第28章旋转（单元测试）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 2025-2026学年九年级上册数学第28章《旋转》单元检测卷，满分120分，涵盖选择、填空、解答题，以文化情境（如赵爽弦图）和几何变换为载体，全面考查旋转性质及应用，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称与轴对称图形辨析（如赵爽弦图）、旋转性质（平行四边形等命题判断）、坐标变换（点关于原点对称）|结合数学文化素材，基础概念与图形性质结合| |填空题|5/15|旋转后坐标计算、矩形旋转中点距离、旋转角度推导（如△ABC旋转后角度计算）|聚焦旋转基本量计算，注重空间观念| |解答题|9/75|旋转证明（如△ABC旋转证线段关系）、坐标变换作图、旋转对称图形探究（正方形旋转中心）、综合应用（菱形旋转动态问题）|分层设计，从基础证明到创新探究，培养推理能力与创新意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第28章旋转（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 6 > b 10 C D B B C A D B B A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.0 12.5 13.40 4.万或i四 15.①②③④ 三、解答题（共9小题，共73分） 16 【答案】证明：由旋转的性质可得，∠BAC=∠EAF,AB=AE,AC=AF, ∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+LCAE,即LBAE=LCAF, AB=AC,AB=AE,AC=AF, .AB=AC=AE=AF, 在△ABE和△ACF中， AB=AC ∠BAE=∠CAF AE=AF △ABE≌AACF(SAS) .BE=CF 17. 【答案】(I)证明：由题意，得AB=AE,∠B=∠AEF, 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠AEB, ∴.∠AEB=∠AEF, ∴.EA平分∠BEF; (2)解：由题意，得∠BAE=∠CAF,∠C=∠F, :AB=AE,∠ABC=54°， ∴∠AEB=54° ∠BAE=180°-54°-54°=72°， ∴∠CAF=∠BAE=72°， ∴.∠FGC=∠F+∠FAG=104° 18. 【答案】①4(-2，-5)8(4，-2)C(←1，-) △ABCn△ABC 和 即为所求： 3 -4327012345 B (2)解：由图可知，点1(2,5B4,2),C,1) 由4)可知，4(-2-5B(4-2)G(←1，-1) “点4与点4，点B与点8，点C与点9坐标之间的关系为：横、纵坐标均互为相反数， .B C (8)解：由(2)可知，点4与点，点“与点A,点C与点C的横、纵坐标均互为相反数， B C ÷点4与点，点8与点月，点C与点C关于原点对称， 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△4BC是由△ABC绕原点旋转180°得到的， 19 【答案】(I)①△CAD'能由△BAD旋转得到， 理由：△ADD是等边三角形，∠CAB=60°， AD=AD',∠DAD'=60°=∠CAB, .∠BAD=∠CAD' 在△BAD和△CAD'中， AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD' ∴.△BAD≌ACAD'(SAS) 点A为△BAD和△CAD'的共同顶点， aCAD'可以由△BAD旋转得到； ②：△BAD绕点A按顺时针方向旋转得到△CAD', .BD=CD', :△ADD'是等边三角形， .∠ADD=60°，DD'=AD=6 ∠ADC=30°， ∴.∠CDD'=90° CD'=VDD+CD2=6+(32=36, .BD=3√6 (2)解：AC=BC,∠ACB=120°， ·∠A=∠ABC=180°-120)=30°， ∠DCE=60°， .∠ACD+∠BCE=60°， 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将aACD绕点C逆时针旋转l20°得△BCF,作FG⊥AB于G,连接EF, ∴.△ACD≌△BCF .∠A=∠CBF=30°，CD=CF,∠ACD=∠BCF,AD=BF, .∠EBF=∠ABC+∠CBF=60°， ∴.∠BCF+∠BCE=∠ECF=6O°， ∴.∠ECF=∠DCE, 在△CDE和aCFE中， CD=CF ∠ECD=∠ECF CE=CE ∴.ACDE≌aCFE(SAS) .DE FE, :FG⊥AB于G, LEGF=∠BGF=90°， :∠EBF=60°， ∠BFG=30°， BG-BF =1km BE=3 km, .EG=BE-BG=2 km, RtABFG中，FG=VBF2-BG=V22-P=V3km RtEFG中，EF=VEG2+FG=2+(5}-7km, :DE=7 km 20. 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE, .∠CAE=60°，AC=AE, .△ACE为等边三角形， ∴.CE=AC=4,∠ACE=60°， ,∠ACB=120° .∠ACB+∠ACE=180°，即点B,C,E三点共线， BE=BC+CE=2+4 (2)①证明：如图2， B 图2 ,将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE, ∴.∠CAE=90°，△ABC≌△ADE. ..AC=AE, ∴.△ACE为等腰直角三角形， .∠ACE=∠AEC=45°， ,点B,C,E三点共线， .∠ACB=∠AED=180°-∠ACE=135°， .∠BED=∠AED-∠AEC=90°， .BE⊥DE ②解：，△ABC≌△ADE. BC-DE-AC=AE-4 ,△ACE为等腰直角三角形， CE=AC2+AE=42 .BE=BC+CE=52 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.am-BE-ED-5. 21. 【答案】(1)正方形是旋转对称图形： 如图，点O即为正方形的旋转中心： 旋转角α的度数可以是90°或180°或270°（答案不唯一）； (2)解：连接AC,CD,OB, .OA=OC BA=BC OB=OB ∴.AOBC≌AOBA(SSS) ∴.∠OCB=∠OAB. ,图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形， ∴其余四个角与∠A0C相等，且这5个相等的角的和为360°， .∠A0C=∠C0D=360°÷5=72°； ∵OA=OC, 由全等可得OC=OD 20CD=∠0DC=2180°-72）=54， 同理：∠0CA=∠OAC=54°， 点B,C,D,E在同一直线上， .∠0CB=180°-∠0CD=126°， ∠ABC=360°-126°-126°-72°=36°： 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3) (答案不唯一) 22 【详解】(I)解：把△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，连接PP,此时△ACP'≌△ABP, AP'=AP=3,CP'=BP=4,∠PAP'=60°，∠APB=∠AP'C, ,AP'=AP,∠PAP=60°， ∴.△APP是等边三角形， .PP'=3,∠AP'P=60°： 在△PPC中， PP2+PC=32+42=25PC2=52=25 .'.PP2+P'C2=PC2, .△PP'C是直角三角形，∠PP'C=90°， ∴.∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60°+90°=150°， .∠APB=150°： (2)解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,∠ABC=30°， .AB=2AC=2, BC=VABP-AC2=3 如图，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'OB处，连接OO', 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A O B :B0=B0,BA=BA=2,OA=0A,∠OB0=∠ABA=60 .∠CBA'=∠ABC+∠ABA'=30°+60°=90°， .BO=BO',∠OBO=60°， ∴.△OBO是等边三角形， .0B=O0',∠B00'=∠B0'0=60°， .∠AOB=∠BOC=∠AOC=120° .∠C0B+∠BO0'=∠B0A+∠B0'0=120°+60°=180°， .C,0,0,4'四点共线， ..0A+0B+OC=A'O'+00'+OC=CA', 在RIACBA中，CA=VBC2+BAP=V+2=万. OA+OB+OC=√7 (3)解：将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△'BP,连接PP,A'C, B .∠ABA'=∠PBP'=6O,AB=AB=C,BP=BP,A'P'=AP. ∴.△BPP为等边三角形，∠A'BC=∠ABA+∠ABC=90°， .'BP PP', .PA+PB+PC=A'P'+PP'+CPZA'C, 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .当且仅当A,P,P,C四点共线时，PA+PB+PC的值最小为A'C的长， .·∠ABC=90° 4C=14B+BC=a+c :PM+PB+PC的最小值为V+c 23. 【答案】(I)证明：，∠BAC=∠DAE」 ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE 在△BAD与△CAE中， (AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △BAD≌△CAE(SAS), ..BD=CE: (2)解：，四边形ABCD是正方形， .AB=AD, ,把△ABF绕点A逆时针旋转9O°至△ADG,使AB与AD重合，如图： G B F 图2 ∴.∠BAF=∠DAG. :∠BAD=90°，∠EAF=450 .∠BAF+∠DAE=45°. ∠GAE=∠GAD+∠DAE=∠BAF+∠DAE=45°， 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EAF=∠EAG ∠ADG=∠ADC=∠B=90°， .∠EDG=180°， 点E、D、G共线， 在△AFE和△AGE中， AF=AG ∠FAE=∠GAE AE=AE ∴.△AFE≌△AGE(SAS)」 .EF=EG, 即EF=EG=ED+DG DE=1,边长为3的正方形ABCD, :.CD=BC=3,CE=2,∠C=90° 设BF=x,则CF=3-x,EF=GE=x+1, .EF2=CE2+CF2, :0+=2+63-对 解得x=1.5. 即BF=1.5: ()解：如图，过D作DG1DB,且DG=DB=v反，连接 BG,GA 并延长交BC于K G A 图3 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BG=DG2+DB =231 :AD=CD,∠ADC=∠BDG=90° ∴，∠GDA=∠BDC, .△BDC≌aGDA(SAS). ∴.∠BCD=∠GAD. :∠ABC=60°，∠ADC=90° ∴.∠BAD+∠BCD=210°=∠BAD+∠GAD. .∠BAG=360°-210°=150° .∠BAK=30° .∠AKB=90° :B服=4B=5, AK-AB-BK:=3 :GK=VGB2-BK=124-3=11 .AG=11-3=8, ..BC=AG=8 24. 【详解】(1)解：如图，过点F作FG⊥BC,交BC延长线于点G, D 在菱形 中， 7分 B E C G. ABCD ∠B=a=90° ∴四边形ABCD是正方形，∠BAE+∠AEB=90°， .AB=BC.CD⊥BC, 由旋转的性质得AE=EF,∠AEF=a=90°， .∠GEF+∠AEB=90°， ∴.∠GEF=∠BAE, 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△GEF和△BAE中， ∠G=∠B=90° ∠GEF=∠BAE EF=AE .∴△GEF≌△BAE(AAS) .EG=AB,GF=BE, :EG=BC, .EG-EC=BC-EC, 即CG=BE, :.CG=GF, .∠FCG=∠CFG=45°， 又：CD⊥BC, .∠DCF=90°-∠FCG=45°. (2)解：如图，延长BC到点G,使CG=BE,连接FG, D 四边形 是菱形， B E G ABCD ∠B=a :.AB=BC ABIICD∠BAE+∠AEB=18O°-a .∠DCG=∠B=a, .CG=BE, ∴.CG+CE=BE+CE, 即EG=BC, .EG=AB, 由旋转的性质得AE=EF,∠AEF=a, .∠GEF+∠AEB=180°-a, .∠GEF=∠BAE, 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△GEF和△BAE中， EG=AB ∠GEF=∠BAE EF=AE ∴.△GEF≌△BAE(SAS) FG=BE.∠G=∠B=a, ..CG=FG, ∠FCG=∠CFG=180°-∠G_180°-a 2 2 ∠DCF=∠DCG-∠FCG=a-180°-a=3 220-90 (3)解：由(2)知当20时，ZDCF--90=90 如图，过点N作NP⊥CN于点N,且使NP=CM,连接PM, P H D B ∴.∠PNM=∠MCF=90° 又，NP=CM,MN=CF, .aPMN≌AMFC(SAS) .∠PMN=∠MFC,PM=MF, MF=AB,AB=2, .PM=MF=AB=2, :∠MCF=90°， ∴.∠MFC+∠CMF=90° .∠PMN+∠CMF=90°. .∴，∠PMF=180°-（∠PMN+∠CMF)=90° 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 取PM中点H,连接NH,FH, :∠PWM=90°，PM=MF=2, :.NH=MH--PM-1, 2 HF=√MH2+MF2=P+22=V5 由两点之间线段最短得 NF≤NH+HF=1+V5 且当N、H、F共线时， NF 取得最大值为NH+=1+V5 14/14 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第28章 旋转 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．数学之美藏于几何图形，对称之妙尽显平衡智慧．下列图形分别是“赵爽弦图”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“斐波那契螺旋点”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意 D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2．下列命题中，是真命题的有（     ） ①平行四边形是中心对称图形；②矩形的对角线互相垂直；③菱形的四个角相等；④正方形的对角线相等，且互相垂直平分 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角相等，正方形的对角线相等，且互相垂直平分，解答即可． 【详解】解：①平行四边形绕对角线交点旋转后与原图形重合，是中心对称图形，为真命题． ②矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，为假命题． ③菱形的对角相等，四个角不一定都相等，为假命题． ④　正方形同时具备矩形和菱形的性质，对角线相等且互相垂直平分，为真命题． 综上，真命题为①④． 3．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 4．下列说法中，你认为不正确的是（     ） A．三角形具有稳定性 B．等边三角形是中心对称图形 C．任意多边形的外角和是 D．矩形的对角线一定互相平分 【答案】B 【分析】根据三角形的稳定性，中心对称图形的定义，多边形外角和定理和矩形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形具有稳定性，原说法正确，不符合题意； B、等边三角形不是中心对称图形，原说法错误，符合题意； C、任意多边形的外角和是，原说法正确，不符合题意； D、矩形的对角线一定互相平分，原说法正确，不符合题意． 5．将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以旋转中心与原抛物线顶点重合为突破口，结合旋转的性质推导解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，且旋转中心为点， ∴绕该点旋转后，抛物线顶点坐标不变，开口方向向下，开口大小不变， 即二次函数的图象绕点旋转后，得到的新的抛物线的顶点为，， ∴所得新抛物线的解析式为． 6．如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与x轴相交于C，根据旋转及等边三角形的性质得到，，根据含角的直角三角形的性质与勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C， ∵是等边三角形，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴在中，， ， ∵，即轴，且在第四象限， ∴点的坐标为． 7．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角相等，判断A、B、C选项的结论．因为已知，旋转角为，所以可得到的大小．在中，已知、的长度和为直角，使用勾股定理计算的长度，判断D选项的结论． 【详解】解：A、由旋转，得，∴A正确； B、由旋转，得，∴B正确； C、由旋转，得，∴C正确； D、∵， ， ． ∴D错误． 8．如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形斜边中线的性质构造全等三角形，证明旋转过程中重叠部分面积为定值，和旋转角度无关． 【详解】解：如图，连接， ，，点是的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 9．如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，点，是等腰直角三角形且，求出点的坐标为，利用旋转求出的坐标规律，再计算的坐标即可． 【详解】解：∵点，点，是等腰直角三角形且， ∴点的坐标为，根据题意旋转可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， 以此类推，点的横坐标为，当为奇数时，点的纵坐标为，当为偶数时，点的纵坐标为2， ∴点的横坐标为， ∵是偶数， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为 ． 10．如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（     ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【分析】连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，仿照④的解题思路，即可判断⑤正确． 【详解】解：如图所示：连接，过点O作，垂足为D， ∵是正三角形， ∴，， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论①正确，符合题意； 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，故结论②正确，符合题意； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故结论③正确，符合题意； 四边形的面积为：， 过点O作， ∵是等边三角形， ， ， ， ∴四边形的面积为，故结论④不正确，不符合题意； 如图所示：将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，且， 同结论④证明过程可求得：，， ∴，故结论⑤正确，符合题意； 综上所述：结论①②③⑤正确. 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若点和点关于原点对称，________． 【答案】 【分析】两个点关于原点对称时，横纵坐标均互为相反数，据此列方程求出和，再计算的值． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴根据关于原点对称的点的坐标规律，可得， 解第一个方程得，即， 解第二个方程得，即， ∴． 12．如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 【答案】5 【分析】连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． 13．如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，由旋转的性质得出，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵将绕着点逆时针旋转得到， ∴，， ∵点落在上， ∴， ∴． 14．如图，等边中．，点D为边中点，点P为边上一点，且，将绕点A在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___________． 【答案】或 【分析】连接，首先根据等边三角形的性质得到，，，利用勾股定理求出，然后根据题意分两种情况讨论，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，点D为边中点，， ∴，，， ∴， ∵为直角三角形， ∴当点P在线段上时，如图， ∴， ∴； 当点P在延长线上时，如图， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 15．如图，正方形，对角线相交于点O，以O为顶点作与正方形同样大小的正方形，（），与交于点F，与交于点E，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【详解】：①∵四边形是正方形 ，，， ， ∵四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故结论①正确； ②设与相交于点T，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ∴在中，， ， ， ， 在中，， ， ，故结论②正确； ③， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ④过点O作于点H，如图所示： 是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ，，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ，即，故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 【答案】证明：由旋转的性质可得，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由旋转的性质可得，，，，结合容易证明，因此． 【详解】略 17．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 18．根据题目条件，解答下列各题 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，分别描出点关于原点的对称点，，，写出点，，的坐标，并分别依次连接点，和点，，，． (2)描述和各对应顶点坐标之间的关系． (3)是由经过怎样的变化得到的？ 【答案】(1)； 和即为所求： (2)点与点，点与点，点与点坐标之间的关系为：横、纵坐标均互为相反数； (3)是由绕原点旋转得到的 【分析】（1）根据关于原点对称，横、纵坐标都变为原坐标的相反数，描出点，并依据题意依次连接各点即可． （2）对比各组对应点坐标，总结规律即可． （3）根据对应点的坐标关系总结出对应点的变化规律，继而判断图形的变化规律． 【详解】（1）略； （2）解：由图可知，点， 由（1）可知，， ∴点与点，点与点，点与点坐标之间的关系为：横、纵坐标均互为相反数； （3）解：由（2）可知，点与点，点与点，点与点的横、纵坐标均互为相反数， ∴点与点，点与点，点与点关于原点对称， ∴是由绕原点旋转得到的． 19．探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，，，，求的长． 【答案】(1)①能由旋转得到， 理由：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ， 点为和的共同顶点， 可以由旋转得到； ②； (2) 【分析】（1）①先证明，再证明，可得结论；②绕点按顺时针方向旋转得到，证明，再结合勾股定理可得答案； （2）将绕点逆时针旋转得，作于，连接， 进而可得，，，， ，证明，得，再结合勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：①略 ②绕点按顺时针方向旋转得到， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 将绕点逆时针旋转得，作于，连接， ， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， 中，， 中，， ． 20．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 【答案】(1) (2)①证明：如图2， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点B，C，E三点共线， ∴， ∴， ∴． ②5 【分析】（1）证明为等边三角形，得到，点B，C，E共线，再由即可求解． （2）①由旋转得，，，再进一步由全等三角形的性质得出为等腰直角三角形，根据角度的转换得出，即可证明结论． ②利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即点B，C，E三点共线， ∴． （2）①略． ②解：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 21．在同一平面内，一个图形绕着某点旋转角，如果得到的新图形与原图形完全重合，则称该图形是旋转对称图形，点是旋转中心，角是旋转角． 如图，等边是旋转对称图形，它的中心是旋转中心，是一个旋转角． 某数学兴趣小组根据“旋转对称图形”这一主题设计了如下研究活动，请完成下列活动： (1)【概念理解】正方形是否为旋转对称图形？如果是，请在下图中确定旋转中心（保留作图痕迹），并直接写出一个旋转角的度数；如果不是，请说明理由； (2)【案例分析】如图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，其中，，且点，，，在同一直线上，求和的度数； (3)【应用设计】如图是由小等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点叫做格点．网格中给出了一个由实线围成的菱形，用若干个和它全等的菱形，与给出的菱形拼接成一个旋转对称图形，请标出旋转中心，并画出该旋转对称图形（要求旋转中心和所有顶点都在格点上）． 【答案】(1)正方形是旋转对称图形； 如图，点即为正方形的旋转中心； 旋转角的度数可以是或或（答案不唯一）； (2)， (3) （答案不唯一） 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义及所给例子判断，求解即可； （2）连接，，，证明，得，根据图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，得其余四个角与相等，且这5个相等的角的和为，可求得，进而根据三角形内角和定理及四边形内角和可求得； （3）根据旋转对称图形的定义将所给菱形绕点按顺时针或逆时针每次旋转，旋转5次，可得一个旋转对称图形（答案不唯一）． 【详解】（1）解：正方形绕它的中心旋转或或能与自身重合，它是旋转对称图形， 作图略， 旋转角的度数略； （2）解：连接，，， ，，， ， ， 图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形， 其余四个角与相等，且这5个相等的角的和为， ； ， 由全等可得， ， 同理：， 点，，，在同一直线上， ， ； （3）略 22．按要求完成以下问题 (1)【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________． (2)【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值． 【答案】(1)150 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）由勾股定理得，将绕点B顺时针旋转至处，连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，证明四点共线，得，由勾股定理得，故可得结论； （3）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，，即可得到，从而得到为等边三角形，，，根据两点之间线段最短得到，即可得到当且仅当四点共线时，的值最小为的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为． 【详解】（1）解：把绕顶点旋转到处，连接，此时， ∴，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，； 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴四点共线， ∴， 在中，， ∴； （3）解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴当且仅当四点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 23．综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， 在与中， ， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）把绕点A逆时针旋转至，使与重合，根据正方形的性质及各角之间的关系得出点E、D、G共线，然后利用全等三角形的判定和性质得出，，再结合勾股定理求解即可； （3）过D作，且，连接并延长交于K，利用勾股定理得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形及勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合，如图： ∴， ， ， ∴， ， ， ， ∴点E、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵，边长为3的正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， 即； （3）解：如图，过D作，且，连接并延长交于K， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴，， ∴， ∴， ． 24．在菱形中，，点E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转α得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，求的度数（含α的代数式表示）； (3)如图3，，，点M是边上一动点，连接，若，N是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点F作，交延长线于点G，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点G，使，连接FG，先根据菱形的性质、平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）由（2）知当时，，过点N作于点N，且使，连接PM，构造出，得出，，再得出，取中点H，连接，，得出，，由两点之间线段最短得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点F作，交延长线于点G， 在菱形中，， 四边形是正方形，， ，， 由旋转的性质得，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 即， ， ， 又， ； （2）解：如图，延长到点G，使，连接， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， 即， ， 由旋转的性质得，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）解：由（2）知当时，， 如图，过点N作于点N，且使，连接PM， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 取中点H，连接，， ，， ， ， 由两点之间线段最短得，且当N、H、F共线时， 取得最大值为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第28章 旋转 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．数学之美藏于几何图形，对称之妙尽显平衡智慧．下列图形分别是“赵爽弦图”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“斐波那契螺旋点”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列命题中，是真命题的有（     ） ①平行四边形是中心对称图形；②矩形的对角线互相垂直；③菱形的四个角相等；④正方形的对角线相等，且互相垂直平分 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法中，你认为不正确的是（     ） A．三角形具有稳定性 B．等边三角形是中心对称图形 C．任意多边形的外角和是 D．矩形的对角线一定互相平分 5．将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（     ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若点和点关于原点对称，________． 12．如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 13．如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为________． 14．如图，等边中．，点D为边中点，点P为边上一点，且，将绕点A在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___________． 15．如图，正方形，对角线相交于点O，以O为顶点作与正方形同样大小的正方形，（），与交于点F，与交于点E，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 17．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 18．根据题目条件，解答下列各题 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，分别描出点关于原点的对称点，，，写出点，，的坐标，并分别依次连接点，和点，，，． (2)描述和各对应顶点坐标之间的关系． (3)是由经过怎样的变化得到的？ 19．探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，，，，求的长． 20．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 21．在同一平面内，一个图形绕着某点旋转角，如果得到的新图形与原图形完全重合，则称该图形是旋转对称图形，点是旋转中心，角是旋转角． 如图，等边是旋转对称图形，它的中心是旋转中心，是一个旋转角． 某数学兴趣小组根据“旋转对称图形”这一主题设计了如下研究活动，请完成下列活动： (1)【概念理解】正方形是否为旋转对称图形？如果是，请在下图中确定旋转中心（保留作图痕迹），并直接写出一个旋转角的度数；如果不是，请说明理由； (2)【案例分析】如图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，其中，，且点，，，在同一直线上，求和的度数； (3)【应用设计】如图是由小等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点叫做格点．网格中给出了一个由实线围成的菱形，用若干个和它全等的菱形，与给出的菱形拼接成一个旋转对称图形，请标出旋转中心，并画出该旋转对称图形（要求旋转中心和所有顶点都在格点上）． 22．按要求完成以下问题 (1)【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________． (2)【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值． 23．综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 24．在菱形中，，点E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转α得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，求的度数（含α的代数式表示）； (3)如图3，，，点M是边上一动点，连接，若，N是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第28章 旋转 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．数学之美藏于几何图形，对称之妙尽显平衡智慧．下列图形分别是“赵爽弦图”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“斐波那契螺旋点”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列命题中，是真命题的有（     ） ①平行四边形是中心对称图形；②矩形的对角线互相垂直；③菱形的四个角相等；④正方形的对角线相等，且互相垂直平分 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法中，你认为不正确的是（     ） A．三角形具有稳定性 B．等边三角形是中心对称图形 C．任意多边形的外角和是 D．矩形的对角线一定互相平分 5．将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（     ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若点和点关于原点对称，________． 12．如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 13．如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为________． 14．如图，等边中．，点D为边中点，点P为边上一点，且，将绕点A在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___________． 15．如图，正方形，对角线相交于点O，以O为顶点作与正方形同样大小的正方形，（），与交于点F，与交于点E，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 17．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 18．根据题目条件，解答下列各题 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，分别描出点关于原点的对称点，，，写出点，，的坐标，并分别依次连接点，和点，，，． (2)描述和各对应顶点坐标之间的关系． (3)是由经过怎样的变化得到的？ 19．探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，，，，求的长． 20．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 21．在同一平面内，一个图形绕着某点旋转角，如果得到的新图形与原图形完全重合，则称该图形是旋转对称图形，点是旋转中心，角是旋转角． 如图，等边是旋转对称图形，它的中心是旋转中心，是一个旋转角． 某数学兴趣小组根据“旋转对称图形”这一主题设计了如下研究活动，请完成下列活动： (1)【概念理解】正方形是否为旋转对称图形？如果是，请在下图中确定旋转中心（保留作图痕迹），并直接写出一个旋转角的度数；如果不是，请说明理由； (2)【案例分析】如图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，其中，，且点，，，在同一直线上，求和的度数； (3)【应用设计】如图是由小等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点叫做格点．网格中给出了一个由实线围成的菱形，用若干个和它全等的菱形，与给出的菱形拼接成一个旋转对称图形，请标出旋转中心，并画出该旋转对称图形（要求旋转中心和所有顶点都在格点上）． 22．按要求完成以下问题 (1)【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________． (2)【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值． 23．综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 24．在菱形中，，点E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转α得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，求的度数（含α的代数式表示）； (3)如图3，，，点M是边上一动点，连接，若，N是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $