第二章 不等式与不等式组（单元自测·基础卷）数学新教材北师大版八年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二章 不等式与不等式组·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，下列不等式中，成立的是（） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（   ） A．的解集是 B．的整数解有无数个 C．是的一个解 D．的整数解为 4．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 7．关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 10．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 12．若，则 ．（填“＞”“＜”或“=”） 13．如图，直线交轴于点，交轴于点，且，则不等式的解集为 ． 14．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 15．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是 ． 16．对于任意实数，，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 18．下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 19．下图所示的是一个计算程序． (1)若输入的为，则输出的值是____________． (2)规定：程序运行到“判断结果是否大于18”为一次运算．若程序进行了三次运算才输出，求的取值范围． 20．已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 21．已知关于x的不等式． (1)当时， ①解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来； ②该不等式的正整数解为____________． (2)m取何值时，该不等式有解？求出其解集． 22．某加工厂加工一批定长板材，已知若采用方案一：用4台A型设备和8台B型设备，每天可加工136件；若采用方案二：用7台A型设备和6台B型设备，每天可加工142件． (1)求1台A型设备和1台B型设备每天分别可以独立加工多少件？ (2)该工厂计划采购A，B两种设备共15台，要求A型设备数量不低于B型设备的，且每天加工的数量不少于168件，共有几种采购方案？哪种方案最省钱？（已知A型设备单价1万元，B型设备单价0.8万元） 23．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 24．济南地铁6号线大明湖站建设中发现大明湖西南遗址，将济南建城史提前约1500年．某校学生开展该考古的成果主题宣传活动，需定制宣传海报和宣传手册共50件，已知宣传海报每件12元，宣传手册每件8元． (1)若恰好用480元定制这两种物料，则宣传海报和宣传手册各定制多少件？ (2)若定制宣传海报的数量不少于宣传手册数量的1.5倍，则定制宣传手册多少件时总花费最少？最少花费是多少元？ 25．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集， (3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二章 不等式与不等式组·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C B A A D B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14．1 15． 16．1和2 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：，...............3分 把它们的解集表示在数轴上，如下图所示， 不等式组的解集为：．...............6分 18． 【详解】①解：第一步，去分母错误， 故答案为：一；...............2分 ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：...............6分 19． 【详解】（1）解：当输入 时： 第一次运算： ，程序继续； 第二次运算： ，程序输出结果； 故输出的值是．...............3分 （2）解：由题意可知，第一次运算结果为， 第二次运算结果为， 第三次运算结果为． 可列不等式组 解得．...............6分 20． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为．...............3分 （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为．...............6分 21． 【详解】（1）解：①当时，原不等式为， 去分母得， 移项、合并同类项得，两边都除以－2， 得． 原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． ...............3分 ②． 【提示】由①可知，该不等式的解集为， ∴该不等式的正整数解为．...............5分 （2）解：， 去分母得， 移项、合并同类项得， ∴当，即时，该不等式有解． 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为．...............8分 22． 【详解】（1）解：设1台A型每天加工x件，1台B型每天加工y件， 根据题意得方程组：， 解得 答：1台A型每天加工件，1台B型每天加工件．...............4分 （2）解：设采购A型m台，则B型台， 得不等式组：， 解得，， ∴ ∵m为整数，则或， 共 2 种方案，方案 1：A型5台，B型10台，费用万元； 方案 2：A型6台，B型9台，费用万元； 故方案 1最省钱．...............8分 23． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：；...............3分 （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是．...............8分 24． 【详解】（1）解：设购买宣传海报x件，宣传手册y件， 依题意可得：， 解得：， 答：购买宣传海报20件，宣传手册30件；...............5分 （2）解：设这种情况下购买宣传海报m件，则购买宣传手册件，购买宣传物料所用总费用为W， 依题意可得：，解得：， ， ， W随着m的增大而增大， 当时，W最小，此时元， 宣传手册需要购买：件， 答：购买宣传手册20件可使得花费最少，最少的总费用为520元．...............12分 25． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴． ∵过和， ∴，解得， ∴一次函数表达式为．...............4分 （2）解：函数的图象与一次函数的图象交于点， 由图象可知，当时，直线在直线上方（含交点）， ∴不等式的解集为．...............7分 （3）解：设点关于直线的对称点为点，直线交轴于点， ∵与轴交于， ∴． 当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∵，，两点在轴上，且， ∴点关于直线的对称点满足：， ∴． ∵直线过和， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为．...............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二章 不等式与不等式组·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，下列不等式中，成立的是（） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（   ） A．的解集是 B．的整数解有无数个 C．是的一个解 D．的整数解为 4．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 7．关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 10．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 12．若，则 ．（填“＞”“＜”或“=”） 13．如图，直线交轴于点，交轴于点，且，则不等式的解集为 ． 14．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 15．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是 ． 16．对于任意实数，，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 18．下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 19．下图所示的是一个计算程序． (1)若输入的为，则输出的值是____________． (2)规定：程序运行到“判断结果是否大于18”为一次运算．若程序进行了三次运算才输出，求的取值范围． 20．已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 21．已知关于x的不等式． (1)当时， ①解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来； ②该不等式的正整数解为____________． (2)m取何值时，该不等式有解？求出其解集． 22．某加工厂加工一批定长板材，已知若采用方案一：用4台A型设备和8台B型设备，每天可加工136件；若采用方案二：用7台A型设备和6台B型设备，每天可加工142件． (1)求1台A型设备和1台B型设备每天分别可以独立加工多少件？ (2)该工厂计划采购A，B两种设备共15台，要求A型设备数量不低于B型设备的，且每天加工的数量不少于168件，共有几种采购方案？哪种方案最省钱？（已知A型设备单价1万元，B型设备单价0.8万元） 23．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 24．济南地铁6号线大明湖站建设中发现大明湖西南遗址，将济南建城史提前约1500年．某校学生开展该考古的成果主题宣传活动，需定制宣传海报和宣传手册共50件，已知宣传海报每件12元，宣传手册每件8元． (1)若恰好用480元定制这两种物料，则宣传海报和宣传手册各定制多少件？ (2)若定制宣传海报的数量不少于宣传手册数量的1.5倍，则定制宣传手册多少件时总花费最少？最少花费是多少元？ 25．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集， (3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第二章 不等式与不等式组·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：A选项：，只含一个未知数，未知数次数为1，是不等式且左右两边为整式，符合一元一次不等式的定义． B选项：是等式，不是不等式，不符合定义． C选项：含有两个未知数，不符合“一元”的要求． D选项：中未知数的最高次数为2，不符合“次数为1”的要求． 故选：A． 2．已知，下列不等式中，成立的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，需根据不等式的三条性质对每个选项进行判断，找出成立的不等式． 【详解】∵ ∴根据不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变， ∴，故A选项不成立； ，故B选项不成立； ∵根据不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变， ∴，故C选项不成立； ∵根据不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变， ∴，故D选项成立． 故选：D． 3．下列说法错误的是（   ） A．的解集是 B．的整数解有无数个 C．是的一个解 D．的整数解为 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的解集与解的概念，需逐一分析各选项判断正误． 【详解】解：∵解不等式，两边同时除以（不等号方向改变）， ∴，故A说法正确． ∵小于的整数有，有无数个. ∴B说法正确． ∵解不等式，两边同时除以（不等号方向改变）. ∴，又∵. ∴是该不等式的解，故C说法正确． ∵的整数解除外，还有无数个负整数. ∴D说法错误． 故选：D． 4．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点坐标的符号特征．根据第四象限点坐标的特征，横坐标大于0，纵坐标小于0，列出不等式组求解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标， 由，得； 由，得； ∴x的取值范围是， 故选：C． 5．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质、解一元一次不等式，根据把不等式两边同时除以时，不等号的方向改变，可知，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得：． 故选：B． 6．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 7．关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的范围．先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同小取小”，结合已知的解集来确定的取值范围． 【详解】解：解不等式组 ∵解不等式①，得 解不等式②，得 又∵不等式组的解集是 根据“同小取小”的原则，要使两个解集的公共部分为，则 故选：A． 8．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再结合，得出，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 9．某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握根据程序运行逻辑列出不等式组是解题的关键． 根据程序运行两次后输出结果的条件，列出关于的不等式组，求解不等式组后确定符合条件的整数的个数． 【详解】解：∵程序运行了两次后输出结果， ∴第一次运行结果，第二次运行结果， 即， 解，得， 解，得， ∴不等式组的解集为， 则符合条件的整数为、、、、，共个， 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 【答案】C 【分析】本题考查一次函数和方程，一次函数与不等式，利用数形结合的思想，进行求解，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点为； ∴方程，即方程的解为；故选项A正确； 不等式的解集为，不等式的解集为，故不等式和不等式的解集相同；故选项B正确； 方程组的解集为，故选项C错误； 把代入，得，解得， ∴， ∴当，解得， ∴不等式组的解集是；故选项D正确； 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，据此建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 12．若，则 ．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，是解题的关键．将原不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，直接得到比较结果． 【详解】解：由，两边同时乘，得， 故答案为：． 13．如图，直线交轴于点，交轴于点，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，平方差公式，勾股定理的知识点，掌握利用函数图像确定不等式解集的方法是解题的关键． 先利用平方差公式将已知条件转化，结合勾股定理求出的长度得到点的坐标，再根据判断直线走向，确定不等式的解集． 【详解】解：， ，即， ∴点的坐标为． 由图可知，不等式的解集为． 故答案为：． 14．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式， 则且， 解，得或， 即或， 当时，，不符合系数不为0的条件， 当时，，符合条件， 故答案为：1． 15．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的整数解个数求参数，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤以及解的情况． 先解不等式组，得到x的取值范围，再根据整数解的个数列出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有4个整数解，所以整数解为， 因此， 解得． 故答案为：． 16．对于任意实数，，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是 ． 【答案】1和2 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，掌握将新定义运算转化为整式，再解一元一次不等式，最后确定正整数解是解题的关键． 根据新运算定义，将不等式转化为一元一次不等式并求解，再确定正整数解． 【详解】解：由定义，， 因此． 不等式为， 移项得， 解得． 所以不等式的正整数解为和． 故答案为：和． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，把它们的解集表示在数轴上，从数轴上找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 把它们的解集表示在数轴上，如下图所示， 不等式组的解集为：． 18．下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】①一；②解答过程见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，准确地进行计算是解题的关键．①由题可知，第一步错误；②按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次不等式即可． 【详解】①解：第一步，去分母错误， 故答案为：一； ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 19．下图所示的是一个计算程序． (1)若输入的为，则输出的值是____________． (2)规定：程序运行到“判断结果是否大于18”为一次运算．若程序进行了三次运算才输出，求的取值范围． 【答案】(1)22 (2) 【分析】本题考查了代数式的表示和一元一次不等式组的求解，掌握将程序逻辑转化为数学不等式是解题的关键． (1) 将 代入程序，按流程计算，直到得到的结果大于； (2) 首先，根据程序流程，用代数式表示出第一次、第二次和第三次运算的结果；然后，根据程序进行了三次运算才输出这一条件，列出关于的不等式组，这个条件意味着第二次运算的结果必须不大于，而第三次运算的结果必须大于，解这个不等式组即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：当输入 时： 第一次运算： ，程序继续； 第二次运算： ，程序输出结果； 故输出的值是． （2）解：由题意可知，第一次运算结果为， 第二次运算结果为， 第三次运算结果为． 可列不等式组 解得． 20．已知关于x的不等式组 (1)若这个不等式组有解，求a的取值范围． (2)若这个不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、大大小小找不到是解题的关键． （1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于的不等式，从而求出的取值范围； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于的不等式，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵这个不等式组有解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． （2）解：由（1）得： ∵这个不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 21．已知关于x的不等式． (1)当时， ①解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来； ②该不等式的正整数解为____________． (2)m取何值时，该不等式有解？求出其解集． 【答案】(1)①，数轴见解析；②1 (2)当时，该不等式有解．当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 【分析】（1）①代入，按解一元一次不等式的基本步骤求解，并在数轴上表示解集； ②根据解集确定正整数解． （2）先整理不等式，再根据含参数的系数正负分情况讨论，确定不等式有解的条件及解集． 【详解】（1）解：①当时，原不等式为， 去分母得， 移项、合并同类项得，两边都除以－2， 得． 原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． ②． 【提示】由①可知，该不等式的解集为， ∴该不等式的正整数解为． （2）解：， 去分母得， 移项、合并同类项得， ∴当，即时，该不等式有解． 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法与含参数不等式的分类讨论，掌握解不等式的基本步骤，以及根据系数正负分类讨论解集是解题的关键． 22．某加工厂加工一批定长板材，已知若采用方案一：用4台A型设备和8台B型设备，每天可加工136件；若采用方案二：用7台A型设备和6台B型设备，每天可加工142件． (1)求1台A型设备和1台B型设备每天分别可以独立加工多少件？ (2)该工厂计划采购A，B两种设备共15台，要求A型设备数量不低于B型设备的，且每天加工的数量不少于168件，共有几种采购方案？哪种方案最省钱？（已知A型设备单价1万元，B型设备单价0.8万元） 【答案】(1)1台A型每天加工件，1台B型每天加工件 (2)共有两种方案，方案 1：A型5台，B型10台； 方案 2：A型6台，B型9台；方案1最省钱 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． （1）设1台A型每天加工x件，1台B型每天加工y件，根据题意列二元一次方程组解答即可； （2）设采购A型m台，则B型台，根据题意列一元一次不等式组解答即可； 【详解】（1）解：设1台A型每天加工x件，1台B型每天加工y件， 根据题意得方程组：， 解得 答：1台A型每天加工件，1台B型每天加工件． （2）解：设采购A型m台，则B型台， 得不等式组：， 解得，， ∴ ∵m为整数，则或， 共 2 种方案，方案 1：A型5台，B型10台，费用万元； 方案 2：A型6台，B型9台，费用万元； 故方案 1最省钱． 23．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 24．济南地铁6号线大明湖站建设中发现大明湖西南遗址，将济南建城史提前约1500年．某校学生开展该考古的成果主题宣传活动，需定制宣传海报和宣传手册共50件，已知宣传海报每件12元，宣传手册每件8元． (1)若恰好用480元定制这两种物料，则宣传海报和宣传手册各定制多少件？ (2)若定制宣传海报的数量不少于宣传手册数量的1.5倍，则定制宣传手册多少件时总花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)购买宣传海报20件，宣传手册30件 (2)购买宣传手册20件可使得花费最少，最少的总费用为520元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设购买宣传海报x件，宣传手册y件，根据题意列方程组求解即可； （2）设这种情况下购买宣传海报m件，则购买宣传手册件，购买宣传物料所用总费用为W，根据题意求出m的取值范围，再得到，利用一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买宣传海报x件，宣传手册y件， 依题意可得：， 解得：， 答：购买宣传海报20件，宣传手册30件； （2）解：设这种情况下购买宣传海报m件，则购买宣传手册件，购买宣传物料所用总费用为W， 依题意可得：，解得：， ， ， W随着m的增大而增大， 当时，W最小，此时元， 宣传手册需要购买：件， 答：购买宣传手册20件可使得花费最少，最少的总费用为520元． 25．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集， (3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的表达式求解、不等式的解集与函数图象的关系、点关于直线的对称以及直线表达式的求解，熟练掌握一次函数的性质、对称点的求法以及利用待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）先将点代入求出的值，再将点和点代入，解方程组求出、，从而得到一次函数表达式． （2）根据函数图象，不等式的解集是直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围． （3）先求出点的坐标，再利用几何性质求出点关于直线（即）的对称点，最后利用点和求出直线的表达式． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴． ∵过和， ∴，解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：函数的图象与一次函数的图象交于点， 由图象可知，当时，直线在直线上方（含交点）， ∴不等式的解集为． （3）解：设点关于直线的对称点为点，直线交轴于点， ∵与轴交于， ∴． 当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∵，，两点在轴上，且， ∴点关于直线的对称点满足：， ∴． ∵直线过和， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $