精品解析：江苏省连云港市新海初级中学2026-2027学年度第一学期10月学情自测八年级数学试题

新海初级中学2026-2027学年度第一学期 八年级数学限时练习 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数没有平方根的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，于D，根据“HL”判定，还需添加条件为（ ） A. B. C. D. 3. 校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A. 花坛三条中线的交点 B. 花坛三边的中垂线的交点 C. 花坛三条高所在直线的交点 D. 花坛三条角平分线的交点 4. 如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 5. 如图，在中，．线段、分别为的高和中线，下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，M，N为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点P(在格点上)，使得为等腰三角形，则点P的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 如图，在中，，的平分线交于点，点为的中点．连接．点为上一点，且．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论正确的个数有（ ） ①②③④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 4的算术平方根是__________． 10. 如图，四根木条钉成一个四边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添______根木条． 11. 若等腰三角形两边长为和，则该等腰三角形的周长为_______cm． 12. 如图，，，，的面积等于6，则的长为______． 13. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则______． 14. 若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足，第三边长c为奇数，则___________． 15. 如图，已知△ABC中，于D，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝40°，则∠DAE=_________度． 16. 在中，长为12，长为20，则第三边上中线的取值范围为__________． 17. 如图，和分别平分和，将沿折叠，点恰好落在点处，若，则的度数为_______． 18. 如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ___． 三、解答题（本大题共8题，满分96分） 19. 完成下列小题． （1）计算：； （2）求等式中的值：． 20. 按要求完成下列小题． （1）已知，求的平方根． （2）已知和是某正数的两个平方根，的立方根是，求的值． 21. 如图，在中，D是上一点，E是外一点，，，．求证：． 22. 如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． （1）求证：． （2）已知，求的度数． 23. 在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 24. 按要求完成作图： （1）如图1，在边长为1的正方形方格纸中，的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上． ①请在图1中仅用无刻度的直尺画出的中线． ②请在图2中仅用无刻度的直尺确定一点，使得点与、两点的距离相等，且到、两边的距离也相等． （2）如图3，在中，，试在边上找一点，使得到点的距离等于到边的距离． 25. 在中，，若点在的平分线所在的直线上． （1）如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且， ①求证：点在的垂直平分线上； ②___________； （2）如图2，当点在线段上时，若，，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，若，求的长度． 26. 【模型提出】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点，于点E，则线段，与之间满足的数量关系是__________； ②如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，，，则的长为__________． 【模型初探】 （2）如图3，四边形中，，，则的面积为__________． （3）如图4，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰．连接交延长线于点E．判断与的数量关系并证明． 【模型拓展】 （4）如图5，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，则的面积为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新海初级中学2026-2027学年度第一学期 八年级数学限时练习 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数没有平方根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 负数没有平方根， 又∵， 四个选项中仅是负数， ∴没有平方根. 2. 如图，在中，于D，根据“HL”判定，还需添加条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形全等的“HL”判定定理，解题的关键是明确“HL”判定定理的条件（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）． 根据“HL”判定定理，分析每个选项是否能使和满足斜边和一条直角边对应相等． 【详解】解：已知， 所以，即和都是直角三角形，且公共直角边． A：若，在和中， ， 根据“HL”判定定理，可判定，符合要求； B：，结合，是根据“”判定全等，不是“HL”，不符合要求； C：，结合，是根据“”判定全等，不是“HL”，不符合要求； D：，结合，是根据“”判定全等，不是“HL”，不符合要求． 故选：A． 3. 校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A. 花坛三条中线的交点 B. 花坛三边的中垂线的交点 C. 花坛三条高所在直线的交点 D. 花坛三条角平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质进行判断． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点． 故选：B． 4. 如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长． 5. 如图，在中，．线段、分别为的高和中线，下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高和中线的性质，熟练掌握三角形高和中线的性质是解题的关键； 根据三角形高和中线的性质，结合图形对选项一一判断即可求解． 【详解】解：线段、分别为的高和中线， ， ， ， ，故A选项正确，不符合题意； 在中，， ， ， ，故B选项正确，不符合题意； ， ，故选项C正确，不符合题意； 根据题中条件无法推出，故无法推出，故选项D错误，符合题意； 故选：D 6. 如图，M，N为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点P(在格点上)，使得为等腰三角形，则点P的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形．根据格点可得，根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；③当时；根据格点中作等腰三角形的方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：如图所示，为等腰三角形，， ①当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴，， ∴点即为所求； ②当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴， ∴点即为所求； ③当时，作线段的垂直平分线交格点于点， ∴，，则，符合题意， ，，则，符合题意， ∴点即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为个， 故选：C． 7. 如图，在中，，的平分线交于点，点为的中点．连接．点为上一点，且．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出、的面积，过点作于，于，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作于，于， ∵的平分线交于点， ∴， ∵，， ∴． 8. 如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论正确的个数有（ ） ①②③④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ， ， ，故①正确； ， 又， ， ， ， 在和中 ，故②正确； ， ， 在和中 ， ， ， 故结论③错误； 又∵， ， 故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 4的算术平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，找到平方等于的非负数即可得到结果. 【详解】解：∵ 正数的算术平方根是它的正平方根，且， ∴的算术平方根是. 10. 如图，四根木条钉成一个四边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添______根木条． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，要使四边形框架稳固，需利用木条将其分割成三角形，连接一条对角线即可． 【详解】解：因为四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性， 所以要使四边形框架稳固且不活动，需要添加木条将四边形分成三角形． 连接四边形的一条对角线，即可得到两个三角形，此时框架稳固， 故至少还需要添加1根木条． 11. 若等腰三角形两边长为和，则该等腰三角形的周长为_______cm． 【答案】11或13 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键，分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断是否成立，再计算周长即可. 【详解】解：情况一：当等腰三角形的腰长为时，三边长分别为，，. 满足三角形三边关系，此时周长为. 情况二：当等腰三角形的腰长为时，三边长分别为，，. 满足三角形三边关系，此时周长为. 12. 如图，，，，的面积等于6，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】解：过点作于，根据三角形的面积求出长，然后根据角平分线的性质解题即可． 【详解】解：过点作于. ，， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． 13. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则______． 【答案】180°##180度 【解析】 【分析】利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， 所以△ABC≌△EDC（SAS）， ， 所以． 故答案为：180°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 14. 若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足，第三边长c为奇数，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据实数的非负性，三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了实数的非负性，三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴； ∴， ∵第三边长c为奇数，， ∴． 故答案为：9． 15. 如图，已知△ABC中，于D，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝40°，则∠DAE=_________度． 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意可以求得∠BAC的度数，进而求得∠BAE的度数，再根据AD⊥BC于D，∠B=80°，可以求得∠BAD的度数，从而可以求得∠DAE的度数． 【详解】解：∵∠B=80°，∠C=40°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-80°-40°=60°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=30°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∴∠BAD=10°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-10°=20°， 故答案为：20． 【点睛】本题考查三角形内角和、角平分线、三角形的高，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 16. 在中，长为12，长为20，则第三边上中线的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接，则，证明得出，再结合三角形三边关系计算即可得出结果． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，则， ∵为边的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，和分别平分和，将沿折叠，点恰好落在点处，若，则的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】先利用内角和求出，结合角平分线得到，再算出，根据折叠性质得到，用四边形内角和结合平角推导即可． 【详解】解：在中，， ， 、平分、， ， ， 由折叠可知， 在四边形中，， ． 18. 如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ___． 【答案】1 【解析】 【分析】取AC的中点G，根据等边三角形的性质可得CD=CG，根据旋转的性质可得CE=CF，再求出∠DCE=∠GCF，然后利用“边角边”证明△DCE和△GCF全等，推出∠FGC＝∠EDC＝90°，得到点F在直线BG上运动，作DH⊥BG， DF的最小值即为DH． 【详解】解：取AC的中点G，则CG＝CD， ∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠DCE＝∠GCF， 在△CDE和△CGF中， ， ∴△CDE≌△CGF（SAS）， ∴∠FGC＝∠EDC＝90°， ∴点F在直线BG上运动， 作DH⊥BG， DF的最小值即为DH， ∵BD2，， ∴DH＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，找出点F的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共8题，满分96分） 19. 完成下列小题． （1）计算：； （2）求等式中的值：． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】(1) 先分别化简每个根式，再计算有理数的加减即可得到结果． (2) 先将等式变形为等于常数的形式，再开平方求解即可 ． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 等式两边同时除以得， 两边开平方得， 即 或 ． 20. 按要求完成下列小题． （1）已知，求的平方根． （2）已知和是某正数的两个平方根，的立方根是，求的值． 【答案】（1）的平方根为 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据二次根式被开方数非负，列出不等式组求出，代入式子算出，求得，再求出的平方根为； （2）利用正数的两个平方根互为相反数列方程求出，再根据立方根定义算出，最后代入代数式求值． 【小问1详解】 解：且，即且， ， ， ， 的平方根为； 【小问2详解】 解：和是某正数的两个平方根， ，解得， 的立方根是， ， ． 21. 如图，在中，D是上一点，E是外一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意可得，根据全等三角形的判定可证明，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 22. 如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． （1）求证：． （2）已知，求的度数． 【答案】（1）证明：∵为上的中线， ∴， ∴是直角三角形. ∵点F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据直角三角形的性质得，然后根据直角三角形的性质得，可得答案； （2）先求出，即可得，根据直角三角形两锐角互余得出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为上的中线， ∴D为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴ ∴． 23. 在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 【答案】（1） 证明：平分， ， 在和中，， ； （2） 证明：如图，在上截取，连接， ， 在和中， ， ， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，即可证明； （2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 按要求完成作图： （1）如图1，在边长为1的正方形方格纸中，的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上． ①请在图1中仅用无刻度的直尺画出的中线． ②请在图2中仅用无刻度的直尺确定一点，使得点与、两点的距离相等，且到、两边的距离也相等． （2）如图3，在中，，试在边上找一点，使得到点的距离等于到边的距离． 【答案】（1）①如图所示，点为所求点， ②如图所示，点为所求点， （2）如图所示，点为所求点， 【解析】 【分析】（1）①利用正方形方格纸的特点证明，得到，再次证明可知点为的中点； ②根据方格纸可知为等腰直角三角形，所以；由图可知为的平分线，因此点为所求点． （2）利用角平分线的定义得到，再根据垂直平分线的性质得到，从而得到，最后根据直角三角形的两锐角互余和等量代换可知点为所求点． 【小问1详解】 ①解：如图所示， 由题意得：，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 再次证明， 得， ∴． ②见答案 【小问2详解】 解：如图所示， 作的角平分线， ∴， 作线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点为所求点． 25. 在中，，若点在的平分线所在的直线上． （1）如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且， ①求证：点在的垂直平分线上； ②___________； （2）如图2，当点在线段上时，若，，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，若，求的长度． 【答案】（1） ①证明：连接， ∵点在的平分线所在的直线上，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上； ②2 （2） 【解析】 【分析】()①连接，证明得到即可求证；②证明得到，即得，再根据即可求解； ()延长交于，先证明，进而证明，得到，由勾股定理可得，又可得，得到，再证明，得到，最后根据线段的和差关系即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：延长交于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 26. 【模型提出】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点，于点E，则线段，与之间满足的数量关系是__________； ②如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，，，则的长为__________． 【模型初探】 （2）如图3，四边形中，，，则的面积为__________． （3）如图4，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰．连接交延长线于点E．判断与的数量关系并证明． 【模型拓展】 （4）如图5，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，则的面积为__________． 【答案】（1）①；②3 （2）32 （3），证明如下： 如图所示，过点D作交延长线于H， ∵是等腰直角三角形，且为直角边， ∴， ∴同理可证明， ∴； ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （4）或 【解析】 【分析】（1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）过点B作交延长线于H，同（1）可证明，则，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）过点D作交延长线于H，同理可证明，得到；再证明，得到，则； （4）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即； ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ； 【小问2详解】 解：如图所示，过点B作交延长线于H， 同（1）可证明， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，过点A作于E，过点作交延长线于，如图所示： ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，过点A作于E，过点作交延长线于，如图所示： ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 综上，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $