第二十九章 圆（单元自测·冲刺卷）数学新教材人教版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章 圆·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法共个． 2．一个圆柱的体积为，底面直径为，它的高为（     ）． A． B． C． 【答案】C 【分析】利用圆柱的体积公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵ 底面直径为， ∴ 底面半径为： ， ∴ 底面积 为：， ∵ 圆柱体积 ， ∴ ． 3．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点P坐标算出的长度d，设圆的半径为r，，则点在圆上． 【详解】解：， 的半径， ， 在上． 4．如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 5．如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心为O,半径为，则，，由垂径定理得，再由勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得， ， 在中，由勾股定理得，即：， 解得， 拱桥的半径为． 6．若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该圆锥的底面半径为，据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， 即该圆锥的底面半径为． 7．如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，．求出的度数，利用弧长公式进行解答即可． 【详解】解：连接，． 点C是弧的中点， ， ． ， ， ， ∴弧的长． 8．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 9．斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可． 【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为， 对应的弧长， 设圆锥底面半径为r，则． ． 10．如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先根据角角边分别证明和，从而证明和，通过等量转化即可推出阴影部分的面积就是半圆的面积，利用圆的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设与的交点为，设与的交点为，如图所示， 由题意可知，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 根据和， 观察图可知，图中阴影部分的面积为即是以为半径的半圆的面积． ， 半圆的面积为， 阴影部分的面积为． 11．如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 12．如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，于，则，，，，由，得，进而得到，即可证，得到，即得到，再根据函数图象可知的直径为，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：作于，于，则，， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可知，当时，，此时为直径， ∴的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，, ∴， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．(结果保留) 【答案】 【分析】已知扇形的圆心角度数和半径，直接代入扇形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：扇形半径，圆心角， 代入扇形面积公式 ∴． 14．如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 【答案】13 【分析】利用垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 15．如图，半径为个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】先根据圆的周长公式求出圆滚动一周的长度，再求出滚动两周的长度，最后结合点A的位置求出点B表示的数． 【详解】解：已知圆的半径，根据圆的周长公式，可求出圆的周长； 圆滚动两周的长度是圆周长的2倍，即； 点A表示的数是，圆从A点向右滚动两周到达B点，那么点B表示的数等于点A表示的数加上圆滚动两周的长度：． 16．如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 【答案】30 【分析】设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为，根据圆锥和圆柱的体积公式，分别求出酒杯和酒瓶中酒的体积，即可得解． 【详解】解：设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为， ∴酒杯的体积为，酒瓶中酒的体积为， ∵， ∴共能倒满30杯． 17．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，，则，，求出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，， 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，． 点是的中点， ， ． 又， ． 当点，，在一条直线上时，此时最小，为的值，即最小值是． 18．如图，两矩形和彼此相邻内接于半圆，其中点、、在圆上，点、、在直径上，已知，，则_____ ． 【答案】5 【分析】连接，，，根据矩形的性质得，，，证明，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，设，，则，在中，利用勾股定理可得，从而可得，再在中，利用勾股定理进行计算可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图，连接，，， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， ， ∴或（舍去）， ∴． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， ， ， ， 为的中点； (2)8 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线的性质，可得， 根据垂径定理，即可得答案； （2）根据三角形的中位线，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可得答案． 【详解】（1）解：略； （2）为的中点，E为的中点， 是的中位线， ， ，     ， 在中，， ． 20．（6分）已知：如图，为的直径，为弦，A为的中点，，垂足为D，和相交于点E．求证：． 【答案】证明：连接，， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵A为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】连接，，证明，即可得到结论． 【详解】略 21．（8分）如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． (1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； (2)求裁剪后剩下废料的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，说明是直角三角形，根据勾股定理即可求解； （2）用圆形面积减去裁剪的扇形面积即可． 【详解】（1）解：连接，根据题意，， ， 是直径， ，， ， ， ， ， 即裁剪得到的扇形装饰部件的半径为； （2）解： 即裁剪后剩下废料的面积为． 22．（8分）如图，在中，，，．将绕点B顺时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一条直线上，那么点A经过路径的长是多少？ 【答案】 【分析】先得出点经过路径的长是的长，所在圆的圆心为，半径长为的长，再求出的长和的度数，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，点经过路径的长是的长，所在圆的圆心为，半径长为的长，如图所示： ∵在中，，，， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵，，三点在同一条直线上， ∴， ∴的长度为， 即点经过路径的长是． 23．（8分）光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求劣的长与劣的长，进而即可求解； （2）分别求出小扇形和小扇形的面积，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，劣的长， 劣的长， ∴花边的长度为； （2）解：由题意得，， ， ∴ ． 24．（8分）如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)5 (2)证明：如下图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）首先证明，再在中由勾股定理解得，可得的长度，即可获得答案； （2）过点作于点，证明，进而证明，由全等三角形的性质可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴在中，可得，即， ∵，且， ∴， 解得，即的半径为5； （2）略 25．（10分）【问题提出】如图①，以的边为直径作．若经过边的中点，求证：． 【问题解决】证明：如图②，连接． 四边形是平行四边形，∴，． 是的中点，是的中点，，．． 四边形是平行四边形．．点在上，． ．． 【结论应用】 (1)在【问题提出】的条件下，若点也在上，且，则的面积为 ； (2)如图③，以正方形的边为直径的圆经过的边的中点，连接．若，则长度的最大值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题干中已知结论可得，由圆周角定理得，由勾股定理计算出，最后利用平行四边形面积公式求解； （2）由题干中已知结论可得，推出，进而可得点C在以点D为圆心，3为半径的圆上，根据圆外一点到圆上一点的距离，可得当点C在线段的延长线上时，长度取最大值． 【详解】（1）解：如图，连接， 中， ， 由题干中已知结论可得， ， 点也在上， ， ， 的面积； （2）解：正方形中， ，， 由题干中已知结论可得， ， 点C在以点D为圆心，3为半径的圆上， 当点C在线段的延长线上时，长度取最大值，如图： 此时． 26．（12分）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接、， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据等边对等角得到，圆内直径所对的圆周角是直角得到，利用角之间的和差关系得到，再利用同圆中相等的圆周角所对的弧相等及同圆中相等的弧所对的圆周角相等得到结论； （2）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到和，再结合条件，利用（1）的结论得到，利用角之间的和差关系得到，最后利用同圆中相等的圆周角与弧、弦的关系得出结论； （3）根据全等三角形的判定和性质得到和，根据勾股定理、垂径定理和等量代换得到，设，在中，根据勾股定理列方程得，最后在中，根据勾股定理得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接、， 由（1）知，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，根据勾股定理得，， 由（2）知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵为的直径，， ∴，， ∴， 整理得，， 即 又∵， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章圆·冲刺（参考答案） 一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 A 小 B D B C B C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.6π 14.1315.4π-116.30 17.2 18.5 三、解答题（共8小题，共66分） 19.【详解】证明：.AB是⊙O的直径， ∴.∠C=90°，(1分) OD AC, ∴.∠OEB=∠C=90°， ∴.OD⊥BC, ∴.BE=CE, ∴.E为BC的中点；3分) (2).O为AB的中点，E为BC的中点， ∴.OE是△ABC的中位线，(4分) .OE-AC-3, .OD=OE+DE=3+2=5, ∴.OB=OD=5,(5分) 在Rt△BE0中，BE=VOB-OE=5-32=4 ∴.BC=2BE=8.(6分) 20.【详解】证明：连接AC,AB, 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :BC为⊙O的直径， ∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，(2分) AD⊥BC, .∠ADC=90, :.∠ACB+∠CAD=90°， .∠ACB=∠BAD,(3分) A为BF的中点， AB=AF,(4分) ∴，∠ABF=∠ACB, .∠ABF=∠BAD, ∴.AE=BE.(6分) 21.【详解】(1)解：连接AO,根据题意BC=12cm,∠CAB=90°， B.BAC=90° ·.BC是直径，(2分) .AC=AB,OB=OC, .AO⊥BC, ∴.∠AOB=90°，(4分) 0A=0B=0C=BC=6, ∴.AB=V0A2+0B=V62+62=62 ,(5分) 2/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即裁剪得到的扇形装饰部件的半径为6V2cm; (2解：6-器x62=36-18=18am到 即裁剪后剩下废料的面积为18πcm2.(8分) 2.【详解】解：由题意可知，点A经过路径的长是AA的长，AA所在圆的圆心为B:半径长为AB的长， 如图所示： :在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=3cm, ∴.AB=2AC=23cm,(3分) 由旋转的性质可知，∠ABC=∠ABC=30°， ·A,B,C三点在同一条直线上， .∠ABA=180°-∠ABC=150°，(6分) AA的长度 150mx23_53m1m, 180 3 即点A经过路径的长是53π。 3Cm,(8分) 28.【详解】(1)解：由思意得，劣A3的长-135X36=271cm,Q分 180 劣cD的长=13512=9 em.)e分) 180 :花边的长度为2π×36-27π+2π×12-9π=60πcm;3分) (2)解：由慰意得，S袋0g-135X36-486mlcm2.4分》 360 S小扇形ocD 135m×12=54mcm2,5分) 360 S制=S阴g=π×362-S小扇形0AB小-n×122-S小扇浴0CD 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1296mπ-486π-144π-54π =720元cm2(8分) 24.【详解】(1)解：，OB=OC, 9∠0BC=∠0CB=号180°-∠B0Cl :∠BOC=2∠BCE, :.∠OBC=180-2∠BCE到=90°-∠BCE,即∠OBC+∠BCE=90,1分) :.∠BEC=180°-∠BCE+∠OBC=90°，即CE⊥OB,(2分) 在Rt△OEC中，可得0C2=0E2+CE2,即OC2=OB-BE+CE, BE=2,CE=4,且OB=OC, 0C2=0C-22+42 解得0C=5,即⊙0的半径为5：(4分) (2)证明：如下图，过点O作OF⊥BD于点F, BF=号BD,∠BF0=90 .'BD=2BF, .BD=20E, ∴.OE=BF, 在Rt△CEO和Rt△BFO中， OE=BF OC=OB' .Rt△CEO≌Rt△BFO HL,(7分) 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠COE=∠OBF, ∴BDOC.8分) 25.【详解】(1)解：如图，连接BD, .·▣ABCD AB=4 B 中 .CD=AB=4,(1分) 由题干中已知结论可得AD=2DC, ∴.AD=2×4=8, .点B也在⊙O上， .∴.∠ABD=90°，(2分) .BD=AD2-AB2=V82-4=43 (3分) .口ABCD的面积=BD·AB=43×4=163;(4分) (2)解：.正方形ADEF中AF=6, ∴.AD=6,FD=V2AF=6V2, 由题干中己知结论可得AD=2DC, CD=AD=3,6分) 点C在以点D为圆心，3为半径的圆上， .当点C在线段FD的延长线上时，FC长度取最大值，如图： E M B 此时FC=FD+CD=62+3.(10分) 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.【详解】(1)证明：连接BD、BC, .AC=AD, ∴.∠ADC=∠ACD AB为⊙O的直径， ,∠ADB=∠ACB=90°. ∴.∠ADB-∠ADC=∠ACB-∠ACD, ∴.∠BDC=∠BCD,(1分) .BC=BD. ∴.∠BAC=∠BAD,(2分) ∴.AB平分∠CAD; D E B 图1 (2)证明：连接AF, .FC=FC. ∴∠AC=∠FDC, BD=BD ∴.∠BFD=∠BAD,(3分) ,∠ADF=2∠BFD ∴.∠ADF=2∠BAD, ,AB平分∠CAD .∠CAD=2∠BAD. ∴.∠CAD=∠ADF, 又，∠AC=∠DC, ∴.∠CAD+∠FAC=∠ADF+∠FDC, 即∠FAD=∠ADC. .FD=AC,(5分) 6/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DF=CA. .CA=DA, ..DF=DA: 图2 (6分) (3)解：连接AF、OD, 由(1)知，AB平分∠CAD, ∴.∠EAD=∠EAC, ..AC=AD,AE=AE ∴.△ACE≌△ADE SAS,(7分) ∴.∠AED=∠AEC, ,∠AED+∠AEC=180°， ∴.∠AED=∠AEC=90°， 即AB⊥CD,(8分) 在Rt△ODE中，根据勾股定理得，OE2+DE=OD, 由(2)知，DA=AD,∠CAD=∠ADF,DF=CA, ∴△DAC≌△ADF SAS, ∴.CD=FA, BF+BE=CD. .BF+BE=FA, AB为⊙O的直径， .∠AFB=90°， 在Rt△AFB中，根据勾股定理得，AF2+BF2=AB2, AF=CD. .CD+BF2=AB2,(9分) 又，AB为⊙O的直径，AB⊥CD, 7/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=20B-20D.DE-CE-CD, ·2DE2+BF2=20B2 整理得，4DE2+BF2=40B, 即4DE2+BF2=4OD2 又，0E2+DE2=0D2, 4DE2+BE2=40E+DE2 整理得，4DE2+BF2=40E2+4DE2, ∴BF2=40E2, OE=3, .BF=6,(10分) 设BE=X,则OD=OB=OE+BE=3+X,CD=BF+BE=6+X, DE-0D-6*x=3+分， 在Rt△ODE中，根据勾股定理得，OE2+DE=OD, 2 3+3+x=3+x ，1 整理得：x+4x-12=0, 解得：X1=2,X2=-6(舍)， ∴BE=2, DE=3*号x=4 在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE2+DE2=BD, .BD2=22+42=20, .BD=25.(12分) 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 图3 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章 圆·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一个圆柱的体积为，底面直径为，它的高为（     ）． A． B． C． 3．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 4．如图，是的直径，点、在上，．则（     ） A． B． C． D． 5．如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 6．若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 7．如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 8．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 9．斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 10．如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 11．如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 12．如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．(结果保留) 14．如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 15．如图，半径为个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点，则点表示的数是________． 16．如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 17．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． 18．如图，两矩形和彼此相邻内接于半圆，其中点、、在圆上，点、、在直径上，已知，，则_____ ． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若，，求． 20．（6分）已知：如图，为的直径，为弦，A为的中点，，垂足为D，和相交于点E．求证：． 21．（8分）如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． (1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； (2)求裁剪后剩下废料的面积． 22．（8分）如图，在中，，，．将绕点B顺时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一条直线上，那么点A经过路径的长是多少？ 23．（8分）光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 24．（8分）如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 25．（10分）【问题提出】如图①，以的边为直径作．若经过边的中点，求证：． 【问题解决】证明：如图②，连接． 四边形是平行四边形，∴，． 是的中点，是的中点，，．． 四边形是平行四边形．．点在上，． ．． 【结论应用】 (1)在【问题提出】的条件下，若点也在上，且，则的面积为 ； (2)如图③，以正方形的边为直径的圆经过的边的中点，连接．若，则长度的最大值为 ． 26．（12分）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章圆·冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的 圆心角所对的弧相等；正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.一个圆柱的体积为Vdm3,底面直径为2dm,它的高为()dm. V B.2 元 3.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是4,3，则点P与⊙O的位置关 系是() A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O外 C.点P在⊙O上 D.无法确定 4.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠CDA=56°.则∠BAC=() A.28° B.34 C.36 D.44° 5.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=24m,拱高CD=8m.则拱桥的半径为() A.12m B.13m c.14m D.11m 6.若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为120°，母线长为40cm,则该圆锥的底面半径为() 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.cm 20 D.cm 40 A.10cm B.13cm 7.如图，点A,B,C,D顺次分布在半径为2的⊙O上，其中AD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点， 顺次连接AB,BC,CD,若∠BCD=100°，则弧CD的长为() B 0 品， D. 10」 A. 8.在⊙O中，圆心角∠AOB=2∠COD,则弦AB与弦CD的关系是() A.AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D.不能确定 9.斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5，…画出来的螺旋曲线.如 图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1,1,2,3,5为半径的一个四分之一 圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为() A.4 B.2 5 C. D.4 10.如图，正方形ABCD是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接AF和DF,分别以E,G为圆心，AE 的长为半径画弧，两弧交于正方形ABCD的中心O处，图中阴影部分的面积是() G B A.4 B.6 C.2π D.4π 11.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,以A、D为圆心，半径分别为2和1画圆，E、F分别是 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是() A.6 B.7 C.8 D.10 12.如图1，已知AB,CD是⊙O中位于圆心上下两侧的两条弦，且∠COD+∠AOB=180°，设弦 AB=xCD'=y'y关于x的函数图象如图2所示，当CD=2AB时，则CD的长为（) 9 B 图1 图2 A.36 B.5 c.66 D. 9V5 5 5 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.一个扇形的圆心角是135°，半径为4，则这个扇形的面积为 (结果保留) 14.如图，BD是⊙O的直径，弦AC⊥BD于E,若AC=24,BE=8,则OC的长为 D E B 15.如图，半径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B,则点B表示的数是 3/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直 径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满 杯 17.如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AN的中点，点P是直径MN上一个动点，⊙O的半径 为1，则AP+BP的最小值为 I8.如图，两矩形ABCD和BFEG彼此相邻内接于半圆O,其中点C、D、E在圆上，点A、B、G在直径 MN上，已知AB=2BC,BG=2BR,则2S BG D M 三、解答题（共8小题，共66分） 19.(6分)如图，AB是⊙O的直径，点C,D是直径AB上方半圆上两点，且ODAC,OD与BC交于 点E. D (1)求证：E为BC的中点： (2)若AC=6,DE=2,求BC. 20.(6分)已知：如图，BC为⊙O的直径，BF为弦，A为BF的中点，AD⊥BC,垂足为D,AD和 4/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF相交于点E.求证：AE=BE A D 21.(8分)如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为12Cm的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆 片上裁剪出一个圆周角为90°的扇形作为装饰部件」 0 (1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径： (2)求裁剪后剩下废料的面积. 22.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=3cm.将△ABC绕点B顺时 针旋转到△ABC的位置，使A,B,C三点在同一条直线上，那么点A经过路径的长是多少？ 23.(8分)光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图.已知半径OA、OC分别 为36cm、12cm,∠AOB=135° 灯罩 (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计），（以上计算结果保留π） 24.(8分)如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点(OE>BE),连接OC,CE,且∠BOC=2∠BCE 图1 D 图2 (1)如图1，若BE=2,CE=4,求⊙O的半径： (2)如图2，若BD=2OE,求证：BD‖OC. 25.(10分)【问题提出】如图①，以口ABCD的边AD为直径作⊙O.若⊙O经过边BC的中点M,求 证：AD=2DC, D D B 图① 图② 图③ 【问题解决】证明：如图②，连接OM .四边形ABCD是平行四边形，∴.ADBC,AD=BC. :M是BC的中点，O是AD的中点，OD号AD,CM=BC. ∴.OD=CM ∴.四边形DOMC是平行四边形.∴.DC=OM.'点M在⊙O上， :OM=号D DC=TAD.AD=2DC 【结论应用】 (1)在【问题提出】的条件下，若点B也在⊙O上，且AB=4,则口ABCD的面积为_： (2)如图③，以正方形ADEF的边AD为直径的圆经过口ABCD的边BC的中点M,连接FC.若AF=6, 则FC长度的最大值为_ 26.(12分)如图，△ACD内接于⊙O,AC=AD,AB为⊙O的直径，AB交CD于点E. 6/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O D E E B B 0 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB平分∠CAD: (2)如图2，点F在弧AC上，连接DF、BF,∠ADF=2∠BFD,求证：DF=DA: (3)如图3，在(2)的条件下，连接BD,若BF+BE=CD,OE=3,求BD的长. 7/7