第三十章 直线与圆的位置关系（单元自测·培优卷）数学新教材人教版九年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三十章直线与圆的位置关系·冲刺（参考答案） 一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0 小 B D 0 A C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.相交 14.50°/50度15.6a16.5 17.23 18.2V2 三、解答题（共8小题，共66分） 19.【详解】解：由切线长定理可得DN=DM,EM=EQ,AP=AN,CP=CQ, .BN+BQ=BD+DM+BE+ME=7,AN+CQ=AP+CP=AC=4, ∴.C△ABc=AB+BC+AC=BN+AN+BQ+CQ+AC=7+4+4=15】 20.【详解】解：，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点， .∴.PA=PB,∠DBP=90°， 设PB=PA=X, .AD=2,BD=4, ∴.PD=AD+PA=2+X,(2分) 在Rt△PDB中，PD=PB+DB2, 即2+x=X2+42 解得x=3, .∴.PB=3.(6分) 21.【详解】(1)证明：连接AO, .∠B=60°， .∠AOC=2∠B=120° .AO=CO. :∠AC0=∠CA0=180°，120°=30.1分) 2 ..AP=AC, 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠APC=∠ACP=30°，(2分) .∠CAP=180°-2×30°=120°， ∴.∠PAO=∠CAP-∠CAO=90°， ∴.PA⊥AO ∴，PA为⊙O的切线；(3分) A D (2)解：在Rt△APO中，∠P=30°， A0=P0,∠A0P=60, 即A0=号93+D0,又A0=D0, 解得AO=D0=V3, .P0=23,(6分) 根据勾股定理，得PA=VP0-AO=3（7分) :线段PA,PD及AD围成图形的面积是 5a-5as-mA0-60-片3×5-月-3通-分8分) 360 2 222 22.【详解】(1)证明：AD平分∠BAC, ∴.∠CAD=∠DAO, 如图，连接OD,则OA=OD, 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ∴.∠DAO=∠ADO B ∴.∠CAD=∠ADO, .AC‖DO,(2分) ∴.∠ACB=∠BDO=90, .OD⊥BC,(3分) .OD是⊙O的半径， ∴.BC是⊙O的切线；(4分) (2)解：.∠BAC=60°，AC‖DO, ∴.∠BOD=∠BAC=60, .∠BDO=90°， ∴.∠B=90°-∠BOD=30°， :oD-0B.5分) 设OD=x,则OB=2x, 在Rt△BDO中，OD2+BD2=OB2, ∴X+3=2x2,解得x=1或x=-1(舍去)，(6分) ∴.OD=1,OB=2, ∴.阴影部分的面积=S△BDo一扇形DOF的面积= 3×1 360。n×12=32 60° 2 261 (8分) 23.【详解】(1) △AMN是正三角形.(1分) 理由如下：如图，连接ON,NF, 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意可得FN=OF=ON, ∴.△FON是等边三角形，(2分) ∴.∠NFA=60° .∴.∠NMA=60 同理可得∠ANM=60 .∴.∠MAN=60° ∴.△AMN是正三角形.(4分) (2)如图，连接OD, ∠AMN=60°∠AON=120° .∠AOD= 360 -×2=144°， 5 ∴.∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°， .360°÷24°=15， .n的值是15.(8分) 24.【详解】解：(1)①如图，连接OE,OF,过点O作OG⊥EF, B ,正六边形由6个大小相同的等边三角形组成，其边长为2， ,EF=2(2分〉 又：⊙O的半径为3，OG为⊙O的半径， 5w号f0G-×2x5=8,（3分 SE*边形ABCDEF=6SAF0=63:S00=r2=3T' 4/8 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :p= Soo 3元= E六边形ABCDEF 6V36 900 由题意知，q=1000 =0.9, 故答案为： 3 ,0.9.(5分) 6 ②p≈q, πN0.9, 6 当V3取1.7时， 得22元≈0.9，解得π≈09×6-=3， 6 1.7 故答案为：3.（7分) (2)建议：增加随机撒芝麻的数量， 因为当随机撒的芝麻数量越多时，落在圆内和正六边形内的艺麻数的频率就越接近理论上的概率，这样根 据p与q的关系估计出的π值就会更精确， 故答案为：增加随机撒艺麻的数量.(8分) 25.【详解】(1)解：如图，设正多边形相邻两个顶点为A、B,连接OA、OB,过点O作OC⊥AB于 点C; 由题意知∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB=1, ∴.△OAB是等边三角形，(1分) AB-OA=1.AG-AB- 由勾股定理得0C=V0A2-AC-3 Snaw-jAB-0C=号×1×3 2 24 ，(2分) 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正六边形的面积为6×3-33 42(3分) (2)解：如图，设正多边形相邻两个顶点为A、B,连接OA、OB,过点B作BC⊥AO于点C; 由题意知∠AOB=360°÷8=45°，OA=0B=1, .∠OBC=∠AOB=45°，(4分) ..OC=BC 由勾股定理得0C2+BC2=OB, .BC-20A-2 2 (5分) .SAOAB= COA=号×2x1=2 4 “圆内接正人边形的面积为8×2=22， 4 故答案为：22；(6分) B (3)解：如图，设正多边形相邻两个顶点为A、B,连接OA、OB,过点B作BC⊥AO于点C; 由题意知∠AOB=360°÷12=30°，OA=OB=1, :.BC=0B= 1 5sc-0A×分×1= 1 22 ,(8分) ·圆内接正十二边形的面积为12×上=3： 4 AB C 圆的面积为π×12=π，则π3： 故答案为：3：3.(10分) 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.【详解】(1)解：连接AC, A E B ,正方形ABCD, .∠ACD=45°，(1分) 当点E在优弧AD上时，∠AED=∠ACD=45°， 当点E在劣弧AD上时，∠AED=180°-45°=135°， 综上，∠AED的度数为45°或135°；(2分) (2AE=CE+2BE'（3分) 理由如下， 在AE上截取AG=CE,连接BG, A D G 0 AB=CB∠GAB=∠ECB .∴，△GAB≌△ECB SAS, ∴.BG=BE,∠ABG=∠CBE, ∴.∠GBE=∠CBE+∠GBC=∠ABG+∠GBC=∠ABC=90°， ∴，△BGE是等腰直角三角形，(4分) ∴.i=V2BE, ∴.AE=AG+≥=CE+V2BE:(6分) (3)解：，正方形ABCD的边长为2，点M、N是AB、CD的中点， BM=AM=CN=×2=1,(7分) 四边形BFNC与四边形BFNC关于直线对称， 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，BC=BC=BA=2,CN=CN=1, ∴.当CN边上的高最小时，△MCN面积取得最小值，(9分) ∴.当点C与点A重合，此时点E与点D重合， ∴.CN边上的高就是AM的长， △MCN面积的最小值为×1×2=1.（12分) 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三十章 直线与圆的位置关系·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．如图，圆锥底面圆的直径为，高为，则它的全面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 3．如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（     ） A． B． C． D． 4．团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 5．在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（     ） A．B． C． D．无法确定 6．如图，点A的坐标是，与x轴相切，与y轴相交于点B，点C是圆上一点，点B关于点C的对称点，则等于（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 7．如图，四边形是的内接四边形，是的切线，交的延长线于点E．若经过圆心O，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 9．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 10．《孙子算经》记载“方五斜七”的古率，它提出正方形边长与对角线之间存在一定的比例关系．即正方形的边长与该正方形的对角线的比约为．现有一张正方形桌子，边长为分米，要为其制作一圆形桌布，要求能盖住桌面．根据该古率，桌布直径的最小值约为（     ） A． B． C． D． 11．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（     ） A．6 B．10 C．14 D．18 12．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点G．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 14．如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上，已知，则的度数是________． 15．圆内接正六边形的半径为，则这个正六边形的周长为__________． 16．2025年“苏超”火爆全国，足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁．图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，、是圆的切线，为切点，为圆心，连接并延长交射线于点，若，则的长度为__________． 17．将一个标准的圆形钟表放置在“V”形架上，如图是其主视图，和均为的切线，切点分别是A，B（A，B所对应的钟表刻度分别是8，4）．若，则圆形钟表的半径为________ 18．我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形的中心重合，分别延长，交于点E，F．若的半径为2，正方形的边长为1，则_____ ． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长． 20．（6分）如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长． 21．（8分）如图，内接于，是的直径，点P是延长线上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求由线段及围成的图形的面积（结果保留）． 22．（8分）已知：如图，在中，，平分交于，为上一点，以为圆心，为半径的圆恰好经过点，且分别交、于、． (1)求证：是的切线； (2)若，，图中阴影部分的面积为_____． 23．（8分）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 24．（8分）【项目主题】估计的值 【项目实施】 步骤一：画一个边长为2的正六边形，再画出它的内切圆（正六边形内切圆的直径等于正六边形的对边距离，正六边形对边距离为，即内切圆半径为）．设内切圆与正六边形的面积比值为p，求p的值． 步骤二：随机撒1000粒芝麻到正六边形及其内切圆的纸上，统计落在圆内的芝麻数为900，计算频率（记为q）． 落在正六边形内的芝麻粒数/粒 落在内切圆内的芝麻粒数/粒 频率q 1000 900 步骤三：利用p与q的关系，估计的值． （1）①_____；_____； ②当取1.7时，_____（结果保留整数）； 【项目反思】若想提高估计精度，给出一条合理化建议． （2）建议：_____． 25．（10分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为，如图，若的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） (1)求圆内接正六边形面积． (2)圆内接正八边形的面积为_____． (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____． 26．（12分）正方形的四个顶点都在上，E是上一动点． (1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数； (2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由； (3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三十章 直线与圆的位置关系·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．如图，圆锥底面圆的直径为，高为，则它的全面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出母线长，再求出圆锥侧面积和底面积，然后求出全面积即可． 【详解】解：∵圆锥底面圆的直径为， ∴圆锥底面半径为，高， ∴母线长， ∴圆锥的侧面积为，底面积为 ∴圆锥的全面积为． 2．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心，即三条角平分线的交点． 3．如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线的性质可得，利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数. 【详解】解：切于点， ， ， ， ， 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． 4．团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，得出，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴的长为：． 5．在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为（     ） A．B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过 作于 ，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过 作于 ， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， ∵正方形的面积为 ∴这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为 6．如图，点A的坐标是，与x轴相切，与y轴相交于点B，点C是圆上一点，点B关于点C的对称点，则等于（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】连接、，由题意，易得是的中位线，得到，进而得到，即可． 【详解】解：连接、． 点B关于点C的对称点， 是的中点． ∵点A的坐标是，与x轴相切，与y轴相交于点B，点C是圆上一点， ∴为的直径， ∴点是的中点， 是的中位线． ． ． 7．如图，四边形是的内接四边形，是的切线，交的延长线于点E．若经过圆心O，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接．由四边形是的内接四边形可得，得出．由切线的性质得，可得，根据三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴ ． ∴ ． ∴． ∵， ∴． 8．已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 【答案】D 【分析】根据两圆圆心距、半径与两圆位置和公共点个数的对应关系即可求解． 【详解】解：和的半径分别是5和7，且，， A、当时，，两圆内切，有1个公共点，故A错误； B、当时，，两圆相交，有2个公共点，故B错误； C 当时，，两圆内含，没有公共点，故C错误； D 当时，，两圆相交，有2个公共点，故D正确． 9．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 10．《孙子算经》记载“方五斜七”的古率，它提出正方形边长与对角线之间存在一定的比例关系．即正方形的边长与该正方形的对角线的比约为．现有一张正方形桌子，边长为分米，要为其制作一圆形桌布，要求能盖住桌面．根据该古率，桌布直径的最小值约为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能盖住正方形桌面的圆形桌布，最小直径等于正方形的对角线长，根据古率给出的正方形边长与对角线的比例关系，列比例式计算即可得到结果． 【详解】解：能盖住正方形桌面的最小圆形桌布，其直径等于正方形的对角线长， 设正方形对角线长为，由题意得正方形边长与对角线的比为， 即， 解得， 故桌布直径的最小值约为分米． 11．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（     ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】C 【分析】先根据切线性质得到的半径，再用勾股定理计算两圆圆心距，结合点B在内和两圆相交的条件得到r的取值范围，最终选出符合范围的选项． 【详解】解：∵ 四边形是矩形，，，与直线相切 ∴的半径， 由勾股定理得两圆圆心距 ∵ 点在内，半径为，点到圆心的距离为 ∴ ， 即 ∵ 与相交， ∴两圆相交满足 代入，得 解不等式得 结合 得的取值范围为 选项中只有符合该范围． 12．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点G．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转规律及中心角得到第4次旋转结束时点B的对应点为点D，连接，根据等边三角形的判定和性质得到是等边三角形，根据三角函数求出，，即可得到答案． 【详解】解：∵每次旋转，，， ∴第2026次旋转结束时点B的对应点与第4次旋转结束时点B的对应点相同， ∵正六边形中心角为， ∴第4次旋转结束时点B的对应点为点D， 如图，连接， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 即点B的对应点的坐标为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 【答案】相交 【详解】解： 的直径为， 的半径， 圆心与直线的距离， ， 直线与的位置关系是相交． 14．如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上，已知，则的度数是________． 【答案】/50度 【分析】连接，由圆周角定理可得的度数，由切线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴ ． 15．圆内接正六边形的半径为，则这个正六边形的周长为__________． 【答案】 【分析】利用圆内接正六边形的性质可知，正六边形的边长等于其外接圆的半径，先求出边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：圆内接正六边形的中心角为， 正六边形的中心与各顶点的连线相等， 因此可将正六边形分为6个全等的等边三角形． 因此正六边形的边长等于外接圆的半径，即边长为． 因此正六边形的周长为． 16．2025年“苏超”火爆全国，足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁．图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，、是圆的切线，为切点，为圆心，连接并延长交射线于点，若，则的长度为__________． 【答案】5 【分析】连接、，根据圆的切线的性质，易证，得到，由勾股定理得出，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 、是圆的切线，为切点，为圆心， ， ，， ， ， ， 在中，， 设，则， 在中，, ， 解得：， ． 17．将一个标准的圆形钟表放置在“V”形架上，如图是其主视图，和均为的切线，切点分别是A，B（A，B所对应的钟表刻度分别是8，4）．若，则圆形钟表的半径为________ 【答案】 【分析】设钟表的圆心为，连接，利用切线性质和切线长定理求出，，再在中求解即可． 【详解】解：如图，设钟表的圆心为，连接， ∵A，B所对应的钟表刻度分别是8，4， ∴ ， ∵和均为的切线， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即圆形钟表的半径为． 18．我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形的中心重合，分别延长，交于点E，F．若的半径为2，正方形的边长为1，则_____ ． 【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、正多边形和圆、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 作于点Q，于点P，连接、，则，，由圆心O和正方形的中心重合，可知和是正方形的边心距，则，可根据“”证明，得，可证明，则，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点Q，于点P，连接、，则，， ∵四边形是正方形，且圆心O和正方形的中心重合， ∴和是正方形的边心距， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长． 【答案】15 【分析】根据切线长定理结合三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：由切线长定理可得， ， ． 20．（6分）如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长． 【答案】 【分析】证明，设，进一步利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点， ， 设， ， ， 在中，， 即， 解得， ． 21．（8分）如图，内接于，是的直径，点P是延长线上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求由线段及围成的图形的面积（结果保留）． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据可得，进而得出，再根据等边对等角得出，即可得，则此题可证； （2）先根据直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∴，， 即，又， 解得， ∴， 根据勾股定理，得． ∴线段及围成图形的面积是． 22．（8分）已知：如图，在中，，平分交于，为上一点，以为圆心，为半径的圆恰好经过点，且分别交、于、． (1)求证：是的切线； (2)若，，图中阴影部分的面积为_____． 【答案】(1)证明：平分， ， 如图，连接，则， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义，等边对等角，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等以及切线的判定定理推导即可； （2）由（1）得，，利用两直线平行同位角相等，直角三角形两个锐角互余，直角三角形中所对的边是斜边的一半以及勾股定理推出、的长，再利用阴影部分面积为三角形的面积减去扇形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得或（舍去）， ，， 阴影部分的面积扇形的面积． 23．（8分）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 【答案】(1) 是正三角形． 理由如下：如图，连接，NF， 由题意可得， 是等边三角形， 同理可得 是正三角形． (2)15 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． （1）连接，NF，可得，得到，，即可得证； （2）连接OD，得到，再根据求出，计算即可得解； 【详解】（1）略 （2）如图，连接， ， ， ， ， 的值是15． 24．（8分）【项目主题】估计的值 【项目实施】 步骤一：画一个边长为2的正六边形，再画出它的内切圆（正六边形内切圆的直径等于正六边形的对边距离，正六边形对边距离为，即内切圆半径为）．设内切圆与正六边形的面积比值为p，求p的值． 步骤二：随机撒1000粒芝麻到正六边形及其内切圆的纸上，统计落在圆内的芝麻数为900，计算频率（记为q）． 落在正六边形内的芝麻粒数/粒 落在内切圆内的芝麻粒数/粒 频率q 1000 900 步骤三：利用p与q的关系，估计的值． （1）①_____；_____； ②当取1.7时，_____（结果保留整数）； 【项目反思】若想提高估计精度，给出一条合理化建议． （2）建议：_____． 【答案】（1）①，0.9，②3，（2）增加随机撒芝麻的数量 【分析】本题考查了圆和正多边形的面积计算，频率的概念，用频率估计概率及实验精度的影响因素． （1）①先分别计算出正六边形内切圆面积和正六边形面积，从而得出p值，再根据频率定义，用落在圆内芝麻数除以总芝麻数得出q值；②由建立等式，把的值代入等式，通过等式变形求出的近似值； （2）增加随机撒芝麻数量，使频率更接近理论概率，让估计的值更精确． 【详解】解：（1）①如图，连接，，过点O作， ∵正六边形由6个大小相同的等边三角形组成，其边长为2， ∴ 又∵的半径为，为的半径， ∴， ∴，， ∴， 由题意知，， 故答案为：，0.9． ②∵， ∴， 当取1.7时，得，解得， 故答案为：3． （2）建议：增加随机撒芝麻的数量， 因为当随机撒的芝麻数量越多时，落在圆内和正六边形内的芝麻数的频率就越接近理论上的概率，这样根据p与q的关系估计出的值就会更精确， 故答案为：增加随机撒芝麻的数量． 25．（10分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为，如图，若的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） (1)求圆内接正六边形面积． (2)圆内接正八边形的面积为_____． (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____． 【答案】(1) (2) (3)3；3 【分析】（1）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C；求出的面积即可求解； （2）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C；求出的面积即可求解； （3）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C；求出的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C； 由题意知，， ∴是等边三角形， ∴，； 由勾股定理得， ∴， ∴正六边形的面积为； （2）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C； 由题意知，， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴圆内接正八边形的面积为； 故答案为：； （3）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C； 由题意知，， ∴， ∴， ∴圆内接正十二边形的面积为； 圆的面积为，则； 故答案为：3；3． 26．（12分）正方形的四个顶点都在上，E是上一动点． (1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数； (2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由； (3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值． 【答案】(1)或； (2)， 理由如下， 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； (3)1． 【分析】（1）连接，求得，利用圆周角定理结合圆内接四边形即可求解； （2）在上截取，连接，，推出，，再证明是等腰直角三角形，据此得到； （3）根据对称的性质求得，，当边上的高最小时，面积取得最小值，则当点与点A重合，此时点E与点D重合，所以边上的高就是的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形， ∴， 当点E在优弧AD上时，， 当点E在劣弧AD上时，， 综上，的度数为或； （2）略 （3）解：∵正方形的边长为2，点M、N是、的中点， ∴， ∵四边形与四边形关于直线对称， ∴，， ∴当边上的高最小时，面积取得最小值， ∴当点与点A重合，此时点E与点D重合， ∴边上的高就是的长， ∴面积的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三十章直线与圆的位置关系·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.如图，圆锥底面圆的直径为6cm,高为4cm,则它的全面积为() A.15πcm2 B.24ncm2 C.28ncm2 D. 30πcm2 2.已知⊙O为△ABC的内切圆，则点O是△ABC的() A.三条中线的交点 B,三条高的交点 C.三边垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 3.如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连接BC,若∠P=40°， 则∠B等于() A.30° B.40° C.50 D.25 4.团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”.劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进 行装饰.如图，已知扇面边缘为⊙O,扇柄所在直线经过圆心O,她过扇柄端点P作PA,PB分别与⊙O 相切于点A,B,得到AB.若⊙O的半径为9cm,∠APB=60°，则小红想要装饰的AB的长为() 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 P A.3ncm B.6ncm C.9ncm D.27ncm 5.在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a的正十二边形和边长为a的小正方形的面积之间存 在着一定的数量关系.那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为() a A.SE十=边形=2SE方形B.SE十二边形=3SE方形C.SE十二边形=4SE方形D.无法确定 6.如图，点A的坐标是0,2，⊙A与x轴相切，与y轴相交于点B,点C是圆上一点，点B关于点C的对 称点Dx,y小则X+y等于（） B A 衣 A.4 B.8 C.12 D.16 7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DE是⊙O的切线，交BC的延长线于点E.若BC经过圆 心0，∠A=110°，则∠E的度数为() 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B A.30° B.40° C.50 D.60° 8.已知圆01和圆O2的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是() A.当O1O2=2时，两圆没有公共点 B.当O102=5时，两圆有一个公共点 C.当01O2=0时，两圆有公共点 D.当O102=7时，两圆有两个公共点 9.如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积() A.543-9πB.273+4π c.273-4π D.543+9π 10.《孙子算经》记载“方五斜七”的古率，它提出正方形边长与对角线之间存在一定的比例关系.即正 方形的边长与该正方形的对角线的比约为5：7.现有一张正方形桌子，边长为6分米，要为其制作一圆形桌 布，要求能盖住桌面.根据该古率，桌布直径的最小值约为() 人号 B.6 。号 D.6V2 11.在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,⊙B与直线AD相切.如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内， 那么⊙D的半径长r可以是() A.6 B.10 C.14 D.18 12.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB‖x轴，交y 轴于点G.将△OBG绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标 为() 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2,23 B.-2,23 C.-23,0 D.2,-23 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.⊙O的直径为15cm,若圆心O与直线l的距离为7cm,则l与⊙O的位置关系是 14.如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B,圆心O在线段PA上，已知∠PAB=20°，则∠P的 度数是 B 4 15.圆内接正六边形的半径为aCm,则这个正六边形的周长为 cm 16.2025年“苏超”火爆全国，足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带.它超越国界，连接 人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁.图①是一次足球比赛的奖 杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，PA、PB是圆的切线，A,B为切点，O为圆心，连接BO并延长 BO交射线PA于点C,若PB=6,PC=10,则OC的长度为 图1 图2 17.将一个标准的圆形钟表放置在“V形架上，如图是其主视图，CA和CB均为⊙O的切线，切点分别是 A,B(A,B所对应的钟表刻度分别是8,4)，若CA=6,则圆形钟表的半径为 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 10 18.我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱. 如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形ABCD的中心重合，分别延长AD,DC交⊙O于点E,F 若⊙O的半径为2，正方形ABCD的边长为1，则EF= 三、解答题（共8小题，共66分） 19.(6分)如图，三角形纸片ABC的内切圆⊙O与边AB,AC,BC分别相切于点N,P,Q,小刚沿着 与⊙O相切的DE剪下一个三角形纸片BDE,DE与⊙O的切点为M,已知三角形纸片BDE的周长为7， AC=4,求△ABC的周长. N D ●O E、O 20.(6分)如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，延长BO交PA的延长线于点D,若 AD=2,BD=4,求PB的长. D ⊙ 0 21.(8分)如图，△ABC内接于⊙O,∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP=AC. B (1)求证：PA为⊙O的切线： (②若PD=3:求由线段PA,PD及AD围成的图形的面积（结果保留π）· 22.(8分)已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D,O为AB上一点， 以O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,且分别交AC、AB于E、F. (1)求证：BC是⊙O的切线： (2)若∠BAC=60°，BD=3,图中阴影部分的面积为 23.(8分)如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O,阅读以下作图过程，并回答下列问题： O. 图1 图2 作法：如图2. 1.作直径AF. 2.以点F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M,N. 3.连接AM,MN,NA (四△AMN是正三角形吗？请说明理由. (2)从点A开始，以DN的长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值. 24.(8分)【项目主题】估计π的值 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【项目实施】 步骤一：画一个边长为2的正六边形，再画出它的内切圆（正六边形内切圆的直径等于正六边形的对边距 离，正六边形对边距离为23，即内切圆半径为3)·设内切圆与正六边形的面积比值为P,求p的值. 步骤二：随机撒1000粒芝麻到正六边形及其内切圆的纸上，统计落在圆内的芝麻数为900，计算频率 900 1000 (记为q)· 落在正六边形内的艺 落在内切圆内的芝麻 频率q 麻粒数/粒 粒数/粒 900 1000 900 1000 E D C 步骤三：利用p与q的关系，估计π的值. (1)①p=;q=: ②当3取1.7时，π≈（结果保留整数）； 【项目反思】若想提高估计精度，给出一条合理化建议. (2)建议： 25.(10分)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多 边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体， 而无所失矣”·“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图， 若⊙O的半径为1.（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） (1)求圆内接正六边形面积 (2)圆内接正八边形的面积为 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计⊙O的面积，可得圆内接正十二边形面积是，可 得π的估计值为 26.(12分)正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上一动点. D D 2 D 0 M B B E 图1 图2 图3 (I)若点E不与点A、D重合，请直接写出∠AED的度数； (2)如图2，若点E在BC上运动（点E不与点B、C重合），连接BE,EC,AE,试探究线段BE,EC, AE的数量关系并说明理由； (3)如图3，若点E在AD上运动，分别取AB、CD的中点MN,连接BE,MN,BE交MN于点F,四边 形BFNC与四边形BFNC关于直线BE对称，连接MC,MN,当正方形ABCD的边长为2时，求 △MCN面积的最小值. 8/8