专题02 三角函数的图象与性质综合（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦三角函数的图象与性质综合专题，涵盖正弦余弦正切函数图象性质、y=Asin(ωx+φ)概念及变换，通过基础梳理与高阶探究分层搭建知识体系。 清单采用考点深研与素养进阶双路径设计，基础层梳理五点法作图等核心考点，高阶层通过单调性、对称性等难点解读培养数学思维，题型突破模块结合高考母题提炼解题范式，易错剖析标注有界性等避坑要点，知识脑图与优题精练助力学生系统备考，教师可据此精准指导复习方向。

专题02 三角函数的图象与性质综合 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01三角函数的图象与性质 考点02函数y＝Asin(ωx＋φ) ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01利用三角函数的单调性求ω 难点解读02利用三角函数的对称性（奇偶性）求ω 难点解读03利用三角函数零点求ω 难点解读04利用三角函数的最值(值域)求ω 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01三角函数的图象与性质 题型02三角函数图象变换 ▶重点突破・考法深研 重点01三角函数的单调区间求解 重点02三角函数的奇偶性问题 重点03三角函数的对称性问题 重点04由图象确定三角函数的解析式 重点05三角函数的图象变换 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01三角函数定义域的求法 技法点拨02三角函数的最值及值域 技法点拨03与图象平移有关的参数问题 技法点拨04三角函数的应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视三角函数的有界性 易错点02三角函数单调性判断错误 易错点03图象变换的方向把握不准 易错点04用零点确定φ，忽略图象的升降 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 【新题对点练】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】，周期为，A正确； 当时，，所以在上单调递增，B正确； 因为，所以不是的对称中心，C不正确； 因为，是的最小值，所以的图象关于直线对称，D正确. 故选：ABD 考点02 函数y＝Asin(ωx＋φ) 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 【新题对点练】（2026·新疆·二模）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到图象对应的函数解析式为， 再将所得图象向右平移个单位长度， 得到的图象对应的函数解析式为. 难点解读01 利用三角函数的单调性求ω 1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； 2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； 3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 难点破解 【典例1】（25-26高三上·河南平顶山·阶段检测）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【解析】方法一：由正弦函数的单调性， 令，解得， 又在单调， 所以当时，，即，解得， 所以的最大值为3. 方法二：在单调， 故， 所以的最大值为3.故选：B 【典例2】（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ，，解得； ，； ，得； 的最大值为. 难点解读02 利用三角函数的对称性（奇偶性）求ω （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 难点破解 【典例1】（25-26高三上·湖南·阶段检测）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】函数的图象关于直线对称， 所以，，得，， 因为，所以当时，取最小值，为，故选：A. 【典例2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由题意可知，，， 所以，，即，. 又，所以，，所以，. 因为，所以当时，取得最小值：.故选：B. 难点解读03 利用三角函数零点求ω 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定ω的取值．对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值． 难点破解 【典例1】（24-25高三下·湖南·阶段检测）若函数在内有2个零点，则的最大值为______________. 【答案】 【解析】已知，根据辅助角公式得到. 令，即，则. 所以，，解关于的方程可得，. 因为， 当时，； 当时，； 当时，. 由于函数在内有个零点， 所以.解得的取值范围是. 可知，的最大值为. 【典例2】（2026·河北承德·一模）已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知， 令，即，即， 所以，或， 解得，或， 则非负根从小到大依次为，，，，⋯， 又因为在区间上有三个零点， 所以，解得. 难点解读04 利用三角函数的最值(值域)求ω 求三角函数或的最值（值域）问题，一般在利用单调性分析、解不等式的基础上，利用三角函数的最值与图象的对称性的关系进一步解不等式（组），缩小ω的取值范围． 难点破解 【典例1】（24-25高三下·浙江·开学考试）若函数在上有且仅有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 若在上有且仅有两个极值点， 则由的图像可得，解得.故选：C 【典例2】已知函数，的最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，当时，， 因为函数的最大值为，即的最大值为， 所以，解得. 素养进阶·答题技法突破 题型01 三角函数的图象与性质综合 考情定位：中档高频综合题型，融合周期、单调、对称、最值、零点多性质，区分度较好，常作为选填压轴、解答第一问综合考查． 核心考法：①求函数周期、单调区间、对称轴与对称中心；②给定区间求最值、值域；③根据单调性、零点、对称性求参数范围；④多三角函数组合性质分析． 解题要点：采用整体换元思想，将ωx+φ视为整体，结合基础三角函数图象与性质求解，严格锁定题目给定自变量区间，局部区间结合图象分析走势，杜绝直接套用全域性质导致错解． 【典例1】（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 【答案】； 【解析】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且，则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 【典例2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 题型02 三角函数的图象变换 考情定位：选填高频基础题型，单独考查或融入解析式求解，侧重图象变换规则与逻辑辨析，属于三角函数必备基础题型． 核心考法：①单一平移、伸缩、对称变换；②平移伸缩叠加复合变换；③不同顺序变换结果辨析；④根据变换结果反求原函数参数． 解题要点：所有变换严格针对自变量x进行，牢记“左加右减、横向变周期、纵向变振幅”，区分先后变换差异，分步书写、不跳步，变换后结合关键点核验图象位置． 【典例1】（2021·全国乙卷·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以.故选：B. 【典例2】（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知：曲线为， 又关于轴对称，则，解得， 又，故当时，的最小值为.故选：C. 重点01 三角函数的单调区间求解 1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； 2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 【典例1】（25-26高三上·江苏·阶段检测）下列区间上函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 所以函数的单调递减区间为， 当时，，则. 经检验ACD均不满足题意.故选：B. 【典例2】（2025高三上·广东东莞·专题练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】A 【解析】由，可得， 则函数的单调递减区间为， 由，可得， 则函数的单调递增区间为， 在上单调递增，上单调递减，故A正确，BCD错误.故选：A. 重点02 三角函数的奇偶性问题 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【典例1】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，则， 又，则当时，， 故的最小值为. 故选：B． 【典例2】（2025·湖南长沙·三模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：为函数的对称轴， 则，则， 对于选项A：令，解得，不合题意； 对于选项B：令，解得，符合题意； 对于选项C：令，解得，不合题意； 对于选项D：令，解得，不合题意； 故选：B. 重点03 三角函数的对称性问题 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z． 【典例1】（2026·辽宁大连·一模）函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，余弦函数的对称中心为， 令，解得， 则函数的对称中心为，排除选项， 时，，对应选项， 对于选项，当时，， 故点不在函数图象上，不是对称中心，错误故选：D 【典例2】（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意得，，解得，， 由 得 ，则 . 重点04 由图象确定三角函数的解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝． (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝． (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 【典例1】（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知．设的最小正周期为，则，解得． 由，解得，则，将点代入方程中，得， 所以，，解得，． 因为，所以，所以．故选：A. 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，如图所示的函数曲线所对应的函数解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知：图中函数的周期为, 而的周期为， 而选项AB中的函数周期均为,不符合题意，舍去， 对于D, ， 当时，，不符合要求， 对于C, ， 最小正周期为，当时，，符合要求.故选：C. 重点05 三角函数的图象变换 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同． 【典例1】（2026·湖北武汉·三模）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【解析】对函数做横坐标伸缩变换，将图像上每个点的横坐标缩短到原来的， 纵坐标保持不变，得到新函数的图象， 根据平移变换的“左加右减”规则，将变形为目标函数：， 可知需要将的图象向右平移个单位，即可得到目标函数的图象，B选项正确. 【典例2】（2026·广东广州·三模）（多选）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】AD 【解析】把函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数的图象，A正确； 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数的图象，B错误； 把函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数的图象，C错误； 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数的图象，D正确；故选：AD. 技法点拨01 三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 【典例1】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，即， 又，故，即定义域为.故选：C. 【典例2】（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得.故选：D. 技法点拨02 三角函数的最值与值域 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 【典例1】（24-25高三下·云南昆明·阶段检测）函数在上的最大值是_________. 【答案】1 【解析】， 当时，， 所以由余弦函数的性质可知，当时，即时，有. 【典例2】（25-26高三上·宁夏陕西·阶段检测）已知函数，则的最大值是___． 【答案】 【解析】，令，则. 则，故当，即时，取到最大值， 所以． 技法点拨03 与图象平移有关的参数问题 1、平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中． 【典例1】（25-26高三上·贵州·阶段检测）将函数（）的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】D 【解析】由题意得， 则，即，． 因为，则当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为．故选：D. 【典例2】（2025·江苏·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由函数的图像向右平移个单位长度后， 所得图像与原来的图像重合，则是函数的一个周期， 所以，化简可得，其中，由，则， 可得，令，解得，其中， 所以函数的对称中心为，其中， 令，化简可得，则 故函数在上的对称中心为， 由，则，则函数在上单调递减， 由，且，则，即， 所以.故选：D. 技法点拨04 三角函数的应用 针对周期性变化的实际应用题型，遵循“建模—化简—求参—还原”标准化解题流程，根据往复波动、周期变化的实际规律，建立y＝Asin(ωx＋φ)＋k三角函数模型；结合实际周期、最值、初始状态快速确定振幅、角速度、初相与平衡位置，利用三角函数性质求解周期、最值、特定时刻状态，最终将数学结果还原为实际问题结论，严格贴合实际情境取舍有效解． 【典例1】（2026·广东广州·三模）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动即时的位置在 B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 C．小球往复运动一次所需时间为 D．每秒钟小球能往复振动次 【答案】ABC 【解析】对于A，由题意可得当时，， 故小球在开始振动时的位置在；故A正确； 对于B，由解析式可得振幅，故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为；故B正确； 对于C，可得函数的周期为，故小球往复运动一次需；故C正确； 对于D，由C可知，，可得频率为（），即每秒钟小球能往复振动次，故D不正确. 【典例2】（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（    ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 【答案】BCD 【解析】设游客甲距离地面的高度与时间的函数为， 由题意，，所以， 由摩天轮转一周需要，知座舱转动的角速度约为，故， 则， 又游客甲坐2号舱位，当时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以， 即，所以，所以， 不妨取，则，故，A错误； 由于摩天轮旋转一周需24分钟，故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时， 需经历分钟，B正确； 根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为： ， 则开启后第10分钟游客乙距离地面高度为米，C正确； 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客甲在下降， 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客乙也在下降， 即开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同，D正确. 易错点01 忽视三角函数的有界性 辨析：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性． 【典例1】函数的值域为______． 【答案】 【解析】， 设，则，， 则在上单调递减，， 故函数的值域为. 【典例2】（2026·湖南常德·二模）函数的值域为___________． 【答案】 【解析】因为，所以，所以定义域为， 由题可知，， 令，不妨设， 则， 令，解得或， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 又， 所以，即，所以． 易错点02 三角函数单调性判断错误 辨析：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决． 【典例1】（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，则函数的单调递减区间是__________ 【答案】 【解析】因为函数， 所以， 由得：， 的单调递减区间为. 【典例2】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数， 故函数的单调递增区间，即函数的减区间． 令，，求得， 故所求的函数的单调递增区间是.故选：B 易错点03 图象变换的方向把握不准 辨析：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为． 【典例1】（25-26高三下·广东广州·阶段检测）要得到函数的图象，需要把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】要得到函数的图象， 要得到函数的图象， 需要把函数的图象向左平移个单位长度；故选：C 【典例2】（26-27高三上·贵州·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【解析】由题， 所以的图象可由的图象向左平移个单位得到. 易错点04 用零点确定φ，忽略图象的升降 辨析：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π. 【典例1】（25-26高三下·四川乐山·阶段检测）如图是函数的部分图象，其中，则该函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题图知，函数的最小正周期，所以，则， 由图可知，点附近函数单调递增， 代入，可得，则， 又，则，所以. 【典例2】（25-26高三上·河南商丘·阶段检测）如图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：，解得， 设函数的最小正周期为， 则，可得， 且，则，解得，可得， 代入点可得，即， 又因为，则， 可得，解得， 所以.故选：C. 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·四川成都·二模）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 【答案】B 【解析】若，则， 结合正弦函数单调性可知函数在上有增有减，不单调； 若，则， 结合正弦函数单调性可知函数在上单调递增. 2．（24-25高三下·四川内江·阶段检测）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数为偶函数，所以. 又，所以，解得， 代入检验，得到，显然符合题意.故选：B. 3．（2026·河北沧州·一模）已知函数图象的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以函数的图象是由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到的， 又因为函数的对称中心为， 由题意可得， 令，得， 将代入得，，从而得， 所以. 4．（2025·湖南张家界·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得函数解析式为， 因为的图象关于轴对称，即为偶函数， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，函数的图象与轴交于点，与直线的两个交点为，若，则（    ） A． B． C． D．-1 【答案】C 【解析】由，可知，在处函数单调递减，则， 因为时相邻两解差的绝对值的最小值为， 所以，解得，则， 所以． 6．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，即， 所以，，解得，. 7．（25-26高三上·山西·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，且时，， 由函数在区间上单调递增， 故，解得，即. 当时，， 由函数在区间内至少有一个零点， 则，解得. 综上所述，，则的取值范围是.故选：B. 8．（25-26高三上·福建莆田·阶段检测）已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【解析】因为函数是奇函数， 所以，而，则， 此时， 由是图象的一条对称轴， 所以，则， 又在区间上单调，则，即，则或6， 当时，， 由，则，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递减，满足题意； 当时，， 由，则，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递减，满足题意. 综上所述，或6.故选：B. 二、多选题 9．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知弹簧上挂着的小球在做简谐运动，它在时间t处相对平衡位置的高度 ．若小球在和时均距离平衡位置最远，则下面说法正确的是（   ） A．该简谐运动的振幅为2 B． C．当时，小球经过平衡位置 D．当时，小球的瞬时速度大小为 【答案】AC 【解析】函数的最小正周期，由小球在和时均距离平衡位置最远， 得，则，由，得，而， 因此或，当时，，，当，不符合题意， 当时，，，当和时，函数分别取得最大值和最小值， 符合题意，则， 对于A，该简谐运动的振幅为2，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，即当时，小球经过平衡位置，C正确； 对于D，求导得，， 小球的瞬时速度大小为，D错误. 10．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【解析】已知函数，最小正周期为，故A正确； 的图像向左平移个单位得： ，故B错误； 正弦函数对称轴满足， 代入得，满足对称轴条件，故C正确； 令，即， 区间包含递减区间和递增区间，故D错误． 11．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B．若，，则在区间上单调递增 C．若，，则的图象关于点对称 D．若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个 【答案】BCD 【解析】对于A选项，由于，由得， 故函数的定义域为，A错； 对于B选项，若，，则， 当时，，故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，若，，则， 所以，故的图象关于点对称，C对； 对于D选项，若，则， 因为，当时，， 令，则， 因为，则， 因为， 所以函数在区间不同零点共有个，D对. 三、填空题 12．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】因为上有且仅有2个零点， 所以，所以. 13．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________． 【答案】 【解析】如图： ①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，由图可得， 又面积为，所以.设函数的最小正周期为T，则. 由题意得，解得，即， 又，解得. 14．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数，则的最大值为______. 【答案】 【解析】由题意得，可得，解得， 则， 令，因为，所以， 则原函数可化为，由二次函数性质得其对称轴为，且图象开口向下， 可得，即的最大值为. 故答案为： 四、解答题 15．（2025·山东聊城·模拟预测）已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且为偶函数. (1)求及的值； (2)求图象的对称中心的坐标； (3)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）根据题意可得的最小正周期，所以 则. 因为为偶函数，所以，解得. 因为，所以. （2）由（1）知， 令， 解得， 所以图象的对称中心的坐标为. （3）由，得， 则，解得. 因为，所以或， 即不等式的解集为. 16．（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【解析】（1）由题可知， 则， 最小正周期． （2）当时，，， 所以值域为； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到 的图象， 再向上平移个单位长度，得到． 当时，，． 方程有两个不同实数解，即 有两个不同解， 等价于在上有两个不同解． 结合正弦函数图像，可知，解得． $专题02 三角函数的图象与性质综合 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01三角函数的图象与性质 考点02函数y＝Asin(ωx＋φ) ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01利用三角函数的单调性求ω 难点解读02利用三角函数的对称性（奇偶性）求ω 难点解读03利用三角函数零点求ω 难点解读04利用三角函数的最值(值域)求ω 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01三角函数的图象与性质 题型02三角函数图象变换 ▶重点突破・考法深研 重点01三角函数的单调区间求解 重点02三角函数的奇偶性问题 重点03三角函数的对称性问题 重点04由图象确定三角函数的解析式 重点05三角函数的图象变换 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01三角函数定义域的求法 技法点拨02三角函数的最值及值域 技法点拨03与图象平移有关的参数问题 技法点拨04三角函数的应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01忽视三角函数的有界性 易错点02三角函数单调性判断错误 易错点03图象变换的方向把握不准 易错点04用零点确定φ，忽略图象的升降 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 【新题对点练】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 考点02 函数y＝Asin(ωx＋φ) 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 【新题对点练】（2026·新疆·二模）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 难点解读01 利用三角函数的单调性求ω 1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； 2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； 3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 【典例1】（25-26高三上·河南平顶山·阶段检测）已知函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【典例2】（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 难点解读02 利用三角函数的对称性（奇偶性）求ω （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 【典例1】（25-26高三上·湖南·阶段检测）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【典例2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 难点解读03 利用三角函数零点求ω 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定ω的取值．对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值． 【典例1】（24-25高三下·湖南·阶段检测）若函数在内有2个零点，则的最大值为______________. 【典例2】（2026·河北承德·一模）已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 难点解读04 利用三角函数的最值(值域)求ω 求三角函数或的最值（值域）问题，一般在利用单调性分析、解不等式的基础上，利用三角函数的最值与图象的对称性的关系进一步解不等式（组），缩小ω的取值范围． 【典例1】（24-25高三下·浙江·开学考试）若函数在上有且仅有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数，的最大值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 素养进阶·答题技法突破 题型01 三角函数的图象与性质综合 考情定位：中档高频综合题型，融合周期、单调、对称、最值、零点多性质，区分度较好，常作为选填压轴、解答第一问综合考查． 核心考法：①求函数周期、单调区间、对称轴与对称中心；②给定区间求最值、值域；③根据单调性、零点、对称性求参数范围；④多三角函数组合性质分析． 解题要点：采用整体换元思想，将ωx+φ视为整体，结合基础三角函数图象与性质求解，严格锁定题目给定自变量区间，局部区间结合图象分析走势，杜绝直接套用全域性质导致错解． 【典例1】（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 【典例2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 题型02 三角函数的图象变换 考情定位：选填高频基础题型，单独考查或融入解析式求解，侧重图象变换规则与逻辑辨析，属于三角函数必备基础题型． 核心考法：①单一平移、伸缩、对称变换；②平移伸缩叠加复合变换；③不同顺序变换结果辨析；④根据变换结果反求原函数参数． 解题要点：所有变换严格针对自变量x进行，牢记“左加右减、横向变周期、纵向变振幅”，区分先后变换差异，分步书写、不跳步，变换后结合关键点核验图象位置． 【典例1】（2021·全国乙卷·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2022·全国甲卷·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 重点01 三角函数的单调区间求解 1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； 2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 【典例1】（25-26高三上·江苏·阶段检测）下列区间上函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025高三上·广东东莞·专题练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 重点02 三角函数的奇偶性问题 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【典例1】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·湖南长沙·三模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 重点03 三角函数的对称性问题 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z． 【典例1】（2026·辽宁大连·一模）函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 重点04 由图象确定三角函数的解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝． (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝． (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 【典例1】（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，如图所示的函数曲线所对应的函数解析式可以为（    ） A． B． C． D． 重点05 三角函数的图象变换 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同． 【典例1】（2026·湖北武汉·三模）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【典例2】（2026·广东广州·三模）（多选）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 技法点拨01 三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 【典例1】（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 技法点拨02 三角函数的最值与值域 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 【典例1】（24-25高三下·云南昆明·阶段检测）函数在上的最大值是_________. 【典例2】（25-26高三上·宁夏陕西·阶段检测）已知函数，则的最大值是___． 技法点拨03 与图象平移有关的参数问题 1、平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中． 【典例1】（25-26高三上·贵州·阶段检测）将函数（）的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【典例2】（2025·江苏·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（    ） A． B．2 C． D． 技法点拨04 三角函数的应用 针对周期性变化的实际应用题型，遵循“建模—化简—求参—还原”标准化解题流程，根据往复波动、周期变化的实际规律，建立y＝Asin(ωx＋φ)＋k三角函数模型；结合实际周期、最值、初始状态快速确定振幅、角速度、初相与平衡位置，利用三角函数性质求解周期、最值、特定时刻状态，最终将数学结果还原为实际问题结论，严格贴合实际情境取舍有效解． 【典例1】（2026·广东广州·三模）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动即时的位置在 B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 C．小球往复运动一次所需时间为 D．每秒钟小球能往复振动次 【典例2】（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（    ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 易错点01 忽视三角函数的有界性 辨析：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性． 【典例1】函数的值域为______． 【典例2】（2026·湖南常德·二模）函数的值域为___________． 易错点02 三角函数单调性判断错误 辨析：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决． 【典例1】（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，则函数的单调递减区间是__________ 【典例2】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 易错点03 图象变换的方向把握不准 辨析：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为． 【典例1】（25-26高三下·广东广州·阶段检测）要得到函数的图象，需要把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【典例2】（26-27高三上·贵州·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 易错点04 用零点确定φ，忽略图象的升降 辨析：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π. 【典例1】（25-26高三下·四川乐山·阶段检测）如图是函数的部分图象，其中，则该函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·河南商丘·阶段检测）如图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（2026·四川成都·二模）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 2．（24-25高三下·四川内江·阶段检测）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 3．（2026·河北沧州·一模）已知函数图象的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南张家界·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，函数的图象与轴交于点，与直线的两个交点为，若，则（    ） A． B． C． D．-1 6．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山西·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·福建莆田·阶段检测）已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 二、多选题 9．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知弹簧上挂着的小球在做简谐运动，它在时间t处相对平衡位置的高度 ．若小球在和时均距离平衡位置最远，则下面说法正确的是（   ） A．该简谐运动的振幅为2 B． C．当时，小球经过平衡位置 D．当时，小球的瞬时速度大小为 10．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 11．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B．若，，则在区间上单调递增 C．若，，则的图象关于点对称 D．若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个 三、填空题 12．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是__________. 13．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________． 14．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数，则的最大值为______. 四、解答题 15．（2025·山东聊城·模拟预测）已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且为偶函数. (1)求及的值； (2)求图象的对称中心的坐标； (3)当时，求不等式的解集. 16．（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． $