 【规律总结】 (1)按图示规律，第一个图案（图②）的长为_________，第五个图案的长为_________． (2)若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为（为正整数），则=_________（用含的代数式表示）； 【问题解决】 (3)若要使走廊的长不小于，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 【答案】(1)2.4；8.8 (2) (3)块 【分析】（1）先观察图案中圆形地砖数量与横向地砖块数的变化规律，推导块数表达式，再结合单块地砖长，换算得到图案长度； （2）由前两个图案的长度，归纳出n块圆形地砖对应走廊长度的通用代数式； （3）根据长度不小于的不等关系，列出一元一次不等式，求解并结合为正整数，确定最小取值． 【详解】（1）解：第一个图案的长度， 第二个图案的长度， …， 第n个图案边长为； ∴第五个图案的长为； （2）解：由（1）得第n个图案的长为； （3）解：由题意得：， 解得， ∴至少需要带有圆形花纹的地砖块 23．（9分）（25-26七年级下·辽宁大连·期末）若实数x、y满足，则称点为“统一点”． (1)请直接写出一个“统一点” ； (2)若点是“统一点”，且a、b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围； (3)已知点是满足的“统一点”，且m、n是关于x的不等式组的解，其中，求t的取值范围． 【答案】(1)（答案不唯一，满足即可） (2) (3) 【分析】（1）根据“统一点”定义，取一个x的值，计算对应y值即可； （2）先解不等式组得到解集范围，结合“统一点”定义可知最大整数解比最小整数解大1，由此确定整数解的具体值，再列不等式求k的取值范围； （3）先联立“统一点”条件和，解方程组得到m和n的值，再分类讨论不等式组的解集，根据m、n都是解列不等式求t的取值范围． 【详解】（1）解：令，由，得， ∴点是“统一点”．（答案不唯一） （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有最大整数解a和最小整数解b， ∴最大整数解为， ∵点是“统一点”， ∴， ∴，即最小整数解为， ∴， 解得：． （3）解：∵点是“统一点”， ∴， 联立， 解得：， ∵m、n是不等式组 的解， ∴和均满足不等式组， 此时分两种情况讨论： ①当，即时， ∴不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式组的解集为， ∵和都在解集中， ∴，解得：， ∵， ∴； ②当，即时， ∴不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式组的解集为， 此时和均不满足，不符合题意，舍去， 综上所述，t的取值范围是． 24．（10分）（24-25八年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， 即， ． 25．（10分）（25-26七年级下·吉林·期末）【定义新知】给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式是不等式的子集．同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”，例如：不等式组是不等式组的子集． 【新知应用】 (1)请写出不等式的一个子集_____________________； (2)若不等式组，不等式组，则其中不等式组______________是不等式组的“子集”（填：A或B）； (3)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是______________； 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）利用“子集”的定义解答即可； （2）先解出两个不等式组的解集，然后根据定义判断即可； （3）先解不等式组，然后根据定义解答即可． 【详解】（1）解：根据定义，只要不等式的所有解都满足，就是的子集， 例如，任意解都满足，因此是符合要求的子集（答案不唯一）． （2）解：解不等式组，得， 解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解， ∴不等式组是不等式组的“子集”； （3）解：解不等式组，得， ∵关于的不等式组是不等式组的“子集”， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次不等式·培优卷 【新教材浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）若，则下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图表示一个不等式的解集，则该不等式是（     ）    A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式组的整数解有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（2026·河南三门峡·一模）请从下列选项中选择一个不等式，使其与不等式组成的不等式组无解，则应该选择（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）一元一次不等式组有且仅有两个整数解则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组的最大整数解和最小整数解互为相反数，则的取值范围是（） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）不等式的最小整数解为________． 12．（25-26七年级下·河南南阳·期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______． 13．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知方程组的解x、y都是负数，则a的取值范围是______． 14．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）一辆汽车在高速公路上匀速行驶，车速为，时汽车距前方的地．请添加一个条件：________，使所列不等式为． 15．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于的不等式组的解集是，则的值为___________． 16．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）下图是小靖写的一个程序，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于15”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于15，则用得到的这个数进行下一次操作．若程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）解下列不等式（组）： (1)； (2)，并在数轴上画出它的解集． 18．（6分）（25-26八年级下·广东佛山·期末）已知不等式组①，解决下列问题： (1)求不等式组①的解集； (2)若不等式组的解集与①的解集相同，求a、b的值． 19．（6分）（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于的二元一次方程组的解满足且是非负数． (1)求的取值范围； (2)当为整数时，不等式的解集为，求满足所有条件 的的值． 20．（8分）（25-26七年级下·吉林长春·期末）为了解决小区停车难的问题，某小区准备新建50个停车位．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.1万元． 请解答下列问题： (1)该小区新建1个地上停车位需________万元，1个地下停车位需________万元． (2)若该小区预计投资金额不超过11万元，且地上停车位预计不超过31个，则共有几种建造方案？（写出方案的具体求解过程） 21．（8分）（25-26七年级下·河南周口·期末）已知、是整数，关于的不等式的最小整数解是8，关于的不等式的最大整数解为8． （1）求、的值； （2）若，，求的取值范围． 22．（9分）（25-26八年级下·山西运城·期末）项目化学习 【项目内容】 某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为． 【观察思考】 如图②，当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块；如图③当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块；…；以此类推． 【规律总结】 (1)按图示规律，第一个图案（图②）的长为_________，第五个图案的长为_________． (2)若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为（为正整数），则=_________（用含的代数式表示）； 【问题解决】 (3)若要使走廊的长不小于，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 23．（9分）（25-26七年级下·辽宁大连·期末）若实数x、y满足，则称点为“统一点”． (1)请直接写出一个“统一点” ； (2)若点是“统一点”，且a、b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围； (3)已知点是满足的“统一点”，且m、n是关于x的不等式组的解，其中，求t的取值范围． 24．（10分）（24-25八年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 25．（10分）（25-26七年级下·吉林·期末）【定义新知】给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式是不等式的子集．同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”，例如：不等式组是不等式组的子集． 【新知应用】 (1)请写出不等式的一个子集_____________________； (2)若不等式组，不等式组，则其中不等式组______________是不等式组的“子集”（填：A或B）； (3)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是______________； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $