精品解析：甘肃白银市第十中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学学科训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列{an}：1，， ， ，…，的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的倾斜角为，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前n项和为，，.则公比q等于（ ） A. 或 B. C. 1 D. 1或 4. 已知，，则数列的通项公式是（　　） A. n B. C. 2n D. 5. 已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 8. 若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对按比例得分，选错或不选得0分． 9. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. 或12时取到最大值 C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公差为的等差数列 10. 下列说法正确的是（ ） A. 经过点，且一个法向量为的直线方程为 B. 将直线绕它上面一点沿逆时针方向旋转，所得到的直线方程是 C. 是直线的一个方向向量 D. 点，，直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是 11. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知公差不为零的等差数列满足：，且，，成等比数列，则____． 13. 若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为_______． 14. 记表示不超过的最大整数，已知数列满足，且，数列满足，记为数列的前项和，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程． 15. 已知数列是等比数列，，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知数列的前项和为，且，， （1）求证：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 18. 数列的前n项和（）． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和． （3）令，求数列的前n项和及的最小值． 19. 已知数列满足，． （1）求，的值； （2）证明：是等比数列，且（）； （3）设的前n项和为，若恒成立，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列{an}：1，， ， ，…，的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的项归纳出一个规律即得． 【详解】观察数列{an}各项，可写成：，选项D满足，选项A中，，选项B中，，选项C中，，均不符合题意． 故选：D 2. 已知直线的倾斜角为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率为，解方程即可得出答案. 【详解】已知直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 则. 故选：B. 3. 已知等比数列的前n项和为，，.则公比q等于（ ） A. 或 B. C. 1 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用等比数列通项公式及前前n项和公式，解方程组可得或. 【详解】设数列的首项为， 由等比数列的通项公式以及前n项和公式可得， 即可得，解得或； 经检验或符合题意. 故选：D 4. 已知，，则数列的通项公式是（　　） A. n B. C. 2n D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 【详解】解：由，得， 即， 则，，，…，， 由累乘法可得，因为，所以， 故选：C． 5. 已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质与求和公式求解即可 【详解】由已知，， 所以， 所有奇数项的和为， 于是可得. 故选：A. 6. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求出数列的周期，再由数列的性质，即可求解. 【详解】因为，又，则，，， 所以数列是周期数列，且是数列的一个周期，则. 7. 已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由递推关系可得数列是首项为、公差为的等差数列，进而可得，再通过裂项相消求和可得. 【详解】已知递推式​​，两边同时取倒数得：， 即， 结合初值，即 ， 所以数列是首项为、公差为的等差数列. 根据等差数列通项公式得：， 所以， 所以. 因此数列的前项和为. 8. 若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出两个方程的根分别为和，由韦达定理及等差数列的前项可得等差数列的前四项分别为，再由韦达定理配对组合并求出，从而可得所求值. 【详解】设两个二次方程 、 的根分别为和， 由韦达定理可得：，，因此四个根的和为. 因为已知四个根组成一个首项的等差数列，设公差为， 由等差数列前项和公式：，解得 . 因此四个根按顺序为：​。 根据两组根的和都为，可知配对方式只能是​和​为一组、和为另一组. 由韦达定理，两根之积分别对应和，则可取，. ​ 故. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对按比例得分，选错或不选得0分． 9. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. 或12时取到最大值 C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公差为的等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据等差数列的通项公式可列方程解出首项和公差，再利用等差数列的前n项和公式；对于B，通过计算，，的正负情况即可判断当n为多少时最大；对于C，利用等比数列的定义式即可判断对错；对于D，求出数列的通项公式即可判断对错. 【详解】对于A，因为数列是等差数列，设公差为 又因为，， 所以，解得， 所以，故A错误； 对于B，计算可知，，， 所以等差数列前11项均为正，第12项为0，第13项开始为负， 所以或12时取到最大值，故B正确； 对于C，为常数， 所以数列是公比为的等比数列，故C正确. 对于D，， 所以， 所以数列是公差为的等差数列，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 经过点，且一个法向量为的直线方程为 B. 将直线绕它上面一点沿逆时针方向旋转，所得到的直线方程是 C. 是直线的一个方向向量 D. 点，，直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由法向量的概念可设直线方程为，再代点求解即可；对于B，先得到原直线的倾斜角，然后由旋转得到倾斜角及斜率，再利用点斜式求直线方程即可；对于C，由直线的一个方向向量为即可判断；对于D，先得到直线的定点，结合图像求解即可． 【详解】对于A，直线的一个法向量为，则可设直线方程为， 又过点，则，解得， 直线方程为，即，故A正确； 对于B，直线的倾斜角为， 又点在直线上，则逆时针方向旋转后所得直线的倾斜角为， 斜率， 所得到的直线方程是，即，故B正确； 对于C，直线的一个方向向量是，故C错误； 对于D，直线l：， ，解得，则直线l过定点， 如图：，， 则或，解得或，故D正确． 11. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由递推公式依次求出即可判断；对于B，计算即可判断；对于C，将放缩成，利用等比数列求和公式即可判断；对于D，由C可得，借助等比数列求和公式验证即可． 【详解】对于A，由已知得，，，故A错误； 对于B，因为， 所以，即是递增数列，故B正确； 对于C，由AB知，， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D，由C知， 所以， 两式相减所以，所以， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知公差不为零的等差数列满足：，且，，成等比数列，则____． 【答案】 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 因为，则，解得，又，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以，所以. 13. 若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为_______． 【答案】x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0. 【解析】 【分析】讨论横截距、纵截距均为零、都不为零两种情况，设直线方程并将点坐标代入求参数，即可写出直线方程. 【详解】①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx， 将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－， 此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0. ②当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为， 将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－， 此时，直线方程为x＋2y＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0. 故答案为：x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0 14. 记表示不超过的最大整数，已知数列满足，且，数列满足，记为数列的前项和，则_____________． 【答案】2023 【解析】 【分析】分析得出，利用累加法求出数列的通项公式，可化简数列的表达式，求出，结合题中定义求得. 【详解】因为数列满足，且，则， 当且时， ， 也满足， 故对任意的，，故， ， 当时，，则，所以， 此时，， 所以， ， ，所以. 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程． 15. 已知数列是等比数列，，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 数列是等比数列，，，得数列的公比满足，解得. 则的通项公式为. 【小问2详解】 将数列的前项和分成等比数列和等差数列分别求和. 则. 16. 已知数列的前项和为，且，， （1）求证：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为①，所以，解得， 对任意的，②， 得，即， 则,即，因为， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系推得数列递推式，即可证明是等比数列； （2）先利用对数运算求出，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）分析可得，即． 因为， 所以． 17. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）证明：直线的方程可化为，故无论取何值，直线总过定点． （2） （3）的最小值为4，直线l的方程为 【解析】 【分析】（1）直线方程化为，可以得出直线总过定点； （2）考虑直线的斜率及在轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直线的方程为，且恒过点， 则直线在轴上的截距为， 要使直线不经过第四象限，则 ，解得， 故的取值范围是． 【小问3详解】 依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， 所以 ，． 又且，． 故， 当且仅当，即时取等号． 故的最小值为4，此时直线l的方程为． 18. 数列的前n项和（）． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和． （3）令，求数列的前n项和及的最小值． 【答案】（1） （2）， （3）（）， 【解析】 【分析】（1）根据公式，即可求通项公式； （2）根据的正负分界项，分和两种情况求和； （3）设，利用错位相减法求和，再结合数列的单调性求和的最小值. 【小问1详解】 当时，, 当时，， 验证当时，，成立， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 令，解得，令，解得． ①当时，，则． 此时． ②当时， 因此，的前n项和，； 【小问3详解】 ，则 两式相减得： 所以（） ， 当时，，时，， ，2，3时单调递减；，5，6…时单调递增，且， 所以. 19. 已知数列满足，． （1）求，的值； （2）证明：是等比数列，且（）； （3）设的前n项和为，若恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）， （2） 因为，，所以， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. ①当n为正奇数时，，显然为递增数列，则； ②当n为正偶数时，，显然为递增数列，则. 综上所述，时． （3） 【解析】 【分析】（1）依据题目所给的递推公式即可求解. （2）将题目所给的递推公式构造成等比数列的定义式即可证明，从而可以写出的通项公式，将n分为正奇数和正偶数两种情况分别证明即可. （3）由第二问算出，将n分为正奇数和正偶数两种情况讨论，分别求对应的，代入不等式中，对t分离参数即可求得t的取值范围，最后两种情况求得的t的范围取交集即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，，， ，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， ①当n为正奇数时， ， 由，得， 即， 因为，所以对任意的正奇数n都成立， 当时，有最小值1， 所以． ②当n为正偶数时， ， 由，得， 即， 因为，所以对任意的正偶数n都成立， 当时，有最小值，所以， 综上，可知，即实数t的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $