江苏南京市第一中学江北新区分校2026～2027 学年第一学期 体阶段性质量检测 九年级数学(10月月考练习卷)

2026~2027学年第一学期南京联合体阶段性质量检测 九年级数学(10月月考练习卷) 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.下列方程中，是一元二次方程的是(D) A.x-2=0 B2- C.2c-3y=1 D.x2=1 2.己知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离为4cm,则l与⊙O的交点个数为(A) A.0 B.1 C.2 D.3 3.若关于x的方程(x-4)=m+2有实数根，则m的取值范围是(B) A.m≥0 B.m≥-2 C.m>-2 D.m>2 4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB的长等于半径，则∠ACB的度数为(B) A.30° B.40° 0 C.45° D.50° B 5.如图，在⊙O中，弦AB=4。点C在AB上移动，连接OC,过点C作CD⊥OC,交⊙O于点D,则 CD长的最大值为(D) A.8 B.4 C.2√2 D.2 6.如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在AB上，∠AOB=∠BCD=90°。若CD=6,BC=8,则 ⊙O的半径为(D) A.8 B.9.6 C.6√2 D.4v5 第1页共9页 二、填空题（每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7.方程x2-2c=0的根为心=0，D=2 0 8.设D1,D是方程x2-4x十m=0的两个根，且1十2-c1w2=1,则m=3 9.如图，⊙O的半径为5cm,圆心O到AB的距离OC=4cm,则AB=6cm。 D 4-3-2-1O1C2x B 第9题 第10题 第13题 10.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，三月份的利润比一 月份利润增加4.8万元。设该产品平均每月利润的增长率为x,则可列方程 201+x)2-20(1+x)=4.8 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，己知点A(-2,1),B(0,1),C(1,0),则△ABC的外接圆的圆心坐标 为-1-1)。 12.在⊙0中，∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角的度数为_50或130°。 13.如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC=BC。若∠C=110°，则∠ABC的度数等 于55° 14.如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E,若AC的度数为92°，∠DEB=68°，则BD的度数为 4°。 0 B 第14题 第16题 15.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0)，下列条件：①ac<0:②abc>0: ③a-b+c=0;④2a-b+c=0:若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号 是①③④· 16.如图，点A,B,C,E在⊙O上，且CE=2AE=2BC。若AB=8,CE=12,则四边形ABCE的面 积为50W2。 第2页共9页 三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.解方程： (1)x2-6c-7=0: (2)(x-1)=3x-3。 【解析】 解：(1)x2-6x-7=0 (x-7)(x+1)=0, ∴.x-7=0或x+1=0, ∴.x1=7,x2=-1 (2)(x-1)2=3x-3, (x-1)2-3(x-1)=0 (x-1)(w-1-3)=0, “.c-1=0或w-4=0, .x1=1,x3=4. 18.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上两点，且OD∥AC。求证：CD=DB。 【解析】 证明：连接OC,如图， :AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点， ∴.OC=OA,∴，∠A=∠OCA, OD∥AC,∴.∠A=∠BOD,∠OCA=∠COD, ∴.∠COD=∠BOD ∴.CD=DB 19.某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元。在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1 元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 【解析】 解：设每件应降价x元，则每件盈利(44一x)元，每天可售出(20+5x)件。 根据题意，得(44一x)(20+5x)=1600, 整理，得x2-40x+144=0, 解得1=4，=36（不合题意，舍去）。 答：每件应降价4元。 第3页共9页 20.己知：如图，在⊙O中，CD是弦，AB是直径，点B是CD的中点。 求证：AB垂直平分CD,且AC=AD。 A 【解析】 AB是⊙O的直径，且点B是CD的中点， ,AB⊥CD,且AB平分CD(平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦)， .AB垂直平分CD。 :AB是直径，且AB⊥CD ∴AC=AD(垂直于弦的直径平分弦所对的弧)。 21.如图，若准备利用一处墙角EAF和长度为28m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD,花圃的一边AD由墙 AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其他两边BC,CD由剩下的篱笆围成。若AF =8m,AE=4m,矩形花圃的面积为75m?,求花圃边BC的长度。 【解析】 B 解：设边BC的长度为xm。 :四边形ABCD是矩形，∴.AD=BC=Em,AB=CD, ∴.FD=AD-AF=(c-8)m。 :矩形周长为28+8+4=40(m),∴.CD=(20-x)m。 由题意知，c(20-c)=75,整理，得x2-20c+75=0,解得1=5,0=15。 :当x=5时，x-8=5-8<0,不符合题意，.x=15。 答：花圃的边BC的长度为15m。 22.如图，用直尺和圆规作出圆的圆心（用两种不同的方法）。 (要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明) 第4页共9页 【解析】 解：方法一：①在圆上任取三点A,B,C,连接AB,BC。②分别作AB,BC的中垂线，交于点O,则 点O即为所 求。 方法二：如图：作90°的圆周角，线段AB即直径，作AB中点O,O即为所求。 23.关于x的一元二次方程x2-4x-k-6=0有两个不相等的实数根x1,x2。 (1)求k的取值范围 (2)若1=3c2,求k的值。 【解析】 (1)△=(-4)2-4×1×(-k-6 =16+4k+24 =4k+40 因为方程有两个不相等的实数根，所以△>0，即： 4h+40>0 4h>-40 k>-10 (2)由根与系数的关系得：1+x2=4,c1c2=一k一6 将的=3代入斯1+2=4： 3m3+0g=4 4D=4 x2=1则1=3×1=3 将01=3，x2=1代入1x2=-k-6: 3×1=-k-6 3=-k-6 k=-9-9>-10,符合取值要求， 故k=一9。 24.如图，在△ABC中，AB=AC,过点A,C的⊙O与BC,AB分别交于点D,E,连接DE. (1)求证：DB=DE: (2)延长ED,AC相交于点P,若∠P=33°，则∠A的度数为°。 第5页共9页 0 EB 【解析】 (1)证明： :AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB。 :四边形AEDC为⊙O的内接四边形，∴·∠AED+∠ACB=180°。 又：∠BED+∠AED=180°，∴.∠BED=∠ACB。 ∴.∠BED=∠ABC。 ·.在△BDE中，DB=DE。 (2)38 25.定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a,b,c均为常数，a≠0)有两个实数根，其中一个 根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”。 (1)下列方程中，是“邻根方程”的是（填序号） ①x2+x=0:②x2-2c+1=0:③x2+5x+6=0。 (2)若(x-3)(x+n)=0是“邻根方程”，求n的值。 (3)若一元二次方程x2+bx十c=0(b,c均为常数)为“邻根方程”，直接写出b,c满足的数量关系。 【解析】 (1)①③ (2)解：解方程(x-3)(x+n)=0,得1=3,2=一n。 当3-(-n)=1时： 3+m=1 n=-2 当n-3=1时： -m=4 n=-4 答：n的值为-2或-4。 (3)b2-4c=1 26.如图，△ABC内接于⊙O,AC=BC,D在BC上，连接AD。 (1)如图，若AD⊥BC,垂足为E,连接CO并延长，OC分别交AD,AB于点F,G。 (I)求证：CG⊥AB: (II)求证：EF=DE。 (2)如图，若AD与BC不垂直，过点C作CE⊥AD,垂足为E,连接DB,写出AE,DE,DB之间的 数量关系，并说明理由。 【解析】 第6页共9页 (1)①如图，连接OA,OB, :C为优弧ACB的中点， ∴.AC=BC,AC=BC。 又：OA=OB,.O,C都在AB的垂直平分线上， ∴.CG是AB的垂直平分线，即CG⊥AB。 ②如图，连接CD, .:AD⊥BC,CG⊥AB, ∴.∠CFE+∠BCG=90°，∠B+LBCG=90°， ∴.∠B=∠CFE。 :AC=AC,∴.∠B=∠D ∴.∠CFE=∠D, ∴CF=CD。 又AD⊥BC, ∴，EF=DE。 (2)DE+BD=AE。理由如下： 如图，在AE上截取EF=DE,连接CF,CD。 CE⊥DF,EF=DE,∴CF=CD, ∴.∠CFD=∠CDF。 AC=BC,.∠CAB=∠CBA :AC=AC,∴.∠CDA=∠CBA。 :∠CFD+∠CDF+∠FCD=∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°， ∴.∠FCD=∠ACB, ·.∠FCD-∠FCB=∠ACB-LFCB, 即∠ACF=∠BCD 在△CAF和△CBD中， CA-CB, ∠ACF=∠BCD CF=CD .△CAF≥△CBD(SAS, .AF=BD, ∴.DE+BD=EF+AP=AE。 27.如图①，在⊙O中，劣弧AB的度数为120°，点P是优弧AB上的动点，且不与点A,B重合，弦PB 的垂直平分线分别交射线PA,弦PB于点C,D。 (1)求证：△PCB是等边三角形： (2)△POC能否为等腰三角形？如果能，求此时∠POC的度数；如果不能，请说明理由； 第7页共9页 (3)若⊙O的半径为√5，则△POC面积的最大值是 0 备用图 【解析】 (1)证明：连接OA,OB。因为劣弧AB的度数为120°， 所以∠AOB=120°，所以∠APB=60°。 因为DC是PB的垂直平分线，所以CP=CB。 所以△PCB是等边三角形。 (2)解：①当OC=OP时，如图1。 因为OP是⊙O的半径，所以此时OC也是⊙O的半径， 点C在⊙O上，易知点C与点A重合。 由(1)可知△PCB是等边三角形， 所以∠B=∠PCB=60°， C 所以∠POC=2∠B=120°。 图1 ②当CO=CP时，有两种情况： 当点P靠近点B时，如图2。因为CD是PB的垂直平分线， 所以点O在直线CD上，即O,C,D三点共线。 因为∠PCB=60°，所以∠PGD=30°。 因为CO=CP,所以∠POC=15°。 当点P靠近点A时，如图3。 又因为∠PCB=60°，所以∠PCO=30°。 因为CO=CP,所以∠POC=75°。 图2 ③当OP=CP时，又因为△PCB为等边三角形， 所以CP=BP=OP。 又因为OP=OB,所以△OPB为等边三角形 ,所以∠POB=60°。又因为∠AOB=120°， 所以∠POA=180°， 即此时点P在AO的延长线上， 易知此时点C与点O重合 所以以P,O,C为顶点不构成三角形， 第8页共9页 故此情况不存在。 综上所述，△POC能为等腰三角形， ∠P0C的度数为120°或15°或75°。 (3)2+√5 提示：如图4，取AB的中点K, 连接AK,BK,CK,OK,OA,OB。 图3 因为CD是PB的垂直平分线， 所以点O在直线CD上，CP=CB。 因为OP=OB,OC=OC,所以△POC≥△BOC, 所以SPoc=S△BoCa 由△PCB为等边三角形，可得∠CPB=60°=∠PCB。 在圆内接四边形APBK中，∠AKB=180°-∠APB=120°。 所以点A,B,C在以点K为圆心，AK长为半径的⊙K上。 易证△AOK≈△BOK,所以∠AKO=∠BIKO=60°。 又因为OB=OK=2,所以△OBK为等边三角形， 所以AK=BK=OK=2, 所以点O在⊙K上。 过点C作CJ⊥OB于点J, 当点C,K,J依次共线时，CJ的长最大， Soc最大，即SPoc最大， 图4 此时OJ=BJ=1,∠OKJ=∠BKJ=30°， 所以J=√OK-OP=√5 所以CJ=CK+J=2+√3 所以Sc=号0B:C=2+V5。 所以△POC面积的最大值为2+√5。 第9页共9页2026~2027学年第一学期南京联合体阶段性质量检测 九年级数学(10月月考练习卷) 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.下列方程中，是一元二次方程的是() A.x-2=0 B2- C.2c-3y=1 D.x2=1 2.已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离为4cm,则l与⊙O的交点个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 3.若关于x的方程(x-4)=m+2有实数根，则m的取值范围是() A.m≥0 B.m≥-2 C.m>-2 D.m>2 4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB的长等于半径，则∠ACB的度数为() A.30° B.40° 0 C.45° D.50° B 5.如图，在⊙O中，弦AB=4。点C在AB上移动，连接OC,过点C作CD⊥OC,交⊙O于点D,则 CD长的最大值为() A.8 B.4 C.2√2 D.2 6.如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在AB上，∠AOB=∠BCD=90°。若CD=6,BC=8,则 ⊙O的半径为() A.8 B.9.6 C.6√2 D.4v5 第1页共5页 二、填空题（每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7.方程x2-2x=0的根为 0 8.设D1,D2是方程x2-4x十m=0的两个根，且m1十2-x1c2=1,则m= 9.如图，⊙O的半径为5cm,圆心O到AB的距离OC=4cm,则AB=cm。 D 4-3-2-1:01:C2x B 第9题 第10题 第13题 10.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，三月份的利润比一 月份利润增加4.8万元。设该产品平均每月利润的增长率为x,则可列方程 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2,1),B(0,1),C(1,0),则△ABC的外接圆的圆心坐标 为 12.在⊙O中，∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角的度数为 13.如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC=BC。若∠C=110°，则∠ABC的度数等 于。 14.如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E,若AC的度数为92°，∠DEB=68°，则BD的度数为 。 0 B 第14题 第16题 15.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0)，下列条件：①ac<0:②abc>0: ③a-b+c=0;④2a-b+c=0:若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号 是 16.如图，点A,B,C,E在⊙O上，且CE=2AE=2BC。若AB=8,CE=12,则四边形ABCE的面 积为 第2页共5页 三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.解方程： (1)x2-6ac-7=0: (2)(x-1)=3x-3。 18.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上两点，且OD∥AC。求证：CD=DB 19.某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元。在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1 元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 20.已知：如图，在⊙O中，CD是弦，AB是直径，点B是CD的中点。 求证：AB垂直平分CD,且AC=AD。 A 21.如图，若准备利用一处墙角EAF和长度为28的篱笆围建一个矩形花圃ABCD,花圃的一边AD由墙 AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其他两边BC,CD由剩下的篱笆围成。若AF =8m,AE=4m,矩形花圃的面积为75m,求花圃边BC的长度。 E B 第3页共5页 22.如图，用直尺和圆规作出圆的圆心（用两种不同的方法）。 (要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明) 23.关于x的一元二次方程x2-4c-k-6=0有两个不相等的实数根c1,c2。 (1)求k的取值范围 (2）)若c1=3c2,求k的值。 24.如图，在△ABC中，AB=AC,过点A,C的⊙O与BC,AB分别交于点D,E,连接DE. (1)求证：DB=DE: (2)延长ED,AC相交于点P,若∠P=33°，则∠A的度数为。 0 D EB 25.定义：如果关于c的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)有两个实数根，其中一个 根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”。 (1)下列方程中，是“邻根方程”的是（填序号） ①x2+x=0;②x2-2c+1=0:③x2+5x+6=0。 (2)若(x-3)(x+n)=0是“邻根方程”，求n的值。 (3)若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c均为常数)为“邻根方程”，直接写出b,c满足的数量关系。 第4页共5页 26.如图，△ABC内接于⊙O,AC=BC,D在BC上，连接AD。 (1)如图，若AD⊥BC,垂足为E,连接CO并延长，OC分别交AD,AB于点F,G。 (I)求证：CG⊥AB; (II)求证：EF=DB。 (2)如图，若AD与BC不垂直，过点C作CE⊥AD,垂足为E,连接DB,写出AE,DE,DB之间的 数量关系，并说明理由。 27.如图①，在⊙O中，劣弧AB的度数为120°，点P是优弧AB上的动点，且不与点A,B重合，弦PB 的垂直平分线分别交射线PA,弦PB于点C,D。 (1)求证：△PCB是等边三角形： (2)△POC能否为等腰三角形？如果能，求此时∠POC的度数；如果不能，请说明理由： (3)若⊙O的半径为√5，则△POC面积的最大值是一。 0 备用图 第5页共5页