第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版2024九年级上第三十章单元测试，聚焦直线和圆位置关系，覆盖切线性质、正多边形、内心外心等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，培养几何直观与推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|正多边形外角（1）、切线性质（2）、圆内角度计算（6）|基础巩固，结合图形直观（3题正多边形相交角度）| |填空题|5题|内切圆周长（14）、正多边形与三角形综合（13）|能力提升，关联几何性质（16题内心与平行线）| |解答题|5题|切线证明（18）、菱形与圆综合（19）、外接圆计算（21）|创新应用，注重推理与综合（22题含切线与三角函数）|

人教版（2024）九年级上 第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形的边数为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 2．如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠C=25°，则∠A为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 3．如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则α+β的大小为（　　） A．142° B．152° C．162° D．172° 4．如图，AC经过⊙O的圆心O，AB与⊙O相切于点B，若∠A=50°，则∠C的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 5．如图，AB为⊙O的直径，PD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，且CO=CD，则∠PCA=（　　） A．45° B．60° C．67.5° D．75° 6．如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB=65°，则∠P的度数为（　　） A．70° B．50° C．40° D．20° 7．如图，在⊙O上有三点A，B，C，∠B=27°，DC与⊙O相切于点C，交OA的延长线于点D，则∠D的大小为（　　） A．27° B．36° C．46° D．54° 8．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点C，连接OD．若∠ACD=60°，则∠AOD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 9．如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上．若∠ACB=15°，则n的值是（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 10．如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC 内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD 于I，若CD=4，则AC为（　　） ​ A． B． C． D．5 11．如图，PA与⊙O相切于点A，B是⊙O上一点，PB交⊙O于另一点C，交OA于点D，连接AC．若∠ACB=45°，PD=2BD，PA=6，则⊙O的半径为（　　） A．1 B． C．2 D．3 12．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（　　） A．25 B．26 C．30 D．34 二．填空题（共5小题） 13．正五边形ABCDE与等腰Rt△CDF如图摆放，则∠BCF=______°． 14．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．若CF=7，AB=9，则△ABC的周长为______． 15．如图，等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于⊙O．若，则EF的长为______． 16．如图，△ABC的周长是18cm,点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，已知AB=6cm,则△CEF的周长为 ______cm. 17．如图，AB是⊙O的直径，BC是切线，AC交⊙O于D，在AB上取AE=AD，DE的延长线交⊙O于F．若∠F=30°，则∠C的度数是______． 三．解答题（共5小题） 18．如图，BO平分∠ABC，AB与⊙O相切于点D，连接OD，延长DO交BC于点E． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，OE=5，求BD的长． 19．如图，AB与⊙O相切于点B，以AB为边作菱形ABCD，交⊙O于点C，D，E是对角线BD上一点，在AB，AD上取点F，G，使∠FEG=60°． （1）求证：AD是⊙O切线； （2）求证：△ABD是等边三角形； （3）若BF=3，DG=9，求⊙O的半径． 20．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线CE与AB交于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当∠F=30°，BD=6，时，求BF的长． 21．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，O是圆心． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图中作以AC为对角线，AB、BC为边的平行四边形ABCD； （2）求证：AD是⊙O的切线； （3）若AB=3，BC=2，求⊙O的半径． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，以BD为直径的⊙O交AB于点E，延长AD交⊙O于点F，连接CF，CF∥AB． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）如图2，连接EF，若EF=EA，BD=6，求CF的长． 人教版（2024）九年级上 第三十章 直线和圆的位置关系 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、C 2、A 3、C 4、A 5、C 6、B 7、B 8、D 9、B 10、A 11、D 12、D  二．填空题（共5小题） 13、63； 14、32； 15、； 16、12； 17、50°；  三．解答题（共5小题） 18、（1）证明：过点O作OF⊥BC于点F， ∵AB与⊙O相于点D， ∴OD⊥AB， ∵BO平分∠ABC，OD⊥AB， ∴OF=OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：∵⊙O的半径为4，OE=5， ∴在Rt△OEF中，EF==3， ∵BF，BD是⊙O的切线， ∴OF⊥BC，OD⊥AB， ∴BD=BF， 设BD=BF=x, 在Rt△EDB中，（x+3）2=x2+92，x=12， ∴BD=12． 19、（1）证明：如图1，四边形ABCD是菱形，AB与⊙O相切于B，连接OB，OD，OA， ∴AB=AD，OB⊥AB， 在△ABO和△ADO中， ， ∴△ABO≌△ADO（SSS）， ∴∠ODA=∠OBA=90°， ∴半径OD⊥AD， ∴AD是⊙O的切线； （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠CBD，∠CDB=∠ADB，∠BAD=∠BCD，AB=AD=BC=CD， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， 设∠OBD=∠ODB=x,则∠BOD=180°-2x, ∴， ∵AB与⊙O相切于B，OB是⊙O的半径， ∴OB⊥AB， ∴∠ABD=90°-x, ∴∠ABD=∠BCD， ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∵∠CDB=∠ADB，∠ABD=∠CBD， ∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，即∠ABD=60°， 在△ABD中，AB=AD且∠ABD=60°， ∴△ABD是等边三角形； （3）解：如图2，作FM⊥BD于点M，作EN⊥AD于点N，作OH⊥BD于点H，连接OB，OD，设BE=m,DE=n. 由（2）知△ABD是等边三角形， ∴AB=BD，∠ABD=∠ADB=∠BAD=60°， ∵∠FEG=60°， ∴∠BEF+∠GED=180°-60°=120°， 在△BFE中，∠BFE+∠BEF=180°-60°=120°， ∴∠BFE=∠GED， 又∵∠FBE=∠GDE=60°， ∴△BFE∽△DEG， ∴，∠BEF=∠DGE． ∴， ∴mn=27． ∵∠ABD=60°， ∴ ∴． ∵∠ADB=60°， ∴ ∴． ∵tan∠BEF=tan∠DGE， ∴， ∴， ∴， 解得：n=18， ∴， ∴． ∵△ABD是等边三角形， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，∠CBD=∠ABD=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD=60°， ∴∠BOD=120°， ∵OH⊥BD， ∴∠BOH=60°，， ∵ ∴， 解得：（经检验，是原分式方程的解，且符合题意）， ∴⊙O的半径是． 20、（1）证明：连接OC， ∵OA=OC， ∴∠1=∠2， 又∵∠BOC=∠1+∠2， ∴∠BOC=2∠1， 又∵∠ABD=2∠1， ∴∠ABD=∠BOC， ∴OC∥DB， ∴∠OCF=∠DEF， ∵CE⊥DB， ∴∠DEF=90°， ∴∠OCF=90° 又∵OC为⊙O的半径， ∴CF为⊙O的切线； （2）解：连接AD，如图所示： ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADB=∠FED， ∴CF∥AD， ∴∠BAD=∠F=30°， ∴AB=2BD=12， ∴OB=OC=6， ∴OF=2OC=12， ∴BF=OF-OB=12-6=6． 21、（1）解：以AC为对角线，AB、BC为边的平行四边形ABCD，如图1即为所求； （2）证明：如图2，AB=AC，连接并延长AO交BC于点H，连接OC，OB，则OB=OC， ∴点A、点O都在BC的垂直平分线上， ∴AO垂直平分BC，∠OHB=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠OHB=∠OAD=90°， ∴半径OA⊥AD， ∴AD是⊙O的切线； （3）解：∵BC=AD=2，AO垂直平分BC交BC于点H， ∴， 在直角三角形ABH中，∠AHB=90°，AB=3， 由勾股定理得： ∵OA=OB， ∴， 在直角三角形BOH中，由勾股定理得：BH2+OH2=OB2， ∴， 解得：， ∴⊙O的半径长为． 22、（1）证明：如图，AD平分∠CAB，连接OF，则∠CAF=∠FAE， ∵CF∥AB， ∴∠CFA=∠FAE， ∴∠CAD=∠CFA， ∵OD=OF， ∴∠OFD=∠ODF， ∵∠ODF=∠ADC， ∴∠OFD=∠ADC， ∵∠ACB=90°， ∴∠CAD+∠ADC=90°， ∴∠CFA+∠OFD=90°， ∴∠OFC=90°， ∴CF⊥半径OF， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴∠B=∠EFD， ∵EF=EA， ∴∠EAF=∠EFD， ∴∠EAF=∠B， ∴AD=DB=6， ∵∠CAF=∠FAE， ∴∠BAC=2∠B， ∵∠ACB=90°， ∴∠B+∠BAC=90°， ∴∠B+2∠B=90°， ∴∠B=30°， ∴∠CAF=∠FAE=∠CFA=30°， ∴CF=CA， 在Rt△ACD中，∠CAF=30°， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $