精品解析：福建省厦门市集美区厦门一中集美分校(灌口中学) 2025-2026学年上学期九年级数学学科第一次校本限时训练 试卷

厦门一中集美分校（灌口中学） 2025-2026学年（上）九年级数学学科第一次校本限时训练 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：胡婷 审核人：周艳、张晓静、曾加建 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此作答即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 则常数项是， 故选：D． 3. 抛物线的顶点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得：， 故选：C． 5. 一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物，共有礼物30件．设x人参加聚会，则可列方程为（ ） A. B. C. x（x+1）=30 D. x（x−1）=30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有件礼物，根据：共有礼物30件，列出方程即可． 【详解】解：有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有件礼物， 根据题意，得． 故选：D． 6. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1 ；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：A． 7. 点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两点纵坐标相等，根据抛物线的对称性，对称轴为两点横坐标的平均数，即可得出答案． 【详解】解：∵，两点纵坐标相等， ∴对称轴，故C、D错误； ∴该抛物线的顶点可能是，不可能是，A错误，B正确； 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，抛物线的对称性：当抛物线上两点纵坐标相等时，对称轴为两点横坐标的平均数． 8. 已知方程的解是，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及换元法求方程的解，熟练掌握换元法求方程的解是解题的关键． 令，即可得出，，计算求解即可． 【详解】解：令， 即， ∵方程的解是，， ∴，， ∴或， 解得，， 故选：A． 9. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键． 先确定图像的开口方向和对称轴，再根据增减性质求解即可． 【详解】解：二次函数， 图像开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 解得：， 故选：D． 10. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（ ） A. 2 B. 12 C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分段函数的图象与性质，一次函数和二次函数图像的交点问题，一元二次方程的判别式等知识，结合图象求出的最值是解决该题的关键． 根据题意可知，当直线经过时，直线与该图像有公共点，可得出的最大值是15；当直线与抛物线只有一个交点时，，最小值是2，即可求解． 【详解】解：当直线经过时，， 解得； 当直线与抛物线只有一个交点时， ， 即， ∴ ∴或（舍去）， 的最大值是15，最小值是2，， ∴的最大值与最小值的和为17． 故选：D． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图是抛物线的示意图，请写出一个符合条件的的值__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，二次项系数的正负决定了开口方向，这是解题关键． 根据二次函数的性质，得出函数解析式二次项系数小于0即可． 【详解】解：根据图象可得图象开口向下，故二次项系数小于0，即， 所以a的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 抛物线的对称轴是__________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数的对称轴为直线是解题关键． 根据二次函数的对称轴为直线，得到答案即可． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：． 14. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为，即， 故答案为：． 15. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用——投球问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系． 球的落地点为，解一元二次方程即可． 【详解】时，， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴球掷出的水平距离OB为， 故答案为：10． 16. 二次函数，当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用； 记，则得对称轴为直线．分；两种情况，结合二次函数z在时的增减情况即可求解． 【详解】解：， 记，则对称轴为直线． 当时，如图1．当时，随的增大而增大． 当时，．则，成立． 即．解得． ． 当时，如图2．当时，随的增大而减小． 当时，，则成立． 即．而恒成立． 综上，或时，始终成立． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求法，判断出判别式的值是解决本题的关键． 先判断方程的根的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】解：方程为， ， ， ， ． 18. 如图，在矩形中，是中点，连接．证明：． 【答案】 证明：∵在矩形中，点为的中点， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质与全等三角形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得出，根据点为的中点，得出，进而根据，即可证明，从而可得答案． 【详解】略 19. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1﹣）÷ ＝ ＝ ＝； 当x＝+1时， 原式＝． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20. 已知二次函数y=(x－1)2+n，当x=2时，y=2.求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象. 【答案】二次函数的解析式为：y=(x-1)2+1， 如图： 【解析】 【分析】将（2，2）代入y=（x-1）2+n求得n的值即可，再由函数解析式画出函数图象． 【详解】解：因为当时，． 所以． 解得 所以二次函数的解析式为： 列表得： … 0 1 2 3 … … 5 2 1 2 5 … 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键． 21. 如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为26m，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为m． （1）用含有的式子表示，并求出的取值范围； （2）当为何值时，此苗圃园的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】（1）， （2）最大面积为 【解析】 【分析】（1）利用总长的篱笆减去垂直于墙的两边的长度即可得的长，再列不等式组求解的范围； （2）利用矩形的面积公式用表示出苗圃园的面积，再利用二次函数的性质求最大值即可． 本题主要考查二次函数和一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的解法及二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为m， 则， 由题意， 解得． 【小问2详解】 苗圃园的面积为， ∵，二次函数的开口向下， ∴当时，苗圃园的面积最大， 最大面积为． 22. 如图，四边形为平行四边形，连接，． （1）在边上找一点，使得点到的距离等于（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，延长交于点，若，，求的长． 【答案】（1） （2）的长为6 【解析】 【分析】对于（1），由且点E到的距离等于可知，点E在的平分线上，故作的平分线，与交点即为所求． 对于（2），过点E作，垂足为G，由角的平分线的性质可得，由勾股定理可得，易证，可得，设，由可用勾股定理列方程求长，由平分及平行四边形对边平行易证，即可得出的长． 【小问1详解】 如图，作的平分线交于点E，点E即为所求． 【小问2详解】 如图，过点E作，垂足为G， 又，平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角的平分线的判定及性质、平行四边形性质及勾股定理的应用，能根据题意得出所求为角的平分线并作出角的平分线，能够利用角的平分线的性质、平行四边形性质及勾股定理求线段长是解题的关键． 23. 据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； （2）市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是 （2）3元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元，列出方程进行求解即可； （2）设售价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为，由题意，得：， 解得：（舍去）； 答：月平均增长率是； 【小问2详解】 设售价应降低元，由题意，得：， 解得：， ∵尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低3元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根分别是2和4，则方程就是“倍根方程”． （1）判断一元二次方程是不是“倍根方程”，并说明理由； （2）若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程． （1）求出方程的解即可判断出结论； （2）解方程得，．由方程两根是2倍关系，得到或4，代入解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：方程是“倍根方程”，理由如下： ， ， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”； 【小问2详解】 解：解方程得，． ∵方程两根是2倍关系， ∴或 4 ， 当时，，即，代入代数式得， 当时，，即，代入代数式得， 综上，． 25. 如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3），，，． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）分点在左侧和点在由此两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图像及性质，进而求解． 【小问1详解】 解：把代入中，得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴平行线交轴于，交于点，作于点， 把代入中，得：， ∴点坐标是， 设直线， 把，，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴ 由得：， ∴ 整理得： 解得： ∵， ∴的值为或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在． 由，，，得， ∴， ①当点在左侧时． 在轴上取点，，延长交抛物线于点． 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴设直线的解析式为， 由得：或， ∴； ②当点在右侧时， 作关于的对称，交二次函数于点，则，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 令中，，则， 解得或， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴ ∴在点抛物线上，即点满足条件． 故存在满足条件的点有两个，分别是，，，． 【点睛】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等，正方形的判定及性质，轴对称给的性质，掌握这些知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门一中集美分校（灌口中学） 2025-2026学年（上）九年级数学学科第一次校本限时训练 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：胡婷 审核人：周艳、张晓静、曾加建 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 3. 抛物线的顶点是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物，共有礼物30件．设x人参加聚会，则可列方程为（ ） A. B. C. x（x+1）=30 D. x（x−1）=30 6. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 7. 点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程的解是，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（ ） A. 2 B. 12 C. 15 D. 17 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图是抛物线的示意图，请写出一个符合条件的的值__________． 12. 抛物线的对称轴是__________． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 14. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为__________． 15. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 16. 二次函数，当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是_____． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 18. 如图，在矩形中，是中点，连接．证明：． 19. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1． 20. 已知二次函数y=(x－1)2+n，当x=2时，y=2.求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象. 21. 如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为26m，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为m． （1）用含有的式子表示，并求出的取值范围； （2）当为何值时，此苗圃园的面积最大，最大面积为多少？ 22. 如图，四边形为平行四边形，连接，． （1）在边上找一点，使得点到的距离等于（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，延长交于点，若，，求的长． 23. 据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； （2）市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根分别是2和4，则方程就是“倍根方程”． （1）判断一元二次方程是不是“倍根方程”，并说明理由； （2）若是“倍根方程”，求代数式的值． 25. 如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $