精品解析：福建厦门市集美实验学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027集美实验学校九上数学第一次阶段测试 一、单选题（每题4分） 1. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此作答即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 则常数项是， 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 3. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得：， 故选：C． 4. 一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物，共有礼物30件．设x人参加聚会，则可列方程为（ ） A. B. C. x（x+1）=30 D. x（x−1）=30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有件礼物，根据：共有礼物30件，列出方程即可． 【详解】解：有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有件礼物， 根据题意，得． 故选：D． 5. 把一元二次方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ） A. (x-1)²=2 B. (x+1)²=2 C. (x-1)²=-2 D. (x+1)²=0 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法即可解答. 【详解】， ， ， . 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——配方法，熟知配方法的步骤是解决问题的关键. 6. 点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两点纵坐标相等，根据抛物线的对称性，对称轴为两点横坐标的平均数，即可得出答案． 【详解】解：∵，两点纵坐标相等， ∴对称轴，故C、D错误； ∴该抛物线的顶点可能是，不可能是，A错误，B正确； 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，抛物线的对称性：当抛物线上两点纵坐标相等时，对称轴为两点横坐标的平均数． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根为0 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出，从而得出方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 8. 已知方程的解是，，那么方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，则利用方程的解是，，得到或，然后解一次方程即可． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， ∵方程的解是，， ∴或， 解得或， ∴方程的解为，． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 9. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键． 先确定图像的开口方向和对称轴，再根据增减性质求解即可． 【详解】解：二次函数， 图像开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 解得：， 故选：D． 10. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（ ） A. 2 B. 12 C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分段函数的图象与性质，一次函数和二次函数图像的交点问题，一元二次方程的判别式等知识，结合图象求出的最值是解决该题的关键． 根据题意可知，当直线经过时，直线与该图像有公共点，可得出的最大值是15；当直线与抛物线只有一个交点时，，最小值是2，即可求解． 【详解】解：当直线经过时，， 解得； 当直线与抛物线只有一个交点时， ， 即， ∴ ∴或（舍去）， 的最大值是15，最小值是2，， ∴的最大值与最小值的和为17． 故选：D． 二、填空题（每题4分） 11. 如图是抛物线的示意图，请写出一个符合条件的的值__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，二次项系数的正负决定了开口方向，这是解题关键． 根据二次函数的性质，得出函数解析式二次项系数小于0即可． 【详解】解：根据图象可得图象开口向下，故二次项系数小于0，即， 所以a的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 抛物线的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】对于二次函数，对称轴为直线．已知抛物线的一般式，代入二次函数对称轴公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，， 代入公式得：， ∴抛物线的对称轴是直线． 13. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为，即， 故答案为：． 14. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用——投球问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系． 球的落地点为，解一元二次方程即可． 【详解】时，， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴球掷出的水平距离OB为， 故答案为：10． 15. 若实数m，n满足，，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】两个等式结构相同，且，可知，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系结合完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵满足，满足，且， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，， ∵， 将，代入得：， ∴． 16. 二次函数，当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用； 记，则得对称轴为直线．分；两种情况，结合二次函数z在时的增减情况即可求解． 【详解】解：， 记，则对称轴为直线． 当时，如图1．当时，随的增大而增大． 当时，．则，成立． 即．解得． ． 当时，如图2．当时，随的增大而减小． 当时，，则成立． 即．而恒成立． 综上，或时，始终成立． 三、解答题 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求法，判断出判别式的值是解决本题的关键． 先判断方程的根的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】解：方程为， ， ， ， ． 18. 如图，在矩形中，是中点，连接．证明：． 【答案】 证明：∵在矩形中，点为的中点， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质与全等三角形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得出，根据点为的中点，得出，进而根据，即可证明，从而可得答案． 【详解】略 19. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1﹣）÷ ＝ ＝ ＝； 当x＝+1时， 原式＝． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20. 已知二次函数y=(x－1)2+n，当x=2时，y=2.求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象. 【答案】二次函数的解析式为：y=(x-1)2+1， 如图： 【解析】 【分析】将（2，2）代入y=（x-1）2+n求得n的值即可，再由函数解析式画出函数图象． 【详解】解：因为当时，． 所以． 解得 所以二次函数的解析式为： 列表得： … 0 1 2 3 … … 5 2 1 2 5 … 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键． 21. 如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？ 【答案】这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 【解析】 【分析】 首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为，再根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设这个仓库的长为x米， 由题意得：， 解得：，， ∵这堵墙的长为18米， ∴不合题意舍去， ∴， 宽为：（米）． 答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 22. 如图，抛物线的顶点为，此抛物线交x轴于O、B两点． （1）求此抛物线的解析式： （2）连接、，求的面积： （3）若抛物线上另一点P满足，请求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）9 （3）或 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，然后把原点坐标代入求出a即可； （2）根据抛物线的对称性确定B点坐标，然后根据三角形的面积公式求解； （3）设P点坐标为，根据可计算出y，然后利用二次函数的解析式计算对应的x的值，从而得到P点坐标． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴B点坐标为， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：设P点坐标为， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 解得：，， ∴P点坐标为或． 23. 据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； （2）市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是 （2）3元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元，列出方程进行求解即可； （2）设售价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为，由题意，得：， 解得：（舍去）； 答：月平均增长率是； 【小问2详解】 设售价应降低元，由题意，得：， 解得：， ∵尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低3元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根分别是2和4，则方程就是“倍根方程”． （1）判断一元二次方程是不是“倍根方程”，并说明理由； （2）若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程． （1）求出方程的解即可判断出结论； （2）解方程得，．由方程两根是2倍关系，得到或4，代入解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：方程是“倍根方程”，理由如下： ， ， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”； 【小问2详解】 解：解方程得，． ∵方程两根是2倍关系， ∴或 4 ， 当时，，即，代入代数式得， 当时，，即，代入代数式得， 综上，． 25. 如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3），，，． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）分点在左侧和点在由此两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图像及性质，进而求解． 【小问1详解】 解：把代入中，得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴平行线交轴于，交于点，作于点， 把代入中，得：， ∴点坐标是， 设直线， 把，，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴ 由得：， ∴ 整理得： 解得： ∵， ∴的值为或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在． 由，，，得， ∴， ①当点在左侧时． 在轴上取点，，延长交抛物线于点． 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴设直线的解析式为， 由得：或， ∴； ②当点在右侧时， 作关于的对称，交二次函数于点，则，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 令中，，则， 解得或， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴ ∴在点抛物线上，即点满足条件． 故存在满足条件的点有两个，分别是，，，． 【点睛】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等，正方形的判定及性质，轴对称给的性质，掌握这些知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027集美实验学校九上数学第一次阶段测试 一、单选题（每题4分） 1. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物，共有礼物30件．设x人参加聚会，则可列方程为（ ） A. B. C. x（x+1）=30 D. x（x−1）=30 5. 把一元二次方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ） A. (x-1)²=2 B. (x+1)²=2 C. (x-1)²=-2 D. (x+1)²=0 6. 点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可能是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根为0 8. 已知方程的解是，，那么方程的解是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（ ） A. 2 B. 12 C. 15 D. 17 二、填空题（每题4分） 11. 如图是抛物线的示意图，请写出一个符合条件的的值__________． 12. 抛物线的对称轴是______． 13. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为__________． 14. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 15. 若实数m，n满足，，且，则的值为______． 16. 二次函数，当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是_____． 三、解答题 17. 解方程：． 18. 如图，在矩形中，是中点，连接．证明：． 19. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1． 20. 已知二次函数y=(x－1)2+n，当x=2时，y=2.求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象. 21. 如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？ 22. 如图，抛物线的顶点为，此抛物线交x轴于O、B两点． （1）求此抛物线的解析式： （2）连接、，求的面积： （3）若抛物线上另一点P满足，请求出点P的坐标． 23. 据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； （2）市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根分别是2和4，则方程就是“倍根方程”． （1）判断一元二次方程是不是“倍根方程”，并说明理由； （2）若是“倍根方程”，求代数式的值． 25. 如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $