专题02 三角函数的图象与性质综合（题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦三角函数的图象与性质综合专题，涵盖定义域、最值与值域、单调区间、ω取值、奇偶性、对称性、零点、解析式、图象变换及应用等14类核心题型，构建系统的考法知识体系。 清单通过题型脑图梳理核心考法，考法深研模块总结如代换法、化一法等解题技能，例题搭配培养数学思维与应用意识。特设方法提炼与易错提示，如解三角不等式强调周期与k∈Z，助力学生自主高效复习，为教师提供针对性教学支持。

专题02 三角函数的图象与性质综合 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 三角函数的定义域问题 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段检测）的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 函数的定义域为：， 函数的定义域：，则，即， 所以的定义域为故选：A 2．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】有意义满足， 即，，解得，故选：D 3．（25-26高三·全国·一轮复习）函数y＝ 的定义域为________． 【答案】 【解析】作出函数的图象，如图所示， 由，即， 由图象及函数的周期性和单调性可知的解集为， 从而函数的定义域为：. 故答案为：. 4．函数的定义域是______． 【答案】 【解析】函数的定义域满足：， 即，注意到， ，， 则， ，，其中. 从而，. 题型02 三角函数的最值与值域 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 5．（25-26高三上·重庆·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】因为， 当，即时，函数取到最大值.故选：B. 6．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）函数的最大值是（    ） A．-6 B．-4 C．4 D．6 【答案】D 【解析】由， 设，因，则， 因在上单调递增， 故当时，函数取得最大值为6.故选：D. 7．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数，若，则在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，，得， 则， 由，得，得， 得，得函数的值域为．故选：D 8．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】因为. 当时，取最大值为5. 此时，所以. 化简得. 由于，化简得，解得， 所以或. 因为，所以在第四象限， 所以在第二或第四象限，所以，所以.故选：C. 题型03 求三角函数的单调区间 1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； 2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 9．（2026·广西桂林·二模）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，得， 则函数在上单调递增， 当时，真包含于，因此是函数的单调区间，A是； 不存在整数，使得选项BCD为的子集，BCD不是. 10．（2026·福建三明·二模）下列区间是函数的一个单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以令，解得， 当时，单调递增区间为， 因为， 所以是函数的一个单调递增区间. 11．（2026·江西九江·一模）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，. 由余弦曲线知在上单调递减，又是增函数， 由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故A不符合题意； 由正弦曲线知在上先单调递增再单调递减，又是增函数， 由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上先单调递增再单调递减，故C不符合题意； 当时，，由正弦曲线知在上单调递增，又是增函数， 由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递增，故B符合题意； 当时，，由正切曲线知在上单调递增，又是减函数， 由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故D不符合题意. 故选：B. 12．（25-26高三上·湖北黄冈·期中）函数在上的单调递减区间为_____. 【答案】 【解析】由积化和差公式得 ， 令，解得， 当时，，则在上的单调递减区间为. 题型04 单调性与ω的取值 1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； 2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； 3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解． 13．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令， 得， 所以的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增， 所以，，解得， 当，得； 当，且，无交集； 当，由可知显然不符合题意， 所以的取值范围为． 14．（2026·河南·三模）已知命题：函数在区间内单调递增，则的一个充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得. 因为且区间的长度为， 所以要使函数在区间内单调递增， 则，可得. 即命题：. 所以的一个充分条件为，故C正确. 15．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即． 因为， 所以函数在上单调递增， 等价于或，解不等式得或， 所以的取值范围是． 16．（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为______. 【答案】1 【解析】， ，， ，， 的最大值为. 题型05 三角函数的奇偶性问题 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 17．（2026·山东·模拟预测）若函数为偶函数，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】由辅助角公式可得：， 因为为偶函数，所以，解得， 当时， 取得最小值为. 18．（2026·河南开封·模拟预测）若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为定义在上的奇函数，得， 即，，. 结合，得. 所以. 验证奇偶性：，满足奇函数定义. 因此，. 19．（2026·江西南昌·二模）已知函数是奇函数，则的一个可能取值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】若是奇函数，根据奇函数性质：在定义域内时，必有， 代入得： 解得，当时，，符合要求. 当时，，是奇函数； 对于AD：、对应为偶函数； 对于B：对应非奇非偶，均不符合. 20．（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则， 因为，所以的最小值是，故选：B. 题型06 三角函数的对称性问题 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z． 21．（2026·山东聊城·一模）已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，令，，解得函数的对称轴为：， 令，得，令，得，令，得，令，得， 所以函数的图象离直线最近的对称轴方程为． 22．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，．若的图象关于直线对称，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】由于正弦曲线的对称轴为， 已知的图象关于对称， 所以将 代入可得：，整理可得：， 又因为，取 ，得. 23．（2026·四川成都·三模）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点是函数图象的一个对称中心，可得， 解得，当时，取得最小正值为． 24．（2026·河北·模拟预测）若直线是函数的图象的一条对称轴，则函数的图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正弦函数的图象的对称轴满足， 已知是的一条对称轴，代入可得： ， 整理得， 又，取，得， 正切函数的图象的对称中心满足，令， 解得 因此的图象的对称中心为. 题型07 对称（奇偶）性与ω的取值 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 25．（2026·四川绵阳·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，. 因为是偶函数，所以，，解得，， 又，所以的最小值是. 26．（24-25高三上·山东德州·阶段检测）已知函数的图像关于原点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的图像关于原点中心对称, 则，解得， 因为，当时，取得最小值.故选：B 27．（24-25高三上·浙江·开学考试）函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 由的图象在区间上恰有一个对称中心，得， 所以.故选：C 28．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数（，），若满足条件：，，且在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知函数（，）， 因为，所以的图象关于点中心对称， 则有， 又因为，所以的图象关于直线对称， 则有， 因此，化简得， 则是一个奇数， 又因为在上单调，所以，解得， 根据选项，的可能取值为， ①当时，则有，解得，由于，所以， 此时，则，解得， 当时，，函数在不单调，因此不符合题意， ②当时，则有，解得，由于，所以， 此时，则，解得， 当时，，函数在单调递增，因此符合题意， 因此，则的最大值为，故D正确. 题型08 最值（值域）与ω的取值 求三角函数或的最值（值域）问题，一般在利用单调性分析、解不等式的基础上，利用三角函数的最值与图象的对称性的关系进一步解不等式（组），缩小ω的取值范围． 29．（25-26高三上·广西崇左·阶段检测）已知函数在上的最小值为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】由，可得：， 令 由题意可知：在可取到， 结合余弦函数的性质可知需满足：，解得， 所以的最小值为， 30．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段检测）已知函数（）在上有最小值没有最大值，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】， 当时，，若在上有最小值没有最大值， 则，所以. 故答案为： 31．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知定义在上的函数 有最小值，但无最大值，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 因为，，则， 又有最小值，但无最大值，所以，解得 32．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知函数,若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于的取值范围是， ，所以当且仅当 且 ， 因为，所以， 要使在上能取到，则区间 内至少要包含一个形如的数， 其中最小的可能值为(当时)，故需满足，解得； 要使在上能取到，则区间 内至少要包含一个形如的数， 其中最小的可能值为(当时)，故需满足， 解得；为使，均在内，需同时满足和， 因此最小的为. 题型09 三角函数零点与ω的取值 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定ω的取值．对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值． 33．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数（其中）在区间上没有零点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数在区间上没有零点， 可得区间长度不超过周期的一半，所以，则； 故的零点必须满足，或； 令，，可得； 故或， 可得或， 因为， 故当时，可得或； 当时，或， 得到的取值范围为． 34．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，令，即，，，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因为在内恰有两个零点，   ． 方法二：根据题意，令， 即，. 由函数在区间上恰有两个零点，得恰有两个解. 当时，， 所以，解得.故选：C. 35．（25-26高三上·宁夏·阶段检测）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 由在区间上恰好有3个零点，得，解得， 所以的取值范围是.故选：C 36．（25-26高三下·山东菏泽·阶段检测）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】由， 令，，当时，， 因为在上有且仅有4个零点， 即在上有且仅有4个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为． 题型10 由图象确定三角函数解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝． (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝． (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 37．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为图象过点，所以， 为函数递减区间上的零点，可得，，即， 因为，所以.故选：A. 38．（2025·江苏淮安·模拟预测）函数的图像如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】观察图象可得函数的最大值为，最小值为，又，所以， 又∵，∴，∴， 因为时函数取最大值， 所以，， 又，∴， ∴.故选：C. 39．（25-26高三上·四川乐山·阶段检测）已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得， 则,解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数.故选：A 40．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为三点，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为，所以，则， 所以，则， 又， 则，又，则， 所以，由，得， 因此，又，解得，所以， 则，解得， 所以，则，故选：C 题型11 三角函数的图象变换过程 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同． 41．（25-26高三上·重庆渝北·阶段检测）为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】， 只需要将函数的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象，故选：D ．（24-25高三上·山东济宁·阶段检测）要得到的图象，只需把图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【解析】因为，所以要得到的图象， 只需把图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变.故选：A. 43．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】依题意，得，得， 所以，， ， 需要将函数的图象向左平移个单位长度.故选：A. 44．（24-25高三下·山东聊城·阶段检测）要得到的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【解析】由辅助角公式得;， 由诱导公式得：， 所以只需要将向左移可得，故选：C. 题型12 求图象变换前后的解析式 所有平移、伸缩、对称变换，只能针对单独的自变量x进行变形，绝对不能对x和系数、相位的整体式子直接变换；正向变换按照规则一步步改写函数解析式，逆向变换反向推导还原式子；变换完成后，务必代入特殊关键点验证解析式是否正确，重点规避非1倍周期下平移距离算错、变换前后参数对应错乱等高频失分问题． 45．（25-26高三上·河北·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则函数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象， 所以.故选：C. 46．（25-26高三上·山西晋城·阶段检测）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象．故选：A． 47．（25-26高三上·辽宁·期末）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 结合选项可知A正确.故选：A. 48．（25-26高三上·安徽池州·阶段检测）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象．则函数的一个解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】把函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，纵坐标不变，可得的图象， 结合题意可得， 令，得，可得， 所以，B项符合题意，其余选项均不符合题意.故选：B 题型13 与图象平移有关的参数问题 1、平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中． 49．（25-26高三上·山东淄博·期末）若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】将函数的图象向右平移得到， 将点代入得， 所以，解得，又， 所以，故选：B. 50．（25-26高一下·湖北武汉·期中）若函数的图象向右平移后图象关于对称，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数的图象向右平移后可得函数 的图象. 因为其对称轴为，所以，. 所以，. 结合答案，. 51．（24-25高三上·湖北·阶段检测）将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后 得到的图象， 又，， 由题可知，，，解得，， 又，当时，取得最小值.故选：B. 52．（2024·四川绵阳·模拟预测）函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】函数图象向左平移个单位长度后， 得的图象， 由已知得， 所以， 所以， 所以，，所以，， 因为，所以的最小值为3，故选：C. 题型14 三角函数的应用 针对周期性变化的实际应用题型，遵循“建模—化简—求参—还原”标准化解题流程，根据往复波动、周期变化的实际规律，建立y＝Asin(ωx＋φ)＋k三角函数模型；结合实际周期、最值、初始状态快速确定振幅、角速度、初相与平衡位置，利用三角函数性质求解周期、最值、特定时刻状态，最终将数学结果还原为实际问题结论，严格贴合实际情境取舍有效解． 53．（24-25高三下·安徽合肥·阶段检测）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示．在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或以上的单音相叠加为和弦．若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设图①和图②所表示的正弦函数分别为， 由图①可得，又函数图象过点，所以， 所以，结合图象可得，所以， 所以， 由图②可得周期为， 又，所以，可得， 所以该和弦可以表示为， 则，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误， 故该和弦的一个周期可能为．故选：C. 54．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（    ） A．关于的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需用时10秒 C．从计时开始再次接触水面需用时15秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】A 【解析】由题可设函数， 其中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A正确； 由A可知，点P第一次到达最高点需用时秒，B错误； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C错误； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．故选：A 55．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）（多选）潮汐是海洋在日月引力作用下产生的周期性涨落现象．某港口一天的海水水位变化近似满足关系式，其中表示海水水位，表示时间，则（    ） A．曲线的振幅为2 B．曲线的最小正周期为12 C．曲线关于点中心对称 D． 时，函数的值域为 【答案】ABD 【解析】对于A，曲线 的振幅为2，故A正确． 对于B，曲线 的最小正周期 ，故B正确． 对于C，由，得， 所以曲线 的图象的对称中心为，故C错误． 对于D，时，，此时， 则函数 的值域为，故D正确． 故选：ABD． 56．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条水平直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的半径为___________． 【答案】10 【解析】设该球体建筑物的半径为，根据题意作示意图如下，均为球的半径， ， ， ， ，即 ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角函数的图象与性质综合 题型脑图•核心考法构建 题型1三角函数的定义域问题 题型8最值（值域）与ω的取值 题型2三角函数的最值与值域 题型9三角函数零点与ω的取值 题型3求三角函数的单调区间 题型10由图象确定三角函数解析式 题型4单调性与ω的取值 三角函数的图象与性质综合 题型11三角函数的图象变换过程 题型5三角函数的奇偶性问题 题型12求图象变换前后的解析式 题型6三角函数的对称性问题 题型13与图象平移有关的参数问题 题型7对称（奇偶）性与ω的取值 题型14三角函数的应用 考法深研•解题技能通关 题型01三角函数的定义域问题 点方法技巧 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数图象来求解 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略. 1.(24-25高三上·四川绵阳·阶段检测)y=g(tanx-)的定义域为( A.x2 +m>x>元+m,keZ 4 B. c. +km,keZ L元k,keZ D.>4+2 V16-x2 2.(25-26高三上·江西赣州阶段检测)函数y= Ig(sinx) 的定义域是( A.[-4,4] ▣.经4 1/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.〔-4，-mU(0,网 D.4-nu0经j 3.(25-26高三·全国·一轮复习)函数y=√W2+2c0sx的定义域为 1+2cosx 4.函数y= lg(2sinr+1） 的定义域是」 题型02三角函数的最值与值域 点方法技巧 l、直接法：形如y=sinx十k或y=acos x十k的三角函数，直接利用sinx,cosx的值域求出； 2、化一法：形如y=sinx+bcos x十k的三角函数，化为y=Asim(ox十o)十k的形式，确定ox+o的范 围，根据正弦函数单调性写出函数的值域（最值）： 3、换元法： (1)形如y=asinx十bsin x十k的三角函数，可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域（最值）： (2)形如y=asin xcos x-十b(simx±cos)十c的三角函数，可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函 数求值域（最值） 5.(25-26高三上·重庆·阶段检测)函数y=2cosx+sin2x的最大值为( A.1-V2 B.√2+1 C.2 D.3 6.(25-26高三上·云南昆明阶段检测)函数y=8c0sx+cos2r-3的最大值是( A.-6 B.-4 C.4 D.6 7.(2526有三上河病阶段检0已知西数)=2nx+o2x+写）.老(-引-2，则在区 间0，上的值为( a 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26高三上安徽阶段检测)己知函数f(x)=6 sin x cosx-8cos2x+4的最大值为f(O),则tan0= 1 A.3 B.3 C.3 D.3 题型03求三角函数的单调区间 点方法技巧 1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角（或），利用基本三角函数的 单调性列不等式求解： 2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域， 9.(2026广西挂林二被)下列区间中，函数()-3如石)单调适指的区间是〈 a) D.(2a 10.(2026福建三明二模)下列区间是函数y=c0行的一个单调递增区间的是( a[经时 C.[-元，0] 1.(2026江西九江一模)下列函数中，在0，写) 上单调递增的是( A.f(倒=cm+写到 B.f(=mr引 Q.=如r*到 D.)=iam各 12.(2526高三上湖北责冈期中)西数f儿)=c0sc0-胃)在[0可上的单调递减区间为一 3/16 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型04单调性与ω的取值 点方法技巧 1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解： 2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子 集，列不等式（组）求解： 3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式（组）求解. 13.(2026甘肃兰州模拟预测)若函数f(x)=5cos。 r+}+1@>0)在区间后上单调增，则。 ππ 的取值范围为( B. 97 4'2 14.(2026河南三模)已知命思p:西数f()=sm行+0侧<刊在区同普司内单调谴猫，则p ππ 的一个充分条件为( A 2 B. 3 2 <p<0 C. 8cp<0 D.0<0<月 15.(2026云南玉溪·模拟预测)已知函数f(,)=sin ,π3π ω的取值范围是( A.(0,4] B. o[4 16.(25-26高三上·湖南湘西期末)已知o>0,函数f)=cosx+√5 sin x在区间0，？上单调递增， 则@的最大值为 题型05三角函数的奇偶性问题 4/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点方法枝巧 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y=Asin @x或y=Atan ox的形式，而偶函数一般可化为y=Acos ax十b的形式.常见的结论有： (1)若y=Asin(ox十o)为偶函数，则有o=km十(k∈Z);若为奇函数，则有o=π(k∈Z). (2)若y=Acos(ox十p)为偶函数，则有p=mk∈Z):若为奇函数，则有0=km十(k∈Z). (3)若y=Atan(ωx+p)为奇函数，则有p=k(k∈Z) 17.(2026山东模拟预测)若函数f(x)=sin(x+p)+cos(x+p)为偶函数，则l口的最小值为 18,(2026河南开封模拟预测若函数f()=2sin(2x+p)+cos2x@<)是奇函数，则) 4-V5 2 B.2 c. 5 D. 4+5 2 19.(2026江西南昌二模)己知函数f()=cos(2x+p)是奇函数，则P的一个可能取值为( A.0 B. C. D.不 20.(2025湖北武汉模拟预测)将函数f()=2m0r+君@>0)的图象向左平移写个单位，得到函数 6 g(x)的图象，若8(x)为奇函数，则ω的最小值是( A. B.1 C.2 p. 题型06三角函数的对称性问题 点方法技巧 1、定义法：正（余）弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与 x轴的交点，即函数的零点： 2、公式法： 5/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)函数y=Asin(ox十p)的对称轴为x=一十，对称中心为： (2)函数y=Acos(oxr十o)的对称轴为x=一，对称中心为； (3)函数y=Atan(ox+p)的对称中心为.上述k∈Z. 21.2026山东聊城一模)已知函数/()=co2x-) 2元 则其图象离直线x=π最近的一条对称轴的方 程是( ) A骨 B.x=2π 3 C.x=4π 3 D.x=5n 6 2.(2026山西折州模拟预测)已知函数f)=sin(2x+),050<元·若f)的图象关于直线x-石 6 对称，则0=( A.0 B.c c π D.3 23,（2026四川成都三楼)若点[名0是函数曰)-m任-p)的图象的一个对称中心，则o的放小正值 为( A. 4π B. 3 c.6 π D.6 24,(2026河北模拟预测)若直线=写是函数y=5如(2x+p-r<<0)的图象的一条对称轴，则函数 y=tan(2x+p)的图象的对称中心为( B. kr+π，0，k∈Z 4120 kr-π，0，keZ c.22 .42 kπ-π，0，keZ 题型07对称（奇偶）性与ω的取值 点方法枝巧 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 T (1)三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为2 相邻的对称轴和对称中 T 心之间的“水平间隔”为4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研 究ω的取值。 (2)三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零 点)，也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值， 25。(2026四川绵阳模拟预测)将函数f)=smr+写引(。>0)的图象向左平移子个单位长度后得到西 数g(x)的图象，且函数8(x)是偶函数，则o的最小值是( A B.1 c.2 D.2 262425%三上山东绿州阶反指测》已数)-o-哥引@>0的阅保关原点心 对称，则0的最小值为( ) 13 9 A.4 B.4 D. 27.(2425高三上浙江开学考试)函数f0)=c0s(@x+(0>0)的图象在区间0)上拾有一个对称中 6 心，则@的取值范围为( ) B.4π 6’3 c. 28。(2026辽宁·模拟预测)己知函数f()=sin(ox+p)(o>0,m<2),若f)满足条件： /(任-任+，分，且问在0智)上单调，则。的最大值为 A.8 B.7 c.6 D.5 题型08最值（值域）与ω的取值 7/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点方法枝巧 求三角函数f(x)=Asin(ox+p)或g(x)=Acos(⊙x+p)的最值（值域）问题，一般在利用单调性分 析、解不等式的基础上，利用三角函数的最值与图象的对称性的关系进一步解不等式（组），缩小ω的 取值范围 29.（25-26商三上广可类左阶段检测)已知居数f似=2cw2ar君引-1o>0)在0月 上的最小值为 -3,则0的最小值为 30.(2425高三上黑龙江绥化：阶段检测)已知函数f(,)=COSx-2sin20 xsin @x(0>0)在(0,2m)上 有最小值没有最大值，则①的取值范围是 31.(25-26高三下湖南长沙阶段检测)已知定义在[0，)上的函数f(:)=cOS@x-V3 Bsin@x(o>0)有最 小值，但无最大值，则ω的取值范围是( ) 25 A.33 32.(2026湖北鄂州模拟预测)已知函数f)=2asor+星到@>0)，若3x,飞0，小 f(x)f(x)=4,则o的最小值为( 5 7 B.4 C.4 11 D.6 题型09三角函数零点与ω的取值 点方法技巧 2π 因为f(x)=Asin(ox+p)的最小正周期是T= @,所以o=2 ,也就是说只要确定了周期T,就可以 确定ω的取值.对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的 区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最 小值. 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高三下河南驻马店阶段检测)已知函数f()=2co0r-6)(其中。>0）在区间(L,2)上没 π 有零点，则①的取值范围为( a.剖 c.[ D. 84’8 34,(2526商三上安激阶段粒测D已知隔数f()=namr+名}o>0在区同0可上格有两个号 点，则⊙的取值范围为( ) 35.(25-26高三上宁夏阶段检测)已知函数)=c0s@x+孕w>0)在区间0，网上恰好有3个零点，则。 的取值范围是( ) A名8 c. 36.(25-26高三下山东菏泽阶段检测)已知函数f(x)=sinox+V3cosx(o>0)在区间[0，π上有且仅有 4个零点，则0的取值范围是 题型10由图象确定三角函数解析式 点方法技巧 确定y=Asin(ox十p)十b(A>0,w>0)的步骤和方法 (I)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=. (2)求0.确定函数的最小正周期T,则ω=. 3)求，常用方法如下：把图象上的一个己知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上） 或把图象的最高点或最低点代入. 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 37.(25-26高三上湖南长沙阶段检测)已知函数f()=si血(2x+p)(p<的部分图象如图所示，则p= O π 12 A. 6 D. 38.(2025-江苏准安模拟预测)函数f(x)=Asin(ox+p(4>0,o>0,p∈[0,2π》的图像如图所示，则 f(x)=( 3 -3 1 A.3sin ，元 B.任到 C.3sin +到 4 D.sn-到 39.（25,26商三上四川乐山阶段检测)已知西数)=45nOr+p)(共中A>0:0>0: 2)的 部分图象如图所示，将函数f)图象上所有点向左平移3个单位长度，得到函数g的图象，则 10/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13匹 A. g(x)=2cos2x B.g()=2sin(2x) C.g(x)=2sin2x D.8)=2sn(2x+8 40.（25-26高三上广东广州阶段检测)如图，直线y=1与函数f(d=4sin(r+0)4>00>00< 的图象的三个相邻的交点为4B,c三点，且1H8=元BG=2,则/()() A.1 B.2, C.3 D.2 题型11三角函数的图象变换过程 点方法技巧 函数y=Asin(ox十p)十k(A>0,o>0)中，参数A,o,p,k的变化引起图象的变换： (1)A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换： (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换： (3)0的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换. 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”. 【注意】(1)平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值；(2)余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同. 41.(25-26高三上·重庆渝北阶段检测)为了得到函数y=c0s2x+ 6的图象，只需要将函数 A.向右平移2个单位长度 B.向右平移4个单位长度 C.向左平移号个单位长度 D.向左平移4个单位长度 (2425高三上山东济宁阶段检测)要得到，=s加2x的图象，只稽把=-Qx+)图象上所有点的 ) A.横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C.纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 43.(25-26高三上河北阶段检测)已知函数f(x)=sinx+acosx的一个零点是3，为了得到y=2cos2x 的图象，需要将函数y=f(2x)的图象( 5π 5π A,向左平移2个单位长度 B.向左平移6个单位长度 C.向右平移12个单位长度 D.向右平移6个单位长度 44.(24-25高三下山东聊城阶段检测)要得到y=cos2x-sin2x的图象，只需将y=V2sin2x的图象 ( 3π 3π A.向左平移4个单位 B.向右平移4个单位 3π 3π C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位 题型12求图象变换前后的解析式 12/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点方法技巧 所有平移、伸缩、对称变换，只能针对单独的自变量x进行变形，绝对不能对x和系数、相位的整体式 子直接变换；正向变换按照规则一步步改写函数解析式，逆向变换反向推导还原式子；变换完成后，务 必代入特殊关键点验证解析式是否正确，重点规避非1倍周期下平移距离算错、变换前后参数对应错乱 等高频失分问题， 45.(2526商三上河北阶段检测)将属数()=sm3x+写)的图象向左平移8个单位，得到函数g(间 的图象，则函数8(x)=( A.sin3x+ 7π B.cos 3x+18 π C. cos3x D. sin3x 46(25-26高三上-山西音坡阶段检利》将西数f()=个2x+写)图象上所有点的楼坐标件长到原来的 2倍（纵坐标不变），得到g(x)的图象，则)=( A.cos 、 B. .cos4r+ D.cosx+ 2π 47.(25-26高三上~辽宁期末)将函数f(x)的图象向左平移6个单位长度得到函数g(x)=n的图象， 则f()=( c.n2x D.sinx 48,(2526高三上安微池州阶段检测)把函数了：)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所 有点的横坐标扩大到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=2s血x+3的图象.则函数f(x)的一个解析 式为f()=() 13/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2cos2x+ 6 B.2sm4x- 2π .2am2x+到 D.24+到 题型13与图象平移有关的参数问题 点方法技巧 1、平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数： 思路2：平移前的函数f(x)-平移后的函数8(0) 2、平移后与新图象重合：平移后的函数f(x)=新的函数8(x), 3、平移后的函数与原图象关于'轴对称：平移后的函数为偶函数： 4、平移后的函数与原函数关于x轴对称：平移前的函数()-平移后的函数.8)： 5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中， 49.(2526高三上山东淄博期末)若两数f()=smr+写}0<@<)的图象向右平移个单位长度 后关于点0)对称，则的值为《 A. B.1 C. D.2 60,2526高下湖北武汉期中)若函数/0$n2x+Q+1的图象向右平移6后图象关于x多为 称，则⑨的值可以为( ) 2π A.-3 B c.2 D.下 51.(24-25高三上湖北阶段检测)将函数f)=sin2or+ 3 (@>0)的图象向右平移”个单位长度后与 6 函数g(x)=cos(20x)的图象重合，则o的最小值为( 14/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 13 15 C.2 D.2 52.(2024四川绵阳模拟预测)函数y=√3 sin@x+cosx(o>0)的图象向左平移6个单位长度后与函数 y=2cos@x+ 6 的图象重合，则的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.4 题型14三角函数的应用 点方法技巧 针对周期性变化的实际应用题型，遵循“建模一化简一求参一还原”标准化解题流程，根据往复波动、 周期变化的实际规律，建立y=Asi(o.x十o)十k三角函数模型；结合实际周期、最值、初始状态快速确 定振幅、角速度、初相与平衡位置，利用三角函数性质求解周期、最值、特定时刻状态，最终将数学结 果还原为实际问题结论，严格贴合实际情境取舍有效解. 53. (2425高三下·安徽合肥·阶段检测)音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术.声音的本质是声 波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示.在音乐中可以用形如y=As血x(o>0)的正弦型函数 来表示单音，将三个或以上的单音相叠加为和弦.若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用 y=s山x表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为( 图① 图② A.2 B.下 C.2 D. 54.(25-26高三上山东青岛·阶段检测)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在 《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）·若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米 (图2)，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点P%)开始计 时，经过t秒钟后点P距离水面的高度为h米，则下列结论正确的是( ) 15/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p 2 图1 图2 A.b关于，的函数解析式为h=2sin B.点P第一次到达最高点需用时10秒 C.从计时开始P再次接触水面需用时15秒 D.当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 55.(25-26高三上·海南海口·阶段检测)（多选）潮汐是海洋在日月引力作用下产生的周期性涨落现象. 某港口一天的海水水位变化近似满足关系式40=2n(名1+君+5，其中h0表示海水水位，表示时间， 则( ) A.曲线h()的振幅为2 B.曲线h(t)的最小正周期为12 C.曲线h()关于点(4,5)中心对称 D.t∈1,6]时，函数h()的值域为[4，] 56.(25-26高三上·湖南长沙阶段检测)如图，已知点A是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点）， 地面上B,C两点与点A在同一条水平直线上，且在点A的同侧.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰 角为60°和30°，且BC=20,则球体建筑物的半径为 60 30° B 16/16