6.3 向心加速度 重难突破系列讲义 -2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

专题讲义 人教版高中物理必修第二册 人教版·高中物理必修第二册 6.3　向心加速度【单元复习】 （解析版） 人教版高中物理必修第二册　|　第六章《圆周运动》　|　单元复习提优　|　建议用时 60 分钟　|　难度：★★★☆☆ ▎学习目标 1．知道速度变化量Δv＝v末−v初是矢量差：匀速圆周运动中用矢量三角形（平移法）分析，当Δt→0时Δv的方向沿半径指向圆心；向心加速度方向始终沿半径指向圆心、与线速度v垂直，描述的是线速度方向变化的快慢； 2．掌握向心加速度大小公式 a＝v²/r＝ω²r＝ωv＝4π²r/T²＝4π²f²r，并会结合 v＝ωr 进行线速度、角速度、周期、频率间的换算与定量计算； 3．知道向心加速度公式对匀速圆周运动和变速圆周运动都适用（瞬时值）；对一般曲线运动，取该点曲率半径ρ，有 a＝v²/ρ； 4．掌握传动问题：同轴（同转轴）转动ω相同、a与r成正比；皮带/链条/齿轮/摩擦传动接触边缘v相同、a与r成反比；理解变速圆周运动的合加速度可分解为向心分量（改方向）与切向分量（改大小），并辨清“a大≠v大、r大a不一定大”。 【思维导图】 向心加速度 Δv与方向 Δv＝v末−v初·矢量三角形平移法 Δt→0时Δv沿半径指向圆心 a沿半径指圆心·与v垂直 描述线速度方向变化快慢 向心加速度 公式 a＝v²/r＝ω²r a＝ωv a＝4π²r/T²＝4π²f²r v＝ωr 联立换算 向心加速度 传动 同轴：ω同·a∝r 皮带/齿轮/摩擦边缘：v同·a∝1/r 齿轮齿数∝r·相邻转向相反 自行车：牙盘链条飞轮·飞轮同轴后轮 向心加速度 变速曲线 匀速圆周：切向分量为0 变速圆周：向心分量+切向分量 一般曲线：曲率圆 a＝v²/ρ a大≠v大·r大a不一定大 考点一　Δv与向心加速度：方向、概念与计算公式 1．速度变化量Δv与方向的推导：做匀速圆周运动的物体，在一段时间Δt内由A运动到B，速度分别为vA、vB。速度变化量Δv＝vB−vA是矢量差：把vA、vB的起点平移到同一点，由vA末端指向vB末端的有向线段即为Δv。当Δt→0时，圆心角Δθ→0，由矢量三角形可知Δv的方向沿半径指向圆心（如图1）。 2．向心加速度的方向与物理意义：由 a＝Δv/Δt 知，向心加速度的方向与Δv相同，即沿半径指向圆心，始终与线速度v垂直（如图1）。它只改变线速度的方向、不改变线速度的大小，是描述线速度方向变化快慢的物理量。注意：向心加速度指向的是该质点所在圆周的圆心（绕地轴转动时为到地轴垂线的垂足），不一定指向几何体的中心O。 图1　地球绕地轴转动：P、Q、M各点绕各自圆周（圆心为到地轴垂线的垂足）转动，向心加速度垂直指向地轴，并非指向球心O 3．向心加速度的大小公式：由定义及 v＝ωr、ω＝2π/T＝2πf 可推得向心加速度大小 a＝v²/r＝ω²r＝ωv＝4π²r/T²＝4π²f²r（如图2）。已知其中任意两个量即可求其余各量：线速度一定时a与r成反比，角速度一定时a与r成正比。 图2　向心加速度表达式汇总：an＝v²/r（对应线速度）＝ω²r（对应角速度）＝ωv（推导式）＝4π²r/T²（对应周期）＝4π²f²r（对应频率） 4．典型例题示范：【例】汽车转弯半径r＝12 m，速度v＝6 m/s，求转弯所需向心加速度大小。【解析】汽车转弯可视为圆周运动，所需向心加速度 a＝v²/r＝6²/12＝36/12＝3 m/s²，方向沿水平方向指向弯道圆心。 ▎重难诠释 ①Δv＝v末−v初为矢量差，Δt→0时Δv沿半径指向圆心；向心加速度方向与Δv同向、与v垂直； ②向心加速度只改速度方向不改大小，描述方向变化快慢；指向圆周圆心，不一定指向几何体中心； ③a＝v²/r＝ω²r＝ωv＝4π²r/T²＝4π²f²r，配合 v＝ωr 换算； ④线速度v一定时a∝1/r，角速度ω一定时a∝r。 考点二　适用范围、传动装置比较与变速圆周运动 1．适用范围与一般曲线运动：向心加速度公式对匀速圆周运动和变速圆周运动都适用（所求为瞬时值）。对一般曲线运动，可把曲线分割成许多小段，每段近似看成某一半径为ρ的圆弧（曲率圆），则该点的向心分加速度为 a＝v²/ρ。 图3　变速圆周运动：速度v沿切线，合加速度a分解为沿法线指向圆心的向心分量an（改方向）与沿切线方向的切向分量at（改大小）；匀速圆周时at＝0 2．同轴转动与皮带传动：绕同一转轴转动的各点角速度ω、周期T相同，由 a＝ω²r 知向心加速度与半径r成正比（r大a大）。皮带（链条）不打滑时，皮带与轮边缘接触处无相对滑动，两轮边缘线速度v大小相等，由 a＝v²/r 知向心加速度与半径成反比（如图4）。 图4　皮带传动：电动机皮带轮A与机器皮带轮B由皮带相连且不打滑，两轮边缘线速度v大小相等，角速度与半径成反比 3．齿轮啮合传动：两齿轮（或摩擦轮）啮合处边缘线速度大小相等；齿轮齿数与半径成正比，故角速度（转速）与齿数（半径）成反比，且相邻齿轮转向相反（如图5）。 图5　齿轮啮合传动：相邻齿轮接触边缘线速度大小相等、转向相反，转速与半径（齿数）成反比 4．变速圆周的合加速度与易混点：变速圆周运动的合加速度不严格指向圆心，可分解为向心分量an（只改方向）和切向分量at（只改大小），如图3。注意辨析：a大并不意味着v大；半径r大时a不一定大——若v一定（皮带边缘）则r大a反而小，若ω一定（同轴）则r大a才大。 5．典型例题示范：【例】皮带传动中主动轮半径R＝20 cm、从动轮半径r＝10 cm，两轮边缘线速度相等，求两轮边缘向心加速度之比。【解析】v相同，由 a＝v²/r 知 a∝1/r，故 a主：a从＝r：R＝10：20＝1：2，半径大的轮边缘向心加速度反而小。 ▎重难诠释 ①公式对匀速、变速圆周均适用（瞬时值）；一般曲线取曲率圆，a＝v²/ρ； ②同轴（同转轴）：ω、T相同，v＝ωr、a＝ω²r 均与r成正比； ③皮带/链条/齿轮/摩擦传动（不打滑）：接触边缘v大小相等，ω＝v/r、a＝v²/r 均与r成反比；齿轮相邻转向相反； ④变速圆周合加速度＝向心分量（改方向）＋切向分量（改大小）；a大≠v大，r大a不一定大（先看v定还是ω定）。 考向一　向心加速度方向与Δv理解（Δv矢量差·指向圆心·与v垂直·指向圆周圆心非几何中心·a大小与v/r/ω关系辨析） 1．如图所示，做匀速圆周运动的质点在一段时间t内先后通过A、B两点，转过角度为Δθ，已知转动半径为r，则该过程中（　　） A．转过的弧长Δs=(1)/(2)Δθr² B．转动线速度v=(Δθ)/(t) C．质点在A点处的加速度a=(rΔθ²)/(t²) D．速度变化量为0 【答案】C 【详解】 A、转过角度为Δθ，已知转动半径为r，弧长Δs＝rΔθ，故A错误； B、(Δθ)/(t)是角速度ω，线速度v＝ωr=(Δθ⋅r)/(t)，故B错误； C、角速度ω=(Δθ)/(t)，向心加速度a＝ω²r，解得a=(rΔθ²)/(t²)，故C正确； D、速度为矢量，A、B两点速度方向不同，速度变化量不为0，故D错误。 故选：C。 2．一个地球仪绕与其“赤道面”垂直的“地轴”匀速转动的示意图如图所示。P点和Q点位于同一条“经线”上、Q点和M点位于“赤道”上，O为球心。下列说法正确的是（　　） A．P、M的周期相等 B．P、Q的线速度大小相等 C．P的向心加速度方向指向O D．P、Q的向心加速度大小相等 【答案】A 【详解】 A．P、Q、M三点同轴转动，角速度大小相等，由T=(2π)/(ω)可知，三点周期相等，故A正确。 BD．各点做圆周运动的半径为各点到地轴的垂直距离，并非到球心的距离。根据线速度公式v＝ωr、向心加速度公式a＝ω²r，由于三点角速度相同，半径rP＜rQ，可得vP＜vQ，aP＜aQ，故BD错误。 C．向心加速度指向圆周运动的圆心，P点圆周运动的圆心是P向地轴作垂线的垂足，不是指向O，故C错误。 故选：A。 3．如图是旋转的陀螺，关于某时刻陀螺上各点的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．线速度大小和方向都相同 B．向心加速度方向沿各点切线方向 C．角速度大小相同 D．向心加速度大小相同 【答案】C 【详解】 A、陀螺上不同位置的点，到转轴的距离不同，线速度的大小不同，故A错误； B、向心加速度的方向总是指向圆周运动的圆心，故B错误； C、对于同一个绕固定轴转动的刚体，其上所有点的角速度大小和方向都是相同的，故C正确； D、向心加速度公式为a＝ω²r，角速度大小相同，旋转半径不同，加速度大小不同，故D错误； 故选：C。 4．甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，以下哪种情况中乙物体的向心加速度比甲物体的向心加速度大（　　） A．它们的线速度相等，甲的半径小 B．它们的周期相等，甲的半径大 C．它们的线速度相等，在相同时间内甲与圆心的连线扫过的角度比乙的大 D．它们的角速度相等，在相同时间内甲走过的弧长比乙的小 【答案】D 【详解】 A．它们的线速度相等，甲的半径小，根据a=(v²)/(r)，可知乙物体的加速度比甲物体的向心加速度小，故A错误； B．它们的周期相等，甲的半径大，a=(4π²)/(T²)r，可知乙物体的加速度比甲物体的向心加速度小，故B错误； C．它们的线速度相等，在相同时间内甲与圆心的连线扫过的角度比乙的大，根据a=vω=(θ)/(Δt)v，可知乙物体的加速度比甲物体的向心加速度小，故C错误； D．它们的角速度相等，在相同时间内甲走过的弧长比乙的小，根据a=vω=(l)/(Δt)ω，可知乙物体的加速度比甲物体的向心加速度大，故D正确。 故选：D。 5．如图所示，甲、乙两同学握住绳子A、B两端摇动（A、B近似不动），绳子绕AB连线在空中转到图示位置时，则有关绳上P、Q两质点运动情况，说法正确的是（　　） A．P的线速度大于Q的线速度 B．P的线速度等于Q的线速度 C．P的向心加速度小于Q的向心加速度 D．P的向心加速度大于Q的向心加速度 【答案】C 【详解】 AB、绳子上的各点同轴转动，角速度ω相等，由图示可知：rP＜rQ，由v＝ωr可知：vp＜vQ，故AB错误； CD、角速度相等，由图示可知：rP＜rQ，由a＝ω²r可知：aP＜aQ，故C正确，D错误。 故选：C。 考向二　向心加速度公式定量计算（a＝v²/r＝ω²r＝ωv·由n/ω/r求a·频闪轨迹·a＝vω比·最低点a与压力） 6．某同学骑共享单车在水平路面上转弯，为保持平衡，他主动将身体向弯道内侧倾斜。若自行车转弯半径为12m，速度为6m/s，则自行车转弯所需的向心加速度大小约为（　　） A．1.5m/s² B．2.0m/s² C．3.0m/s² D．4.5m/s² 【答案】C 【详解】 已知转弯半径r＝12m，速度v＝6m/s，自行车转弯可看作圆周运动，所需向心加速度大小满足a=(v²)/(r) 代入数据解得a＝3m/s² 故C正确，ABD错误。 故选：C。 7．同学们洗完手后经常会做甩手的动作，如图1拍摄了甩手的轨迹图，A，B，C是甩手动作最后3帧照片指尖的位置，测得A、B之间的距离为26cm，已知相邻两帧的时间间隔为0.04s，BM长度为51cm，BN长度为17cm，g＝10m/s²，图2是过程分析图，则指尖在B点的向心加速度约为（　　） A．5g B．8g C．15g D．25g 【答案】D 【详解】 因运动时间Δt很小，则vB≈vAB=(ΔxAB)/(Δt)=(26×10⁻²)/(0.04)m/s＝6.5m/s， 圆周运动半径r＝BN＝17cm＝0.17m，向心加速度a=(vB²)/(r)=(6.5²)/(0.17)m/s²≈248.5m/s²≈250m/s²＝25×10m/s²＝25g，故D正确，ABC错误。 故选：D。 8．我国载人航天事业蓬勃发展，第四批航天员选拔工作已完成。航天员为了适应在有载荷的情况下去作业，需要通过如图所示的离心机来训练。若航天员在离心机中训练时，离心机的转速设置为30r/min，臂长设置为8m，则航天员在训练中的线速度大小v及向心加速度大小an分别为（　　） A．v＝6πm/s，an=6π²m/s² B．v＝8πm/s，an=8π²m/s² C．v＝10πm/s，an=10π²m/s² D．v＝12πm/s，an=12π²m/s² 【答案】B 【详解】 由题可知n＝30r/min＝0.5r/s，l＝8m 根据角速度和转速关系ω＝2πn 解得角速度ω＝πrad/s 则线速度v＝ωl，解得v＝8πm/s 向心加速度an=vω，解得an=8π²m/s²，故B正确，ACD错误。 故选：B。 9．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比是3：2，它们的向心加速度之比是（　　） A．1：2 B．2：1 C．8：9 D．9：8 【答案】B 【详解】 A、B两艘快艇做匀速圆周运动，相同的时间内它们通过的路程之比是4：3，结合v=(s)/(t) 代入数据可得线速度之比vA：vB＝4：3； 由于在相同的时间内运动方向改变的角度之比是3：2，它们的角速度之比ωA：ωB＝3：2，由于向心加速度a＝vω，故向心加速度之比为：aA：aB＝（4×3）：（3×2）＝2：1，故B正确，ACD错误。 故选：B。 10．飞机在做俯冲拉起运动时，可以看成是在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若在最低点附近做半径为R＝500m的圆周运动，飞行员的质量m＝60kg，飞机经过最低点P时的速度为v＝100m/s，g取10m/s²，试计算：（1）飞机经过最低点P时，飞机的向心加速度a的大小；（2）飞机经过最低点P时，飞行员对座椅的压力FN的大小和方向。 【答案】（1）向心加速度大小 a＝20 m/s²；（2）飞行员对座椅的压力 FN＝1800 N，方向竖直向下。 【详解】 （1）由题可知，其向心加速度 an=(v²)/(R) 代入数据解得an=20m/s² （2）对飞行员进行受力分析，则飞行员在最低点受重力和座椅的支持力F支，向心力由二者的合力提供，根据牛顿第二定律可得F支﹣mg＝man 代入数据得F支＝1800N 由牛顿第三定律可知FN＝F支＝1800N，方向竖直向下。 （1）飞机经过最低点P时，飞机的向心加速度a的大小等于20m/s²； （2）飞机经过最低点P时，飞行员对座椅的压力大小等于1800N，方向竖直向下。 考向三　传动中向心加速度比较（齿轮/皮带/摩擦边缘v同a∝1/r·同轴ω同a∝r·轮轴复合·定量求比） 11．如图所示，某修正带内大、小齿轮分别嵌合在连接体的大、小轴孔中，并相互咬合进行工作，大、小齿轮的齿数分别为30和15，A、B分别为大齿轮和小齿轮边缘上的点。A、B向心加速度大小之比为（　　） A．1：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 【答案】B 【详解】 由于大、小齿轮的齿大小相等，齿轮的齿数之比等于齿轮的周长之比，而周长与半径成正比，所以齿数之比等于半径之比。已知大齿轮齿数为30，小齿轮齿数为15，可得两轮的半径之比(rA)/(rB)=(2)/(1)=(30)/(15) 根据齿轮咬合传动的特点可知，A、B两点线速度大小相等，即vA＝vB 由向心加速度公式a=(v²)/(r)，可得A、B两点向心加速度大小之比(aA)/(aB)=(vA²rB)/(vB²rA)=1：2，故ACD错误，B正确。 故选：B。 12．如图所示，为一皮带传动装置，右轮半径为r，a点在它边缘上；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。传动过程中皮带不打滑，则（　　） A．a点和d点的线速度大小之比为2：1 B．b点和a点的角速度大小之比为2：1 C．a点和b点的周期大小之比为2：1 D．a点和c点的向心加速度大小之比为2：1 【答案】D 【详解】 A．a点和c点通过皮带传动，线速度大小相等，即va＝vc；c点和d点同轴转动，角速度相等，由v＝ωr可知线速度与半径成正比，可得vc：vd＝rc：rd＝1：2，所以va：vd＝1：2，故A错误。 B．a点和c点线速度大小相等，由v＝ωr可知角速度与半径成反比，可得ωa：ωc＝rc：ra＝2：1；b点和c点同轴转动，角速度相等，即ωb＝ωc，所以ωb：ωa＝1：2，故B错误。 C．由B选项分析可知ωa：ωb＝2：1，由周期公式T=(2π)/(ω)可知周期与角速度成反比，可得Ta：Tb＝1：2，故C错误。 D．a点和c点线速度大小相等，由向心加速度公式an=(v²)/(r)可知线速度一定时向心加速度与半径成反比，可得aa：ac＝rc：ra＝2：1，故D正确。 故选：D。 13．日常骑行的共享单车，其核心传动结构可简化为经典链传动系统：与脚踏板同轴固定的牙盘A、与后轮同轴固定的飞轮B，牙盘与飞轮之间通过金属链条实现无打滑传动。已知牙盘A的半径rA＝5cm，飞轮B的半径rB＝2cm，共享单车后轮C的半径rC＝30cm，某同学平稳骑行时，脚踏板的匀速转动转速为48r/min，则（　　） A．后轮C边缘向心加速度是飞轮B边缘的30倍 B．脚踏板的转动周期为1.5s C．牙盘A与飞轮B的角速度之比为5：2 D．自行车的骑行速度约为4.32πkm/h 【答案】D 【详解】 A、关于链条传动与同轴传动的题，明确传动关系：牙盘A与脚踏板，同轴传动，角速度相同；牙盘A与飞轮B，链条传动（无打滑），边缘线速度相同；飞轮B与后轮C，同轴传动，角速度相同。 飞轮B与后轮C有ωB＝ωC 向心加速度a＝ω²r 所以后轮C边缘与飞轮B边缘的向心加速度之比(aC)/(aB)=(rC)/(rB)=(30cm)/(2cm)=15 故A错误； B、脚踏板与牙盘A同轴转动，角速度相同，转速和周期也相等，因此周期T=(1)/(n)=(1min)/(48)=1.25s 故B错误； C、A与B是链条传动，边缘线速度相等vA＝vB 所以ωArA＝ωBrB 整理得牙盘A与飞轮B的角速度之比(ωA)/(ωB)=(rB)/(rA)=(2)/(5) 故C错误； D、骑行速度等于后轮C边缘的线速度vC＝ωCrC 先求牙盘A角速度ωA=2πn=2πrad×(48)/(60s)=1.6πrad/s 由(ωA)/(ωB)=(2)/(5) 得飞轮B角速度ωB=(5)/(2)ωA=4πrad/s 飞轮B与后轮C同轴转动，角速度相等，有ωC＝ωB＝4πrad/s 后轮边缘线速度vC=ωCrC=4πrad/s×0.3m=1.2πm/s=1.2π×(3600)/(1000)km/h=4.32πkm/h 故D正确。 故选：D。 14．如图，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动。则（　　） A．A、B两点的角速度相等 B．A、C两点的线速度相等 C．B点向心加速度是C点的4倍 D．A点向心加速度是C点的4倍 【答案】C 【详解】 A、A、B两点靠摩擦传动，线速度大小相等，即vA＝vB，根据v＝ωr，由于rA＝2rB，则ωArA＝ωBrB，解得ωB＝2ωA，即B点的角速度是A点的2倍，故A错误； B、A、C两点同轴转动，可知ωA＝ωC，根据v＝ωr，由于rA＝2rC，则vA＝2vC，即A点的线速度是C点的2倍，故B错误； C、设小轮半径为r，对于B、C两点，有 rB＝rC＝r 且 ωB＝2ωA＝2ωC 根据向心加速度公式a＝ω²r，有 aB=ωB²rB=(2ωC)²r=4ωC²r 而 aC=ωC²rC=ωC²r 所以aB＝4aC，即B点向心加速度是C点的4倍，故C正确； D、A、C两点角速度相等，根据a＝ω²r，由于rA＝2rC，则aA＝2aC，即A点向心加速度是C点的2倍，故D错误。 故选C。 15．如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C三点分别在甲、乙、丙三轮边缘上，传动中皮带不打滑。下列结论正确的是（　　） A．A、C两点的线速度大小之比为2：1 B．A、B两点的角速度之比为2：1 C．A、B两点的向心加速度大小之比为2：1 D．A、C两点的向心加速度大小之比为1：4 【答案】D 【详解】 A．乙、丙两轮是同轴转动，B、C两点的角速度相等，根据v＝ωr 可知vC＝2vB 甲、乙两轮是皮带传动，则A、B两点的线速度相等，可知A、C两点的线速度大小之比为1：2，故A错误； B．A、B两点的线速度相等，根据v＝ωr 可知，A、B两点的角速度之比为(ωA)/(ωB)=(rB)/(rA)=(1)/(2)，故B错误； C．根据a＝ωv 可知，A、B两点的向心加速度大小之比为(aA)/(aB)=(ωAvA)/(ωBvB)=(1)/(2)×1=(1)/(2)，故C错误； D．A、C两点的角速度之比为1：2，线速度大小之比为1：2，根据a＝ωv 可知，A、C两点的向心加速度大小之比为1：4，故D正确。 故选：D。 考向四　变速圆周与转速变化、图像综合（两弯道变速a比·改转速各量变化·轻绳穿管图像·变速加速度矢量·同轴+质量合力） 16．“8D城市”重庆的公路很多都是依山而建，如俯视图如图：一汽车在水平面内以速率v做匀速圆周运动通过弯道1，达到A点，从A到B做匀加速直线运动，以2v速率达到B，然后在弯道2做匀速圆周运动。已知两个弯道半径之比r1：r2＝1：2，AB长度为s，则（　　） A．汽车从A到B过程的加速度为(4v²)/(s) B．汽车从A到B过程的加速度为(5v²)/(2s) C．汽车在弯道1和弯道2的向心加速度大小之比等于1：2 D．汽车在弯道1和弯道2的向心加速度大小之比等于2：1 【答案】C 【详解】 AB.已知汽车在A点的速度为v（初速度），在B点的速度为2v（末速度），AB段的位移为s，根据匀变速直线运动的推论有（2v）²﹣v²＝2as，整理后得到a=(3v²)/(2s)，故AB错误； CD.弯道1的线速度为v，半径为r1，因此向心加速度a₁=(v²)/(r₁)，弯道2的线速度为2v，半径为r2，因此向心加速度a₂=((2v)²)/(r₂)=(4v²)/(r₂)，又r1：r2＝1：2，即r2＝2r1，代入比值计算(a₁)/(a₂)=((v²)/(r₁))/((4v²)/(r₂))=(r₂)/(4r₁)=(2r₁)/(4r₁)=(1)/(2)，即两个弯道的向心加速度大小之比为 1：2，故C正确，D错误。 故选：C。 17．如图所示，手持固定装置给转盘上的蛋糕抹奶油，转盘转动可视为做匀速圆周运动，给侧壁抹上3圈奶油后改变转速，相同时间内能抹4圈。蛋糕上A点始终随转盘一起转动，则在这一过程中，关于A点，下列说法正确的是（　　） A．角速度大小变为原来的(3)/(4) B．向心加速度大小变为原来的(4)/(3) C．线速度大小变为原来的(3)/(4) D．周期变为原来的(3)/(4) 【答案】D 【详解】 A、设相同时间为t，角速度ω=(2πn)/(t)，解得(ω₁)/(ω₂)=(n₁)/(n₂)，则ω₂=(n₂)/(n₁)ω₁=(4)/(3)ω₁，故A错误； B、向心加速度an=rω²，则(a₂)/(a₁)=(ω₂²)/(ω₁²)=(n₂²)/(n₁²)=(16)/(9)，解得a₂=(16)/(9)a₁，故B错误； C、根据线速度与角速度的关系v＝rω，可知(v₂)/(v₁)=(ω₂)/(ω₁)=(n₂)/(n₁)=(4)/(3)，解得v₂=(4)/(3)v₁，故C错误； D、根据周期与角速度的关系T=(2π)/(ω)，可知(T₂)/(T₁)=(ω₁)/(ω₂)=(n₁)/(n₂)=(3)/(4)，解得T₂=(3)/(4)T₁，故D正确； 故选：D。 18．如图所示，将一根不可伸长的轻绳穿过光滑空心细管，轻绳两端分别连接小球A、B，其中小球A的质量为m，小球B的质量为2m，将细管置于竖直方向并转动，转动过程中小球A随细管以相同的角速度做匀速圆周运动，O为细管顶端，ω为小球A的角速度，v为小球A的线速度，h为小球A到O点的竖直距离，θ为与小球A连接的细线与竖直方向的夹角，a为小球A向心加速度的大小（选项中的曲线均为双曲线），则下列图像中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 B、小球B保持静止，绳子的拉力大小为T＝2mg，对小球A进行竖直方向的受力分析，由于A竖直方向受力平衡，因此有Tcosθ＝mg，代入T＝2mg，解得：cosθ=(1)/(2)，可知θ为恒定值，不随角速度ω的改变而变化，故B错误； A、小球A做匀速圆周运动的轨道半径为r＝htanθ，A做圆周运动的向心力由水平方向的合力提供，因此有Tsinθ＝mω²r，将T＝2mg、r＝htanθ代入该式，解得：h=(g)/(ω²)，由此可知h与ω²成反比，二者并非线性关系，故A错误； C、根据向心加速度的定义可得a=(F向)/(m)=(Tsinθ)/(m)，由于T和θ均为定值，因此向心加速度a的大小恒定，不随ω的变化而改变，故C错误； D、小球A的线速度满足v＝ωr＝ω•htanθ，结合之前推导得到的h=(g)/(ω²)，解得：v=(gtanθ)/(ω)，说明线速度v与角速度ω成反比，v随ω的增大而减小，因此v﹣ω图像为双曲线，故D正确； 故选：D。 19．一辆汽车在半圆形的赛道上行驶，它在几个位置的速度矢量如图所示，则描述汽车在相应位置的加速度矢量图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由图可知，速度矢量逐渐增大，汽车做加速圆周运动，故合外力方向与速度方向的夹角应小于90°，即加速度与速度夹角小于90°，根据向心加速度的公式a=(v²)/(r)可知，圆周运动的半径不变，速度增大，向心加速度变大，故C正确，ABD错误。 故选：C。 20．如图所示，为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图。已知质量为60kg的学员在A位置，质量为70kg的教练员在B位置，学员和教练员均可视为质点，A的转弯半径为5.0m，B的转弯半径为4.0m，则下列说法正确的是（　　） A．学员和教练员线速度大小之比为4：5 B．学员和教练员周期之比为5：4 C．学员和教练员向心加速度大小之比为4：5 D．学员和教练员受到的合力大小之比为15：14 【答案】D 【详解】 B.学员和教练在同一辆车上绕同一点做匀速圆周运动，因此他们的角速度ω相等，周期也相等。所以学员与教练的周期为1：1，故B错误； A．线速度v＝ωr，所以线速度之比vA：vB＝rA：rB＝5：4，故A错误； C．向心加速度a＝ω²r，所以加速度之比aA：aB＝rA：rB＝5：4，故C错误； D．向心力F＝mω²r，所以合力之比FA：FB＝（mArA）：（mBrB）＝（60×5.0）：（70×4.0）＝15：14，故D正确。 故选：D。 ★ 重难题型专练（15题）★ （精选高频重难题，覆盖同轴刚体各量比较、齿轮/皮带/摩擦传动、转速变化与图像、最低点向心加速度计算等综合） 21．如图所示是某车窗雨刮器示意图，雨刮器由雨刮臂OC和刮水片CB连接构成。雨刮器工作时，OC和CB的夹角保持不变（提示：可将雨刮臂OC和刮水片CB当做一个形状固定的整体，整体在绕O点做圆周运动）。在雨刮臂从右往左转动过程中的某时刻（　　） A．B、C两点角速度不同 B．B、C两点线速度方向均垂直于刮水片CB C．B点比C点的线速度大 D．B点比C点的向心加速度小 【答案】C 【详解】 雨刮臂OC和刮水片CB构成一个形状固定的整体，绕O点转动，属于同轴转动，整体上各点的角速度均相同。 A、由上述分析可知，B、C两点的角速度相同，故A错误； B、B、C两点绕O点做圆周运动，线速度方向分别垂直于各自的转动半径OB和OC，均不垂直于刮水片CB，故B错误； C、由图可知B点到O点的距离大于C点到O点的距离，即B点的转动半径大于C点的转动半径，由于角速度相同，根据v＝ωr可知，B点比C点的线速度大，故C正确； D、根据向心加速度公式a＝ω²r可知，角速度相同，B点的转动半径大于C点的转动半径，则B点的向心加速度比C点大，故D错误。 故选：C。 22．醒狮表演中，舞者操纵狮头，使其在竖直面内绕水平轴O匀速转动，如图所示，质点A、B到O的距离之比为1：2，则质点A、B的（　　） A．角速度大小之比为1：2 B．向心加速度大小之比为1：4 C．线速度大小之比为1：2 D．周期之比为2：1 【答案】C 【详解】 A.质点A、B绕同一轴O匀速转动，属于同轴转动模型，角速度满足ωA＝ωB，二者角速度大小之比为1：1，故A错误； B.向心加速度公式为an=ω²r，因两质点角速度ω相同，向心加速度与转动半径成正比，即aA：aB＝rA：rB＝1：2，故B错误； C.线速度公式为v＝ωr，因两质点角速度ω相同，线速度与转动半径成正比，即vA：vB＝rA：rB＝1：2，故C正确； D.周期与角速度的关系为T=(2π)/(ω)，因两质点角速度ω相同，故周期大小相等，周期之比为1：1，故D错误。 故选：C。 23．手指转球是篮球爱好者炫技的一种形式，如图所示，某同学让篮球在指尖上绕竖直轴匀速转动，则篮球面上A、B两点运动时一定相同的物理量是（　　） A．线速度大小 B．向心加速度大小 C．轨道半径 D．周期 【答案】D 【详解】 A、A和B两点轨道半径不同，由v＝ωr，同轴转动ω相同、r不同，则线速度大小不相等，故A错误； B、由a＝ω²r，ω相同、r不同，则向心加速度大小不相等，故B错误； C、A、B两点到竖直转轴的垂直距离不一样，轨道半径不相等，故C错误； D、同轴转动，角速度ω相等，由T=(2π)/(ω)，周期一定相同，故D正确。 故选：D。 24．齿轮是玩具内部常见的传动装置，某玩具内的齿轮如图所示排列，图中四个齿轮自左向右的编号依次为1、2、3、4，它们的半径之比为2：4：2：3，其中齿轮1是主动轮，沿顺时针方向匀速转动，下列说法正确的是（　　） A．齿轮4沿顺时针方向转动 B．齿轮1边缘与齿轮2边缘的角速度大小之比为1：2 C．齿轮2边缘的向心加速度与齿轮3边缘的向心加速度大小之比为1：2 D．齿轮3的转动周期与齿轮4的转动周期之比为3：2 【答案】C 【详解】 A．齿轮啮合传动时，相邻齿轮转动方向相反。当齿轮1沿顺时针方向匀速转动时，齿轮2沿逆时针方向转动，齿轮3沿顺时针方向转动，所以齿轮4沿逆时针转动，故A错误。 B．齿轮1与齿轮2啮合，两齿轮边缘的线速度大小相等，满足v1＝v2，即ω1r1＝ω2r2。已知半径之比r1：r2＝2：4，解得(ω₁)/(ω₂)=(2)/(1)，故B错误。 C．齿轮2与齿轮3啮合，两齿轮边缘的线速度大小相等。根据a=(v²)/(r)可知，在线速度大小不变的条件下，向心加速度与转动半径成反比。已知半径之比r2：r3＝4：2，可得(a₂)/(a₃)=(1)/(2)，故C正确。 D．齿轮3与齿轮4啮合，两齿轮边缘的线速度大小相等。根据T=(2πr)/(v)可知，线速度不变时，转动周期与半径成正比。已知半径之比r3：r4＝2：3，可得(T₃)/(T₄)=(2)/(3)，故D错误。 故选：C。 25．打陀螺是我国民间一项传统游戏，如图所示为绕自身转轴快速旋转的陀螺，其表面上有A、B两点做圆周运动的半径分别为rA、rB，且rB＝2rA，同一时刻这两点做圆周运动的向心加速度大小分别为aA、aB，则下列关系正确的是（　　） A．aB＝aA B．aB＝2aA C．aB＝4aA D．aB＝8aA 【答案】B 【详解】 因为A、B两点同轴转动，角速度相等，根据a＝ω²r，可得(aA)/(aB)=(rA)/(rB)=(1)/(2)，即aB＝2aA，故B正确，ACD错误。 故选：B。 26．如图是山地车变速系统的结构示意图，不可伸长的链条将牙盘的内盘与飞轮、导轮连接，a、b、c分别是牙盘外盘、飞轮和导轮边缘上的质点，做圆周运动的半径分别为ra、rb、rc，线速度分别为va、vb、vc，角速度分别为ωa、ωb、ωc，向心加速度分别为aa、ab、ac，则（　　） A．va：vb＝1：1 B．vb：vc＝rb：rc C．ωb：ωc＝rc：rb D．ab：ac＝rb：rc 【答案】C 【详解】 A、链条连接的是牙盘的内盘，而a点位于牙盘的外盘边缘，牙盘的内、外盘同轴转动，角速度相等，即ω内＝ωa 根据v＝ωr，由于ra≠r内，且链条传动使得 v内＝vb，所以va≠vb，故A错误； B、飞轮（b）和导轮（c）通过链条连接，属于皮带传动模型，边缘线速度大小相等，即vb＝vc 代入数据可得vb：vc＝1：1，故B错误； C、由vb＝vc可得ωbrb＝ωcrc 代入数据可得ωb：ωc＝rc：rb，故C正确； D、结合向心加速度公式a=(v²)/(r)，由于vb＝vc 代入数据可得ab：ac=(1)/(rb)：(1)/(rc)=rc：rb，故D错误。 故选：C。 27．如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的线速度相同 B．a、b两点的角速度相同 C．a、b两点的向心加速度大小相等 D．若θ＝45°，则a、b两点的周期之比Ta：Tb=：2 【答案】B 【详解】 BD、球上所有的点都属于同轴转动，故a、b两点角速度相等，结合角速度与周期的关系ω=(2π)/(T)，两点的周期也相等，即Ta：Tb＝1：1，故B正确，D错误； AC、由题图可知ra＜rb，则由v＝ωr和a＝ω²r 可知va＜vb，aa＜ab，故AC错误。 故选：B。 28．在能源日趋紧张的局势下，我国大力发展清洁可持续的新能源。如图所示，为常见的风力发电机，其叶片长度可达60米，在风力的作用下使叶片绕中心轴作匀速圆周运动，A、B是叶片上两点，若用ω、v、T、a分别表示角速度、线速度、周期、向心加速度的大小。下列说法正确的是（　　） A．ωA＞ωB B．vA＝vB C．aA＞aB D．TA＜TB 【答案】C 【详解】 A．A、B两点在同一叶片，同轴转动的所有点角速度ω相等，故A错误； B．线速度v＝ωr，由图可知A的转动半径rA＞rB，ω相等，因此vA＞vB，故B错误； C．向心加速度a＝ω²r，ω相等，rA＞rB，因此aA＞aB，故C正确， D．根据周期T=(2π)/(ω)可得，因为ω相等，故TA＝TB，故D错误。 故选：C。 29．如图所示，老师手持教鞭绕端点O点做匀速圆周运动，教鞭上A、B两点与O点的距离满足AO：BO＝4：5。则A、B两点的向心加速度大小之比为（　　） A．1：1 B．4：5 C．5：4 D．16：25 【答案】B 【详解】 教鞭绕端点O做匀速圆周运动，A、B两点属于同轴转动，因此A、B两点的角速度大小完全相等。 由向心加速度公式an=ω²r，可知A、B两点的向心加速度大小之比(aA)/(aB)=(ω²AO)/(ω²BO)=(AO)/(BO)=(4)/(5)，故ACD错误，B正确。 故选：B。 30．某景区的仿古水车在水流的带动下，始终在竖直面内保持匀速率圆周运动。如图所示，O点是水车圆盘的圆心，A、B位于圆盘上两个不同的质点，且半径OA与OB之间的夹角∠AOB＝30°，AB⊥OB，则质点A和B的（　　） A．角速度大小之比为2： B．线速度大小之比为2： C．向心加速度大小之比为：2 D．向心力大小之比为：2 【答案】B 【详解】 A.由于A和B两个不同的质点在同一水车圆盘上同轴转动，角速度大小相等，即ωA：ωB＝1：1，故A错误； B.由题意可知，△OAB为直角三角形（直角在B点），∠AOB＝30°，因此cos30°=(rB)/(rA)，解得(rA)/(rB)=(1)/(cos30°)=(2)/()，线速度满足v＝ωr，ω相同，因此(vA)/(vB)=(rA)/(rB)=(2)/()，故B正确； C.向心加速度满足a＝ω²r，ω相同，因此(aA)/(aB)=(rA)/(rB)=(2)/()，故C错误； D.向心力满足 F＝ma，题目未给出A、B的质量关系，无法确定向心力之比，故D错误。 故选：B。 31．陶瓷是中华瑰宝，是中华文明的重要名片。在陶瓷制作过程中有一道工序叫利坯，如图a所示。将陶瓷粗坯固定在绕竖直轴转动的水平转台上，用刀旋削，使坯体厚度适当，表里光洁。对应的简化模型如图b所示，粗坯的对称轴与转台转轴OO′重合。若粗坯上P质点到转轴的距离是Q质点到转轴的距离的2倍，当转台转速恒定时，下列说法正确的是（　　） A．P的周期是Q的2倍 B．P的角速度是Q的2倍 C．P的线速度大小是Q的2倍 D．P的加速度大小是Q的4倍 【答案】C 【详解】 B.P、Q两点共轴转动，所以角速度相等，故B错误； A.根据T=(2π)/(ω)，P、Q两点角速度相同，故周期也相同，故A错误； C.根据v＝ωr，线速度与半径成正比，故P的线速度大小是Q的2倍，故C正确； D.根据a＝rω²，加速度与半径成正比，故P的加速度大小是Q的2倍，故D错误； 故选：C。 32．抛石机是一种利用杠杆原理发射石块的古代武器。抛石机工作时去掉活钩，在配重的作用下使抛杆绕轴转动，最后将石块抛出。如图所示，挂配重的C点和A点到轴的距离相等，B点到轴的距离等于A点到轴距离的3倍。在抛杆转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．B点的线速度大小等于A点的线速度大小 B．B点的线速度大小等于C点的线速度大小 C．B点的角速度是A点的角速度的3倍 D．B点向心加速度大小是C点向心加速度大小的3倍 【答案】D 【详解】 由图可知A点、B点、C点同轴转动，角速度相同。 A、(vB)/(vA)=(ωBrB)/(ωArA)=(rB)/(rA)=(3)/(1)，故A错误； B、(vB)/(vC)=(ωBrB)/(ωCrC)=(rB)/(rC)=(3)/(1)，故B错误； C、ωB＝ωA，故C错误； D、(aB)/(aC)=(ωB²rB)/(ωC²rC)=(rB)/(rC)=(3)/(1)，故D正确。 故选：D。 33．2026年春节联欢晚会中人机共舞节目《武BOT》表演了棍术。如图所示，用于表演的棍上O、P、Q三点共线，P为OQ的中点。假设O点不动，棍绕O点匀速转动，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两点的角速度之比是1：2 B．P、Q两点的线速度大小之比是1：2 C．P、Q两点的周期之比是1：2 D．P、Q两点的向心加速度大小之比是1：1 【答案】B 【详解】 AC．棍绕O点匀速转动时，P、Q两点相对静止绕同一轴转动，两者的角速度相等，即ωP＝ωQ，则角速度之比为1：1；周期：T=(2π)/(ω)，ω相同则周期相同，周期之比为1：1，故AC错误； B．P是OQ中点，因此转动半径满足：rQ＝2rP 由线速度与角速度的关系：v＝ωr，ω相同，可得vP：vQ＝rP：rQ＝1：2，故B正确； D．向心加速度公式：a＝ω²r，ω相同，可得aP：aQ＝1：2，故D错误。 故选：B。 34．如图所示，玩具饮水小鸭的主体会绕着O点不停饮水和起身，A、B和C为饮水小鸭主体上的三个点，AO和BO均大于CO，下列说法正确的是（　　） A．A、B两点的角速度相等 B．A、C两点的线速度相等 C．A点的向心加速度小于C点的向心加速度 D．A、B、C三点在相等的时间内通过的弧长相等 【答案】A 【详解】 A、抓住A、B、C三点属于同轴转动，各点的角速度相同，故A正确； B、线速度v＝ωr，A点半径AO大于C点半径CO，故vA＞vC，故B错误； C、向心加速度a＝ω²r，A点半径AO大于C点半径CO，故aA＞aC，故C错误； D、相等时间内通过的弧长Δs＝ωrΔt，与半径成正比，A、B、C三点半径不同，弧长不相等，故D错误。 故选：A。 35．如图所示，长度为L＝10m的绳，系一小球在竖直面内做圆周运动，小球的质量为m＝2kg，小球半径不计，小球在通过最低点时的速度大小为v＝30m/s，试求：（1）小球在最低点的向心加速度大小；（2）小球在最低点所受绳的拉力大小。 【答案】（1）小球在最低点的向心加速度大小 a＝90 m/s²；（2）小球在最低点所受绳的拉力 T＝200 N。 【详解】 （1）小球在最低点的向心加速度大小 a=(v²)/(L)，代入数据得a＝90m/s² （2）根据牛顿第二定律 T﹣mg＝ma 解得 T＝200N （1）小球在最低点的向心加速度大小90m/s²； （2）小球在最低点所受绳的拉力大小200N。 重难突破系列　|　人教版高中物理必修二　|　6.3 向心加速度 — — 学科网（北京）股份有限公司 $专题讲义 人教版高中物理必修第二册 人教版·高中物理必修第二册 6.3　向心加速度【单元复习】 （原卷版） 人教版高中物理必修第二册　|　第六章《圆周运动》　|　单元复习提优　|　建议用时 60 分钟　|　难度：★★★☆☆ ▎学习目标 1．知道速度变化量Δv＝v末−v初是矢量差：匀速圆周运动中用矢量三角形（平移法）分析，当Δt→0时Δv的方向沿半径指向圆心；向心加速度方向始终沿半径指向圆心、与线速度v垂直，描述的是线速度方向变化的快慢； 2．掌握向心加速度大小公式 a＝v²/r＝ω²r＝ωv＝4π²r/T²＝4π²f²r，并会结合 v＝ωr 进行线速度、角速度、周期、频率间的换算与定量计算； 3．知道向心加速度公式对匀速圆周运动和变速圆周运动都适用（瞬时值）；对一般曲线运动，取该点曲率半径ρ，有 a＝v²/ρ； 4．掌握传动问题：同轴（同转轴）转动ω相同、a与r成正比；皮带/链条/齿轮/摩擦传动接触边缘v相同、a与r成反比；理解变速圆周运动的合加速度可分解为向心分量（改方向）与切向分量（改大小），并辨清“a大≠v大、r大a不一定大”。 【思维导图】 向心加速度 Δv与方向 Δv＝v末−v初·矢量三角形平移法 Δt→0时Δv沿半径指向圆心 a沿半径指圆心·与v垂直 描述线速度方向变化快慢 向心加速度 公式 a＝v²/r＝ω²r a＝ωv a＝4π²r/T²＝4π²f²r v＝ωr 联立换算 向心加速度 传动 同轴：ω同·a∝r 皮带/齿轮/摩擦边缘：v同·a∝1/r 齿轮齿数∝r·相邻转向相反 自行车：牙盘链条飞轮·飞轮同轴后轮 向心加速度 变速曲线 匀速圆周：切向分量为0 变速圆周：向心分量+切向分量 一般曲线：曲率圆 a＝v²/ρ a大≠v大·r大a不一定大 考点一　Δv与向心加速度：方向、概念与计算公式 1．速度变化量Δv与方向的推导：做匀速圆周运动的物体，在一段时间Δt内由A运动到B，速度分别为vA、vB。速度变化量Δv＝vB−vA是矢量差：把vA、vB的起点平移到同一点，由vA末端指向vB末端的有向线段即为Δv。当Δt→0时，圆心角Δθ→0，由矢量三角形可知Δv的方向沿半径指向圆心（如图1）。 2．向心加速度的方向与物理意义：由 a＝Δv/Δt 知，向心加速度的方向与Δv相同，即沿半径指向圆心，始终与线速度v垂直（如图1）。它只改变线速度的方向、不改变线速度的大小，是描述线速度方向变化快慢的物理量。注意：向心加速度指向的是该质点所在圆周的圆心（绕地轴转动时为到地轴垂线的垂足），不一定指向几何体的中心O。 图1　地球绕地轴转动：P、Q、M各点绕各自圆周（圆心为到地轴垂线的垂足）转动，向心加速度垂直指向地轴，并非指向球心O 3．向心加速度的大小公式：由定义及 v＝ωr、ω＝2π/T＝2πf 可推得向心加速度大小 a＝v²/r＝ω²r＝ωv＝4π²r/T²＝4π²f²r（如图2）。已知其中任意两个量即可求其余各量：线速度一定时a与r成反比，角速度一定时a与r成正比。 图2　向心加速度表达式汇总：an＝v²/r（对应线速度）＝ω²r（对应角速度）＝ωv（推导式）＝4π²r/T²（对应周期）＝4π²f²r（对应频率） 4．典型例题示范：【例】汽车转弯半径r＝12 m，速度v＝6 m/s，求转弯所需向心加速度大小。【解析】汽车转弯可视为圆周运动，所需向心加速度 a＝v²/r＝6²/12＝36/12＝3 m/s²，方向沿水平方向指向弯道圆心。 ▎重难诠释 ①Δv＝v末−v初为矢量差，Δt→0时Δv沿半径指向圆心；向心加速度方向与Δv同向、与v垂直； ②向心加速度只改速度方向不改大小，描述方向变化快慢；指向圆周圆心，不一定指向几何体中心； ③a＝v²/r＝ω²r＝ωv＝4π²r/T²＝4π²f²r，配合 v＝ωr 换算； ④线速度v一定时a∝1/r，角速度ω一定时a∝r。 考点二　适用范围、传动装置比较与变速圆周运动 1．适用范围与一般曲线运动：向心加速度公式对匀速圆周运动和变速圆周运动都适用（所求为瞬时值）。对一般曲线运动，可把曲线分割成许多小段，每段近似看成某一半径为ρ的圆弧（曲率圆），则该点的向心分加速度为 a＝v²/ρ。 图3　变速圆周运动：速度v沿切线，合加速度a分解为沿法线指向圆心的向心分量an（改方向）与沿切线方向的切向分量at（改大小）；匀速圆周时at＝0 2．同轴转动与皮带传动：绕同一转轴转动的各点角速度ω、周期T相同，由 a＝ω²r 知向心加速度与半径r成正比（r大a大）。皮带（链条）不打滑时，皮带与轮边缘接触处无相对滑动，两轮边缘线速度v大小相等，由 a＝v²/r 知向心加速度与半径成反比（如图4）。 图4　皮带传动：电动机皮带轮A与机器皮带轮B由皮带相连且不打滑，两轮边缘线速度v大小相等，角速度与半径成反比 3．齿轮啮合传动：两齿轮（或摩擦轮）啮合处边缘线速度大小相等；齿轮齿数与半径成正比，故角速度（转速）与齿数（半径）成反比，且相邻齿轮转向相反（如图5）。 图5　齿轮啮合传动：相邻齿轮接触边缘线速度大小相等、转向相反，转速与半径（齿数）成反比 4．变速圆周的合加速度与易混点：变速圆周运动的合加速度不严格指向圆心，可分解为向心分量an（只改方向）和切向分量at（只改大小），如图3。注意辨析：a大并不意味着v大；半径r大时a不一定大——若v一定（皮带边缘）则r大a反而小，若ω一定（同轴）则r大a才大。 5．典型例题示范：【例】皮带传动中主动轮半径R＝20 cm、从动轮半径r＝10 cm，两轮边缘线速度相等，求两轮边缘向心加速度之比。【解析】v相同，由 a＝v²/r 知 a∝1/r，故 a主：a从＝r：R＝10：20＝1：2，半径大的轮边缘向心加速度反而小。 ▎重难诠释 ①公式对匀速、变速圆周均适用（瞬时值）；一般曲线取曲率圆，a＝v²/ρ； ②同轴（同转轴）：ω、T相同，v＝ωr、a＝ω²r 均与r成正比； ③皮带/链条/齿轮/摩擦传动（不打滑）：接触边缘v大小相等，ω＝v/r、a＝v²/r 均与r成反比；齿轮相邻转向相反； ④变速圆周合加速度＝向心分量（改方向）＋切向分量（改大小）；a大≠v大，r大a不一定大（先看v定还是ω定）。 考向一　向心加速度方向与Δv理解（Δv矢量差·指向圆心·与v垂直·指向圆周圆心非几何中心·a大小与v/r/ω关系辨析） 1．如图所示，做匀速圆周运动的质点在一段时间t内先后通过A、B两点，转过角度为Δθ，已知转动半径为r，则该过程中（　　） A．转过的弧长Δs=(1)/(2)Δθr² B．转动线速度v=(Δθ)/(t) C．质点在A点处的加速度a=(rΔθ²)/(t²) D．速度变化量为0 2．一个地球仪绕与其“赤道面”垂直的“地轴”匀速转动的示意图如图所示。P点和Q点位于同一条“经线”上、Q点和M点位于“赤道”上，O为球心。下列说法正确的是（　　） A．P、M的周期相等 B．P、Q的线速度大小相等 C．P的向心加速度方向指向O D．P、Q的向心加速度大小相等 3．如图是旋转的陀螺，关于某时刻陀螺上各点的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．线速度大小和方向都相同 B．向心加速度方向沿各点切线方向 C．角速度大小相同 D．向心加速度大小相同 4．甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，以下哪种情况中乙物体的向心加速度比甲物体的向心加速度大（　　） A．它们的线速度相等，甲的半径小 B．它们的周期相等，甲的半径大 C．它们的线速度相等，在相同时间内甲与圆心的连线扫过的角度比乙的大 D．它们的角速度相等，在相同时间内甲走过的弧长比乙的小 5．如图所示，甲、乙两同学握住绳子A、B两端摇动（A、B近似不动），绳子绕AB连线在空中转到图示位置时，则有关绳上P、Q两质点运动情况，说法正确的是（　　） A．P的线速度大于Q的线速度 B．P的线速度等于Q的线速度 C．P的向心加速度小于Q的向心加速度 D．P的向心加速度大于Q的向心加速度 考向二　向心加速度公式定量计算（a＝v²/r＝ω²r＝ωv·由n/ω/r求a·频闪轨迹·a＝vω比·最低点a与压力） 6．某同学骑共享单车在水平路面上转弯，为保持平衡，他主动将身体向弯道内侧倾斜。若自行车转弯半径为12m，速度为6m/s，则自行车转弯所需的向心加速度大小约为（　　） A．1.5m/s² B．2.0m/s² C．3.0m/s² D．4.5m/s² 7．同学们洗完手后经常会做甩手的动作，如图1拍摄了甩手的轨迹图，A，B，C是甩手动作最后3帧照片指尖的位置，测得A、B之间的距离为26cm，已知相邻两帧的时间间隔为0.04s，BM长度为51cm，BN长度为17cm，g＝10m/s²，图2是过程分析图，则指尖在B点的向心加速度约为（　　） A．5g B．8g C．15g D．25g 8．我国载人航天事业蓬勃发展，第四批航天员选拔工作已完成。航天员为了适应在有载荷的情况下去作业，需要通过如图所示的离心机来训练。若航天员在离心机中训练时，离心机的转速设置为30r/min，臂长设置为8m，则航天员在训练中的线速度大小v及向心加速度大小an分别为（　　） A．v＝6πm/s，an=6π²m/s² B．v＝8πm/s，an=8π²m/s² C．v＝10πm/s，an=10π²m/s² D．v＝12πm/s，an=12π²m/s² 9．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比是3：2，它们的向心加速度之比是（　　） A．1：2 B．2：1 C．8：9 D．9：8 10．飞机在做俯冲拉起运动时，可以看成是在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若在最低点附近做半径为R＝500m的圆周运动，飞行员的质量m＝60kg，飞机经过最低点P时的速度为v＝100m/s，g取10m/s²，试计算：（1）飞机经过最低点P时，飞机的向心加速度a的大小；（2）飞机经过最低点P时，飞行员对座椅的压力FN的大小和方向。 考向三　传动中向心加速度比较（齿轮/皮带/摩擦边缘v同a∝1/r·同轴ω同a∝r·轮轴复合·定量求比） 11．如图所示，某修正带内大、小齿轮分别嵌合在连接体的大、小轴孔中，并相互咬合进行工作，大、小齿轮的齿数分别为30和15，A、B分别为大齿轮和小齿轮边缘上的点。A、B向心加速度大小之比为（　　） A．1：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 12．如图所示，为一皮带传动装置，右轮半径为r，a点在它边缘上；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。传动过程中皮带不打滑，则（　　） A．a点和d点的线速度大小之比为2：1 B．b点和a点的角速度大小之比为2：1 C．a点和b点的周期大小之比为2：1 D．a点和c点的向心加速度大小之比为2：1 13．日常骑行的共享单车，其核心传动结构可简化为经典链传动系统：与脚踏板同轴固定的牙盘A、与后轮同轴固定的飞轮B，牙盘与飞轮之间通过金属链条实现无打滑传动。已知牙盘A的半径rA＝5cm，飞轮B的半径rB＝2cm，共享单车后轮C的半径rC＝30cm，某同学平稳骑行时，脚踏板的匀速转动转速为48r/min，则（　　） A．后轮C边缘向心加速度是飞轮B边缘的30倍 B．脚踏板的转动周期为1.5s C．牙盘A与飞轮B的角速度之比为5：2 D．自行车的骑行速度约为4.32πkm/h 14．如图，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动。则（　　） A．A、B两点的角速度相等 B．A、C两点的线速度相等 C．B点向心加速度是C点的4倍 D．A点向心加速度是C点的4倍 15．如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C三点分别在甲、乙、丙三轮边缘上，传动中皮带不打滑。下列结论正确的是（　　） A．A、C两点的线速度大小之比为2：1 B．A、B两点的角速度之比为2：1 C．A、B两点的向心加速度大小之比为2：1 D．A、C两点的向心加速度大小之比为1：4 考向四　变速圆周与转速变化、图像综合（两弯道变速a比·改转速各量变化·轻绳穿管图像·变速加速度矢量·同轴+质量合力） 16．“8D城市”重庆的公路很多都是依山而建，如俯视图如图：一汽车在水平面内以速率v做匀速圆周运动通过弯道1，达到A点，从A到B做匀加速直线运动，以2v速率达到B，然后在弯道2做匀速圆周运动。已知两个弯道半径之比r1：r2＝1：2，AB长度为s，则（　　） A．汽车从A到B过程的加速度为(4v²)/(s) B．汽车从A到B过程的加速度为(5v²)/(2s) C．汽车在弯道1和弯道2的向心加速度大小之比等于1：2 D．汽车在弯道1和弯道2的向心加速度大小之比等于2：1 17．如图所示，手持固定装置给转盘上的蛋糕抹奶油，转盘转动可视为做匀速圆周运动，给侧壁抹上3圈奶油后改变转速，相同时间内能抹4圈。蛋糕上A点始终随转盘一起转动，则在这一过程中，关于A点，下列说法正确的是（　　） A．角速度大小变为原来的(3)/(4) B．向心加速度大小变为原来的(4)/(3) C．线速度大小变为原来的(3)/(4) D．周期变为原来的(3)/(4) 18．如图所示，将一根不可伸长的轻绳穿过光滑空心细管，轻绳两端分别连接小球A、B，其中小球A的质量为m，小球B的质量为2m，将细管置于竖直方向并转动，转动过程中小球A随细管以相同的角速度做匀速圆周运动，O为细管顶端，ω为小球A的角速度，v为小球A的线速度，h为小球A到O点的竖直距离，θ为与小球A连接的细线与竖直方向的夹角，a为小球A向心加速度的大小（选项中的曲线均为双曲线），则下列图像中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 19．一辆汽车在半圆形的赛道上行驶，它在几个位置的速度矢量如图所示，则描述汽车在相应位置的加速度矢量图正确的是（　　） A． B． C． D． 20．如图所示，为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图。已知质量为60kg的学员在A位置，质量为70kg的教练员在B位置，学员和教练员均可视为质点，A的转弯半径为5.0m，B的转弯半径为4.0m，则下列说法正确的是（　　） A．学员和教练员线速度大小之比为4：5 B．学员和教练员周期之比为5：4 C．学员和教练员向心加速度大小之比为4：5 D．学员和教练员受到的合力大小之比为15：14 ★ 重难题型专练（15题）★ （精选高频重难题，覆盖同轴刚体各量比较、齿轮/皮带/摩擦传动、转速变化与图像、最低点向心加速度计算等综合） 21．如图所示是某车窗雨刮器示意图，雨刮器由雨刮臂OC和刮水片CB连接构成。雨刮器工作时，OC和CB的夹角保持不变（提示：可将雨刮臂OC和刮水片CB当做一个形状固定的整体，整体在绕O点做圆周运动）。在雨刮臂从右往左转动过程中的某时刻（　　） A．B、C两点角速度不同 B．B、C两点线速度方向均垂直于刮水片CB C．B点比C点的线速度大 D．B点比C点的向心加速度小 22．醒狮表演中，舞者操纵狮头，使其在竖直面内绕水平轴O匀速转动，如图所示，质点A、B到O的距离之比为1：2，则质点A、B的（　　） A．角速度大小之比为1：2 B．向心加速度大小之比为1：4 C．线速度大小之比为1：2 D．周期之比为2：1 23．手指转球是篮球爱好者炫技的一种形式，如图所示，某同学让篮球在指尖上绕竖直轴匀速转动，则篮球面上A、B两点运动时一定相同的物理量是（　　） A．线速度大小 B．向心加速度大小 C．轨道半径 D．周期 24．齿轮是玩具内部常见的传动装置，某玩具内的齿轮如图所示排列，图中四个齿轮自左向右的编号依次为1、2、3、4，它们的半径之比为2：4：2：3，其中齿轮1是主动轮，沿顺时针方向匀速转动，下列说法正确的是（　　） A．齿轮4沿顺时针方向转动 B．齿轮1边缘与齿轮2边缘的角速度大小之比为1：2 C．齿轮2边缘的向心加速度与齿轮3边缘的向心加速度大小之比为1：2 D．齿轮3的转动周期与齿轮4的转动周期之比为3：2 25．打陀螺是我国民间一项传统游戏，如图所示为绕自身转轴快速旋转的陀螺，其表面上有A、B两点做圆周运动的半径分别为rA、rB，且rB＝2rA，同一时刻这两点做圆周运动的向心加速度大小分别为aA、aB，则下列关系正确的是（　　） A．aB＝aA B．aB＝2aA C．aB＝4aA D．aB＝8aA 26．如图是山地车变速系统的结构示意图，不可伸长的链条将牙盘的内盘与飞轮、导轮连接，a、b、c分别是牙盘外盘、飞轮和导轮边缘上的质点，做圆周运动的半径分别为ra、rb、rc，线速度分别为va、vb、vc，角速度分别为ωa、ωb、ωc，向心加速度分别为aa、ab、ac，则（　　） A．va：vb＝1：1 B．vb：vc＝rb：rc C．ωb：ωc＝rc：rb D．ab：ac＝rb：rc 27．如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的线速度相同 B．a、b两点的角速度相同 C．a、b两点的向心加速度大小相等 D．若θ＝45°，则a、b两点的周期之比Ta：Tb=：2 28．在能源日趋紧张的局势下，我国大力发展清洁可持续的新能源。如图所示，为常见的风力发电机，其叶片长度可达60米，在风力的作用下使叶片绕中心轴作匀速圆周运动，A、B是叶片上两点，若用ω、v、T、a分别表示角速度、线速度、周期、向心加速度的大小。下列说法正确的是（　　） A．ωA＞ωB B．vA＝vB C．aA＞aB D．TA＜TB 29．如图所示，老师手持教鞭绕端点O点做匀速圆周运动，教鞭上A、B两点与O点的距离满足AO：BO＝4：5。则A、B两点的向心加速度大小之比为（　　） A．1：1 B．4：5 C．5：4 D．16：25 30．某景区的仿古水车在水流的带动下，始终在竖直面内保持匀速率圆周运动。如图所示，O点是水车圆盘的圆心，A、B位于圆盘上两个不同的质点，且半径OA与OB之间的夹角∠AOB＝30°，AB⊥OB，则质点A和B的（　　） A．角速度大小之比为2： B．线速度大小之比为2： C．向心加速度大小之比为：2 D．向心力大小之比为：2 31．陶瓷是中华瑰宝，是中华文明的重要名片。在陶瓷制作过程中有一道工序叫利坯，如图a所示。将陶瓷粗坯固定在绕竖直轴转动的水平转台上，用刀旋削，使坯体厚度适当，表里光洁。对应的简化模型如图b所示，粗坯的对称轴与转台转轴OO′重合。若粗坯上P质点到转轴的距离是Q质点到转轴的距离的2倍，当转台转速恒定时，下列说法正确的是（　　） A．P的周期是Q的2倍 B．P的角速度是Q的2倍 C．P的线速度大小是Q的2倍 D．P的加速度大小是Q的4倍 32．抛石机是一种利用杠杆原理发射石块的古代武器。抛石机工作时去掉活钩，在配重的作用下使抛杆绕轴转动，最后将石块抛出。如图所示，挂配重的C点和A点到轴的距离相等，B点到轴的距离等于A点到轴距离的3倍。在抛杆转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．B点的线速度大小等于A点的线速度大小 B．B点的线速度大小等于C点的线速度大小 C．B点的角速度是A点的角速度的3倍 D．B点向心加速度大小是C点向心加速度大小的3倍 33．2026年春节联欢晚会中人机共舞节目《武BOT》表演了棍术。如图所示，用于表演的棍上O、P、Q三点共线，P为OQ的中点。假设O点不动，棍绕O点匀速转动，下列说法正确的是（　　） A．P、Q两点的角速度之比是1：2 B．P、Q两点的线速度大小之比是1：2 C．P、Q两点的周期之比是1：2 D．P、Q两点的向心加速度大小之比是1：1 34．如图所示，玩具饮水小鸭的主体会绕着O点不停饮水和起身，A、B和C为饮水小鸭主体上的三个点，AO和BO均大于CO，下列说法正确的是（　　） A．A、B两点的角速度相等 B．A、C两点的线速度相等 C．A点的向心加速度小于C点的向心加速度 D．A、B、C三点在相等的时间内通过的弧长相等 35．如图所示，长度为L＝10m的绳，系一小球在竖直面内做圆周运动，小球的质量为m＝2kg，小球半径不计，小球在通过最低点时的速度大小为v＝30m/s，试求：（1）小球在最低点的向心加速度大小；（2）小球在最低点所受绳的拉力大小。 重难突破系列　|　人教版高中物理必修二　|　6.3 向心加速度 — — 学科网（北京）股份有限公司 $