第二十九章 圆（单元自测·培优卷）数学新教材人教版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章 圆·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．四边形内接于，若，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 6．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 7．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 8．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 9．如图，点P，C在弦的两侧，，是的切线，C在上，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 10．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 11．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连接．则的长度不可能是（     ） A．16 B．18 C．24 D．26 12．如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径的圆弧与边，分别交于点，．点在边上，点在上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．已知的半径为．若点到圆心的距离为，则在________．（填“圆内”、“圆外”、“圆上”中的一种） 14．如图，内接于，，，为的直径，________ ． 15．已知在中，，将绕边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的全面积为_______． 16．如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 17．如图，长方形的面积是100平方厘米，M在边上，且，N在边上，且．那么，阴影部分的面积是______平方厘米． 18．如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 19．（6分）已知：如图，是的外接圆，是的外角的平分线，与相交于点D．求证：为等腰三角形． 20．（6分）我国古代数学著作《九章算术》中有“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言表述：如图，弦与直径垂直，垂足为E，寸，寸，则的直径是多少？（注：“尺”和“寸”都是旧制长度单位．1尺寸，1米尺） 21．（8分）如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 22．（8分）如图，四边形是的内接四边形，为直径，且，垂足为E． (1)若，求四边形其余各角的大小； (2)若，，求，的长． 23．（8分）如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1) 试说明：． (2) 若，，求的面积． 24．（8分）将一副三角板按如图所示的方式摆放，，，点D为边上的点，，， (1)的大小为 度． (2)若三角板固定，将三角板绕点D逆时针旋转， ①当点B第一次落在直线上时停止旋转，请在图1中用直尺和圆规画出线段旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法），则该图形的面积为 ． ②当旋转至A、B、E三点共线时，求的长． 25．（10分）综合与实践 【主题】扇面制作． 【背景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．某班组织同学们开展扇面制作展示活动，扇面的形状如图2中阴影部分所示，，弦与相切． 【素材】无刻度直尺、量角器、圆规、剪刀、如图3所示直径为 的卡纸． 【任务】 (1)猜想与证明：猜想 与 之间的数量关系，并证明． (2)设计扇面：若要求制作的扇面的宽 ． ①求要制作的扇面中弦的长． ②在中能否设计出满足条件的扇面？若能，请利用【素材】中的工具在图3中直接画出扇面（标出相关角的度数，保留作图痕迹）；若不能，请说明理由． 26．（12分）已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、相交于点E，点F在弦上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作于点H，连接、，若，，求的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章圆·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.四边形ABCD内接于⊙O,若∠B=60°，则∠D=() A.60° B.90° C.120° D.150° 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠CEB的度数为 () E B D A.100° B.110° C.120° D.130° 3.如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形ABC的三个顶点A,B,C为圆 心，AB长为半径画弧得到的图形)，若AB=5,则此莱洛三角形的周长为() 图1 图2 A.6π B.16n C.5π 3 D.15n 4 4.如图，等边三角形ABC内接于⊙O.若⊙O的半径为3，则AB的长为() A A.π B.2n C.3π D.4π 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.已知△ABC内接于⊙O,OD⊥AC于点D,如果∠COD=32°，那么∠B的度数为() A.16° B.32 C.16°或164° D.32°或148° 6.如图，正方形ABCD的边AB=1,AC和BD都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是() B D -1 A. B.+1 2 2 C.1+乃 4 D.π-1 1 7.如图，从半径为6©m的圆形纸片剪去专圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重 叠)，则这个圆锥的高是() 剪去 A.6cm B.25cm C.35cm D.8cm 8.如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB,垂足为D.若AE=8, DB=2,则⊙O的半径为() D 0 H A.6 B.5 c.4V2 D.4V3 9.如图，点P,C在弦AB的两侧，PA,PB是⊙O的切线，C在⊙O上，则∠P与∠C的关系是() 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2∠P+∠C=180° B.2∠P+∠C=360° C.∠P+2∠C=180° D.∠P+∠C=180 10.如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45°得到△AOB,若OA=3,则点A经过的路径长为 B B A.3n B.3n c.8 π 8 4 p.4 π 11.综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动.小明同学准备了一张长方形纸片 ABCD,AB=24,BC=20,他在边BC上取中点N,又在边AB上任取一点M,再将△BMN沿MN折叠 △BMN:连接AB则AB的长度不可能是（) 得 ---------B A.16 B.18 C.24 D.26 12.如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点C为圆心，1为半径的圆弧与边CB,CD分别交于点E,F. 点M在边AB上，点N在EF上，则DM+MN的最小值为() M 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.V10 B.V13 c.2V5-1 D.V17-1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.己知⊙O的半径为7cm.若点P到圆心O的距离为10cm,则P在 (填“圆内”、“圆 外”、“圆上”中的一种) 14.如图，△ABC内接于⊙O,AB=BC,∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，∠DAC= 15.已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,将△ABC绕AC边所在的直线旋转一周得到 一个圆锥，则该圆锥的全面积为· 16.如图，已知点A、B、C、D、E在⊙O上，若∠B+∠ADC=160°，则∠ADE的度数为 C D I.灰图，长方形ABCD的面积是1OO平方厘米，M在AD边上，且AM=片AD,N在AB边上，且 AN=二BN.那么，阴影部分的面积是平方厘米。 3 d M D 18.如图，在Rt☑ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC,BE=BC,DE=6,O是 △CDE的外心，则O到△ABC三边距离之和是 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 19.(6分)已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD与⊙O 相交于点D.求证：△DBC为等腰三角形. 20.(6分)我国古代数学著作《九章算术》中有“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小， 以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言表述：如图，弦AB与直径CD垂直，垂足为 E,CE=1寸，AB=10寸，则⊙O的直径是多少？（注：“尺”和“寸”都是旧制长度单位.1尺=10寸， 1米=3尺) 墙体 B 21.(8分)如图，⊙O的半径为5，AB,CD为两条平行的弦，且在圆心的同侧，AB=8,CD=6,求 这两条平行弦之间的距离. C D B 0 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(8分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，且AC⊥BD,垂足为E. (1)若∠BAD=70°，求四边形ABCD其余各角的大小： (2)若AC=10,BD=8,求AE,CE的长 23.(8分)如图，△ABC内接于⊙O,AD、BE是△ABC的高，H是AD、BE的交点，AD的延长线 交⊙O于G. G (I)试说明：HD=DG (2)若∠BAD=30°，BH=4,求⊙O的面积 24.(8分)将一副三角板按如图所示的方式摆放，AB=6,DE=9,点D为边AC上的点，AC AD 3 3 BC‖EF, 备用图 (I)∠ADE的大小为_度. (2)若三角板DEF固定，将三角板ABC绕点D逆时针旋转， ①当点B第一次落在直线DE上时停止旋转，请在图1中用直尺和圆规画出线段AB旋转运动所形成的平面 图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法），则该图形的面积为· ②当旋转至A、B、E三点共线时，求BE的长 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.(10分)综合与实践 【主题】扇面制作 【背景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺 术风格.某班组织同学们开展扇面制作展示活动，扇面的形状如图2中阴影部分所示，∠AOB=120°， 弦AB与CD相切. ●O1 图1 图2 图3 【素材】无刻度直尺、量角器、圆规、剪刀、如图3所示直径为30V3cm的卡纸⊙O1 【任务】 (1)猜想与证明：猜想OD与OA之间的数量关系，并证明. (2)设计扇面：若要求制作的扇面的宽AD=BC=15cm. ①求要制作的扇面中弦AB的长， ②在⊙O1中能否设计出满足条件的扇面？若能，请利用【素材】中的工具在图3中直接画出扇面（标出相 关角的度数，保留作图痕迹)：若不能，请说明理由、 26.(12分)已知：四边形ABCD内接于⊙O,AB=CD 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AD‖BC: (2)如图2，延长BA、CD相交于点E,点F在弦CD上，连接BF、BD,若AD=DE=CF,求证： BD=BF: 6何胸图3在C②)的张什下，过点0作0H上BD于右准接AR、H,若0H=55,A=25, 求△BHF的面积. 7/7命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章圆·培优（参考答案） 一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 A 0 ⊙ 不 B C B C 二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.圆外 14.30°15.144π 16.20° 1758 3 18.9 三、解答题（共8小题，共66分） 19.【详解】证明：，四边形ABCD是圆内接四边形， ∴，∠BAD+∠BCD=180°， .∠EAD+∠BAD=180°， .∠EAD=∠BCD,(2分) ,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线， ∴.∠EAD=∠CAD, ,∠DBC=∠CAD ∠EAD=∠DBC,(4分) .∠DBC=∠BCD, ∴CD=BD ∴.△DBC为等腰三角形.(6分) 20.【详解】解：连接OB, .AB⊥CD,AB=10寸， BE-号AB=5时，2分) 设⊙O的半径是r寸， 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 墙体 D 根据题意，得OB=OC=r寸，OE=OC-CE=r-1寸， 根据勾股定理，得OB=OE+BE2, .r2=52+r-12 .r=13, .2r=26, 故⊙0的直径是26寸.(6分) 21.【详解】解：过点O作OF⊥CD于点F,交AB于点E, ,AB‖CD, .OF⊥AB, ∴.OE⊥AB,(2分) D A B ,'AB=8CD=6 AE-AB=4,CF-CD=3.() 连接OA,OC, .0A=0C=5, ∴.0E=0A2-AE=5-4=3,0F=0C2-CF-5-3=4'(7分) .∴.EF=OF-OE=4-3=1, 故这两条平行弦之间的距离为1，(8分) 22.【详解】(1)解：.四边形ABCD内接于⊙O, 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAD+∠BCD=180°， .∠BAD=70, ∴.∠BCD=180°-70°=110°，(1分) .AC是⊙O的直径， ∴.∠ADC=∠ABC=90°：(3分) (2)解：连结OD, C 的 E .AC AC=10 A 是直径， .0A=0D=0C=号AC=5,4分) .直径AC⊥BD, .DE=BE=BD=号×8=4,5分) 2 在直角△ODE中，由勾股定理可得： 0E=V0D2-DE=V52-42=3' .∴.AE=A0+OE=5+3=8, CE=C0-OE=5-3=2.(8分) 23.【详解】(1)解：连接BG y E D C.'AD、BE△ABC 是 的高， .∴.∠AEH=∠BDH=90°. .'∠AHE=∠BHD 3/10 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DBH=∠EAH, .∠CBG=∠CAG, ∴.∠HBD=∠GBD, 在△BDH与△BDG中， ∠HBD=∠GBD BD=BD ∠BDH=∠BDG=90° ∴.△BDH≌△BDG ASA,(3分) .DH=DG.(1分) (2)解：连接OB、OG. A .:∠BAD=30° , .∠BOG=2∠BAG=60°.(4分) .OB=OG ∴.△OBG为等边三角形，(5分) ∴.BG=OB=OG .'△BHD≌△BGD, ∴.BH=BG=4, ∴.OB=OG=4, ∴.S=42·π=16π.(8分) 24.【详解】(1)如图，设DE交BC于点T. E BC‖EF, ∴.∠DTC=∠E=45°， 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，∠ADE=∠DTC+∠C=45°+30°=75°.(2分) (2)① (3分) .AB=6,∠BAC=90°，∠C=30°， ..AC=3AB=6V3, ..AD_3 AC 3 ,AD=6, DB=AB+AD=V6+6=624分) ∴.阴影部分的面积 =S△ABD+S扇形DB阳-S扇形ADA-S△ADB: =S扇形口DBB-S扇形口ADA 30π×6V2230π×62 360 360 =3π.(6分) ②如图，当点B落在线段AE上时， 在Rt△AED中，AE=VDE2-AD=V92-6=35 AB=6, .BE=AE-AB=3V5-6」 如图，当点A落在BE上时，同法可得AE=35,此时BE=AE+AB=3V5+6. 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E F 综上所述，满足条件的BE的值为35-6或3V5+6.(8分) 25.(1)猜想： 0D=0A.1分) 证明如下：如图1，记弦AB与CD相切于点M,连接OM,则OM⊥AB, 图1 .∠AMO=90° :∠AOB=120°，OA=OB, ∴∠MAO=∠MBO=30°. 01o1. .OD=OM, ∴.OD=5OA.(4分) (2)解：①如图， 30° 30 B OA=OB,OM⊥AB, ∴.AM=BM.(5分) 6/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)知OD=OA=AD=OM=15cm. ∴.OA=2AD=30cm. 在Rt△A0M中，AM=OA-0M=R302-15=153(6分) .AB=2AM=2×153=30V3.(7分) 0 文30 ②能， (10分) 26.(1)证明：连接BD,如图所示， A D Q B .AB=CD AB=CD,(1分) ∴.∠ADB=∠DBC, .AD‖BC.(2分) (2)证明：，'AB=CD,AD‖BC, 四边形ABCD为等腰梯形， ∴.∠DAB=∠ADC,(3分) .'∠DAB+∠EAD=180°，∠ADC+∠EDA=180°， .∠EAD=∠EDA, ∴.EA=ED AD=DE=CF, ∴.AD=AE=DE, 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△EAD为等边三角形，(2分) ∴.∠E=∠EAD=∠EDA=60° AD BC, ∴.∠EAD=∠EBC=60°，∠EDA=∠ECB=60°， ∴.∠E=∠EBC=∠ECB=60°， ·.△EBC为等边三角形 ∴.BE=BC,∠E=∠C=60°， DE=FC ∴.在△DEB和△FCB中∠E=∠C BE=BC .△DEB≌△FCB, ∴.BD=BF.(5分) (3)解：连接OB,OD,过点A作AG⊥ED于点G,过点B作BT⊥CD于点T,过点F作FK⊥BD于点 K, E G A .∠C=60° B ∴.∠B0D=120°， .OH⊥BD,OB=OD, BH=BD,∠HOD=∠HOB=∠BOD=120 =60°，(6分) 2 0H=53 在△0D中，0D-20H=103.DH=B照=oD=5×103-5. 3 2 2 3 .∴.BD=BF=2DH=10 8/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,BD=BF,BT⊥CD, 0T=-号0F,(9分) ,'△AED和△BEC为等边三角形，AG⊥ED,BT⊥CD, ∴.ET=EC,EG=DG, AE=ED=CF=a,AB=DC=bBC=BE=AB+AE=a+b,EG=DG=9,ET=TC=+b 2 TF-DT-a+b-a-b-a,DF=2DT=b-a GF-DG+DT+TF-9+b-a+bza-b-a 2 2 222 2 CT=r+C-b2+a=.8分 BT'-BC2-CT-la+bP-atb-3la+bF. 2 ∴.在Rt△AGF和Rt△BTF中，AF2=AG+GF2,BF2=BT2+TF2, .'BF=BD=10,AF=2V15, 29-b-w2og,= 42 ∴.a2+b2-ab-60=0①，a2+b2+ab-100=0②， :②-①得b=20则a2+b2=80 ∴.a+b=a2+b2+2ab=80+2×20=120'b-a2=a2+b2-2ab=80-40=40 ∴.a+b=2V30即BC=BE=EC=2V30,b-a=210即DF=2V10, .Cr-B-V30 B-3la+bF-3V10 (10分) 2 4 ∴5ame=DFn=号×280×3910=30， .'BH=HD,FK是△FHD和△BHF的高， 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 55m58r ×30=15.(12分) 10/10 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章 圆·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．四边形内接于，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 2．如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，，作差可求出，最后利用三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 3．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正三角形的性质可得，此莱洛三角形为三段圆心角为，半径为的圆弧组成，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴的长为， 同理，与的长都为， ∴此莱洛三角形的周长为． 4．如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 5．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 6．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形和圆的对称性，易得阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和，进行求解即可. 【详解】解：观察可知，阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和， ∵正方形的边， ∴， ∴的长为， ∴阴影部分的周长为. 7．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 8．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，延长交于点T，设的半径为r，证明，推出，在中，根据，构建方程求解． 【详解】解：连接，延长交于点T，设的半径为r， ∵C为优弧的中点， ∴， 由垂径定理得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据， ∴ 解得． 9．如图，点P，C在弦的两侧，，是的切线，C在上，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和为得到，然后利用圆周角定理得到，进而可得答案． 【详解】解：连接，． ∵、是的切线，切点分别为A，B， ∴（切线的性质）． ∴，     ∴， ∵， ∴，故选项C符合题意． 10．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 11．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连接．则的长度不可能是（     ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】D 【分析】根据折叠的性质和中点的定义，可得，从而可得当点在边上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动，利用勾股定理，求，根据“圆外一点到圆上最短距离”可得，，根据点在边上运动，可得，则，即可求解． 【详解】解：如图1，连接， 将沿折叠得到， ， 点为的中点，， ， 当点在边上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动， 如图2，在中，， ， ， 的最小值为16， ，且点在边上， ， ，故不可能是26． 12．如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径的圆弧与边，分别交于点，．点在边上，点在上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，可得 ，利用正方形的性质得，，得到点 在同一条直线上，即得到 ，连接，与相交于点，与相交于点，此时的值最小，最小值 ，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，则， ∴， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴， ∴点 在同一条直线上， ∴， ∴， 连接，与相交于点，与相交于点，如图， 此时的值最小，最小值 ， ∵， ∴ ， ∴的最小值为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．已知的半径为．若点到圆心的距离为，则在________．（填“圆内”、“圆外”、“圆上”中的一种） 【答案】圆外 【分析】点与圆的位置关系可通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小判断，直接比较给定数值即可得到结论． 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， ，即 ∴在圆外． 14．如图，内接于，，，为的直径，________ ． 【答案】 【分析】由内接于，，，可得等腰三角形中； 由直径所对的圆周角为直角，可得中；再由同弧所对的圆周角相等可得，进而得出；再由，即可求得的度数． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中， 又∵， ∴， ∵， ∴． 15．已知在中，，将绕边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的全面积为_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，确定旋转得到的圆锥的底面半径和母线长，再分别计算圆锥的侧面积和底面积，求和得到全面积． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ 由勾股定理得 ． 将绕所在直线旋转一周后，得到的圆锥底面半径， 母线长， 圆锥的侧面积为 ， 圆锥的底面积为 ， ∴ 圆锥的全面积为 ． 16．如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 【答案】 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ，即， ， ． 17．如图，长方形的面积是100平方厘米，M在边上，且，N在边上，且．那么，阴影部分的面积是______平方厘米． 【答案】 【分析】阴影部分面积等于长方形面积减去和的面积，根据已知比例关系，将转化为长方形长和宽的分数倍，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：四边形是长方形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______ 【答案】9 【分析】先证明点O是的内心，根据三角形的内心到三边距离相等，该距离为的内切圆半径，得出，即可解决问题． 【详解】如图，连接、、、、， 由知O在的垂直平分线上， 又，则平分， 同理平分，故O是的内心， 到的三边距离均与的内切圆的半径相等， 半径， 故所求之和为9． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、三角形的内心与内切圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 19．（6分）已知：如图，是的外接圆，是的外角的平分线，与相交于点D．求证：为等腰三角形． 【答案】证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】根据圆内接四边形的性质结合平角的定义得到，角平分线的定义结合圆周角定理得到，进而得到，即可得证． 【详解】略 20．（6分）我国古代数学著作《九章算术》中有“圆材埋壁”问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”用数学语言表述：如图，弦与直径垂直，垂足为E，寸，寸，则的直径是多少？（注：“尺”和“寸”都是旧制长度单位．1尺寸，1米尺） 【答案】26寸 【分析】连接，设的半径是寸，根据题意，得寸，寸，根据勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：连接， ，寸， 寸， 设的半径是寸， 根据题意，得寸，寸， 根据勾股定理，得， ， ， ， 故的直径是26寸． 21．（8分）如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 【答案】1 【分析】过点O作于点F，交于点E，根据垂径定理，勾股定理，求得，根据距离的意义，求解即可． 【详解】解：过点O作于点F，交于点E， ， ， ， ，， ， 连接， ， ， ， 故这两条平行弦之间的距离为1． 22．（8分）如图，四边形是的内接四边形，为直径，且，垂足为E． (1)若，求四边形其余各角的大小； (2)若，，求，的长． 【答案】(1)；； (2)， 【分析】(1)利用圆内接四边形的对角互补、直径所对的圆周角是直角即可得到答案； (2)利用垂径定理、勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ； （2）解：连结， 是直径，， ， 直径， ， 在直角中，由勾股定理可得： ， ， ． 23．（8分）如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)解：连接． 是的高， ． ． ， ， ， 在与中， ， ． (2) 【分析】（1）连接，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接．先利用圆周角定理可得，进而可证明为等边三角形得到，结合全等三角形的性质可得，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 24．（8分）将一副三角板按如图所示的方式摆放，，，点D为边上的点，，， (1)的大小为 度． (2)若三角板固定，将三角板绕点D逆时针旋转， ①当点B第一次落在直线上时停止旋转，请在图1中用直尺和圆规画出线段旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法），则该图形的面积为 ． ②当旋转至A、B、E三点共线时，求的长． 【答案】(1)75 (2)①，； ②或 【分析】（1）由 得 的度数，再由三角形外角性质计算即可； （2）①先根据得到的长，再利用勾股定理求出，最后根据阴影部分的面积求解即可；②分点B落在线段上和点A落在线段上两种情况分别画图求解即可． 【详解】（1）如图，设交于点T． ∵， ∴， ∴． （2）①图略 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴阴影部分的面积 ． ②如图，当点B落在线段上时， 在Rt中， ∵， ∴． 如图，当点A落在上时，同法可得，此时． 综上所述，满足条件的的值为或． 25．（10分）综合与实践 【主题】扇面制作． 【背景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．某班组织同学们开展扇面制作展示活动，扇面的形状如图2中阴影部分所示，，弦与相切． 【素材】无刻度直尺、量角器、圆规、剪刀、如图3所示直径为 的卡纸． 【任务】 (1)猜想与证明：猜想 与 之间的数量关系，并证明． (2)设计扇面：若要求制作的扇面的宽 ． ①求要制作的扇面中弦的长． ②在中能否设计出满足条件的扇面？若能，请利用【素材】中的工具在图3中直接画出扇面（标出相关角的度数，保留作图痕迹）；若不能，请说明理由． 【答案】(1)猜想： ． 证明如下：如图1，记弦与相切于点，连接 ，则 ． ∴ ． ∵， ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． (2)解：①，②能， 【分析】（1）记弦与相切于点，连接 ，则 ，根据圆切线的性质得出 ，根据等边对等角，以及三角形内角和定理得出 ，由含30度直角三角形的性质得出 ，进而可得出 ． （2）①由垂径定理得出 ，由（1）知 ．则，由勾股定理得出 ，进而可求出． ②画出直径，作的垂直平分线，再使用量角器量出的角与垂直平分线交于点，以点为圆心为半径画弧即可． 【详解】（1）略； （2）解：①如图， ∵ ， ， ∴ ． 由（1）知 ． ∴． ∴在 中，， ∴． ②能，略； 26．（12分）已知：四边形内接于，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长、相交于点E，点F在弦上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作于点H，连接、，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：连接，如图所示， ， ， ， ． (2)证明：，， 四边形为等腰梯形， ， ，， ， ． ， ， 为等边三角形， ． ， ，， ， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ． (3)15 【分析】（1）根据同圆中相等的弦所对的弧相等和等弧所对的圆周角相等推出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． （2）利用等腰梯形的判定和性质推出，结合邻补角定义和等腰三角形的性质推出结合已知条件，推出等边，结合平行线的性质推出等边三角形，最后利用证明，即可推出． （3）根据垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理求出的长度，利用等边三角形的性质求出关系，设参数，，结合勾股定理表示出关系，利用完全平方公式求出和的值即可求出相应的线段，面积从而求出最后利用等底同高即可求出面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ， ， ，， ，， ， 在中，，， ． ，， ． 和为等边三角形，，， ， 设，则，，，， ， ， 在和中，， ， 在和中，，， ， ， ①，②， ②-①得，则， ， 即， 即， ，， ． ，是和的高， ． 【点睛】本题考查了圆与内接四边形的综合，解题的关键是要设和参数，利用整体化思想和完全平方公式求出长度． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $