专题02 三角函数的函数性质（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题02 三角函数的函数性质 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 三角函数的单调性 考点02 三角函数的奇偶性 考点03 三角函数的周期性 考点04 三角函数的对称性 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 绝对值型三角函数的性质 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01根据三角函数性质求参 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 求三角函数的单调区间 题型02 根据三角函数单调区间求参 题型03三角函数单调性的应用 题型04求三角函数的奇偶性 题型05根据三角函数的奇偶性求参 题型06求三角函数的最小正周期 题型07 根据三角函数的周期求参 题型08 三角函数的对称性 题型09 根据三角函数的对称性求参 题型10 三角函数的对称性的应用 ▶重难攻坚・考法深研 重难点01 带绝对值三角函数的性质 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角函数的单调性 1、 掌握正余弦、正切函数的单调区间 正弦函数：单调增区间，单调减区间 余弦函数：单调增区间，单调减区间 正切函数：单调增区间 2、 对于形如 （或 或）的函数，首先确定与的正负。若 ，可利用诱导公式将 化为正数，简化分析。通过单调性确定的范围，求得的范围为所求的单调区间。 3、三角函数单调性的应用 可以利用三角函数的单调性来求函数最值及值域问题，以及可以利用单调性来判断函数值的大小、解三角函数相关的不等式等。 【新题对点练】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值是，最小值是，则函数的单调递减区间为________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，，解得，. 所以函数. 根据正弦函数的单调递增区间可知，， 解得，. 所以所求的递减区间为. 考点02 三角函数的奇偶性 按照函数奇偶性的定义来判断三角函数有关的复合函数的奇偶性： 1. 先判断定义域是否关于原点对称，然后检验f(x)与f(-x)之间的关系。 1. 对较复杂的三角函数式，通常先利用三角恒等变换（如诱导公式、和差角公式、倍角公式等）将函数式化简为标准形式或便于判断的形式。 3、若函数是多个三角函数的和、差、积、商形式：可利用“奇函数 ± 奇函数 = 奇函数”、“偶函数 ± 偶函数 = 偶函数”、“奇函数 × 偶函数 = 奇函数”、“偶函数 × 偶函数 = 偶函数”、“奇函数 × 奇函数 = 偶函数”等运算规律进行组合判断。 4、利用函数的奇偶性来求值：根据奇偶性的定义，根据定义域关于原点对称，然后利用偶函数满足f(x)=f(-x)，奇函数满足f(x)+f(-x)=0关系直接求值 【新题对点练】（2026·江西南昌·二模）已知函数是奇函数，则的一个可能取值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质可得，然后逐一验证选项即可求解. 【详解】若是奇函数，根据奇函数性质：在定义域内时，必有， 代入得： 解得，当时，，符合要求. 当时，，是奇函数； 对于AD：、对应为偶函数； 对于B：对应非奇非偶，均不符合. 考点03 三角函数的周期性 1、对于形式（为基本三角函数如 ），最小正周期，其中为的最小正周期（如为， 为）。 2、利用三角变换化简题目中的三角函数，使变为最简形式，然后根据上面方法求周期 【新题对点练】（2026·宁夏吴忠·三模）已知点为函数图象上的两个相邻对称中心，则的最小正周期为______． 【答案】 【分析】根据余弦函数的图象与性质，分析即可得答案. 【详解】由题意可知，，则的最小正周期． 考点04 三角函数的对称性 1、对于正弦函数，当为正弦函数的对称轴,当 为正弦函数的对称中心 2、对于，当为余弦函数的对称轴,当 为余弦函数的对称中心 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． 3、对于, 当 为正切函数的对称中心，正切函数没有对称轴，注意正切函数的对称中心有一半不在函数上，一半是正切函数与轴交点 4、对正余弦函数，已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 5、根据题目给出的对称中心或对称轴的值，来求的值，如果含参的话，这是一个参数的表达式。 根据的值与三角函数的对称中心或对称轴进行比较，来求其中的参数值。 【新题对点练】（26-27高三上·云南·阶段检测）函数图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用二倍角余弦公式化简函数解析式，再结合余弦函数对称中心的性质列方程求解即可得 【详解】由二倍角余弦公式，可得， 又因为余弦函数的对称中心的横坐标满足（），此时函数值为. 令，，解得. 因此函数图象的对称中心为（）. 难点解读01 绝对值型三角函数的性质 1、对三角函数绝对值通过函数图像来研究其函数性质，把x轴下方部分沿x轴翻折到上方去。 ：偶函数、对称轴,对称中心，最小正周期 ：偶函数、对称轴,对称中心，最小正周期 ：偶函数、对称轴，最小正周期 , 通过函数图像来研究其函数性质,把y轴左边部分去掉，把右边部分复制翻折到y轴左边。 难点破解（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数，有下面四个命题： ①是周期函数 ②的图像关于直线对称 ③的值域为 ④当在上有2个不同的实根时，的取值范围是 其中正确命题是______． 【答案】①②③ 【分析】写出函数定义域，再写出分段函数在各定义域内的函数解析式，由三角函数的性质得到函数的周期性和对称轴，判断①②.由分段函数的值域得到函数的值域，判断③.结合三角函数的对称性得到方程的两根的关系，再由题意和定义域得到的取值范围，即可判断④. 【详解】函数定义域为，即， 当时，，则， 当时，，则， 所以函数是周期函数，周期为，①正确； 因为是函数的对称轴，所以是函数的对称轴，②正确； 当时，， 当时，， 所以的值域为，③正确； 当时，关于对称，则，又因为此时，∴，∴，④错误. 故答案为：①②③. 素养进阶·答题技法突破 题型01 根据三角函数性质求参 【典例1】（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 【答案】 【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 【典例3】（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 【典例4】（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 【典例5】（2026·北京·高考真题）设函数，若将的图象沿轴的正方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】平移后函数为，与关于轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程，排除不恒成立情形，得到的取值个数. 【详解】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图象关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3. 题型01 求三角函数的单调区间 1、掌握正余弦函数的图像以及其单调区间，对 （或）的函数，首先确定与的正负。若 ，可利用诱导公式将 化为正数，简化分析。 通过单调性确定的范围，求得的范围为所求的单调区间。 2、对正切函数，其只有单调递增区间 3、若是复合函数，则遵循同增异减的性质 【典例1】（26-27高二·山东·学业考试模拟）下列函数在上不具有单调性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在上单调递减， 在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在上不具有单调性. 【典例2】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）函数在下列哪个区间上单调递减（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数结合三角函数恒等变换及其性质计算即可. 【详解】易知， 对于选项A，易知时，， 所以在上单调递增，故A错误； 对于选项B，时，，则，即， 所以在上单调递减，故B正确； 对于选项C，同上时，，则， 所以，所以在上单调递增，故C错误； 对于选项D，时，则， 所以，所以在上单调递减， 而由C项可知在上单调递增，故D错误. 【变式1】（2026·湖南郴州·模拟预测）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，的最小正周期为，在区间上单调递增，错误； 对于B，，最小正周期为，在区间上单调递减，正确； 对于C，最小正周期为，在区间上单调递增，错误； 对于D，最小正周期为，在区间上单调递减，错误. 【变式2】（26-27高二·山东·学业考试模拟）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正切函数的性质整体代换即可得. 【详解】由，得， 所以函数的单调递增区间为． 题型02 根据三角函数单调区间求参 根据题目给出的单调区间来求参数（不含求值的题型）： （1）先根据条件给出的单调区间来求的区间范围 （2）确定目标三角函数的对应的单调区间，讨论的区间与三角函数的单调区间之间的关系，从而确定参数关系。 【典例1】（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知函数满足，，且在上单调递减，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递减，又，，， 所以，，， 解得，所以，又，所以， 所以， 所以. 【典例2】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）若函数在区间单调递增，则的最大值是______． 【答案】/ 【分析】利用正弦函数的性质及辅助角公式，求出的单调区间，再根据条件，即可求解. 【详解】因为， 由，得到， 所以的单调递增区间为， 令，得到的一单调递增区间为， 又函数在区间单调递增，所以，故的最大值是. 【变式1】（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而结合余弦型函数的对称性易知在上单调，进而求出周期，即可求解. 【详解】因为恒成立，可知， 又点在上，可知， 而在区间上单调，由余弦型函数的对称性易知在上单调， 则，即. 【变式2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 得， 所以的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得， 当，得； 当，且，无交集； 当，由可知显然不符合题意， 所以的取值范围为． 题型03三角函数单调性的应用 利用单调性比较大小、解不等式或求最值。核心是“同名化”与“同区间化”，若不在同一单调区间，需利用诱导公式或周期性转化到同一单调区间再比较。解不等式时，先求出一个周期内的解集，再加上周期。 【典例1】（25-26高三上·江苏泰州·期中）若，且有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知函数性质，分别构造函数并求导，用导数分析函数单调性并结合三角函数的性质判断的大小关系． 【详解】令，求导得，，， ，在上单调递增， ，，； 令，求导得，在上单调递增， ，； 令，求导得， 在上单调递增， ，且，， 在上，，， ， ，则， 在上单调递增，，， ． 故选：A． 【典例2】（25-26高三上·江苏·开学考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得的取值范围，再利用指数函数和幂函数的单调性判断的大小关系,即可选出正确答案. 【详解】因为所以,所以. 所以是t的减函数,所以. 是增函数,所以 所以 故选: B. 【变式1】（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正切函数的周期是，定义域为， 在每个区间上单调递增， 由，在一个周期内，解得， 所以解集为. 【变式2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，即， 所以，，解得，. 题型04求三角函数的奇偶性 先判断定义域是否关于原点对称，若不对称则非奇非偶。利用三角恒等变换将函数式化为最简形式（如 或 ），再代入定义验证，或直接利用“奇变偶不变”的诱导公式性质判断。 【典例1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，然后周期公式和奇函数定义判断即可. 【详解】, 定义域为，定义域关于原点对称， 由周期公式可知， 又， 所以为最小正周期为的奇函数. 【典例2】（26-27高三上·山东济宁·阶段检测）若函数的最小正周期为，则（    ） A．且为奇函数 B．且为奇函数 C．且为偶函数 D．且为偶函数 【答案】A 【详解】. 因为函数的定义域为关于原点对称. 又因为，所以为奇函数. 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）函数是非奇非偶函数．( ) 【答案】错误 【分析】化简函数得，再判断奇偶性. 【详解】化简函数，， 由于， 所以函数是奇函数. 故答案为：错误 【变式2】（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数．则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意得的定义域是，是偶函数，则，可得， 即是偶函数能推出，必要性成立； 举反例，取，则，此时， 但是是奇函数，所以推不出是偶函数，充分性不成立； 所以“”是“为偶函数”的必要不充分条件. 题型05根据三角函数的奇偶性求参 利用奇偶性定义建立恒等式（如 ），或代入特殊值（例如奇函数若在 处有定义，则 ；偶函数则导数为0）快速列方程求参。求出参数后必须代回原式检验，确保定义域对称。 【典例1】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）将图象向左移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】三角函数图像平移遵循“左加右减”，正弦型函数为偶函数的核心条件是相位为，由此锁定，再代入计算即可． 【详解】由题，， 因为为偶函数，所以，即， 又，所以， 则． 【典例2】（26-27高三上·湖南永州·阶段检测）若函数是偶函数，则__________． 【答案】 【分析】利用偶函数满足建立恒等式，求出参数，化简函数表达式后代入自变量求值. 【详解】因是偶函数，则， 即，也即， 整理得，因为，所以， 又，所以，所以， 则． 【变式1】（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）若（）是奇函数，则_________． 【答案】 【详解】对于定义域为的函数， 若它是奇函数，则奇函数在处有定义时必有， 因此： ，由余弦函数零点性质得： ， 即， 结合约束条件，仅当时，满足范围， 代入验证得，确为奇函数. 【变式2】（26-27高三·全国·一轮复习）若函数为奇函数，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义，分两种情况讨论：在函数定义域内和不在定义域内，从而确定的取值． 【详解】解：函数为奇函数，其图象必关于原点对称 对于函数，其图象关于原点对称有两种情况： ① 原点是函数图象的一个对称中心 函数的对称中心为，故 令得 ② 轴是函数图象的一条渐近线 函数的渐近线为，故 令得 综上， 故选：C． 题型06求三角函数的最小正周期 将函数化简为 或 ，利用 求解；正切型利用 。若含绝对值，通常通过画图观察，周期往往变为原来的一半。 【典例1】（26-27高三上·河北邢台·阶段检测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换化简函数，再利用最小正周期计算公式计算求解. 【详解】因为 ， 所以函数最小正周期为. 【典例2】（26-27高三上·湖北黄冈·开学考试）下列函数中最小正周期等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数、正弦函数、正切函数的性质，结合同角的三角函数关系判断即可. 【详解】对于A，最小正周期. 对于B，正切函数的周期是，将在轴下方的图象翻折到轴上方， 周期不变.故最小正周期. 对于C，，是常函数，无最小正周期. 对于D，因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，不是周期函数. 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）已知函数在区间恰有一个极值点，则函数的最小正周期可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 令，得：，解得：，其中， 当时，； 当时，，令，解得：； 当时，，此时是第一个极值点， 所以需保证，解得：，综上所述，. A选项，，则，，所以A选项错误； B选项，，则，，所以B选项正确； C选项，，则，，所以C选项错误； D选项，，则，，所以D选项错误； 【变式2】（26-27高三上·河北保定·阶段检测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正切型函数的周期定义求解即可. 【详解】由可知最小正周期公式为. 题型07根据三角函数的周期求参 据题意确定周期的值或周期的整数倍关系（如平移后重合即平移距离为周期的整数倍）。利用周期公式 或 列出关于 的方程求解。 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过“平移后与原图象重合”平移距离是周期的整数倍，即可求解. 【详解】因为图象向右平移个单位长度后与原图象重合， 所以， 得，， 所以的最小值为12. 【典例2】（2026·四川泸州·模拟预测）（多选）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在上的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由周期公式得到表达式判断A，代入验证可得判断B，C，应用余弦函数性质得出最值判断D. 【详解】，由于最小正周期为，故，故，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，， 故，当时，取上的最小值为，故D正确. 【变式1】（2026高三下·全国·专题练习）已知函数的图象的一个最高点和最低点的坐标分别为，，则的值可能为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由条件结合正弦型函数性质可得，再结合关系可得结论. 【详解】由题可知，其中为函数的最小正周期， 故，故，时，，故的值可能为6. 【变式2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且，则____，____． 【答案】 / 【分析】根据函数的最小正周期得到，利用对称轴得到，然后代入计算即可求解. 【详解】函数的最小正周期为．解得， 又图象关于直线对称，则有． 解得． 因，则得或． 又由，． 题型08三角函数的对称性 利用整体代换：令 求正弦/余弦的对称轴；令 求正弦/余弦的对称中心；令 求正切的对称中心。对称轴处函数取最值，对称中心处函数值为0。 【典例1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）函数满足：，，请写出图象的一个对称中心的坐标：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用，可得，从而可求的值，再代入函数即可求对称中心. 【详解】由得， . 因为，所以，则，即. 因为，所以， 则，即，所以，则. 所以，则. 令，得，得到. 令，则，所以图象的一个对称中心的坐标. 【典例2】（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知函数，写出的一个对称轴方程________；当，则的最大值是________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（1）先利用定义法证明是偶函数，再求解对称轴方程即可. （2）利用导数判断函数单调性，进而求解最大值即可. 【详解】（1）由题意得， 则 ，可得是偶函数， 故的一个对称轴方程为. （2）由题意得， 则， 当时，， 得到，则在上单调递增， 当时，， 得到，则在上单调递减， 而，故的最大值是. 【变式1】（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）如果是函数图象上的点，那么就是函数图象上的点，则图象的一条对称轴的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用点的变换求出，再根据余弦函数对称轴性质求解对称轴，对照选项即可. 【详解】设点横坐标为，则， 由题意，所以，即， 令. 取，得图象的一条对称轴的方程为. 令， 令， 令. 【变式2】（26-27高三上·河北保定·阶段检测）函数的对称中心的坐标为______． 【答案】， 【详解】根据正切函数的对称中心坐标为其中， 所以，，求得，, 所以的对称中心的坐标为，. 题型09根据三角函数的对称性求参 根据已知的对称轴或对称中心，整体代入对应的相位公式列方程。结合参数给定的范围（如 ），对 进行赋值或讨论，求出符合范围要求的参数值。 【典例1】（26-27高三上·北京东城·阶段检测）已知函数，且，若两个不等的实数满足且，则__________. 【答案】 【分析】由辅助角公式可得，其中，结合题意可得，是函数的一条对称轴，进而可得，再根据正切诱导公式求值即可． 【详解】，其中， 又两个不等的实数满足且， ，解得， 则， ， 是函数的一条对称轴， 则，， ． 【典例2】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）设函数，若在区间上单调，在区间上存在零点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得为的一条对称轴，可得，结合单调性可得，利用在区间上存在零点，可得，进而计算可求得的值. 【详解】， 因为在区间上单调，所以，所以， 又，所以，所以， 又因为，所以为的一条对称轴， 所以，所以， 当时，， 又因为在区间上存在零点，所以，所以， 所以， 所以，解得， 又，所以. 【变式1】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）设函数，将的图象沿x轴的正方向平移个单位长度，所得图象与图象关于y轴对称，则满足条件的t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，将的图象沿x轴的正方向平移个单位长度， 得到， 因为所得图象与图象关于y轴对称，所以， 即对任意恒成立， 则或对任意恒成立， 则， 因为，所以t的最小值为. 【变式2】（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若函数的图象关于点对称，则正数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的性质求解即可. 【详解】因为的图象关于点对称， 所以， 所以， 所以正数的最小值为. 题型10 三角函数的对称性的应用 利用三角函数图象的轴对称或中心对称求解方程根的问题。若两根关于对称轴对称，则两根之和等于对称轴横坐标的2倍；若关于对称中心对称，则两根之和等于对称中心横坐标的2倍。 【典例1】（2026·山东青岛·二模）已知角的终边不重合，且，则___________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式，化简得到，求得，进而得到答案. 【详解】由，可得， 因为， 且，所以， 因为角的终边不重合，所以， 则，可得， 所以. 【典例2】（2026·天津·模拟预测）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的解析式，换元，画出函数图象，数形结合得到的取值范围，并分两种情况，结合函数对称性得到方程，求出答案. 【详解】因为图象的两个相邻对称中心之间的距离为， 所以的最小正周期为， 又，所以，解得，故， 因为为函数的对称中心，所以， 所以，解得， 因为，所以只有满足要求，故， ，故， 画出在上的函数图象，如下： 有且只有两个不同的实数根， 则方程有且只有两个不同的实数根， 则与的图象仅有两个交点， 所以且， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 则的所有可能取值构成的集合为. 【变式1】（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数.若，且，，则___________. 【答案】/ 【分析】利用三角恒等变换可得，结合函数对称性分析可知，代入即可得结果. 【详解】由题意可知： ， 时，， 而，，， 可知是函数相邻最近的两个零点，且是函数的对称轴， 若，且，，则， 所以. 【变式2】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）已知函数，若存在，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，，则， 设， ，则， 因为，得，所以，且， 所以，所以，得 所以. 重难点01 带绝对值三角函数的性质 “下翻上”（对整体加绝对值）或“去左翻右”（对自变量加绝对值）。最佳解题策略是画出函数图象，利用数形结合法直接观察出函数的周期、单调区间、最值、值域及零点个数。 【典例1】（2026·重庆·三模）（多选）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递减 【答案】BC 【分析】在函数的定义域内取特殊值排除A项；利用函数的图象平移翻折变换，结合正弦函数的图象性质逐一判断其余选项即可. 【详解】对于A，因函数的定义域为，当时，， 而，即，故不成立，A错误； 对于B，因函数的图象可由的图象向下平移，保持轴上方部分不变并将轴下半部分向上翻折得到， 则的最大值可在处取得，所以成立，B正确； 对于C，因在上单调递增且在轴的下方，故图象翻折后在上单调递减，故正确； 对于D，因在上单调递增且在轴的上方，则在上单调递增，故D错误． 【典例2】（25-26高三上·甘肃甘南·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点中心对称 B．在区间上单调递减 C．在上有且仅有1个最小值点 D．的值域为 【答案】BC 【分析】对于A：举反例即可；对于B：当时，去绝对值，运用辅助角公式合并，再利用正弦函数单调区间判断即可；对于C：先利用周期函数的定义证明为函数的周期，然后讨论在上的单调性，并求出最小值，即可判断；对于D：由C知在上的值域，再利用周期性可得答案. 【详解】对于A选项，因为，，所以， 所以的图象不关于点中心对称，故A选项错误； 对于B选项，当时，， ∵且在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，故B选项正确； 对于C选项， ∵ ，所以为函数的周期. 当时，，， 所以在区间上单调递增，，； 由B选项可知，函数在区间上单调递减， 当时，，. 所以，函数在上有且只有1个最小值点，故C选项正确； 对于D选项，由C选项可知，函数的值域为，故D选项错误. 故选：BC. 【变式1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，下列关于函数的说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．的最小正周期是 C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】D 【分析】先通过去绝对值将含绝对值的三角函数写成分段形式，再结合函数奇偶性、周期、单调性的定义和正弦函数的值域逐一验证四个选项得出正确结论. 【详解】 当，即时，； 当，即时，. 对于A，取，，， 显然，因此不是奇函数，故A错误； 对于B，取，，， 显然，因此不是的最小正周期，故B错误； 对于C，在上， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 因此在上先增后减，故C错误； 对于D，当时，；当时，， 因此函数值域为，故D正确. 【变式2】（25-26高三·天津·二轮复习）设R，用表示不超过的最大整数，则函数被称为高斯函数；例如，，已知，，则下列说法正确的是（ ） A．函数是奇函数 B．函数是周期函数 C．函数的图象关于直线对称 D．方程只有个实数根 【答案】D 【分析】确定时的图象，根据的奇偶性确定部分的函数图象，根据的图象确定的图象即可求解. 【详解】选项A，函数的定义域为， 因为，所以为偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， ， 因为为偶函数，所以函数的图象如下图所示 由可知，在内， 当，Z 时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 因为， 所以为偶函数，则函数的图象如下图所示： 显然不是周期函数，故选项A错误，B错误， C错误; 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有个实数根，故D正确； 故选：D. 优题精练·专题实战通关 1．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，可得， 要使得函数在区间上单调递减， 则满足，解得， 因为，当时，，即实数的取值范围为. 2．（2026·天津南开·一模）已知，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，为偶函数，故充分性成立， 为偶函数时，,故必要性不成立， 故“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 3．（25-26高三上·江西·阶段检测）将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.若为奇函数，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移变换得到，然后根据正切函数的性质得，结合的范围即可求解. 【详解】依题意，函数的最小正周期为 由为奇函数，可得,即， 因为，所以当时，. 故选：D. 4．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）函数的最小正周期为__________________，最大值为__________________. 【答案】 【分析】根据积化和差公式，将函数整理为简单余弦型函数的差，求出两个函数最小正周期的最小公倍数即可，利用二倍角公式将函数整理为复合函数，利用换元法，求出函数的最大值. 【详解】由积化和差公式， 得， 因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为的最小公倍数， 所以函数的最小正周期为， 因为 当，即时，令， 所以，， 令，解得或， 在上，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减， 当时，，当时，， 所以的最大值为. 5．（26-27高三上·湖南·阶段检测）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的最小正周期为． 6．（2026·广东珠海·模拟预测）如图，函数的图象与直线相交，A、B、C是相邻的三个交点，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】函数的图象与直线的交点满足， 则或， 解得或， 设对应横坐标为，则 ， ， ，解得． 7．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知函数，，若，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意与二倍角公式求出，即，再结合与图象的对称性求解即可. 【详解】令，得， 即，解得或． 若，则，， 与矛盾，故舍去，则， 结合，得，即， 由于，的最小正周期均为，故只需考虑区间即可，如图作出图象，    由于图象的一条对称轴为，则， 又由于图象的一个对称中心为，得到． 故选：D 8．（2026·湖南株洲·三模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案. 【详解】的最小正周期，两个对称中心的间隔为， 也即的对称中心的间隔为， 所以的最小正周期, 所以. 由，解得， 由，解得， 依题意，与图象的对称中心完全一致，， 所以. 9．（2026·重庆·模拟预测）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直线与图象相邻交点的距离求出周期，进而得到的值，再结合正切函数对称中心的性质推导的表达式，求得正实数的最小值. 【详解】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为， 所以的最小正周期， 所以，由，得，解得， 因为正切函数的对称中心满足，函数的图象关于点对称， 所以，将代入得： ， 整理得， 因为 所以，取，得，即为满足条件的最小正实数值，即正实数的最小值为. 10．（2026高三·全国·专题练习）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质求出最小正周期. 【详解】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，函数周期为，故B错误； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：A. $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角函数的函数性质 ----◆》父《)◆------ 目录导航 @知识脑图•核心脉络搭建一一梳理专题框皋，搭建知识体集 @2考点深研知能分层突破一一深挖高频考点，分层突破重唯点 )基础梳理·自主夯基 高阶思维·探究拓展 考点01三角函数的单调性 难点解读01绝对值型三角函数的性质 考点02三角函数的奇偶性 考点03三角函数的周期性 考点04三角函数的对称性 ◎3素养进阶答题技法突破一一提炼解题范式，提升答题素养 题型06求三角函数的最小正周期 高考解密·母题探究 题型O7根据三角函数的周期求参 题型01根据三角函数性质求参 题型08三角函数的对称性 题型O9根据三角函数的对称性求参 。考点聚焦·解法深研 题型10三角函数的对称性的应用 题型01求三角函数的单调区间 。重难攻坚·考法深研 题型02根据三角函数单调区间求参 题型03三角函数单调性的应用 重难点01带绝对值三角函数的性质 题型04求三角函数的奇偶性 题型05根据三角函数的奇偶性求参 @4优题精练•专题实战通关一一精选优质试题，强化实战应用 ----◆分父铃+--- 1/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识脑图核心脉络搭建 正弦函数y=sinx,单调增区间：【-/2+2kL,/2+2kj,单调减区间：[m/2+2k元，3/2+2k] 余弦函数y=cosx,单调增区间：[-π+2km,2km,单调减区间：[2km,2km+可 考点01三 角函数的 正切函数y=tax,单调增区间：（←π/2+kL,/2+k),只有单调递增区间 单调性 复合函数的单调性y=Asin(wx-+中)+k(或cos/tan),通过整体代换wx+中，求得×的范围为所求的 单调区间，复合函数遵循"同增异减的性质 单调性的应用，求函数最值及值域问题，判断函数值的大小，解三角函数相关的不等式 考点02 三角 三角函数 判断复合函数奇偶性的步骤，先判断定义域是否关于原点对称，检验x)与(-x)之间的关系 对较复杂的三角函数式，先利用三角恒等变换化简为标准形式或便于判断的形式 函数 的奇偶性 的函 数性 考点03 一般公式，对于y=Afwx+中)+k(f为sin,cos,tan),最小正周期T=To/ld,其中T。为基本三 三角函数 质 的周期性 角函数的最小正周期(sin、cos为2m,tan为π) 正弦函数y=Asi(uwx+中)，对称轴：令wxo+中=kπ+π/2(k∈Z,对称中心：令wxo+中=km k∈Z) 余弦函数y=Acos(wx+中)，对称轴：令wxo+中=kTk∈Z,对称中心：令wxo+中=kT+/2 k∈Z 考点04 三角函数 正切函数y=Atan(wx-+),无对称轴，对称中心：令wxo+中=kπ/2(k∈Z),注意：正切函数的对 的对称性 称中心有一半不在函数图象上，一半是正切函数与×轴交点 对称轴与对称中心距离关系，已知一条对称轴a和一个对称中心b,水平距离为(2+1)/4个周 期，公式：(2n+)T/4=(2n+)m/(2)=b-a 对称性的应用，根据题目给出的对称中心或对称轴的值，求x+中的值，如果含参，将其与三角 函数的对称中心或对称轴条件比较，求出参数 考点深研知能分层突破 基础梳理·自主夯基 一一核心必记 《。考点01三角函数的单调性 1、掌握正余弦、正切函数的单调区间 正弦函数：单调增区间-受+2a,+2km]k∈Z.单调减区间受+2,3+2aJk∈Z 余弦函数：单调增区间[-π+2k,2k]k∈Z),单调减区间[2k,2k+π](k∈Z)(k∈Z) 正切函数：单调增区间-号+a,乃+红(k∈Z) 2、对于形如y=Asin(ox+p)+k(或y=Acos(ox+p)+k或y=Atan(ωx+p)+k)的函 2/19 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 数，首先确定A与ω的正负。若⊙<0，可利用诱导公式将⊙化为正数，简化分析。通过单调性确定 ωx+p的范围，求得x的范围为所求的单调区间。 3、三角函数单调性的应用 可以利用三角函数的单调性来求函数最值及值域问题，以及可以利用单调性来判断函数值的大小、解三 角函数相关的不等式等。 3 1 【新题对点练】(2026高三全国专题练习)已知函数y=a-bcosx(b>0)的最大值是2，最小值是2， 则函数y=2asin(-3bx)的单调递减区间为 《。考点02三角函数的奇偶性 按照函数奇偶性的定义来判断三角函数有关的复合函数的奇偶性： 1、先判断定义域是否关于原点对称，然后检验f(x)与f(-x)之间的关系。 2、对较复杂的三角函数式，通常先利用三角恒等变换（如诱导公式、和差角公式、倍角公式 等)将函数式化简为标准形式或便于判断的形式。 3、若函数是多个三角函数的和、差、积、商形式：可利用“奇函数土奇函数=奇函数”、“偶函数士偶 函数=偶函数”、“奇函数X偶函数=奇函数”、“偶函数×偶函数=偶函数”、“奇函数×奇函数= 偶函数”等运算规律进行组合判断。 4、利用函数的奇偶性来求值：根据奇偶性的定义，根据定义域关于原点对称，然后利用偶函数满足 f(x)=f(-x),奇函数满足f(x)+f(-x)=0关系直接求值 【新题对点练】(2026江西南昌·二模)己知函数f(:=cos(2x+p)是奇函数，则P的一个可能取值为 () A.0 B.4 C.2 D.K 。考点03三角函数的周期性 T 1、对于y=Af(ox+p）+k形式(f为基本三角函数如sin,cos,tan),最小正周期T=, 其中 T。为f(x)的最小正周期（如sin、cos为2π，tan为π）。 2、利用三角变换化简题目中的三角函数，使变为最简形式，然后根据上面方法求周期 3/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【新题对点练】 2026宁夏吴忠三模)已知点A40B4,0为函数f)=cos(ox+p)图象上的两 个相邻对称中心， 则的最小正周期为 《。考点04三角函数的对称性 1、对于正弦函数y=Asin。x+),当心x+-+号k∈Z,X=为正孩函数的对称轴，当 0x+中=(k∈Z),x=X,为正弦函数的对称中心 2、对于y=Ac0s(⊙X+中)，当Ox+φ=k(k∈Z),X=x,为余弦函数的对称轴，当 0X,+中=+乃(k∈Z),x=x。为余弦函数的对称中心 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置·正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的 位置. 3、对于y=Ata(oX+.当@X,+中=g(k∈Z,X=X,为正切函数的对称中心.正切函数没有对 称轴，注意正切函数的对称中心有一半不在函数上，一半是正切函数与x轴交点 2n+1T, 4、对正余弦函数，已知一条对称辅α和一个对称中心b.由于对称轴和对称中心的水平距离为 则2nt1T=（2n+1r=b-al. 4 20 5、根据题目给出的对称中心或对称轴的值，来求ωx+中的值，如果含参的话，这是一个参数的表达式。 根据wX+φ的值与三角函数的对称中心或对称轴进行比较，来求其中的参数值。 【新题对点练】(26：27高三上云南阶段检)函数f()=c0号n亏图象的对称中心的坐标为 () e(华0a D.(2) 4/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 高阶思维·探究拓展 一一思想解码 。难点解读01绝对值型三角函数的性质 1、对三角函数绝对值sinx,cosx,|tanx,通过函数图像来研究其函数性质，把x轴下方部分沿x轴翻折 到上方去。 sinx:偶函数、对称轴+k,对称中心k元，最小正周期元 cosX:偶函数、对称轴，对称中心+k元，最小正周期n tanx：偶函数、对称轴k,最小正周期π 2、对sinX,cosX,tanx通过函数图像来研究其函数性质，把y轴左边部分去掉，把右边部分复制翻 折到y轴左边。 sin x:偶函数、不是周期函数 cosx:与cosx一致 tanx:偶函数、不是周期函数 《。难点破解(25-26高三上·四川绵阳阶段检测)已知函数 f(x)=2cost-lcosx Cosx,有下面四个命题： Of儿是周期西数 ②因)的图像关于直线x=2江对称 ®因的值域为川 π3π ④当f(~=a在22上有2个不同的实根x时，(：+名)f(:)的取值范国是元) 其中正确命题是 素养进阶•答题技法突破 5/19 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 高考解密·母题探究一一考法潮源 《。题型01根据三角函数性质求参◇ 【典例1】(2026全国一卷高考真题)已 f(=2sin(ar+0)(aeZ,0≤0<2r)是偶函数，f四在 0. 区间”2)单调递增.则0= 3 【典例2】(2025·全国一卷高考真题)已知点(a,0(a>0)是函 y=2tamx-3)的图象的一个对称中心， 则a的最小值为() A D. c π D.3 [5ππ1 【典例3】(2025·天津·高考真题)f(,=sin(r+p0>0,-兀<p<),在12'12上单调递增，且 x= .0 12为它的一条对称轴 E的个对心.当 f(x)的最小值为() 3 1 A.2 B.2 C.1 D.0 【典例)(2025北京商考真题）设函数儿)=si血r+oso>0,若x+)=f恒成立，且 f(x)在”4」上存在零点，则0的最小值为() A.8 B.6 C.4 D.3 【典例5】(2026北京高考真题)设函数)=血(+p0<p<2,若将'=f因的图象沿*辅的正 方向平移30个单位长度，所得图象与'=八 的图象关于x轴对称，则满足条件的”的个数为() 6/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 考点聚焦·解法深研 一一核心归纳 。题型01求三角函数的单调区间◇ 悟解题关健 1、掌握正余弦函数的图像以及其单调区间，对y=Asin(ox+0)+k(或y=Acos(ox+p)+k)的函 数，首先确定A与⊙的正负。若⊙<0，可利用诱导公式将0化为正数，简化分析。 通过单调性确定ωX+p的范围，求得x的范围为所求的单调区间。 2、对正切函数，其只有单调递增区间 3、若是复合函数，则遵循同增异减的性质 【典例1】(26-27高二·山东·学业考试模拟)下列函数在 2 上不具有单调性的是() A.y=2cosx B.y=2sinx C.y=cos2x D.y=sin2x 【典例2】(26-27高三上·天津和平阶段检测)函数f()=3sin3x+sinx(x∈(0，刃在下列哪个区间上单调 递减() π3π 【变式1】(2026·湖南郴州模拟预测)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 2 上单调递减 的是() A.y=cosxl B.y=sin2x C.y=tanx D.y=cos 【变式2】(26-27高二山东·学业考试模拟)函数 2x-)尚种调路指X同足（） 7/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 「Tmπkm,5π A.212'2+12 (k∈Z) caa+ (k∈Z) 12 D r++ke列 。题型02根据三角函数单调区间求参 悟 解题关键 根据题目给出的单调区间来求参数（不含求ω值的题型）： (1)先根据条件给出的单调区间来求ωx+p的区间范围 (2)确定目标三角函数的对应的单调区间，讨论⊙x+p的区间与三角函数的单调区间之间的关系，从 而确定参数关系。 【典例1】(26-27高三上·江苏苏州阶段检测)已知函数 5 A.2 B.2 5 D.2 【典例2】(26,27商三上北京西城阶段检测)若商数八)-s血K-cos在区间Q单调递暗，则“的最 大值是 A 〔变式】(26-27高三上四川眉山阶段检测)已知点6,0在函郑 r=m(er+plo0-2a<p<0的网安上，若因s得车行皮立，Hd区号引》上年 ππ 8/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则0=() A.3 B.6 C.9 D.12 【变式2】(2026·甘肃兰州模拟预测)若函数 则@的取值范围为() 。题型03三角函数单调性的应用◇ 悟解题关键 利用单调性比较大小、解不等式或求最值。核心是“同名化"”与“同区间化”，若不在同一单调区间，需利 用诱导公式或周期性转化到同一单调区间再比较。解不等式时，先求出一个周期内的解集，再加上周 期。 x,y,2∈ 0. 【典例1】(25-26高三上江苏泰州期中)若 2 且有x+sinr=l,y+cosy=l,z+tanz=l,则 () A.y<z<x B.z<y<x C.z<x<y D.x<z<y 【典例2】(25-26高三上江苏开学考试)已知∈0， =(sina)y=(cosa)sina,2=sinacosa ,则 x,八，2的大小关系是() A.y<x<z B.z<x<y C x<y<z D z<y<x 【变式1】(26-27高二上广西桂林阶段检测)不等式tanx≥1的解集为() 4 B{≥2+kez c.{2+<2+e 4 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(2627高三上湖北阶段检)已知西数f=2o2x+孕，则≥1的解集为(） 。题型04求三角函数的奇偶性◇ 悟 解题关健 先判断定义域是否关于原点对称，若不对称则非奇非偶。利用三角恒等变换将函数式化为最简形式（如 y=Asin @x或y=Acos @x),再代入定义验证，或直接利用“奇变偶不变”的诱导公式性质判断。 f(x)=2cos +2x 【典例1】(2026湖南邵阳模拟预测)函数 2 是() A.最小正周期为兀的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 【典例2】(26-27高三上山东济守阶段检测)若西数f()=m受的最小正周期为7则() A.T=2且()为奇函数 B.T=4且f八~)为奇函数 c.T=2且()为偶函数 D.T=4且f()为偶函数 3π）1 【安式山O-6高三全国一轮复习)商数国m(区-平)2是丰奇非得函数.( 【变式2】(26-27高三上北京开学考试)已知函数f)=smox+p@>0.则“f)=/0,是。f() 为偶函数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 。题型05根据三角函数的奇偶性求参◇ 10/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 悟解题关键 利用奇偶性定义建立恒等式（如f-x=±f引x）),或代入特殊值（例如奇函数若在x=0处有定义，则 f0=0;偶函数则导数为0)快速列方程求参。求出参数后必须代回原式检验，确保定义域对称。 f(x)=2sin(2x+)0<<I 2 【典例1】(26-27高三上黑龙江哈尔滨·阶段检测)将 2)图象向左移6个单位 长度，得到函数(x)的图象，若8(x)是偶函数，则 2 () B-V3 C.-1 D.1 【典例2】(26,27高三上湖南永州阶段检测)若西数f)=os2x-s血(x+p0<p<是钢函数，则 【变式1】(26-27高三上甘肃白银阶段检测) +p君司子p)是数则P 【变式2】(26-27高三·全国一轮复习)若函数f(x)=Atan(or+p(Ao≠0)为奇函数，则p等于() A.m(k∈Z) B.2kr(k∈ZD) c.经e D.(2k+1）π(k∈Z 。题型06求三角函数的最小正周期念 悟 解题关健 将函数化简为y=Asin (x++k或y=Acos x++k,利用T=2n 求解；正切型利用 T= 若含绝对值，通常通过画图观察，周期往往变为原来的一半。 【典例1】(26-27高三上·河北邢台阶段检测)函数 11/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. B.π C.2 D.4元 【典例2】(26-27高三上湖北黄冈·开学考试)下列函数中最小正周期等于π的是（) A.y=sin 4x B.y=tanx C.y=sin2x+cos2x D.y=sin 【变式1】(2026·重庆模拟预测)已知函数 ()-cos+) 区间(0，)恰有一个极值点，则 函数 的最小正周期可能为() A.元 B.2π C.3π D.4π 【变式2】 (26-27高三上河北保定阶段检测)函数 (x)=tam3x+5)的最小正周期为（） π 2π A.π B.3 C.3 D.6 《。题型07根据三角函数的周期求参◇ 悟 解题关健 据题意确定周期的值或周期的整数倍关系（如平移后重合即平移距离为周期的整数倍）。利用周期公式 T= 2π 或T= 0列出关于o的方程求解。 π f(x)=sin 0x+ 元 【典例1】(26-27高三全国·一轮复习)已知函数 3 (0>0)的图象向右平移6个单位 长度后与原图象重合，则①的最小值为() A.6 B.12 C.18 D.24 【典例2】(2026四川泸州：模拟预测)（多选）已知函数 J(x)=cos @x- 3o>0) 最小正周期为π， 则() 12/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.0=2 5m.0 C.()的图象关于点12)对称 D.f在上的最小值为方 【变式1】(2026高=下-全国专题练习)已知函数儿)=2s(0r+p@>0)的图象的一个最高点和最低 点的坐标分别为 则ω的值可能为() A.4 B.5 C.6 D.7 f(x)=2sin(@x+o)(@>00sp<2n 【变式2】(2026山西忻州：模拟预测)已知函数 的最小正周期为元， 其图象关于直线x=6对称，且f(0)>0,则。=一，p=一 《。题型08三角函数的对称性◇ 悟 解题关健 利用整休代换：令0x+中=+受求正弦/余弦的对称轴：令0x+0=红求正弦/余弦的对称中心；令 ⊙x+中= 求正切的对称中心。对称轴处函数取最值.对称中心处函数值为0。 2 【奥例)（25-7商三上北京医城阶段长测D函数=m(2x+p)满足，0f日) 请写出f(x)图象的一个对称中心的坐标： 【典例2(26,27高三上重庆九龙坡阶段检测)已知的数f)-2os(6in)-s血(os),写出的 个对称轴方程 则f()的最大值是 13/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(26-27高三上山东潍坊阶段检测)如 P(》是函数)osr(xeR 图象上的点，那么 g+ )就是函数8(x)图象上的点，则8()图象的一条对称轴的方程为() A.x= 6 B.x=I 3 C.xs2π 3 D.x=Sπ 6 f(x)=tan 1π 【变式2】(26-27高三上河北保定·阶段检测)函数 2x- 6的对称中心的坐标为一 。题型09根据三角函数的对称性求参® 悟解题关键 根据已知的对称轴或对称中心，整体代入对应的相位公式列方程。结合参数给定的范围（如 ⊙>0,0<<π)，对k进行赋值或讨论，求出符合范围要求的参数值。 【典例1】(26-27高三上北京东城阶段检测)已知函数f()=sinr-2 cosx(0>0),且 f(a+x)=f(a-x) 若两个不等的实数，5满足/，)=5且5h=元，则am2a=」 【典例2】(26-27高三上北京西城阶段检测)设届数f儿因)s血r+os0r(o>0,若（在区间 π3π 8’8上单调，在区间 则o的值为() 10 B.3 C.3 D.4 【变式1】(262”商三上北京顺义阶段检测)设两数)-(+引，将，内的图象沿x轴的正方 多>0)个单位长度，所得图象与”=（图象关于y轴对称，则满足条件的1的最小值为（） 向平 A.6 π 2π B.3 D.6 π C.3 14/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(26-27高三上·贵州毕节阶段检测)若函数 ()=co2r-8的图象关于点，0)对称，则正 数t的最小值为() B.6 π 7π C.16 D.16 。题型10三角函数的对称性的应用 悟解题关键 利用三角函数图象的轴对称或中心对称求解方程根的问题。若两根关于对称轴对称，则两根之和等于对 称轴横坐标的2倍；若关于对称中心对称，则两根之和等于对称中心横坐标的2倍。 【典例1】(2026山东青岛二模)已知角“B 的终边不重合，且 imnacsin+3co tan(a+B)= 【典例2】(2026天津模拟预测己知函数f)=2si如(or+p）(0>0,0<0<元)，f(d图象的两个 2 相邻对称中心之间的距离为2，且关于点(2,0 对称，若关于x的方程f(x)=m在区间[0，上有且只有 两个不同的实数根，，则 sin(+x 的所有可能取值构成的集合为() 110 A.22 B. 2’2 c.12 【变式1】(2026河北雄安·模拟预测)已知函数 且f()=f(),名≠x,则f(G+x)归 15/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(26-27高三上·福建福州·阶段检测)已知函数 若存在0≤x<≤元，满足 f心)=)广.则s+5)() 5 5 A.2 B.2 C.- 2 D. 重难攻坚·考法深研一一要点提炼 《。重难点01带绝对值三角函数的性质◇ 悟 破解袂窍 :下翻上”（对整体加绝对值）或去左翻右”（对自变量加绝对值）。最佳解题策略是画出函数图象，利 用数形结合法直接观察出函数的周期、单调区间、最值、值域及零点个数。 【典例1】(2026重庆·三模)（多选)已知函 f(x)=sinx-2.则() A.f(x+n)=f(x) Bs到 0, π c.f(x)在区间6)上单调递减 D.f(x)在区间32上单调递减 【典例2】(25.26高三上甘肃甘南阶段检测)《多选)已知函数国=5sn-6os,则下列说法正 确的是() (0 A.f(x)的图象关于点（6中心对称 16/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 π B.f()在区间2上单调递减 C.f(✉)在0,2)上有且仅有1个最小值点 D.(的值域为 【变式1】(26-27高三上北京西城阶段检测)已知函数)血x+加.下列关于西数（四的说法 正确的是() A儿四是奇函数 B.八)的最小正周期是 C,f(在0，刊上单调递增 D.f(的值域为0,2 【变式2】(25.26高三天津二轮复习设xR,用表示不超过的最大整数，则函数'=[闪被称为 高斯函数：例如-2.=-3，[2.=2，已知(y=sim+5in,8(-[f)], 则下列说法正确的是( A,函数8(x 是奇函数 B.函数8)是周期函数 Q西数g(国的图象关于直线r-受对特 D.方程28()=x只有1个实数根 优题精练•专题实战通关 0π 1,(25-26高三下河南阶段检测)已知函数f(x)=cos(2x+p(0<p<)在区间4上单调递减，则p 的取值范围是() 17/19 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ( 2.(2026天津南开一模)已知xeR,则=0，是y=0o心(2x+p)为偶函数”的《) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(25-26高三上江西阶段检测)将函数fx)=ta(2x+p)图象向左平移12个单位后得到函数g(x)的图 象若(x)为奇函数，则正实数P的最小值为() B.2 c.& D 4.（26-27商三上广西柳州-阶段检测)函数f)=sm2si血4 的最小正周期为 最 大值为 y=-tan 2x+ 5.(26-27高三上湖南阶段检测)函数 3的最小正周期为() A.3 B.6 c.2 D. V3 y= 6.(2026广东珠海模拟预测)如图，函数f(x)=sin(r+p(0>0)的图象与直线2相交，A、B、C 是相邻的三个交点，且BC-AB牛子，则0=() A.3 B.4 C.5 D.6 7.(25-26高三上：安徽毫州期未)已知函数/0=sin'x,8(=sin2x 2x,若，满足 18/19 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 f()=8()=f)≠8).则8(5)F() A. 4 1 B.5 c. 8.(2026湖南株洲·三模)若函数 称中心完全一致，则=() A B.6 (,0 9.(2026重庆模拟预测)函数f(x)=tan(@r+p(0>0)的图象关于点(12对称，且直线y=1与函数 f(x)图象的相邻两交点间距离为2，则正实数φ的最小值为() A音 B.6 10.(2026高三全国专题练习)已知下列函数中，最小正周期为2的是() A.y=cos2x Bm(+到 C.y=sin2x D.y=cos2 19/19