精品解析：福建省南安第一中学2026-2027学年 九年级第一学期阶段考试统考数学试卷（10月）

2026年秋季初三年适应性练习一——数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义可得实数的倒数是，再将分母有理化，即可求解． 【详解】解：∵， ∴实数的倒数是． 故选：C 【点睛】本题主要考查了倒数的定义，分母有理化，熟练掌握倒数的定义，分母有理化法则是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（       ） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A：∵和不是同类二次根式，不能直接相加， ∴ A错误； B：∵，故， ∴ B错误； C：∵， ∴ C错误； D：∵， ∴ D正确． 3. 用配方法解方程，配方后所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项得， 两边加，得， 即. 4. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】先计算二次根式的乘法，可得原式的值为，估算出的范围即可得到答案. 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴的值应在5和6之间； 故选：C. 【点睛】本题考查了二次根式的运算和无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则、正确估算的范围是解题的关键. 5. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】解：把代入方程 得， 解得， 又因为，即， 所以， 故选：A． 6. 如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，，则，，然后通过勾股定理和线段的和与差即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 7. 解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程． 【详解】设，则， 因此． 原方程可化为： 两边同乘，消去分母： 移项整理得：． 故选：B． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 9. “河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为，运算规则为．例如：．则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据给定的“洛书积”运算规则列出关于的方程，整理为一元二次方程的一般形式，再通过根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 运算规则为，方程为， ∴ 将，代入运算规则得 ， 展开并整理得， ∴ ∵ ∴该方程有两个不相等的实数根． 10. 将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，若较小的三角形的面积为，则较大的三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，是等腰直角三角形，，设，则，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得，，是等腰直角三角形，，点到的距离与点到的距离相等，则， ∴四边形是菱形， ∴， 设， ∴根据勾股定理得，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式有意义，写出一个满足条件的a的值_______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，先求出的取值范围，再选取范围内任意一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 因此满足条件的可以取，答案不唯一． 12. 若最简二次根式与可以合并，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】可合并的最简二次根式是同类二次根式，先化简，再根据同类二次根式被开方数相等列方程求解． 【详解】解： ∵ 是最简二次根式，且可以和合并，， ∴，解得 ． 13. 已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________． 【答案】﹣2． 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的方程x2+6x+k=0的两个根分别是x1、x2， ∴x1+x2=﹣6，x1x2=k， ∵，∴=3， ∴k=﹣2． 故答案是﹣2． 考点：根与系数的关系． 14. 如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，化为最简二次根式，实数与数轴，利用勾股定理先求解，再进一步解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴数轴上的点P表示的数是． 故答案为：． 15. 已知方程的解是，，则方程的解是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用换元思想，将方程中的整体对应已知方程的，结合已知的解求解． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∵已知方程的解是：，， ∴，， 当时，， 移项得， 解得； 当时，， 移项得， 解得， 综上，原方程的解为，． 16. 如图，平行四边形可分割成一个正方形和两组全等的直角三角形：与，与．若平行四边形面积为20，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用面积割补法，将平行四边形的面积表示为正方形与四个直角三角形面积之和，根据 得出为等腰直角三角形，设，正方形边长为，用，表示各部分面积，建立方程求解，进而求出． 【详解】 解：设正方形的边长为，则， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 设， 则 ， ， ， ， ， 在 中，， 平行四边形由正方形和两组全等的直角三角形组成， ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 或 ，． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若为整数，且该方程的两个实数根都为正整数，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ 该方程是关于的一元二次方程. ∴ ， ， ∵ ， ∴ 该一元二次方程总有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）根据题意，表示出方程的两个根，再据此进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵该方程的两个实数根都为正整数， ∴或，且为的整数因数， ∴或． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该品牌头盔的进价为30元/个，市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到5250元的同时，尽可能让市民享受实惠，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为20%． （2）该品牌头盔的实际售价应定为每个45元． 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． （2）设该品牌头盔的实际售价为元，根据月销售利润等于每个头盔的利润乘以月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之结合尽可能让市民享受实惠的要求选取较小的根即可求出结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得： ， 解得， （舍去）， 所以该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为20%． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为元， 由题意得： ， 解得： ， ， 因为尽可能让市民享受实惠，所以价格要低一些， 所以舍去， 所以该品牌头盔的实际售价应定为每个45元． 23. 如图，，，垂足分别为A，B，线段千米，千米，千米． （1）尺规作图：在上求作点P，使得，并求的长； （2）借助（1）的思考过程与几何模型，求的最小值． 【答案】（1）如图，点P即为所求， ； 千米 （2）20 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，与的交点即为所求；设千米，则千米，根据勾股定理和，列出方程，求解即可； （2）根据（1）的思考，建立几何模型，，，垂足分别为B，C，其中，，，P为上一点，设，则，根据勾股定理，将求的最小值转化为求的最小值，利用“最短路径”问题，求解即可． 【小问1详解】 解：作图略， 连接、，如图， ； 点P在的垂直平分线上， ， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ， ，解得， 则的长为千米； 【小问2详解】 解：如图，，，垂足分别为B，C，其中，，，P为上一点， 设，则， 由勾股定理得，， ， 则， 如图，作点A关于的对称点，作交的延长线于点，连接，交于点P，此时最小，即最小，为的长， 由对称可知， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 则的最小值是20． 24. 已知，．（其中x，y，m，n均为实数） （1）当时，求y的最小值； （2）当时，求整数x的值； （3）若x，m，n均为整数，求证：y一定是偶数． 【答案】（1） （2）或 （3）证明：， ∵为整数，与是连续整数， ∴必为偶数； ∵，为整数，， ∴，一奇一偶， ∴为偶数. ∵偶数与偶数的差为偶数， ∴一定是偶数 【解析】 【分析】（1）求出和的值，利用顶点式表示出函数最小值，然后代入求值即可； （2）整理函数解析式，利用根与系数的关系，列出一元二次方程，然后利用根的判别式列出不等式求解； （3）整理函数解析式，分析各数的奇偶，然后利用奇数和偶数的积为偶数得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴y的最小值为， 当时，， ∴， ∴y的最小值为； 【小问2详解】 解：当时，， 即， ∵， ∴可以看作关于t的一元二次方程的两个实数根， ∴， 解得， 又∵取整数， ∴整数x的值为或； 【小问3详解】 证明：略． 25. 如图1，直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，点A在x轴负半轴上，且，点E为线段的中点． （1）写出点B，点C的坐标，并求直线的解析式； （2）如图2，点M在x轴正半轴上，点N在y轴负半轴上，直线交y轴正半轴于点F，若四边形是平行四边形，求证：； （3）如图3，点D在y轴上，以为边，在直线的右侧作正方形，若点Q恰落在直线上，求点D的坐标． 【答案】（1），， （2）证明：点E为线段的中点，，， ， 四边形是平行四边形， ，点、到对角线的距离相等，即， ， ，， 设， ，即， 当时，，解得， ， 设， ，解得， ， 当时，，即， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）分别令，，即可求出点B、C的坐标；先求点A的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （2）先求出点E的坐标，根据平行四边形的性质，求出，再利用待定系数法分别求出，，从而求出，计算即可求证； （3）过点D作x轴的平行线，分别过点E、点Q向直线作垂线，垂足为H，K，设，分两种情况讨论，①当点D在点E下方时，先根据正方形的性质和“”，说明，再根据线段之间的关系，求出，最后代入直线的解析式，列出方程求解即可；②当点D在点E上方时，同①可求，代入求解即可． 【小问1详解】 解：直线与y轴交于点B，与x轴交于点C， 当时，， 当时，，解得， ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点D作x轴的平行线，分别过点E、点Q向直线作垂线，垂足为H，K， 设，分两种情况讨论： ①如图，当点D在点E下方时， ， ，， 正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点Q的横坐标为，纵坐标为，即， 点Q落在直线上， ，解得， ； ②如图，当点D在点E上方时， 同①可得，，， 点Q的横坐标为，纵坐标为，即， 点Q落在直线上， ，解得， ； 综上所述，点D的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季初三年适应性练习一——数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（       ） A.   B.   C.   D.   3. 用配方法解方程，配方后所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 5. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 0 6. 如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A. B. C. D. 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. “河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为，运算规则为．例如：．则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 10. 将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，若较小的三角形的面积为，则较大的三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式有意义，写出一个满足条件的a的值_______________． 12. 若最简二次根式与可以合并，则m的值为__________． 13. 已知关于x的方程的两个根分别是、，且，则k的值为___________． 14. 如图，的边在数轴上，，，，利用尺规作图如图所示，则数轴上的点P表示的数是________． 15. 已知方程的解是，，则方程的解是__________． 16. 如图，平行四边形可分割成一个正方形和两组全等的直角三角形：与，与．若平行四边形面积为20，，则的长为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知是方程的一个根，试求的值． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若为整数，且该方程的两个实数根都为正整数，求的值． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该品牌头盔的进价为30元/个，市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到5250元的同时，尽可能让市民享受实惠，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 23. 如图，，，垂足分别为A，B，线段千米，千米，千米． （1）尺规作图：在上求作点P，使得，并求的长； （2）借助（1）的思考过程与几何模型，求的最小值． 24. 已知，．（其中x，y，m，n均为实数） （1）当时，求y的最小值； （2）当时，求整数x的值； （3）若x，m，n均为整数，求证：y一定是偶数． 25. 如图1，直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，点A在x轴负半轴上，且，点E为线段的中点． （1）写出点B，点C的坐标，并求直线的解析式； （2）如图2，点M在x轴正半轴上，点N在y轴负半轴上，直线交y轴正半轴于点F，若四边形是平行四边形，求证：； （3）如图3，点D在y轴上，以为边，在直线的右侧作正方形，若点Q恰落在直线上，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $