第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试卷（2026~2027学年） 第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试卷（2026~2027学年） 第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为（　　） A．50 B．52 C．54 D．56 【答案】B 【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长＝2（16+10）＝52．故选：B． （来源：2025秋•广安区校级期末） 2．（3分）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 【答案】C 【解答】解： ∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四个半径为5的等圆， ∴圆心到直线l的距离为4是⊙O3，故选：C． （来源：2024秋•阜平县期末） 3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　） A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1） 【答案】C 【解答】解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是AC所在圆的圆心， ∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0）， ∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切， ∴当△BO′D≌△FBE时， ∴EF＝BD＝2，F点的坐标为：（5，1）， ∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选：C． （来源：2025秋•沛县期末） 4．（3分）下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．同弧所对的圆周角相等 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．正多边形是中心对称图形 【答案】B 【解答】解：A．能够完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定为等弧， ∴A选项不符合题意；B．同弧所对的圆周角相等， ∴B选项符合题意；C．能经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线， ∴C选项不符合题意；D．边数为偶数的正多边形是中心对称图形， ∴D选项不符合题意；故选：B． （来源：2025秋•宜兴市期末） 5．（3分）下列说法：①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确；②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确；③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确；④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确；⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确．故选：D． （来源：2025秋•邯郸校级期中） 6．（3分）如图，平行四边形OABC中，OA＝6，∠AOC＝45°，以AB为直径的圆经过点C，点Q为线段OC上动点（不与O、C重合），过点Q作直线PD⊥OA于D，交直线BC于P．①点B的坐标是(12，6)；②直线AB的解析式是：y＝x﹣6；③当OD=9-3时，直线PQ与已知圆相切；④直线OC与圆看似相切，实则相交．以下结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：如图1，连接AC， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠OAC＝90°， ∴∠AOC＝45°， ∴OA＝AC＝BC＝6， ∴∠CAO＝∠AOE＝∠ACE＝90°， ∴四边形ACEO是矩形， ∴CE＝OA＝6， ∴B（12，6），故①不正确；② ∵点A的坐标为（6，0），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得 ， ∴直线AB的解析式为：y＝x﹣6，故②正确； ③如图2，过AB的中点G作GF⊥PD于F，交AC于H，则H是AC的中点， ∴GH=BC=3， ∵∠AOC＝45°，PD⊥OA， ∴DQ=OD=9-3， ∴AD=FH=6-OD=6-(9-3)=3-3， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6， ∴AB===6， ∴AG=AB=3，又 ∵GF=GH+FH=GH+AD=3-3+3=3=AG， ∴直线PQ与已知圆相切，故③正确；④连接CG， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠B＝∠AOC＝45°，∠BCO＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°， ∵GC＝GB， ∴∠GCB＝∠B＝45°， ∴∠GCO＝∠BCO﹣∠GCB＝135°﹣45°＝90°， ∴直线OC与圆相切，故④错误；故正确的为②③，共2个，故选：B． （来源：2025秋•盐亭县期末） 7．（3分）如图，AB为弦，若∠ABC＝20°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（　　） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 【答案】A 【解答】解：如图，连接OA，OC．设正多边形的边数为n． ∵∠AOC＝2∠ABC＝40°， ∴40°=，n＝9．故选：A． （来源：2025秋•魏县期末） 8．（3分）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（　　） A．4 B．2 C．2 D．4 【答案】B 【解答】解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H， ∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+∠A＝120°， ∴∠COH＝60°， ∵OB＝2，OC＝4， ∴OH＝2 ∴CH＝2， ∴△OBC的面积=×OB•CH=×2×2=2．故选：B． （来源：2025秋•蜀山区校级月考） 9．（3分）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A～H）且顺次连接点A～H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 【答案】45 【解答】解：根据题意得，360°÷8＝45°， ∴正八边形的中心角为45°，故答案为：45． （来源：2026•周至县一模） 10．（3分）如图，正六边形ABCDEF的周长为18，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】3 【解答】解：如图，连接CF与AD交于点O， ∵ABCDEF为正六边形， ∴∠COD＝360°÷6＝60°，CO＝DO， ∴△COD为等边三角形， ∴CD＝CO＝DO， ∵正六边形ABCDEF的周长为18， ∴CD＝3， ∴CD＝OC＝3．故答案为：3． （来源：2025秋•门头沟区期末） 11．（3分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】6π5 【解答】解：∠BAE==108°， ∴阴影部分的面积为=，故答案为：． （来源：2023•济南） 12．（3分）如图，四边形ABCD的各边都与圆相切，它的周长为18，若AB＝5，则CD的长为 ． 【答案】4 【解答】解： ∵⊙O与四边形ABCD各边相切， ∴AD+BC＝AB+CD， ∵AB＝5，四边形ABCD的周长为18， ∴5+5+CD+CD＝18， ∴CD＝4，故答案为：4． （来源：2026秋•玄武区校级作业） 13．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 ． 【答案】10 【解答】解： ∵多边形是正五边形， ∴正五边形的每一个内角为：×180°×（5﹣2）＝108°， ∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°， ∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故答案为：10． （来源：2023•衡阳） 14．（3分）如图，点O是△ABC的内心，以O为圆心作半径为3的圆，分别交△ABC的边于D，E，F，G，H，I点，连接EG和DG，若∠DGE＝30°，则FG＝ ． 【答案】3 【解答】解：连接OD，OE，OB，OF，作OM⊥DE于点M，ON⊥FG于点N， ∴DE＝2DM，FG＝2FN，∠DMO＝∠FN0＝90°， ∵∠DGE＝30°， ∴∠DOE＝60°， ∵OD＝OE， ∴△ODE是等边三角形， ∵OD＝3， ∴DE＝3， ∴DM＝1.5， ∵点O是△ABC的内心， ∴∠ABO＝∠CBO， ∴OM＝ON，又 ∵OD＝OF， ∴Rt△ODM≌Rt△OFN， ∴FN＝DM＝1.5， ∴FG＝3，故答案为：3． （来源：2025秋•诸暨市期末） 15．（3分）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 【答案】36°或108° 【解答】解：一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，当角的顶点在圆上时，如∠AED，即为正五边形的一个内角：则：∠AED=∠CDE==108°，角的顶点在圆外部，即⊙O交∠AFC的两边，截取的两条弦为AE，CD时，则：∠AED=∠CDE==108°， ∴∠FED＝∠FDE＝180°﹣108°＝72°， ∴∠F＝180°﹣2×72°＝36°；故答案为：36°或108°． （来源：2026•长宁区校级模拟） 16．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C是弧AB上一点，CD⊥OB，垂足为D，点P是△OCD的内心，连接AP，则AP的最小值为 ． 【答案】10-2 【解答】解： ∵CD⊥OB， ∴∠ODC＝90°， ∴∠COD+∠DCO＝90°， ∵点P是△OCD的内心， ∴PO，PC分别平分∠COD，∠DCO， ∴∠POC+∠PCO=（∠COD+∠DCO）＝45°， ∴∠OPC＝135°，如图，连接PB，在△COP和△BOP中，， ∴△COP≌△BOP（SAS）， ∴∠OPC＝∠OPB＝135°，如图，作△OPB的外接圆，圆心为O′，连接O′O，O′B， ∴∠OO′B＝90°， ∵OB＝OA＝2， ∴O′O=OB=，连接O′A交圆O′于点P′，此时AP′的最小， ∴O′O＝O′P′=，过点O′作O′E⊥AO的延长线于点E， ∴O′E∥BO， ∴∠EO′′O＝∠O′OB＝45°， ∴△O′OE是等腰直角三角形， ∴OE＝O′E=O′O＝1，在Rt△AEO′中，AE＝AO+OE＝2+1＝3，根据勾股定理得：AO′===， ∴AP′＝AO′﹣O′P′=-． ∴AP的最小值为-．故答案为：-． （来源：2026•威海模拟） 17．（6分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E． （1）求证：AB＝AC； （2）若MN是大圆的第三条弦，且MN＝AB，则MN与小圆相切吗？请说明理由． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：连接OD、OE， ∵大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E， ∴AD＝AE，AB⊥OD，AC⊥OE， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴AB＝2AD，AC＝2AE， ∵2AD＝2AE， ∴AB＝AC． （2）解：MN与小圆相切，理由：作OF⊥MN于点F，连接ON、OA，则∠OFN＝∠ODA＝90°，ON＝OA，NF＝MF=MN， ∵AD＝BD=AB，且MN＝AB， ∴NF＝AD，在Rt△NOF和Rt△AOD中，， ∴Rt△NOF≌Rt△AOD（HL）， ∴OF＝OD， ∴点F小圆上， ∵OF是小圆的半径，且MN⊥OF， ∴MN与小圆相切． （来源：2025秋•江阴市期中） 18．（6分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F． （1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数； （2）求证：DB＝DE； （3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵∠ABC＝40°，∠C＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠CAD＝∠BAD=∠BAC＝30°， ∴∠CBD＝∠CAD＝30°．答：∠CBD的度数为30°； （2）证明：如图，连接BE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠2＝∠6， ∴∠1＝∠6， ∵∠5＝∠1+∠3，∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3， ∴∠5＝∠DBE， ∴DB＝DE； （3） ∵∠1＝∠2，AB＝6，AC＝4，BC＝5， ∴==， ∴BF＝3，CF＝2， ∵∠6＝∠2，∠D＝∠C， ∴△BDF∽△ACF， ∴===2，=， ∴DF=BD，DF•AF＝BF•CF＝6， ∵∠1＝∠2＝∠6，∠BDF＝∠ADB， ∴△DBF∽△DAB， ∴=， ∴BD2＝DF•DA＝DF（AF+DF）＝DF•AF+DF2＝6+（BD）2，解得BD＝2， ∴DE＝BD＝2．答：DE的长为2． （来源：2026•铜仁市模拟） 19．（6分）如图，AB，ADC分别是半圆O的直径和割线，弦BE平分∠ABD，OE与AC交于点F，EG⊥AB于点G，∠OEG＝∠DBC． （1）求证：BC是半圆O的切线； （2）若BE=4，EF＝2，求EG的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵弦BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠EBD， ∴AE=ED， ∴OE⊥AD， ∴∠AFO＝90°， ∴OF∥BD， ∴∠AOF＝∠ABD， ∴∠OEG＝90°﹣∠AOF＝90°﹣∠ABD＝∠BAD， ∵∠OEG＝∠DBC， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°， ∴BC是半圆O的切线； （2）解：设半圆O的半径为x， ∴OF＝OE﹣EF＝x﹣2， ∵OE＝OA，∠GOE＝∠FOA，∠EGO＝∠AFO＝90°， ∴△GOE≌△FOA， ∴OG＝OF＝x﹣2，BG＝OB+OG＝2x﹣2，由勾股定理得EG2＝BE2﹣BG2＝OE2﹣OG2， ∴(4-(2x-2)2=x2-(x-2)2，解得x＝﹣4（舍去），x＝5， ∴EG===4， ∴EG的长为4． （来源：2025秋•南充期末） 20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F． （1）求证：BF＝DF； （2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）连接OD，如图1， ∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F， ∴∠ODF＝90°， ∴∠ADO+∠BDF＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠OAD+∠BDF＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠OAD+∠B＝90°， ∴∠B＝∠BDF， ∴BF＝DF； （2）连接OF，OD，如图2，设圆的半径为r，则OD＝OE＝r， ∵AC＝4，BC＝3，CF＝1， ∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2， ∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2， ∴r2+22＝（4﹣r）2+12， ∴r=．故半圆的半径为． （来源：2025秋•乌兰察布期末） 21．（6分）如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH＝FG． （1）证明：四边形BGEH为平行四边形； （2）若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠C＝∠D＝∠F＝∠BAF，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF， ∵CH＝FG， ∴CD﹣CH＝AF﹣FG，即HD＝AG，在△BCH和△EFG中，， ∴△BCH≌△EFG（SAS）， ∴BH＝EG，在△ABG和△DEH中，， ∴△ABG≌△DEH（SAS）， ∴BG＝EH， ∴四边形BGEH为平行四边形； （2）解：如图，连接OA、OB、OF， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB＝∠AOF==60°，OA＝OB＝OF， ∴△AOB，△AOF是正三角形， ∴OA＝OB＝OF＝AB＝4， ∴S阴影部分＝2S弓形AB＝2（S扇形AOB﹣S△AOB）＝2×（-×4×2）=π﹣8． （来源：2025•绵阳） 22．（6分）脆蜜金桔是地方名果，是柳州市融安县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对脆蜜金桔种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年金桔平均每株产量是13千克，2022年达到了15.6千克，每年的增长率基本相同． 素材二 金桔一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为x，依题意列方程得 ；任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的脆蜜金桔，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求出此时纸盒的高．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 【答案】13（1+x）2＝15.6 【解答】解：任务1：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为x，由题意得：13（1+x）2＝15.6，故答案为：13（1+x）2＝15.6；任务2：设裁掉正方形的边长为m（cm），由题意得：（75﹣2m）×（80﹣2m）＝3300，解得：m1=10，m2=（不符合题意舍去），答：此时纸盒的高为10cm；任务3：如图，设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点设底面正六边形的边长为a（cm），纸盒的高为b（cm）， ∵正六边形的每条边相等，每个内角都为120°， ∴△ABC为等腰三角形，∠ABC＝120°， ∴∠BAC＝∠BCA＝30°，由正六边形的性质可得BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝60°， ∴∠AGB＝90°， ∴直角三角形ABG中，BG=a，AG=a，同理可得直角三角形FHE中，HE=a， ∵CG=AG=a，b+AG+GC+b=75， ∴2b+a=75①， ∵左侧小三角形顶点B的角度＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°， ∴左侧小三角形为边长b的等边三角形，根据图形的上下对称可得MN与长方形纸板的左右两边垂直， ∴BM为等边三角形的高， ∴BM=b，同理可得，EN=BM=b， ∵四边形AGHF为矩形， ∴GH＝AF＝a， ∵MN＝MB+BG+GH+HE+EN＝80， ∴2a+b=80②，联立①②式可得b＝150﹣80，答：纸盒的高为 （150﹣80）cm． （来源：2024秋•梁溪区校级期中） 23．（8分）如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，C是AB的中点，E是边AD上任意一点（不与端点重合）连结BE交CD于点F，△EFC的外接圆交AC于点G（异于A，C两点），连结EG． （1）若DE＝DF，∠A＝48°，求∠AGE的度数． （2）若AE＝mDE，求的值（用含m的代数式表示）． （3）求证：EG+EF＝BF． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵∠ADB＝90°，C是AB的中点， ∴DC＝AC＝BC=AB， ∴∠A＝∠CDA＝48°， ∵DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE==66°， ∴∠EFC＝180°﹣∠DFE＝114°， ∵四边形EFCG为圆的内接四边形， ∴∠AGE＝∠EFC＝114°； （2）过点E作EH∥DC，交GC于点H，如图， ∵EH∥DC， ∴=， ∵AE＝mDE， ∴=． ∵∠ADB＝90°，C是AB的中点， ∴AC＝BC， ∴=， ∴=m+1． ∵EH∥DC， ∴==m+1． （3）证明：延长BE至点M，使FM＝FB，连接AM，在AC上取一点N，使AN＝AM，连接EN，如图， ∵BF＝FM，BC＝AC， ∴FC为△BMA的中位线， ∴AM∥CD， ∴∠MAD＝∠CDA， ∵∠CDA＝∠CAD， ∴∠MAD＝∠CAD，在△ANE和△AME中，， ∴△ANE≌△AME（SAS）， ∴∠ANE＝∠M，EN＝EM， ∵AM∥CD， ∴∠M＝∠CFB， ∴∠ANE＝∠CFB． ∵四边形EFCG为圆的内接四边形， ∴∠CFB＝∠EGC， ∴∠EGC＝∠ENG， ∴EG＝EN， ∴EG＝EM， ∵FM＝FE+EM＝FE+EG，FM＝FB， ∴EG+EF＝BF． （来源：2025•杭州模拟） 24．（8分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝8，点E是边BC上的动点（不与B，C重合），过A，E，C三点的圆交菱形ABCD的边CD于点F，作FM⊥AE于点M，交AB于点N． （1）如图1，连接EF和AF．求证：△AEF是等边三角形． （2）如图2，连接BD交NF于点O，连接OA，OE，OC．①求证：OA＝OE＝OC．②设BE＝x，BO＝y，求y关于x的关系式． （3）AN的最小值为 ． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵MF∥BC， ∴∠AMF＝∠B，∠AFM＝∠C，又 ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠AMF＝∠AFM， ∴∠AMN＝∠MFC； （2）证明：连接AN，NC，MC， ∵BN=BN， ∴∠NAB＝∠NCB（同弧所对圆周角）， ∵NF∥BC， ∴∠CNF＝∠NCB（内错角相等）， ∴∠NAM＝∠CNF，又由（1）知∠AMN＝∠CFM， ∴△AMN∽△CFN， ∴=，即NM•NF＝AM•FC， ∵NF∥BC， ∴=， ∵AB＝AC， ∴MB＝FC， ∴NM•NF＝AM•MB； （3）解：在⊙O中，AB＝AC， ∴AB=AC， ∵AH过点O， ∴BH＝HC（垂径定理推论）， ∵NF∥BC， ∴=，=， ∴=，又 ∵BH＝HC， ∴DM＝DF， ∴DN2﹣DM2＝（DN﹣DM）•（DN+DM）＝（DN﹣DM）•（DN+DF）＝NM•NF＝AM•MB＝AM•（AB﹣AM），又 ∵AM＝x，AB＝10， ∴DN2﹣DM2＝x•（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+25，设DN2﹣DM2＝y＝﹣（x﹣5）2+25，又 ∵2≤x≤7， ∴当x＝2时，ymin=-(2-5)2+25=16，当x＝5时，ymax=-(5-5)2+25=25，即16≤y≤25， ∴当2≤x≤7时，16≤DN2﹣DM2≤25． （来源：2026•玉环市二模） 25．（10分）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为300°．现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． （1）该圆锥的底面圆的半径为 cm； （2）已知矩形纸片的边长分别为acm，12cm．（ⅰ）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片AMB，且扇形AMB与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上．①当a＝22时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由；②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值．（ⅱ）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 【答案】5 【解答】解： （1）由题可知2πr=， ∴r＝5cm；故答案为：5． （2）（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片．理由：作MC⊥AB，垂足为C，延长CM，交⊙O于点D，交RS于点E． ∵AM＝BM，∠AMB＝60°， ∴△AMB是等边三角形． ∴AB＝AM＝6． ∵CM⊥AB， ∴AC=AB=3．在Rt△AMC中，∠ACM＝90°， ∴CM===3．在矩形JIKRS中，∠J＝∠S＝90°． ∴∠J＝∠S＝∠JCE＝90°， ∴四边形JKRS是矩形． ∴CE＝JS＝22． ∴DE＝CE﹣CM﹣DM＝22﹣3-6＝16﹣3． ∵16-3＞10，12＞10， ∴能剪出作为圆锥底面的圆形纸片．②示意图如图所示，此时a=3+2+5；如图，设底面圆圆心为O，连接MN交切点为K，过N作NG⊥PQ于点G，则MK＝6，NK＝5，MN＝11， ∴MG＝MQ﹣GQ＝6﹣5＝1，在Rt△MNG中，NG==2， ∵MC＝3， ∴a＝3+2+5；（ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图，此时ML==3，NL==4， ∴MN＝ML+NL＝3+4，此时a＝6+3+4+5＝15+3；情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图， ∵MN＝ML+NL＝3+4，MW＝6﹣5＝1， ∴NW====2+3，此时a＝2+3+11； ∵2+3+11＜15+3， ∴a≥2+3+11． （来源：2025秋•玄武区期中） 26．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC＝4，一动点P从点B出发沿AB边运动到点A停止，连接CP，过点P作QP⊥CP交AD边于点Q，以线段PQ为斜边，在PQ的上方作等腰直角△PQE，设BP的长为m． （1）当四边形APEQ为正方形时，直接写出m的值及正方形APEQ的边长； （2）嘉嘉通过探究发现：点E在∠DAB的平分线上．请你判断嘉嘉的发现是否成立，并说明理由； （3）求△PQE的外心O到AB边的最大距离； （4）在点P运动过程中，①点E能否落在DC边上，若能，请求出此时m的值；若不能，请说明理由；②直接写出点E运动的路径长． 【答案】见解析 【解答】（1）解：如图1，当四边形APEQ为正方形时， ∴AQ＝AP，∠APQ＝45°， ∵PC⊥PQ， ∴∠BPC＝45°， ∴m＝BP＝BC＝4， ∴正方形APEQ的边长=AP=AB-BP=4-4； （2）嘉嘉的发现成立，理由如下：如图2，作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD于点N， ∴∠A＝∠ANE＝∠AME＝90°， ∴四边形AMEN是矩形， ∴∠NEM＝∠QEP＝90°， ∴∠NEQ＝∠MEP， ∵∠ENQ＝∠EMP＝90°，EQ＝EP， ∴△ENQ≌△EMP（AAS）， ∴EN＝EM， ∴四边形AMEN是正方形， ∴点E在∠DAB的平分线上； （3）如图2， ∵PQ为等腰直角△PQE斜边， ∴PQ中点O即为等腰直角△PQE的外心，作OH⊥AB于点H， ∴∠A＝∠OHP＝90°， ∴OH∥AQ， ∴==1， ∴PH=AP=(4-m)， ∵QP⊥CP， ∴∠CPQ＝90°＝∠OHP＝∠B， ∴∠HPQ＝90°﹣∠BPC＝∠BCP， ∴△HPO∽△BCP， ∴=， ∴OH•BC＝HP•BP， ∴4OH=(4-m)⋅m， ∴OH=-m2+m=-(m-2+， ∵-＜0，0≤m≤4， ∴当m=2时，OH取得最大值为，即△PQE的外心O到AB边的最大距离为； （4）①点E不能落在DC边上，理由如下：如图2，设EM＝y，由（2）知EM＝EN， ∴四边形AMEN是正方形， ∴EM＝EN＝AN＝AM＝y，由BP＝m，则AP=AB-BP=4-m， ∴NQ=MP=AP-AM=4-m-y， ∴AQ=AN-NQ=y-(4-m-y)=2y+m-4，同（3）得△APQ∽△BCP， ∴=， ∴AP•BP＝BC•AQ， ∴(4-m)⋅m=4⋅(2y+m-4)， ∴y=-m2+m+2， ∵-＜0， ∴抛物线开口向下， ∵0≤m≤4 ∴当m=-=2-2时，y取得最大值为=2+， ∵BC=4，2+＜4， ∴点E不能落在DC边上；②由（2）知，点E在∠DAB的平分线上，如图，当点P从点B出发时，点P1与点B重合，点Q1与点A重合，此时点E运动的起点是E1，由AB=4，则E1A=4×=2，当点P运动至点P2，且P2B=2-2时，点E从点E1运动至最高点E2，作E2M⊥AB于点M，由①知，E2M=2+，则E2A=(2+)×=2+，当点P运动至与点A重合时，点Q，E均与点A重合，故点E运动的路径为E1→E2→A，运动路径长为E1E2+E2A=2E2A-E1A=2×(2+)-2=4+2-2=4． （来源：2026•信都区二模） 27．（10分）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值．若PE＝8，PF＝5，当∠DAP最大时，求AD的长； （4）如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若AC+CD＝5，BC+CE＝8，求AE+BD的最小值． 【答案】2 【解答】解： （1）如图， ∵正方形ABCD，EFGH及圆为正方形ABCD的内切圆，为正方形EFGH的外接正方形， ∴设AE＝DE＝DH＝CH＝CG＝BG＝AF＝BF＝m，∠A＝90°， ∴AB＝AD＝2m，EF==m， ∴S正方形ABCD=4m2，S正方形EFGH=(m)2=2m2， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍，故答案为：2； （2）如图， ∵EG⊥FH， ∴a2＝OF2+OE2，c2＝OG2+OH2，d2＝OE2+OH2，b2＝OF2+OG2， ∴a2+c2＝b2+d2，结合图形变换可得：PA2+PC2＝PB2+PD2； （3）如图， ∵将△PDC绕点P逆时针旋转， ∴点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动， ∵A为圆外一个定点， ∴当AD与⊙P相切时，∠DAP最大， ∴PD⊥AD， ∴AD2＝AP2﹣PD2，由（2）可得：AE＝DF， ∵PE＝8，PF＝5， ∴AD2＝AP2﹣PD2＝PE2+AE2﹣PF2﹣DF2＝82﹣52＝39， ∴AD=； （4）如图，将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1E1， ∴CD＝CD1，CE＝CE1，再将△ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，如图，得△B1D1E2，由（2）可得：AE+BD＝D1E2+BD1， ∴当E2，D1，B三点共线时，AE+BD＝D1E2+BD1最短， ∵AC+CD＝5，BC+CE＝8， ∴E1E2＝5，BE1＝8， ∴BE2===， ∴AE+BD的最小值为． （来源：2024•连云港） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试卷（2026~2027学年） 第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为（　　） A．50 B．52 C．54 D．56 2．（3分）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　） A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1） 4．（3分）下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．同弧所对的圆周角相等 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．正多边形是中心对称图形 5．（3分）下列说法：①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（3分）如图，平行四边形OABC中，OA＝6，∠AOC＝45°，以AB为直径的圆经过点C，点Q为线段OC上动点（不与O、C重合），过点Q作直线PD⊥OA于D，交直线BC于P．①点B的坐标是(12，6)；②直线AB的解析式是：y＝x﹣6；③当OD=9-3时，直线PQ与已知圆相切；④直线OC与圆看似相切，实则相交．以下结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（3分）如图，AB为弦，若∠ABC＝20°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（　　） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 8．（3分）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（　　） A．4 B．2 C．2 D．4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A～H）且顺次连接点A～H构成正八边形，则该正八边形的中心角为　　　　 度． 10．（3分）如图，正六边形ABCDEF的周长为18，则它的外接圆的半径为　　　　 ． 11．（3分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为 　　　　 （结果保留π）． 12．（3分）如图，四边形ABCD的各边都与圆相切，它的周长为18，若AB＝5，则CD的长为 　　　　 ． 13．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 　　　　 ． 14．（3分）如图，点O是△ABC的内心，以O为圆心作半径为3的圆，分别交△ABC的边于D，E，F，G，H，I点，连接EG和DG，若∠DGE＝30°，则FG＝　　　　 ． 15．（3分）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是　　　　 ． 16．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C是弧AB上一点，CD⊥OB，垂足为D，点P是△OCD的内心，连接AP，则AP的最小值为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E． （1）求证：AB＝AC； （2）若MN是大圆的第三条弦，且MN＝AB，则MN与小圆相切吗？请说明理由． 18．（6分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F． （1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数； （2）求证：DB＝DE； （3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长． 19．（6分）如图，AB，ADC分别是半圆O的直径和割线，弦BE平分∠ABD，OE与AC交于点F，EG⊥AB于点G，∠OEG＝∠DBC． （1）求证：BC是半圆O的切线； （2）若BE=4，EF＝2，求EG的长． 20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F． （1）求证：BF＝DF； （2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长． 21．（6分）如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH＝FG． （1）证明：四边形BGEH为平行四边形； （2）若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 22．（6分）脆蜜金桔是地方名果，是柳州市融安县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对脆蜜金桔种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年金桔平均每株产量是13千克，2022年达到了15.6千克，每年的增长率基本相同． 素材二 金桔一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为x，依题意列方程得　　　　 　　　　 ； 任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的脆蜜金桔，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求出此时纸盒的高．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 23．（8分）如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，C是AB的中点，E是边AD上任意一点（不与端点重合）连结BE交CD于点F，△EFC的外接圆交AC于点G（异于A，C两点），连结EG． （1）若DE＝DF，∠A＝48°，求∠AGE的度数． （2）若AE＝mDE，求的值（用含m的代数式表示）． （3）求证：EG+EF＝BF． 24．（8分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝8，点E是边BC上的动点（不与B，C重合），过A，E，C三点的圆交菱形ABCD的边CD于点F，作FM⊥AE于点M，交AB于点N． （1）如图1，连接EF和AF．求证：△AEF是等边三角形． （2）如图2，连接BD交NF于点O，连接OA，OE，OC． ①求证：OA＝OE＝OC．②设BE＝x，BO＝y，求y关于x的关系式． （3）AN的最小值为　　　　 ． 25．（10分）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为300°．现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． （1）该圆锥的底面圆的半径为 　　　　 cm； （2）已知矩形纸片的边长分别为acm，12cm． （ⅰ）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片AMB，且扇形AMB与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当a＝22时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ⅱ）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 26．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC＝4，一动点P从点B出发沿AB边运动到点A停止，连接CP，过点P作QP⊥CP交AD边于点Q，以线段PQ为斜边，在PQ的上方作等腰直角△PQE，设BP的长为m． （1）当四边形APEQ为正方形时，直接写出m的值及正方形APEQ的边长； （2）嘉嘉通过探究发现：点E在∠DAB的平分线上．请你判断嘉嘉的发现是否成立，并说明理由； （3）求△PQE的外心O到AB边的最大距离； （4）在点P运动过程中，①点E能否落在DC边上，若能，请求出此时m的值；若不能，请说明理由；②直接写出点E运动的路径长． 27．（10分）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 　　　　 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值．若PE＝8，PF＝5，当∠DAP最大时，求AD的长； （4）如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若AC+CD＝5，BC+CE＝8，求AE+BD的最小值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试卷（2026~2027学年） 第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为（　　） A．50 B．52 C．54 D．56 【答案】B 【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长＝2（16+10）＝52．故选：B． （来源：2025秋•广安区校级期末） 2．（3分）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 【答案】C 【解答】解： ∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四个半径为5的等圆， ∴圆心到直线l的距离为4是⊙O3，故选：C． （来源：2024秋•阜平县期末） 3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　） A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1） 【答案】C 【解答】解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是AC所在圆的圆心， ∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0）， ∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切， ∴当△BO′D≌△FBE时， ∴EF＝BD＝2，F点的坐标为：（5，1）， ∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选：C． （来源：2025秋•沛县期末） 4．（3分）下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．同弧所对的圆周角相等 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．正多边形是中心对称图形 【答案】B 【解答】解：A．能够完全重合的弧为等弧，长度相等的弧不一定为等弧， ∴A选项不符合题意；B．同弧所对的圆周角相等， ∴B选项符合题意；C．能经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线， ∴C选项不符合题意；D．边数为偶数的正多边形是中心对称图形， ∴D选项不符合题意；故选：B． （来源：2025秋•宜兴市期末） 5．（3分）下列说法：①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确；②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确；③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确；④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确；⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确．故选：D． （来源：2025秋•邯郸校级期中） 6．（3分）如图，平行四边形OABC中，OA＝6，∠AOC＝45°，以AB为直径的圆经过点C，点Q为线段OC上动点（不与O、C重合），过点Q作直线PD⊥OA于D，交直线BC于P．①点B的坐标是(12，6)；②直线AB的解析式是：y＝x﹣6；③当OD=9-3时，直线PQ与已知圆相切；④直线OC与圆看似相切，实则相交．以下结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：如图1，连接AC， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠OAC＝90°， ∴∠AOC＝45°， ∴OA＝AC＝BC＝6， ∴∠CAO＝∠AOE＝∠ACE＝90°， ∴四边形ACEO是矩形， ∴CE＝OA＝6， ∴B（12，6），故①不正确；② ∵点A的坐标为（6，0），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，解得 ， ∴直线AB的解析式为：y＝x﹣6，故②正确； ③如图2，过AB的中点G作GF⊥PD于F，交AC于H，则H是AC的中点， ∴GH=BC=3， ∵∠AOC＝45°，PD⊥OA， ∴DQ=OD=9-3， ∴AD=FH=6-OD=6-(9-3)=3-3， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6， ∴AB===6， ∴AG=AB=3，又 ∵GF=GH+FH=GH+AD=3-3+3=3=AG， ∴直线PQ与已知圆相切，故③正确；④连接CG， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠B＝∠AOC＝45°，∠BCO＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°， ∵GC＝GB， ∴∠GCB＝∠B＝45°， ∴∠GCO＝∠BCO﹣∠GCB＝135°﹣45°＝90°， ∴直线OC与圆相切，故④错误；故正确的为②③，共2个，故选：B． （来源：2025秋•盐亭县期末） 7．（3分）如图，AB为弦，若∠ABC＝20°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（　　） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 【答案】A 【解答】解：如图，连接OA，OC．设正多边形的边数为n． ∵∠AOC＝2∠ABC＝40°， ∴40°=，n＝9．故选：A． （来源：2025秋•魏县期末） 8．（3分）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（　　） A．4 B．2 C．2 D．4 【答案】B 【解答】解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H， ∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+∠A＝120°， ∴∠COH＝60°， ∵OB＝2，OC＝4， ∴OH＝2 ∴CH＝2， ∴△OBC的面积=×OB•CH=×2×2=2．故选：B． （来源：2025秋•蜀山区校级月考） 9．（3分）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A～H）且顺次连接点A～H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 【答案】45 【解答】解：根据题意得，360°÷8＝45°， ∴正八边形的中心角为45°，故答案为：45． （来源：2026•周至县一模） 10．（3分）如图，正六边形ABCDEF的周长为18，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】3 【解答】解：如图，连接CF与AD交于点O， ∵ABCDEF为正六边形， ∴∠COD＝360°÷6＝60°，CO＝DO， ∴△COD为等边三角形， ∴CD＝CO＝DO， ∵正六边形ABCDEF的周长为18， ∴CD＝3， ∴CD＝OC＝3．故答案为：3． （来源：2025秋•门头沟区期末） 11．（3分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】6π5 【解答】解：∠BAE==108°， ∴阴影部分的面积为=，故答案为：． （来源：2023•济南） 12．（3分）如图，四边形ABCD的各边都与圆相切，它的周长为18，若AB＝5，则CD的长为 ． 【答案】4 【解答】解： ∵⊙O与四边形ABCD各边相切， ∴AD+BC＝AB+CD， ∵AB＝5，四边形ABCD的周长为18， ∴5+5+CD+CD＝18， ∴CD＝4，故答案为：4． （来源：2026秋•玄武区校级作业） 13．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 ． 【答案】10 【解答】解： ∵多边形是正五边形， ∴正五边形的每一个内角为：×180°×（5﹣2）＝108°， ∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°， ∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故答案为：10． （来源：2023•衡阳） 14．（3分）如图，点O是△ABC的内心，以O为圆心作半径为3的圆，分别交△ABC的边于D，E，F，G，H，I点，连接EG和DG，若∠DGE＝30°，则FG＝ ． 【答案】3 【解答】解：连接OD，OE，OB，OF，作OM⊥DE于点M，ON⊥FG于点N， ∴DE＝2DM，FG＝2FN，∠DMO＝∠FN0＝90°， ∵∠DGE＝30°， ∴∠DOE＝60°， ∵OD＝OE， ∴△ODE是等边三角形， ∵OD＝3， ∴DE＝3， ∴DM＝1.5， ∵点O是△ABC的内心， ∴∠ABO＝∠CBO， ∴OM＝ON，又 ∵OD＝OF， ∴Rt△ODM≌Rt△OFN， ∴FN＝DM＝1.5， ∴FG＝3，故答案为：3． （来源：2025秋•诸暨市期末） 15．（3分）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 【答案】36°或108° 【解答】解：一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，当角的顶点在圆上时，如∠AED，即为正五边形的一个内角：则：∠AED=∠CDE==108°，角的顶点在圆外部，即⊙O交∠AFC的两边，截取的两条弦为AE，CD时，则：∠AED=∠CDE==108°， ∴∠FED＝∠FDE＝180°﹣108°＝72°， ∴∠F＝180°﹣2×72°＝36°；故答案为：36°或108°． （来源：2026•长宁区校级模拟） 16．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C是弧AB上一点，CD⊥OB，垂足为D，点P是△OCD的内心，连接AP，则AP的最小值为 ． 【答案】10-2 【解答】解： ∵CD⊥OB， ∴∠ODC＝90°， ∴∠COD+∠DCO＝90°， ∵点P是△OCD的内心， ∴PO，PC分别平分∠COD，∠DCO， ∴∠POC+∠PCO=（∠COD+∠DCO）＝45°， ∴∠OPC＝135°，如图，连接PB，在△COP和△BOP中，， ∴△COP≌△BOP（SAS）， ∴∠OPC＝∠OPB＝135°，如图，作△OPB的外接圆，圆心为O′，连接O′O，O′B， ∴∠OO′B＝90°， ∵OB＝OA＝2， ∴O′O=OB=，连接O′A交圆O′于点P′，此时AP′的最小， ∴O′O＝O′P′=，过点O′作O′E⊥AO的延长线于点E， ∴O′E∥BO， ∴∠EO′′O＝∠O′OB＝45°， ∴△O′OE是等腰直角三角形， ∴OE＝O′E=O′O＝1，在Rt△AEO′中，AE＝AO+OE＝2+1＝3，根据勾股定理得：AO′===， ∴AP′＝AO′﹣O′P′=-． ∴AP的最小值为-．故答案为：-． （来源：2026•威海模拟） 17．（6分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E． （1）求证：AB＝AC； （2）若MN是大圆的第三条弦，且MN＝AB，则MN与小圆相切吗？请说明理由． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：连接OD、OE， ∵大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E， ∴AD＝AE，AB⊥OD，AC⊥OE， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴AB＝2AD，AC＝2AE， ∵2AD＝2AE， ∴AB＝AC． （2）解：MN与小圆相切，理由：作OF⊥MN于点F，连接ON、OA，则∠OFN＝∠ODA＝90°，ON＝OA，NF＝MF=MN， ∵AD＝BD=AB，且MN＝AB， ∴NF＝AD，在Rt△NOF和Rt△AOD中，， ∴Rt△NOF≌Rt△AOD（HL）， ∴OF＝OD， ∴点F小圆上， ∵OF是小圆的半径，且MN⊥OF， ∴MN与小圆相切． （来源：2025秋•江阴市期中） 18．（6分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F． （1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数； （2）求证：DB＝DE； （3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵∠ABC＝40°，∠C＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠CAD＝∠BAD=∠BAC＝30°， ∴∠CBD＝∠CAD＝30°．答：∠CBD的度数为30°； （2）证明：如图，连接BE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠2＝∠6， ∴∠1＝∠6， ∵∠5＝∠1+∠3，∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3， ∴∠5＝∠DBE， ∴DB＝DE； （3） ∵∠1＝∠2，AB＝6，AC＝4，BC＝5， ∴==， ∴BF＝3，CF＝2， ∵∠6＝∠2，∠D＝∠C， ∴△BDF∽△ACF， ∴===2，=， ∴DF=BD，DF•AF＝BF•CF＝6， ∵∠1＝∠2＝∠6，∠BDF＝∠ADB， ∴△DBF∽△DAB， ∴=， ∴BD2＝DF•DA＝DF（AF+DF）＝DF•AF+DF2＝6+（BD）2，解得BD＝2， ∴DE＝BD＝2．答：DE的长为2． （来源：2026•铜仁市模拟） 19．（6分）如图，AB，ADC分别是半圆O的直径和割线，弦BE平分∠ABD，OE与AC交于点F，EG⊥AB于点G，∠OEG＝∠DBC． （1）求证：BC是半圆O的切线； （2）若BE=4，EF＝2，求EG的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵弦BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠EBD， ∴AE=ED， ∴OE⊥AD， ∴∠AFO＝90°， ∴OF∥BD， ∴∠AOF＝∠ABD， ∴∠OEG＝90°﹣∠AOF＝90°﹣∠ABD＝∠BAD， ∵∠OEG＝∠DBC， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°， ∴BC是半圆O的切线； （2）解：设半圆O的半径为x， ∴OF＝OE﹣EF＝x﹣2， ∵OE＝OA，∠GOE＝∠FOA，∠EGO＝∠AFO＝90°， ∴△GOE≌△FOA， ∴OG＝OF＝x﹣2，BG＝OB+OG＝2x﹣2，由勾股定理得EG2＝BE2﹣BG2＝OE2﹣OG2， ∴(4-(2x-2)2=x2-(x-2)2，解得x＝﹣4（舍去），x＝5， ∴EG===4， ∴EG的长为4． （来源：2025秋•南充期末） 20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F． （1）求证：BF＝DF； （2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长． 【答案】见解析 【解答】解： （1）连接OD，如图1， ∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F， ∴∠ODF＝90°， ∴∠ADO+∠BDF＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠OAD+∠BDF＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠OAD+∠B＝90°， ∴∠B＝∠BDF， ∴BF＝DF； （2）连接OF，OD，如图2，设圆的半径为r，则OD＝OE＝r， ∵AC＝4，BC＝3，CF＝1， ∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2， ∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2， ∴r2+22＝（4﹣r）2+12， ∴r=．故半圆的半径为． （来源：2025秋•乌兰察布期末） 21．（6分）如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH＝FG． （1）证明：四边形BGEH为平行四边形； （2）若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠C＝∠D＝∠F＝∠BAF，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF， ∵CH＝FG， ∴CD﹣CH＝AF﹣FG，即HD＝AG，在△BCH和△EFG中，， ∴△BCH≌△EFG（SAS）， ∴BH＝EG，在△ABG和△DEH中，， ∴△ABG≌△DEH（SAS）， ∴BG＝EH， ∴四边形BGEH为平行四边形； （2）解：如图，连接OA、OB、OF， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB＝∠AOF==60°，OA＝OB＝OF， ∴△AOB，△AOF是正三角形， ∴OA＝OB＝OF＝AB＝4， ∴S阴影部分＝2S弓形AB＝2（S扇形AOB﹣S△AOB）＝2×（-×4×2）=π﹣8． （来源：2025•绵阳） 22．（6分）脆蜜金桔是地方名果，是柳州市融安县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对脆蜜金桔种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年金桔平均每株产量是13千克，2022年达到了15.6千克，每年的增长率基本相同． 素材二 金桔一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为x，依题意列方程得 ；任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的脆蜜金桔，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求出此时纸盒的高．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 【答案】13（1+x）2＝15.6 【解答】解：任务1：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为x，由题意得：13（1+x）2＝15.6，故答案为：13（1+x）2＝15.6；任务2：设裁掉正方形的边长为m（cm），由题意得：（75﹣2m）×（80﹣2m）＝3300，解得：m1=10，m2=（不符合题意舍去），答：此时纸盒的高为10cm；任务3：如图，设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点设底面正六边形的边长为a（cm），纸盒的高为b（cm）， ∵正六边形的每条边相等，每个内角都为120°， ∴△ABC为等腰三角形，∠ABC＝120°， ∴∠BAC＝∠BCA＝30°，由正六边形的性质可得BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝60°， ∴∠AGB＝90°， ∴直角三角形ABG中，BG=a，AG=a，同理可得直角三角形FHE中，HE=a， ∵CG=AG=a，b+AG+GC+b=75， ∴2b+a=75①， ∵左侧小三角形顶点B的角度＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°， ∴左侧小三角形为边长b的等边三角形，根据图形的上下对称可得MN与长方形纸板的左右两边垂直， ∴BM为等边三角形的高， ∴BM=b，同理可得，EN=BM=b， ∵四边形AGHF为矩形， ∴GH＝AF＝a， ∵MN＝MB+BG+GH+HE+EN＝80， ∴2a+b=80②，联立①②式可得b＝150﹣80，答：纸盒的高为 （150﹣80）cm． （来源：2024秋•梁溪区校级期中） 23．（8分）如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，C是AB的中点，E是边AD上任意一点（不与端点重合）连结BE交CD于点F，△EFC的外接圆交AC于点G（异于A，C两点），连结EG． （1）若DE＝DF，∠A＝48°，求∠AGE的度数． （2）若AE＝mDE，求的值（用含m的代数式表示）． （3）求证：EG+EF＝BF． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵∠ADB＝90°，C是AB的中点， ∴DC＝AC＝BC=AB， ∴∠A＝∠CDA＝48°， ∵DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE==66°， ∴∠EFC＝180°﹣∠DFE＝114°， ∵四边形EFCG为圆的内接四边形， ∴∠AGE＝∠EFC＝114°； （2）过点E作EH∥DC，交GC于点H，如图， ∵EH∥DC， ∴=， ∵AE＝mDE， ∴=． ∵∠ADB＝90°，C是AB的中点， ∴AC＝BC， ∴=， ∴=m+1． ∵EH∥DC， ∴==m+1． （3）证明：延长BE至点M，使FM＝FB，连接AM，在AC上取一点N，使AN＝AM，连接EN，如图， ∵BF＝FM，BC＝AC， ∴FC为△BMA的中位线， ∴AM∥CD， ∴∠MAD＝∠CDA， ∵∠CDA＝∠CAD， ∴∠MAD＝∠CAD，在△ANE和△AME中，， ∴△ANE≌△AME（SAS）， ∴∠ANE＝∠M，EN＝EM， ∵AM∥CD， ∴∠M＝∠CFB， ∴∠ANE＝∠CFB． ∵四边形EFCG为圆的内接四边形， ∴∠CFB＝∠EGC， ∴∠EGC＝∠ENG， ∴EG＝EN， ∴EG＝EM， ∵FM＝FE+EM＝FE+EG，FM＝FB， ∴EG+EF＝BF． （来源：2025•杭州模拟） 24．（8分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝8，点E是边BC上的动点（不与B，C重合），过A，E，C三点的圆交菱形ABCD的边CD于点F，作FM⊥AE于点M，交AB于点N． （1）如图1，连接EF和AF．求证：△AEF是等边三角形． （2）如图2，连接BD交NF于点O，连接OA，OE，OC．①求证：OA＝OE＝OC．②设BE＝x，BO＝y，求y关于x的关系式． （3）AN的最小值为 ． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵MF∥BC， ∴∠AMF＝∠B，∠AFM＝∠C，又 ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠AMF＝∠AFM， ∴∠AMN＝∠MFC； （2）证明：连接AN，NC，MC， ∵BN=BN， ∴∠NAB＝∠NCB（同弧所对圆周角）， ∵NF∥BC， ∴∠CNF＝∠NCB（内错角相等）， ∴∠NAM＝∠CNF，又由（1）知∠AMN＝∠CFM， ∴△AMN∽△CFN， ∴=，即NM•NF＝AM•FC， ∵NF∥BC， ∴=， ∵AB＝AC， ∴MB＝FC， ∴NM•NF＝AM•MB； （3）解：在⊙O中，AB＝AC， ∴AB=AC， ∵AH过点O， ∴BH＝HC（垂径定理推论）， ∵NF∥BC， ∴=，=， ∴=，又 ∵BH＝HC， ∴DM＝DF， ∴DN2﹣DM2＝（DN﹣DM）•（DN+DM）＝（DN﹣DM）•（DN+DF）＝NM•NF＝AM•MB＝AM•（AB﹣AM），又 ∵AM＝x，AB＝10， ∴DN2﹣DM2＝x•（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+25，设DN2﹣DM2＝y＝﹣（x﹣5）2+25，又 ∵2≤x≤7， ∴当x＝2时，ymin=-(2-5)2+25=16，当x＝5时，ymax=-(5-5)2+25=25，即16≤y≤25， ∴当2≤x≤7时，16≤DN2﹣DM2≤25． （来源：2026•玉环市二模） 25．（10分）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为300°．现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． （1）该圆锥的底面圆的半径为 cm； （2）已知矩形纸片的边长分别为acm，12cm．（ⅰ）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片AMB，且扇形AMB与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上．①当a＝22时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由；②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值．（ⅱ）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 【答案】5 【解答】解： （1）由题可知2πr=， ∴r＝5cm；故答案为：5． （2）（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片．理由：作MC⊥AB，垂足为C，延长CM，交⊙O于点D，交RS于点E． ∵AM＝BM，∠AMB＝60°， ∴△AMB是等边三角形． ∴AB＝AM＝6． ∵CM⊥AB， ∴AC=AB=3．在Rt△AMC中，∠ACM＝90°， ∴CM===3．在矩形JIKRS中，∠J＝∠S＝90°． ∴∠J＝∠S＝∠JCE＝90°， ∴四边形JKRS是矩形． ∴CE＝JS＝22． ∴DE＝CE﹣CM﹣DM＝22﹣3-6＝16﹣3． ∵16-3＞10，12＞10， ∴能剪出作为圆锥底面的圆形纸片．②示意图如图所示，此时a=3+2+5；如图，设底面圆圆心为O，连接MN交切点为K，过N作NG⊥PQ于点G，则MK＝6，NK＝5，MN＝11， ∴MG＝MQ﹣GQ＝6﹣5＝1，在Rt△MNG中，NG==2， ∵MC＝3， ∴a＝3+2+5；（ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图，此时ML==3，NL==4， ∴MN＝ML+NL＝3+4，此时a＝6+3+4+5＝15+3；情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图， ∵MN＝ML+NL＝3+4，MW＝6﹣5＝1， ∴NW====2+3，此时a＝2+3+11； ∵2+3+11＜15+3， ∴a≥2+3+11． （来源：2025秋•玄武区期中） 26．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC＝4，一动点P从点B出发沿AB边运动到点A停止，连接CP，过点P作QP⊥CP交AD边于点Q，以线段PQ为斜边，在PQ的上方作等腰直角△PQE，设BP的长为m． （1）当四边形APEQ为正方形时，直接写出m的值及正方形APEQ的边长； （2）嘉嘉通过探究发现：点E在∠DAB的平分线上．请你判断嘉嘉的发现是否成立，并说明理由； （3）求△PQE的外心O到AB边的最大距离； （4）在点P运动过程中，①点E能否落在DC边上，若能，请求出此时m的值；若不能，请说明理由；②直接写出点E运动的路径长． 【答案】见解析 【解答】（1）解：如图1，当四边形APEQ为正方形时， ∴AQ＝AP，∠APQ＝45°， ∵PC⊥PQ， ∴∠BPC＝45°， ∴m＝BP＝BC＝4， ∴正方形APEQ的边长=AP=AB-BP=4-4； （2）嘉嘉的发现成立，理由如下：如图2，作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD于点N， ∴∠A＝∠ANE＝∠AME＝90°， ∴四边形AMEN是矩形， ∴∠NEM＝∠QEP＝90°， ∴∠NEQ＝∠MEP， ∵∠ENQ＝∠EMP＝90°，EQ＝EP， ∴△ENQ≌△EMP（AAS）， ∴EN＝EM， ∴四边形AMEN是正方形， ∴点E在∠DAB的平分线上； （3）如图2， ∵PQ为等腰直角△PQE斜边， ∴PQ中点O即为等腰直角△PQE的外心，作OH⊥AB于点H， ∴∠A＝∠OHP＝90°， ∴OH∥AQ， ∴==1， ∴PH=AP=(4-m)， ∵QP⊥CP， ∴∠CPQ＝90°＝∠OHP＝∠B， ∴∠HPQ＝90°﹣∠BPC＝∠BCP， ∴△HPO∽△BCP， ∴=， ∴OH•BC＝HP•BP， ∴4OH=(4-m)⋅m， ∴OH=-m2+m=-(m-2+， ∵-＜0，0≤m≤4， ∴当m=2时，OH取得最大值为，即△PQE的外心O到AB边的最大距离为； （4）①点E不能落在DC边上，理由如下：如图2，设EM＝y，由（2）知EM＝EN， ∴四边形AMEN是正方形， ∴EM＝EN＝AN＝AM＝y，由BP＝m，则AP=AB-BP=4-m， ∴NQ=MP=AP-AM=4-m-y， ∴AQ=AN-NQ=y-(4-m-y)=2y+m-4，同（3）得△APQ∽△BCP， ∴=， ∴AP•BP＝BC•AQ， ∴(4-m)⋅m=4⋅(2y+m-4)， ∴y=-m2+m+2， ∵-＜0， ∴抛物线开口向下， ∵0≤m≤4 ∴当m=-=2-2时，y取得最大值为=2+， ∵BC=4，2+＜4， ∴点E不能落在DC边上；②由（2）知，点E在∠DAB的平分线上，如图，当点P从点B出发时，点P1与点B重合，点Q1与点A重合，此时点E运动的起点是E1，由AB=4，则E1A=4×=2，当点P运动至点P2，且P2B=2-2时，点E从点E1运动至最高点E2，作E2M⊥AB于点M，由①知，E2M=2+，则E2A=(2+)×=2+，当点P运动至与点A重合时，点Q，E均与点A重合，故点E运动的路径为E1→E2→A，运动路径长为E1E2+E2A=2E2A-E1A=2×(2+)-2=4+2-2=4． （来源：2026•信都区二模） 27．（10分）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值．若PE＝8，PF＝5，当∠DAP最大时，求AD的长； （4）如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若AC+CD＝5，BC+CE＝8，求AE+BD的最小值． 【答案】2 【解答】解： （1）如图， ∵正方形ABCD，EFGH及圆为正方形ABCD的内切圆，为正方形EFGH的外接正方形， ∴设AE＝DE＝DH＝CH＝CG＝BG＝AF＝BF＝m，∠A＝90°， ∴AB＝AD＝2m，EF==m， ∴S正方形ABCD=4m2，S正方形EFGH=(m)2=2m2， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍，故答案为：2； （2）如图， ∵EG⊥FH， ∴a2＝OF2+OE2，c2＝OG2+OH2，d2＝OE2+OH2，b2＝OF2+OG2， ∴a2+c2＝b2+d2，结合图形变换可得：PA2+PC2＝PB2+PD2； （3）如图， ∵将△PDC绕点P逆时针旋转， ∴点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动， ∵A为圆外一个定点， ∴当AD与⊙P相切时，∠DAP最大， ∴PD⊥AD， ∴AD2＝AP2﹣PD2，由（2）可得：AE＝DF， ∵PE＝8，PF＝5， ∴AD2＝AP2﹣PD2＝PE2+AE2﹣PF2﹣DF2＝82﹣52＝39， ∴AD=； （4）如图，将△BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，连接D1E1， ∴CD＝CD1，CE＝CE1，再将△ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，如图，得△B1D1E2，由（2）可得：AE+BD＝D1E2+BD1， ∴当E2，D1，B三点共线时，AE+BD＝D1E2+BD1最短， ∵AC+CD＝5，BC+CE＝8， ∴E1E2＝5，BE1＝8， ∴BE2===， ∴AE+BD的最小值为． （来源：2024•连云港） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试卷（2026~2027学年） 第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为（　　） A．50 B．52 C．54 D．56 2．（3分）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　） A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1） 4．（3分）下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．同弧所对的圆周角相等 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．正多边形是中心对称图形 5．（3分）下列说法：①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（3分）如图，平行四边形OABC中，OA＝6，∠AOC＝45°，以AB为直径的圆经过点C，点Q为线段OC上动点（不与O、C重合），过点Q作直线PD⊥OA于D，交直线BC于P．①点B的坐标是(12，6)；②直线AB的解析式是：y＝x﹣6；③当OD=9-3时，直线PQ与已知圆相切；④直线OC与圆看似相切，实则相交．以下结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（3分）如图，AB为弦，若∠ABC＝20°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（　　） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 8．（3分）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（　　） A．4 B．2 C．2 D．4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A～H）且顺次连接点A～H构成正八边形，则该正八边形的中心角为　　　　 度． 10．（3分）如图，正六边形ABCDEF的周长为18，则它的外接圆的半径为　　　　 ． 11．（3分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为 　　　　 （结果保留π）． 12．（3分）如图，四边形ABCD的各边都与圆相切，它的周长为18，若AB＝5，则CD的长为 　　　　 ． 13．（3分）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 　　　　 ． 14．（3分）如图，点O是△ABC的内心，以O为圆心作半径为3的圆，分别交△ABC的边于D，E，F，G，H，I点，连接EG和DG，若∠DGE＝30°，则FG＝　　　　 ． 15．（3分）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是　　　　 ． 16．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点C是弧AB上一点，CD⊥OB，垂足为D，点P是△OCD的内心，连接AP，则AP的最小值为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E． （1）求证：AB＝AC； （2）若MN是大圆的第三条弦，且MN＝AB，则MN与小圆相切吗？请说明理由． 18．（6分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F． （1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数； （2）求证：DB＝DE； （3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长． 19．（6分）如图，AB，ADC分别是半圆O的直径和割线，弦BE平分∠ABD，OE与AC交于点F，EG⊥AB于点G，∠OEG＝∠DBC． （1）求证：BC是半圆O的切线； （2）若BE=4，EF＝2，求EG的长． 20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F． （1）求证：BF＝DF； （2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长． 21．（6分）如图，在中心为O的正六边形ABCDEF中，点G，H分别在边AF，CD上，且不同于正六边形的顶点，CH＝FG． （1）证明：四边形BGEH为平行四边形； （2）若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 22．（6分）脆蜜金桔是地方名果，是柳州市融安县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对脆蜜金桔种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年金桔平均每株产量是13千克，2022年达到了15.6千克，每年的增长率基本相同． 素材二 金桔一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为x，依题意列方程得　　　　 　　　　 ； 任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的脆蜜金桔，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高；任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求出此时纸盒的高．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 23．（8分）如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，C是AB的中点，E是边AD上任意一点（不与端点重合）连结BE交CD于点F，△EFC的外接圆交AC于点G（异于A，C两点），连结EG． （1）若DE＝DF，∠A＝48°，求∠AGE的度数． （2）若AE＝mDE，求的值（用含m的代数式表示）． （3）求证：EG+EF＝BF． 24．（8分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝8，点E是边BC上的动点（不与B，C重合），过A，E，C三点的圆交菱形ABCD的边CD于点F，作FM⊥AE于点M，交AB于点N． （1）如图1，连接EF和AF．求证：△AEF是等边三角形． （2）如图2，连接BD交NF于点O，连接OA，OE，OC． ①求证：OA＝OE＝OC．②设BE＝x，BO＝y，求y关于x的关系式． （3）AN的最小值为　　　　 ． 25．（10分）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为300°．现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． （1）该圆锥的底面圆的半径为 　　　　 cm； （2）已知矩形纸片的边长分别为acm，12cm． （ⅰ）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片AMB，且扇形AMB与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当a＝22时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ⅱ）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 26．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC＝4，一动点P从点B出发沿AB边运动到点A停止，连接CP，过点P作QP⊥CP交AD边于点Q，以线段PQ为斜边，在PQ的上方作等腰直角△PQE，设BP的长为m． （1）当四边形APEQ为正方形时，直接写出m的值及正方形APEQ的边长； （2）嘉嘉通过探究发现：点E在∠DAB的平分线上．请你判断嘉嘉的发现是否成立，并说明理由； （3）求△PQE的外心O到AB边的最大距离； （4）在点P运动过程中，①点E能否落在DC边上，若能，请求出此时m的值；若不能，请说明理由；②直接写出点E运动的路径长． 27．（10分）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 　　　　 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中∠DAP存在最大值．若PE＝8，PF＝5，当∠DAP最大时，求AD的长； （4）如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若AC+CD＝5，BC+CE＝8，求AE+BD的最小值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试卷（2026~2027学年） 第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $