第三十章 直线和圆的位置关系 单元检测 2026-2027学年人教版九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册数学第三十章“直线和圆的位置关系”提高卷，知识覆盖全面，梯度分明，注重几何直观与推理能力，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|直线与圆位置关系、切线性质（如第1题位置关系判断）|基础概念辨析，几何直观应用| |填空题|4/8|正多边形内角、阴影面积（如第16题正多边形内角和）|空间观念与运算能力结合| |解答题|8/62|切线证明、弧长计算（如22题切线证明与弧长）|综合推理与模型意识，梯度提升|

人教版九年级上册数学第三十章单元检测卷 直线和圆的位置关系（提高卷） 时间：120分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．如图，∠ABC＝30°，点O为射线BC上一点，BO＝8，如果⊙O是以点O为圆心，半径为3的圆，那么⊙O与直线BA的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 第1题图 第2题图 2．如图，在⊙O中，C是直径AB延长线上一点，CD与⊙O相切于D点，连结AD，若∠A＝25°，则∠C的度数为（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 3．如果一个正多边形的每一个内角是150°，那么这个正多边形的边数为（　　） A．16 B．12 C．8 D．6 4．如图，AB与⊙O相切于点A，OB交⊙O于点C，点D为⊙O上一点，连接DA、DC，若∠B＝36°，则∠D的大小为（　　） A．25° B．27° C．34° D．56° 第4题图 第5题图 5．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为点A、B，点C为⊙O上一点，∠P＝66°，则∠C等于（　　） A．66° B．63° C．57° D．60° 6．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 第6题图 第7题图 7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，直线MN与⊙O相切于点A．若∠B＝40°，则∠MAC的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 8．如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠BOC＝117°，则∠A的度数为（　　） A．54° B．55° C．56° D．60° 第8题图 第9题图 9．如图，⊙P的圆心P的坐标为(3，2)，半径为2，将⊙P沿x轴平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 10．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，⊙O为正六边形ABCDEF的外接圆，连接BF，则BF的长为（　　） A．12 B． C． D． 第10题图 第11题图 11．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PA＝AB＝3，则长为（　　） A．π B．2π C．3π D．6π 12．如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（　　） A． B． C． D． 第12题图 第13题图 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，以边AB的中点O为圆心的半圆与AC相切，切点为D，连接OC，与半圆交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BE＝4，AF＝6，则⊙O的半径r是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 第14题图 第15题图 15．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），⊙A的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，求切线长PQ的最小值（　　） A． B．2 C． D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．在平面上将边长相等的正方形、正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为　 　 ． 第16题图 第17题图 17．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 18．如图，AB为⊙O的直径，AB＝2，AC是⊙O的切线，点A是切点，连接BC交⊙O于点D，连接OD，若∠C＝40°，则的长度为 　 　 ． 第18题图 第19题图 19．如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8cm，若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是　 　 cm． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（本题6分）一个正多边形的一个内角是其相邻外角的3倍．求该正多边形的边数和内角和． 21．（本题6分）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，交AC于点D．若∠C＝35°，AB＝4，求的长（结果保留π）． 22．（本题7分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠EAC＝∠D＝60°． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若BC＝4时，求劣弧AC的长． 23．（本题7分）如图1，BD是⊙O的直径，AB，AC是⊙O的切线，B，C是切点，连接OA，CD． （1）求证：AO∥CD； （2）如图2，过点D作DF∥CA，分别交AO，AB于E，F两点，若AF＝1，AC＝4，求⊙O的半径． 24．（本题8分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，点D为BE的下面半圆的中点，连接AD交BC于点F，若AC＝FC． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若EF＝EC＝2，求DF的长． 25．（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，延长AB至点F，使得∠BCF＝∠BCD． （1）求证：CF与⊙O相切； （2）若∠F＝30°，AB＝2，求阴影部分的周长．（结果保留π） 26．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是边AB上一点，以BE为直径的圆O交AC于点D，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，且BF＝BE． （1）如图1，求证：AC是⊙O的切线； （2）如图2，连接BD，若∠A＝30°，BC＝6，求阴影部分的面积． 27．（本题12分）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，AD是⊙O的直径，DA平分∠CDE，延长DE至点P，使EP＝DE，连接AP，BE．过点A作AF⊥BE于点F，AF＝BF． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：AP是⊙O的切线； （3）看一看，想一想，证一证：以下与线段BC、BE、EF有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 答案与解析 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．解：过O作OH⊥AB于H， ∵∠B＝30°， ∴OHOB8＝4， ∴O到AB的距离d＝4， ∵⊙O的半径r＝3， ∴d＞r， ∴⊙O与AB相离． 故选：A． 2．解：如图，CD与⊙O相切于D点，连接OD，则OD为⊙O半径， ∴OD⊥CD， ∴∠ODC＝90°， ∵∠A＝25°， ∴∠DOC＝2∠A＝2×25°＝50°， 在△ODC中，∠ODC＝90°，∠DOC＝50°， ∴∠C＝180°﹣∠DOC﹣∠ODC ＝180°﹣50°﹣90° ＝40°， 故选：C． 3．解：∵正多边形的一个内角是150°， ∴该正多边形的一个外角为30°， ∵多边形的外角之和为360°， ∴边数n＝360÷30＝12， ∴该正多边形的边数是12． 故选：B． 4．解：连接OA， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴AB⊥OA， ∴∠OAB＝90°， ∵∠B＝36°， ∴∠AOB＝90°﹣∠B＝54°， ∴∠D∠AOB＝27°， 故选：B． 5．解：∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∵∠P＝66°， ∴∠AOB＝360°﹣∠OBP﹣∠OAP﹣∠P＝114°， ∴∠C∠AOB＝57°， 故选：C． 6．解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16， 即△PCD的周长为16． 故选：C． 7．解：如图，连接CD， ∵， ∴∠B＝∠ADC＝40°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CDA+∠CAD＝90°， ∵直线MN与⊙O相切于点A， ∴DA⊥MN，则∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝90°， ∴∠MAC＝∠ADC＝∠B＝40°． 故选：B． 8．解：∵∠BOC＝117°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝63°， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OB，OC平分∠ABC，∠ACB， ∴∠ACB＝2∠OCB，∠ABC＝2∠OBC， ∴∠ABC+∠ACB＝2∠OCB+2∠OBC＝2（∠OBC+∠OCB）＝126°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣126°＝54°． 故选：A． 9．解：如图，当⊙P向左平移1个单位长度或5个单位长度时，与y轴相切. 故选：B． 10．解：在正六边形ABCDEF中，AF＝AB，∠BAF＝120°，如图，过点A作AG⊥BF于G， ∴由等腰三角形三线合一性质得到AG是△ABF的中线及角平分线， ∴，， 在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，AF＝6，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：C． 11．解：过点O作OH⊥AB于H， 则AH＝BHAB， ∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点， ∴PA＝PB，OA⊥PA，OB⊥PB， ∵PA＝AB， ∴PA＝PB＝AB， ∴△PAB为等边三角形， ∴∠P＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∵OA＝OB，OH⊥AB， ∴∠AOH＝60°， ∴OA3， ∴的长2π， 故选：B． 12．解：连接OA，OB，OE， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴OA＝OB＝OE，∠AOB90°，AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣∠AOB）＝45°， ∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°， ∵∠CBE＝15°， ∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°， ∴△OBE是等边三角形， ∴OB＝BE＝3， ∴OA＝3， ∴AB3， ∴BC＝3， 故选：D． 13．解：连接OD， ∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2， ∴∠A＝30°， ∴， ∵，OD⊥AC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∠AOD＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠AOC＝120°，，， ∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝60°， ∴S阴影＝S△AOD+S扇形ODE ． 故选：D． 14．解：连接OF，OE， 设⊙O的半径为r， ∵⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F， ∴∠OFC＝∠C＝∠OEC＝90°， ∴四边形OFCE为矩形， 又因为OF＝OE， ∴四边形OFCE为正方形， 则CE＝CF， 由切线长定理易知：BE＝BD＝4，AF＝AD＝6， ∴BC＝4+r，AC＝6+r， 在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2， ∴（4+r）2+（6+r）2＝102， 解得：r＝2，r＝﹣12（负值舍去）， 故选：A． 15．解：如图，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），⊙A的半径为1，作AP垂直直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q， 设直线与x轴，y轴分别交于点C，B， 当x＝0时，y＝3； 当y＝0时，得：， 解得：x＝4； ∴B（0，3），C（4，0）， ∴OB＝3，OC＝4， ∴AC＝5， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：， ∴AC＝BC， 在△APC与△BOC中， ， ∴△APC≌△BOC（AAS）， ∴AP＝OB＝3， ∴， ∵PQ2＝PA2﹣1恒成立，且根据垂线段最短， ∴此时，PA值最小，则PQ的值也最小， ∴切线长PQ的最小值为， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．解：正方形的一个内角的度数90°， 正五边形的一个内角的度数108°， 正六边形的一个内角的度数120°， 则∠1的度数＝360°﹣90°﹣108°﹣120°＝42°， 故答案为：42°． 17．解：连接OA、OB、OP， ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴OB⊥PB，OA⊥PA， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠APB＝120°， 在Rt△OAP和Rt△OBP中， ， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．解：∵AC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径， ∴AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∵∠C＝40°， ∴∠ABC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠ABC＝50°， ∴∠AOD＝∠ABC+∠ODB＝50°+50°＝100°， ∵AB＝2， ∴， ∴的长度为， 故答案为：． 19．解：如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，AB＝8cm，连接OA， ∴AHAB＝4cm， 在Rt△AOH中，OA＝OC＝5cm，AH＝4cm， 由勾股定理得：OH3（cm）， ∵直线l沿OC所在直线平移后与⊙O相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿OC所在直线移动的距离为：CH＝5﹣3＝2（cm）； 当直线向上平移时，直线l沿OC所在直线移动的距离为：CH＝5+3＝8（cm）； 综上所述，平移的距离是2cm或8cm， 故答案为：2或8． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（本题6分）解：设正多边形的一个外角是α，则其相邻的内角是3α， 根据题意得α+3α＝180°， 解得α＝45°， ∵正多边形的外角和是360°， ∴这个正多边形的边数是360°÷45°＝8， ∴这个正多边形的内角和是（8﹣2）×180°＝1080°． 21．（本题6分）解：连接OD， ∵以AB为直径的⊙O与BC相切于点B， ∴BC⊥AB于点B， ∴∠ABC＝90°， ∵∠C＝35°， ∴∠A＝90°﹣∠C＝55°， ∴∠BOD＝2∠A＝110°， ∵AB＝4， ∴OBAB＝2， ∴， ∴的长是． 22．（本题7分）（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵∠B＝∠D＝60°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝30°， ∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝30°+60°＝90°， 即：BA⊥AE， ∴AE是⊙O的切线； （2）解：如图，连接OC， ∵∠B＝∠D＝60°，且OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝OC＝BC＝4， ∵∠D＝60°， ∴∠AOC＝2∠D＝120°， ∴劣弧AC的长为． 23．（本题7分）（1）证明：如图1，连接OC， ∵AB，AC是⊙O的切线， ∴OC⊥AC，OB⊥AB，∠CAO＝∠BAO， ∴∠AOC＝∠AOB， 由圆周角定理得：∠D∠COB， ∴∠D＝∠AOB， ∴AO∥CD； （2）解：∵AB，AC是⊙O的切线，AC＝4， ∴AB＝AC＝4， ∴BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3， ∵AO∥CD，DF∥CA， ∴四边形ACDE为平行四边形，∠CAE＝∠AEF， ∴DF＝AC＝4， ∵∠CAE＝∠FAE， ∴∠FAE＝∠AEF， ∴EF＝AF＝1， ∴DF＝4+1＝5， 由勾股定理得：DB4， ∴⊙O的半径为2． 24．（本题8分）（1）证明：连接OA， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AC＝FC， ∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD， 由条件可知OD⊥BE，即∠DOF＝90°， ∴∠ODA+∠OFD＝90°， ∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵EF＝EC＝2， ∴AC＝CF＝EF+EC＝4， 设半径为r，则OC＝OE+CE＝r+2， 在Rt△OAC中，根据勾股定理得：r2+42＝（r+2）2， 解得：r＝3， ∴OA＝OD＝OE＝3， ∴OF＝OE﹣EF＝3﹣2＝1， ∴． 25．（本题8分）（1）证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴∠BCD＝∠BCF， ∴∠ACO＝∠BCF， ∵∠ACO+∠OCB＝90°， ∴∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°， ∴OC⊥CF， 又∵OC是半径， ∴CF与⊙O相切； （2）解：∵∠F＝30°，∠OCF＝90°， ∴∠COF＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OBAB＝1， ∵的长度π， ∴阴影部分的周长为1π． 26．（本题8分）（1）证明：连接OD，则OD＝OE， ∴∠ODE＝∠BEF， ∵BF＝BE， ∴∠F＝∠BEF， ∴∠ODE＝∠F， ∴OD∥BF， ∴∠ADO＝∠ACB＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且AC⊥OD， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：连接OD， ∵BC＝6，∠ADO＝∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝12，∠AOD＝90°﹣∠A＝60°， ∵OD＝OE， ∴△DOE是等边三角形， ∴∠OED＝60°，OD＝OE＝DE， ∴∠EDA＝∠OED﹣∠A＝30°＝∠A， ∴AE＝DE， ∴， ∴BE＝2OE＝8， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BDE＝90°， ∴， ∴， ∴， ∵∠BOD＝2∠OED＝120°， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 27．（本题12分）（1）解：AF⊥BE，AF＝BF， ∴∠ABF＝45°， ∵， ∴∠ADE＝∠ABE＝45°， ∵DA平分∠CDE， ∴∠CDA＝∠ADE＝45°， ∵四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴∠ABC＝180°﹣∠CDA＝135°． （2）证明：∵AD是⊙O的直径， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEP＝∠AED＝90°， 又∵EP＝ED，AE＝AE， ∴△AED≌△AEP（SAS）， ∴∠ADE＝∠APE＝45°， ∴∠DAP＝90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O的切线． （3）解：正确，理由如下： 过点A作AG⊥BC交CB的延长线于G，连接AC， ∵∠ABC＝135°， ∴∠ABG＝45°， ∴∠BAG＝45°， 又∵∠ABF＝∠BAF＝45°，AF⊥BE，AG⊥BG， ∴AB为∠GAF和∠GBF的平分线， ∴AG＝AF，BG＝BF， ∵∠CDA＝∠ADE， ∴， ∴AC＝AE， ∴Rt△ACG≌Rt△AEF（HL）， ∴CG＝EF， ∵CG＝BC+BG＝BC+BF， ∴EF＝BC+BF， ∵BE＝BF+EF， ∴BC+BE＝BC+BF+EF＝2EF， ∴． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $